Kohdekenttä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 7. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Äärillinen kenttä tai Galois'n kenttä yleisalgebrassa on kenttä , joka koostuu äärellisestä määrästä elementtejä ; tätä numeroa kutsutaan kentän järjestykseksi .

Lopullinen kenttä on yleensä merkitty tai (lyhenne englanninkielisestä Galois-kentästä ) ja sitä kutsutaan Galois'n järjestyskentäksi , jossa on kenttäelementtien lukumäärä [1] . Isomorfismiin asti äärellinen kenttä määräytyy täysin sen järjestyksen mukaan, joka on aina jonkin alkuluvun potenssi , eli missä on alkuluku ja mikä tahansa luonnollinen luku . Tässä tapauksessa se on tämän kentän ominaisuus [2] . $\mathbb {F} _{q}$ $\mathrm {GF} (q)$ $q$ $q$ $q=p^{n}$ $s$ $n$ $s$

Äärillisen kentän käsitettä käytetään lukuteoriassa [3] , ryhmäteoriassa [3] , algebrallisessa geometriassa [3] ja kryptografiassa [4] .

Määritelmä ja ominaisuudet

Äärillinen kenttä on äärellinen joukko , jolle määritellään mielivaltaisia operaatioita, joita kutsutaan yhteen- , kerto- , vähennys- ja jakolaskuiksi (paitsi jako 0:lla) kentän aksioomien mukaisesti [5] .

Äärillisen kentän kertova ryhmä on syklinen . Eli kaikki kentän nollasta poikkeavat elementit muodostavat kertolaskuoperaation suhteen ryhmän (tätä ryhmää kutsutaan kentän kertovaksi ryhmäksi ja sitä merkitään ). Tämä ryhmä on syklinen , eli siinä on generoiva elementti ja kaikki muut elementit saadaan nostamalla generaattori tehoon [5] . Toisin sanoen, on olemassa generoiva elementti, jotta mille tahansa , voimme kirjoittaa: $\mathbb {F} _{q}$ $\mathbb {F} _{q}^{*}$ $g$ $a\in \mathbb {F} _{q}^{*}$

$\exists n:g^{n}=a\mod q$ .

Generoivaa elementtiä kutsutaan myös kentän primitiivielementiksi, joka sisältää primitiiviset elementit, jossa on Euler-funktio . [6] $\mathbb {F} _{q}^{*}$ $\mathbb {F} _{q}.$ $\mathbb {F} _{q}$ $\varphi (q-1)$ $\varphi$

Kentällä on myös useita muita ominaisuuksia:

Fermatin pienen lauseen mukaan jokainen kentän elementti täyttää yhtälön [2] . $\mathbb {F} _{q}$ $a^{q}=a$
Kenttä sisältää alikenttänä silloin ja vain jos on jakaja [1] . $\mathbb {F} _{p^{n}}$ $\mathbb {F} _{p^{k}}$ $k$ $n$
Jos on redusoitumaton astepolynomi , niin kenttä sisältää minkä tahansa juurensa ja kaikkien sen juurien joukolla on muoto . On siis polynomin laajennuskenttä kentän yli [7] . $f\in \mathbb {F} _{q}[x]$ $m$ $\mathbb {F} _{q^{m}}$ $\alpha$ $\{\alpha ,\alpha ^{q},\ldots ,\alpha ^{q^{m-1}}\}$ $\mathbb {F} _{q^{m}}$ $f$ $\mathbb {F} _{q}$
Jokaisella äärellisellä kentällä ja luonnollisella luvulla kaikkien niiden polynomien normalisoitujen pelkistymättömien tulo, joiden astejako on Erityisesti tällaisten polynomien asteiden summa on [8] . $\mathbb {F} _{q}$ $n$ $\mathbb {F} _{q}$ $n$ $x^{q^{n}}-x.$ $q^{n}$
Kentän yli redusoitumattomien n -asteisten normalisoitujen polynomien lukumäärä määräytyy kaavasta , jossa on Möbius-funktio . Tämä väite seuraa kaavasta Möbiuksen inversiokaavan soveltamisen jälkeen [9] . $N(q,n)$ $\mathbb {F} _{q},$ $N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d|n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}$ $\mu$ $q^{n}=\summa _{d|n}dN(q,d)$

