Isomorfismi


Esimerkki kahdesta isomorfisesta graafista. Isomorfismi yhdistää yhden graafin kärjet toisen samanvärisiin graafiin: kaksi kärkeä on yhdistetty reunalla yhdessä graafissa, jos ja vain, jos samanväriset kärjet on yhdistetty reunalla toisessa graafissa.

Isomorfismi ( muista kreikan kielestä ἴσος - yhtäläinen, identtinen, samanlainen ja μορφή - muoto) - matemaattisten objektien välinen suhde, joka ilmaisee niiden rakenteen yleisyyden; käytetään matematiikan eri aloilla ja jokaisella niistä määräytyy tutkittavien kohteiden rakenteellisten ominaisuuksien mukaan. Yleensä isomorfismi määritellään joukoille, joilla on jokin rakenne , esimerkiksi ryhmille , renkaille , lineaariavaruuksille ; tässä tapauksessa se määritellään käännettäväksi mappaukseksi ( bijection ) kahden joukon välillä, joiden rakenne säilyttää tämän rakenteen, eli osoittaa, että objektit on "samalla tavalla rakennettu" tuon rakenteen merkityksessä. Jos esineiden välillä on isomorfismi, niiden sanotaan olevan isomorfisia . Isomorfismi määrittelee aina ekvivalenssisuhteen tällaisten rakenteiden luokassa.

Esimerkiksi kahta graafia kutsutaan isomorfiseksi, jos niiden välillä on isomorfismi: eli yhden graafin kärjet voidaan liittää toisen graafin kärkiin siten, että ensimmäisen graafin yhdistetyt pisteet vastaavat graafin toisiinsa liittyviä pisteitä. toinen kaavio ja päinvastoin. Toisin sanoen kaksi kuvaajaa ovat isomorfisia, jos ne ovat "samoja" (vertexin uudelleennimeämiseen asti).

Toinen klassinen esimerkki isomorfisista järjestelmistä on joukko reaalilukuja , joihin on määritetty yhteenlaskuoperaatio, ja joukko positiivisia reaalilukuja, joihin on määritetty kertolasku. Tässä tapauksessa kartoitus on isomorfismi. $\mathbb {R}$ ${\mathbb R}_{+}$ $x\mapsto\exp(x)$

Isomorfismin käsite syntyi matematiikassa suhteessa ryhmiin , ja se siirrettiin myöhemmin muihin esineluokkiin.

Yleinen algebra

Yleisalgebrassa isomorfismi on käännettävä kartoitus, joka on homomorfismi .

Esimerkiksi ryhmille ja bijektiota kutsutaan isomorfismiksi, jos . Jos ryhmät ovat topologisia , lisätään vastaavien topologisten avaruuksien homeomorfismin ehto [1] . $G$ $H$ $f\colon G\to H$ $a,\;b\in G$ $f(a)f(b)=f(ab)$

Kentille ja bijektiota kutsutaan isomorfismiksi , jos se säilyttää molemmat kenttäoperaatiot , eli mille tahansa se pätee: $F_{1}$ $F_{2}$ ${\displaystyle f\colon F_{1}\to F_{2))$ $a,b\in F_{1}$

$f(a)+f(b)=f(a+b)$ ,
$f(a)\cdot f(b)=f(a\cdot b)$ .

Esimerkiksi osamäärä rengas polynomirenkaalle, jolla on todelliset kertoimet polynomin modulo, on isomorfinen kenttä [2] kompleksilukujen kentän kanssa : $\mathbb{R}[x]$ $x^{2}+1$ $\mathbb {C}$

\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)\ {\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\ \mathbb {C}

Kenttiin, joilla on lisärakenne ( järjestetyt , topologiset kentät ), voidaan lisätä ehto, että bijektio säilyttää myös nämä lisärakenteet.

Yleisin isomorfismin määritelmä on luokkateoriassa : luokan objektit ovat isomorfisia, jos niiden välillä on käännettävä morfismi, eli morfismi , jolle on olemassa sellainen morfismi , että koostumukset ja ovat identtisiä morfismia. Ryhmien kategorian, renkaiden kategorian, vektoriavaruuksien kategorian ja muiden rakenteiden määritelmät on rakennettu siten, että ryhmien, renkaiden, vektoriavaruuksien isomorfismin klassiset määritelmät osuvat yhteen kategorian isomorfismin yleisen määritelmän kanssa. . Samalla otetaan käyttöön myös kategorioiden isomorfismin käsite, eli yksi-yhteen vastaavuus käännettävien funktioiden kategorioiden välillä. $\varphi$ $\varphi ^{{-1}}$ $\varphi ^{{-1}}\circ \varphi$ $\varphi \circ \varphi ^{{-1}}$

Joukkoteoria

Joukkoteoriassa mikä tahansa bijektio on isomorfismi.

Esimerkiksi kaksi osittain järjestettyä joukkoa ovat isomorfisia, jos niiden välillä on järjestystä säilyttävä bijektio [3] .