Kenttä, jossa on alkioiden alkuluku

Mikä tahansa alkujärjestyksen kenttä voidaan edustaa jäännösrenkaalla (eli mikä tahansa elementtikenttä on isomorfinen jäännösrenkaan kanssa ). Tunnetuin esimerkki äärellisestä kentästä on jäännösluokkien kenttä modulo a alkuluku , jota merkitään [10] . Tämä kenttä voidaan esittää seuraavasti. Alkuluvun kenttäelementit ovat numeroita . Yhteen- ja kertolasku määritellään lukujen yhteen- ja kertolaskuksi tuloksen modulovähennyksellä [11] . Seuraavassa on esimerkkejä tällaisista kentistä , joissa on kaksi elementtiä ja kolme elementtiä . $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {Z} /(p)$ $s$ $\mathbb {Z} /(p)$ $s$ $\{0,1,...,p-1\}$ $s$

Suhde jäännösrenkaisiin

Äärillisiä kenttiä ja jäännösrenkaita ei pidä sekoittaa keskenään . Vain kun eksponentti on alkuluku , jäännösrengas on kenttä. [12] $\mathbb {F} _{p^{n}}$ $\mathbb {Z} /(p^{n})$

Kun n > 1, jäännösrengas ei ole kenttä. Esimerkki. $\mathbb {Z} /(p^{n})$

Kentässä tahansa elementti on tosi .

\mathbb {F} _{8}

x+x=0

Renkaassa laskettaessa saamme 0:n vain kahdessa tapauksessa, kun . Tällä renkaalla on nolla jakaja : .

\mathbb {Z} _{8}

x+x

x=4,x=0

2\cdot 4=0{\pmod {8}}

Äärillisten kenttien karakterisointi

Jokaisen äärellisen kentän ominaisuus on alkuluku. Olkoon äärellinen kenttä. Sitten se koostuu elementeistä, joissa on kentän ominaisuus ja luonnollinen luku on kentän aste sen yksinkertaisen osakentän yli [2] . $F$ $p^{n}$ $s$ $F$ $n$ $F$

Äärillisten kenttien olemassaoloa ja yksilöllisyyttä koskevan lauseen mukaan jokaiselle alkuluvulle ja luonnolliselle luvulle on äärellinen alkioiden kenttä , ja mikä tahansa äärellinen elementtikenttä on isomorfinen polynomin hajoamiskentän kanssa kentän yli . Tämän lauseen avulla voimme puhua tarkasti määritellystä tietyn kertaluvun kentästä ( eli Galois'n elementtien kentästä ) [13] . $s$ $n$ $p^{n}$ $q=p^{n}$ $x^{q}-x$ $\mathbb {F} _{p}$ $q$ $q$

Rakennus

Kenttä n > 1 voidaan muodostaa osamäärärenkaana , jossa on n - asteinen redusoitumaton polynomi kentän yli . Siten kentän rakentamiseksi elementeistä riittää löytää astepolynomi, joka on redusoitumaton kentän yli (sellainen polynomi on aina olemassa). Kentän elementit ovat pienemmän asteen polynomien jäännösluokat, joiden kertoimet ovat modulo polynomin generoima pääideaali . $\mathbb {F} _{p^{n}}$ $\mathbb {K} =\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $f(x)$ $\mathbb {F} _{p}$ $p^{n}$ $n$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {K}$ $n$ $\mathbb {F} _{p}$ $f(x)$

Elementti on polynomin juuri , ja tämä elementti generoi kentän kentän yli , joten siirtymistä kentästä kenttään kutsutaan redusoitumattoman polynomin juuren liittämiseksi kenttään . [14] [15] $\alpha =x+(f(x))\in \mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $f(x)$ $\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $\mathbb {F} _{p}$ $f(x)$

Esimerkkejä

Kahden elementin kenttä

Kenttä koostuu kahdesta elementistä, mutta se voidaan määrittää eri tavoin riippuen elementtien valinnasta ja niiden yhteen- ja kertolaskuoperaatioiden määrittelystä: [16] $\mathbb {F} _{2}$

Kahden luvun "0" ja "1" joukkona, joilla yhteen- ja kertolaskuoperaatiot määritellään lukujen yhteen- ja kertolaskuksi tuloksella modulo 2 ( ): ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}=\{0,1\))$

+	0	yksi
0	0	yksi
yksi	yksi	0

×	0	yksi
0	0	0
yksi	0	yksi

Tavallisella aritmetiikalla Tämä logiikka on tietokoneiden binäärijärjestelmän (kenttä ) (tietokoneet) taustalla.

0+0=0,\quad 0+1=1+0=1,\quad 1+1=0,\quad 0\cdot 0=0\cdot 1=1\cdot 0=0,\quad 1\cdot 1=1.

\mathbb {F} _{2}

\Nuoli oikealle

Kahden loogisen objektin joukkona "FALSE" (F) ja "TRUE" (T), joissa yhteen- ja kertolaskuoperaatiot määritellään Boolen operaatioiksi "exclusive or" ja "and":

+	F	T
F	F	T
T	T	F

×	F	T
F	F	F
T	F	T

Nämä kentät ovat isomorfisia keskenään, eli ne ovat itse asiassa kaksi eri tapaa määrittää sama kenttä.

Kolmen elementin kenttä

Kenttä . Yhteen- ja kertolasku on määritelty lukujen yhteen- ja kertolaskuksi modulo 3. Operaatiotaulukot ovat: $\mathbb {F} _{3}=\{0,1,2\}$ $\mathbb {F} _{3}$

+	0	yksi	2
0	0	yksi	2
yksi	yksi	2	0
2	2	0	yksi

×	yksi	2
0	0	0
yksi	yksi	2
2	2	yksi

Kolmella jakamisen jäännökset muodostuvat kolmesta elementistä (missä koska jäännökset 3:lla jaosta). $\mathbb {F} _{3}$ ${\frac {1}{2}}=2,$ $2\cdot 2=1$

Neljällä kentällä jaon loppuosa ei muodostu, koska elementillä 2 ei ole käänteisarvoa.

Neljän elementin kenttä

Kenttä voidaan esittää joukkona (missä on kentän yläpuolella olevan polynomin juuri , eli ). Operaatiotaulukot näyttävät tältä: [17] $\mathbb {F} _{4}$ $\{0,1,\alpha ,\alpha +1\}$ $\alpha$ $f(x)=x^{2}+x+1$ $\mathbb {F} _{2}$ $\alpha ^{2}=-\alpha -1=\alpha +1$ $\mathbb {F} _{4}$

+	0	yksi	$\alpha$	$\alpha +1$
0	0	yksi	$\alpha$	$\alpha +1$
yksi	yksi	0	$\alpha +1$	$\alpha$
$\alpha$	$\alpha$	$\alpha +1$	0	yksi
$\alpha +1$	$\alpha +1$	$\alpha$	yksi	0

×	yksi	$\alpha$	$\alpha +1$
0	0	0	0
yksi	yksi	$\alpha$	$\alpha +1$
$\alpha$	$\alpha$	$\alpha +1$	yksi
$\alpha +1$	$\alpha +1$	yksi	$\alpha$

Yhdeksän elementin kenttä

Kentän muodostamiseksi riittää, kun löydetään normalisoitu 2-asteinen polynomi, joka on redusoitumaton yli . Nämä polynomit ovat: $\mathbb {F} _{9}=\mathrm {GF} (3^{2})$ $\mathbb {F} _{3}$

x^{2}+1

x^{2}+x+2

x^{2}+2x+2

Sillä , on haluttu kenttä (jos otamme sen sijaan toisen polynomin , saamme uuden kentän, joka on isomorfinen vanhaan nähden). Alla olevissa taulukoissa symboli tarkoittaa polynomin ekvivalenssiluokkaa tekijärenkaassa , joka täyttää yhtälön . $x^{2}+1$ $\mathbb {F} _{9}=\mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)$ $x^{2}+1$ $i$ $x$ $\mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)$ $i^{2}+1=0$