Lineaariset välilyönnit

Kahta saman kentän yli olevaa lineaarista avaruutta kutsutaan isomorfiseksi , jos vektorien välille on mahdollista muodostaa yksi-yhteen-vastaavuus ja siten, että ehdot [4] täyttyvät : $V'(F)$ $V''(F)$ $F$ $x'\in V'$ $x''\in V''$

jos vektori vastaa vektoria ja vektori vastaa vektoria , niin vektori vastaa vektoria . $\mathbf {x} '\in V'$ $\mathbf {x} ''\in V''$ $\mathbf {y} '\in V'$ $\mathbf {y} ''\in V''$ $\mathbf {x} '+\mathbf {y} '\in V'$ $\mathbf {x} ''+\mathbf {y} ''\in V''$
jos vektori vastaa vektoria ja on kentän elementti , niin vektori vastaa vektoria . $\mathbf {x} '\in V'$ $\mathbf {x} ''\in V''$ $\lambda$ $F$ $\lambda \mathbf {x} '\in V'$ $\lambda \mathbf {x} ''\in V''$

Normed spaces

Normoiduille avaruuksille kartoitusta yhdestä niistä toisiin kutsutaan normiavaruuden isomorfismiksi , jos se on lineaarinen , jatkuva ja bijektiivinen , ja myös käänteinen kuvaus on jatkuva. Tässä mielessä isomorfismi säilyttää lineaarisen avaruuden rakenteen ja topologian , mutta ei välttämättä säilytä normia. Jos isomorfismi säilyttää myös normin, sitä kutsutaan isometriseksi isomorfismiksi tai isometriaksi [5] .

Graafiteoria

Graafia kutsutaan graafin isomorfiseksi, jos graafin kärkijoukosta on bijektio graafin kärkijoukkoon , jolla on seuraava ominaisuus: jos graafilla on reuna kärjestä kärkeen , niin graafi täytyy olla reuna kärjestä kärkeen ja päinvastoin - jos graafilla on reuna kärjestä kärkeen , niin graafilla on oltava reuna kärjestä kärkeen . Suunnatun graafin tapauksessa tämän bijektion on myös säilytettävä reunan suunta. Painotetun graafin tapauksessa bijektion on myös säilytettävä reunan paino. $G$ $H$ $f$ $G$ $H$ $G$ $A$ $B$ $H$ $fa)$ $f(B)$ $H$ $A$ $B$ $G$ $f^{-1}(A)$ $f^{-1}(B)$

Laskennallisen monimutkaisuuden teoriassa kysymys graafisen isomorfismin ongelman monimutkaisuudesta on edelleen avoin . Tällä hetkellä sen kuuluvuutta luokkaan $P$ tai sen täydellisyyttä ei ole todistettu . $NP$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Algebrallisen järjestelmän isomorfismia itseensä kutsutaan automorfismiksi . Jonkin algebrallisen järjestelmän kaikkien automorfismien joukko, jossa kokoonpanooperaatio ja identiteettikartoitus on neutraali elementti, muodostaa ryhmän . Algebrallisen järjestelmän automorfismiryhmää merkitään . Yksinkertaisin esimerkki automorfismista on joukko automorfismi , eli tämän joukon elementtien permutaatio . $K$ $\operaattorinimi {Aut}K$

Mikä tahansa ryhmän elementti määrittelee seuraavan automorfismin, jota kutsutaan sisäiseksi automorfismiksi : jokainen ryhmän elementti liittyy sen konjugaattielementtiin : $g$ $x$ ${\displaystyle gxg^{-1))$

{\displaystyle f(x)=gxg^{-1))

Isomorfismilauseet

Algebran isomorfismilauseet ovat sarja lauseita , jotka liittyvät tekijän , homomorfismin ja sisäkkäisen objektin käsitteisiin . Lauseen lause on isomorfismi jostain ryhmäparista , renkaista , moduuleista , lineaariavaruuksista , Lie - algebroista tai muista algebrallisista rakenteista (sovelluksesta riippuen). Isomorfismilauseita on yleensä kolme , joita kutsutaan ensimmäiseksi (myös perushomomorfismilauseeksi ) , toiseksi ja kolmanneksi. Vaikka tällaiset lauseet seuraavat melko helposti tekijän määritelmästä, eikä kenenkään erityisen ansiota niiden löydöstä, uskotaan, että Emmy Noether antoi yleisimmät sanamuodot .

Muistiinpanot

↑ L. S. Pontryagin Jatkuvat ryhmät. S. 392
↑ Faddeev D.K. Luennot algebrasta. - M .: Nauka, 1984. - S. 200-201. — 416 s.
↑ Vereshchagin N. K., Shen A. Luentoja matemaattisesta logiikasta ja algoritmien teoriasta. Osa 1. Joukkoteorian alkua. sivu 48
↑ Shilov G. E. Johdatus lineaaristen tilojen teoriaan. - M., L., Gostekhteorizdat, 1952. - s. 70
↑ Pjotr Borodin, A. Savchuk, I. Sheipak. Ongelmia toiminnallisessa analyysissä . - MTSNMO, 2017. - S. 28. - 337 s. — ISBN 9785040485147 .

Kirjallisuus

Van der Waerden B. L. Algebra. St. Petersburg: Lan, 2004, 624 sivua, ISBN 5-8114-0552-9 .
Pontryagin, Lev Semjonovich . Jatkuvat ryhmät. — M .: URSS , 2004. — 520 s. — ISBN 5-354-00957-X .
Isomorfismi - artikkeli Encyclopedia of Mathematicsista . O. A. Ivanova, D. M. Smirnov

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	J9U : 987007565408405171 LCCN : sh85068654