Lisäystaulukko määräytyy suhteen perusteella : $\mathbb {F} _{9}$ $1+1+1=0$

+	0	yksi	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
0	0	yksi	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
yksi	yksi	2	0	$i+1$	$i+2$	$i$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$
2	2	0	yksi	$i+2$	$i$	$i+1$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$
$i$	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$	0	yksi	2
$i+1$	$i+1$	$i+2$	$i$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$	yksi	2	0
$i+2$	$i+2$	$i$	$i+1$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$	2	0	yksi
$2i$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$	0	yksi	2	$i$	$i+1$	$i+2$
$2i+1$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$	yksi	2	0	$i+1$	$i+2$	$i$
$2i+2$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$	2	0	yksi	$i+2$	$i$	$i+1$

Kertotaulukko in määritetään suhteesta : $\mathbb {F} _{9}$ $i^{2}=-1$

×	yksi	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
0	0	0	0	0	0	0	0	0
yksi	yksi	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
2	2	yksi	$2i$	$2i+2$	$2i+1$	$i$	$i+2$	$i+1$
$i$	$i$	$2i$	2	$i+2$	$2i+2$	yksi	$i+1$	$2i+1$
$i+1$	$i+1$	$2i+2$	$i+2$	$2i$	yksi	$2i+1$	2	$i$
$i+2$	$i+2$	$2i+1$	$2i+2$	yksi	$i$	$i+1$	$2i$	2
$2i$	$2i$	$i$	yksi	$2i+1$	$i+1$	2	$2i+2$	$i+2$
$2i+1$	$2i+1$	$i+2$	$i+1$	2	$2i$	$2i+2$	$i$	yksi
$2i+2$	$2i+2$	$i+1$	$2i+1$	$i$	2	$i+2$	yksi	$2i$

Elementillä on astetta 8 ja se on primitiivinen. Elementti ei ole primitiivinen, koska (eli polynomi ei ole primitiivinen ) [17] . $i+1$ $i$ $i^{4}=1$ $x^{2}+1\in \mathbb {F} _{3}[x]$

16 elementin kertova kenttäryhmä

Kun kenttä muodostetaan pelkistymättömällä polynomilla , laajennuselementit annetaan polynomin kertoimien joukoilla, jotka saavat jaettuna jäännöksen , kirjoitettuna potenssien nousevassa järjestyksessä. Kertovan ryhmän muodostaa elementti , joka kirjoitetaan muodossa (0, 1, 0, 0) [18] . $\mathbb {F} _{16}=\mathrm {GF} (2^{4})$ $x^{4}+x+1$ $x^{4}+x+1$ $\alpha=x$

Polynomi	Tutkinto $\alpha$	$1,x,x^{2},x^{3}$
yksi	$\alpha ^{0}$	(1, 0, 0, 0)
$\alpha$	$\alpha$	(0, 1, 0, 0)
$\alpha ^{2}$	$\alpha ^{2}$	(0, 0, 1, 0)
$\alpha ^{3}$	$\alpha ^{3}$	(0, 0, 0, 1)
$1+\alfa$	$\alpha ^{4}$	(1, 1, 0, 0)
$\alpha +\alpha ^{2}$	$\alpha ^{5}$	(0, 1, 1, 0)
$\alpha ^{2}+\alpha ^{3}$	$\alpha ^{6}$	(0, 0, 1, 1)
$\alpha ^{3}+\alpha +1=\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{7}$	(1, 1, 0, 1)
$1+\alpha ^{2}=\alpha +1+\alpha ^{2}+\alpha$	$\alpha ^{8}$	(1, 0, 1, 0)
$\alpha +\alpha ^{3}$	$\alpha ^{9}$	(0, 1, 0, 1)
$\alpha ^{2}+1+\alpha =\alpha ^{2}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{10}$	(1, 1, 1, 0)
$\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}$	$\alpha ^{11}$	(0, 1, 1, 1)
$1+\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{12}$	(1, 1, 1, 1)
$1+\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{13}$	(1, 0, 1, 1)
$1+\alpha ^{3}=\alpha +\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{14}$	(1, 0, 0, 1)
$1=\alpha +\alpha ^{4}$	$\alpha ^{15}$	(1, 0, 0, 0)

Opiskeluhistoria

Äärillisten kenttien teorian alku on peräisin 1600- ja 1700-luvuilta . Tämän aiheen parissa työskentelivät tutkijat, kuten Pierre Fermat , Leonard Euler , Joseph Louis Lagrange ja Adrien Marie Legendre , joita voidaan pitää äärellisten alkujärjestyksen kenttien teorian perustajina. Kuitenkin suurempi kiinnostava on yleinen äärellisten kenttien teoria, joka on peräisin Gaussin ja Galois'n työstä [19] . Jonkin aikaa tätä teoriaa käytettiin vain algebrassa ja lukuteoriassa, mutta myöhemmin uusia kosketuspisteitä löydettiin algebrallisen geometrian , kombinatoriikan ja koodausteorian kanssa [3] .

Galoisin panos

Vuonna 1830 18-vuotias Evariste Galois julkaisi artikkelin [20] , joka loi perustan äärellisten kenttien yleiselle teorialle. Tässä artikkelissa Galois (permutaatioryhmien ja algebrallisten yhtälöiden teoriatutkimuksen yhteydessä [21] ) esittelee imaginaarisen vertailujuuren , jossa on mielivaltainen polynomi, jonka aste on redusoitumaton modulo p . Tämän jälkeen tarkastellaan yleislauseketta , jossa on joitain kokonaislukuja modulo p . Jos määrität kaikki mahdolliset arvot näille numeroille, lauseke ottaa arvoja. Lisäksi Galois osoittaa, että nämä arvot muodostavat kentän ja tämän kentän kertova ryhmä on syklinen. Siten tämä teos on ensimmäinen kivi äärellisten kenttien yleisen teorian perustassa. Toisin kuin edeltäjänsä, jotka pitivät vain peltoja , Galois pitää jo peltoja , joita alettiin kutsua Galois -peltoiksi hänen kunniakseen [22] . $F(x)\equiv 0{\pmod {p}}$ $F(x)$ $\nu$ $A=a_{0}+{a_{1}}i+{a_{2}}i^{2}+\ldots +a_{\nu -1}i^{\nu -1}$ $a_{0},a_{1},...,a_{\nu -1}$ $A$ $p^{\nu }$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$

Ensimmäisen teoksen tähän suuntaan kirjoitti Gauss noin 1797, mutta hänen elinaikanaan tätä tutkimusta ei koskaan julkaistu. Luultavasti kirjoitustensa toimittaja jätti tämän tutkimuksen huomioimatta, joten tämä teos ilmestyi vasta postuumipainoksessa vuonna 1863 [23] .

Jatkokehitys

Vuonna 1893 matemaatikko Eliakim Moore osoitti äärellisten kenttien luokittelun lauseen, jonka mukaan mikä tahansa äärellinen kenttä on Galois'n kenttä , eli mikä tahansa elementtikenttä on isomorfinen niiden polynomien jäännösluokkien kentän kanssa, joiden kertoimet ovat modulo, pelkistymätön polynomi. tutkinnon [24] . Ensimmäinen yritys antaa aksiomaattinen lähestymistapa äärellisten kenttien teoriaan kuuluu samaan vuoteen, ja sen suoritti Heinrich Weber , joka yritti yhdistää työssään matematiikan eri aloilla syntyneitä käsitteitä, mukaan lukien äärellisen kentän käsite. [25] . Edelleen vuonna 1905 Joseph Wedderburn todistaa Wedderburnin pienen lauseen , jonka mukaan mikä tahansa äärellinen kappale on kommutatiivinen, eli se on kenttä. Nykyaikainen aksiomaattinen kentän määritelmä (erikoistapauksena äärelliset kentät) johtuu Ernst Steinitzistä , ja se esitettiin hänen vuoden 1910 artikkelissaan [26] . $p^{n}$ $\mathbb {F} _{p}$ $n$

Sovellukset

Diofantiiniyhtälöt

Diofantiiniyhtälö on kokonaislukukertoimien yhtälö, jossa muuttujat saavat myös kokonaislukuarvoja. Suuren keskusteluaallon tällaisista yhtälöistä aiheutti Fermat , joka muotoili lauseensa. Fermat'n pieni lause sanoo, että jos on alkuluku, joka ei ole toisen luvun jakaja , niin . Äärillisten kenttien teoriassa tämä lause on seuraus Lagrangen lauseesta , jota sovelletaan elementin generoimaan multiplikatiiviseen aliryhmään , koska koko multiplikatiivisen kentän ryhmä koostuu elementeistä [5] . $s$ $a$ $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$ $a$ $\mathbb {F} _{p}$ $p-1$

Fermat huomaa, että ainoat alkuluvut, jotka voidaan hajottaa kahden neliön summaksi, ovat ne alkuluvut, jotka antavat jäännöksen 1:llä jaettuna 4:llä. Erityisesti hän huomauttaa, että

5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\quad 29= 2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},\quad 41=4^{2}+5^{2}.

Kirjeessään Marin Mersennelle , päivätty 25. joulukuuta 1640, Fermat ehdottaa yhtälön ratkaisemista [27] . $a^{2}+b^{2}=p$

Julius Dedekind tutki tätä yhtälöä äärellisessä kentässä , jossa se saa muodon . Jos , niin ratkaisu on triviaali. Muussa tapauksessa voit jakaa molemmat osat arvolla ja ottamalla käyttöön korvaavan saada yhtälön muodossa . Kertomalla saadaan yhtälö . Olettaen , että generaattori on kertaluokkaa 4 oleva kertova aliryhmä, voidaan saada tarvittavat ja riittävät ehdot p :lle, joissa yhtälöllä on ratkaisu. Dedekindin suorittamassa Fermat-Euler-lauseen lisätodistuksessa ei käytetä äärellisten kenttien käsitettä ja se löytyy vastaavasta artikkelista [28] . $\mathbb {F} _{p}$ $a^{2}+b^{2}=0$ $b = 0$ $b^{2}$ $x^{2}+1=0$ $x^{2}-1=0$ $x^{4}-1=0$ $x$

Korjaavien koodien teoria

Korjaavien koodien teorian luomisvuodeksi pidetään vuotta 1948 , jolloin julkaistiin Claude Shannonin artikkeli , jossa hän osoittaa, että virheiden esiintyminen tiedonsiirrossa minkä tahansa kanavan kautta riippuu mm. siirtonopeuden ja kanavakapasiteetin suhde. Siirtonopeuden on oltava suurempi kuin kaistanleveys. Shannon toimitti todisteita, mutta ne julistettiin pätemättömiksi [29] .

Richard Hamming ehdotti rakentavaa lähestymistapaa , mikä asetti vektorin monien myöhempien tätä aihetta koskevien artikkelien kehittämiselle. Hamming rakensi työssään yksinkertaisen koodin , joka korjaa virheet tietyllä tavalla. Hamming huomioi korjauskoodit vain kentän [30] päällä . Pian Golay rakensi samanlaisia koodeja mielivaltaisille äärellisille kentille vuonna 1949 [31] . Suurin panos tähän teoriaan kuuluu kuitenkin Hammingille [30] . $\mathbb {F} _{2}$

Kryptografia

Äärilliset kentät ovat saaneet laajimman sovelluksen kryptografiassa. Diffien ja Helmanin artikkelia julkisen avaimen salakirjoituksesta, jossa ehdotettiin avaintenvaihtoprotokollaa [4] , pidetään tärkeänä työnä . Tässä työssä käytettiin tietyntyyppisiä äärellisiä kenttiä. Myöhemmin ilmestyi suuri valikoima äärellisten kenttien käyttöön perustuvia salausprotokollia ja kryptojärjestelmiä. Näitä ovat ElGamal-malli , Advanced Encryption Standard [32] , Schnorr-malli , Chaum-algoritmi (sokea allekirjoitus) ja XTR - salausjärjestelmä .ja monet muut. Elliptisen käyrän algoritmit , jotka ovat yksi modernin kryptografian keskeisistä tutkimuskohteista, käyttävät myös äärellisiä kenttiä [33] .

Myös salauksen laatu riippuu usein kyvystä tuottaa nopeasti suuria alkulukuja. Vastaavasti syntyy tehtävänä muodostaa algoritmi luvun hajottamiseksi alkutekijöiksi (tietyn luvun yksinkertaisuuden määrittämiseksi). Michael Rabin julkaisi tutkimuksen, jossa hän ehdottaa primaalisuustestiä, joka perustuu multiplikatiivisen kenttäryhmän ominaisuuksiin [34] .

Muut

Vuonna 1960 R. K. Bowes ja D. K. Roy-Chowdhury julkaisivat artikkelin, jossa he tutkivat polynomiperheitä äärellisten kenttien yli. A. Hockwingham yleisti teoriansa, mikä johti BCH-koodin luomiseen , jonka erikoistapaus on hyvin tunnettu Reed-Solomon-koodi , jolla on erittäin laaja sovellus. Sitä käytetään kirjoitettaessa ja luettaessa RAM -ohjaimissa , arkistoitaessa tietoja, kirjoitettaessa tietoja kiintolevyille ( ECC ), kirjoitettaessa CD / DVD-levyille. On huomionarvoista, että jos huomattava määrä tietoa on vaurioitunut tai jos levymedian useat sektorit ovat vaurioituneet, Reed-Solomon-koodin avulla voit palauttaa suurimman osan kadonneista tiedoista. BCH-koodia käytetään myös joidenkin NASA -luotainten (kuten Voyager ) viestintäjärjestelmässä [35] .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 Lidl, Niederreiter, 1988 , s. 68.
↑ 1 2 3 Lidl, Niederreiter 1988 , s. 66.
↑ 1 2 3 4 Lidl, Niederreiter, 1988 , s. 5.
↑ 1 2 Diffie, Hellman, 1976 .
↑ 1 2 3 Yu. I. Zhuravlev, Yu. A. Flerov, M. N. Vyaly. Diskreetti analyysi. Korkeamman algebran perusteet. - M. : MZ Press, 2007. - S. 151. - 224 s.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , s. 69-70.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , s. 71.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , s. 119.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , s. 121.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , s. 65.
↑ Egorov A. A. Modulo-vertailut ja jäännösaritmetiikka // Kvant . - 1970. - Nro 5 . - S. 28-33 .
↑ Vinberg, 2011 , s. 32.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , s. 67-68.
↑ Vinberg, 2011 , s. 409.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , s. 51, 66.
↑ Gabidulin E. M., Kshevetsky A. S., Kolybelnikov A. I., Vladimirov S. M. Tietoturva. Opastus. 22.11.2015 päivätty versio . - S. 249.
↑ 1 2 Mullen, Gary L.; Panario, Daniel. Äärillisten kenttien käsikirja. - CRC Press, 2013. - ISBN 978-1-4398-7378-6 .
↑ Yu. I. Zhuravlev, Yu. A. Flerov, M. N. Vyaly. Diskreetti analyysi. Korkeamman algebran perusteet. - M. : MZ Press, 2007. - S. 152. - 224 s.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , s. kymmenen.
↑ Evariste Galois (1830), Sur la théorie des nombres (ranska) . Bulletin des sciences mathématiques de M. Ferussac 13, s. 428-435 (1830).
↑ Bourbaki N. Esseitä matematiikan historiasta / käännös. alkaen fr. I. G. Bashmakova, toim. K. A. Rybnikova. - M .: IL, 1963. - S. 102.
↑ Israel Kleiner. Abstraktin algebran historia . - Birkhäuser, 2007. - s . 70 . - 168 p. — ISBN 978-0-8176-4684-4 .
↑ G. Frei. Julkaisematon jakso kahdeksan: Matkalla toimimaan rajallisen kentän yli . - Goldstein Schappacher Schwermer, 2007. - P. 159-198.
↑ Moore, Eliakim Hastings. Yksinkertaisten ryhmien kaksinkertainen ääretön järjestelmä (englanniksi) // Chicago Congr. paperit. - 1896. - s. 208-242. Arkistoitu alkuperäisestä 19. marraskuuta 2015.
↑ H. Weber, "Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie", Mathematische Annalen, voi. 43, 1893, s. 521-549.
↑ Ernst Steinitz, "Algebraische Theorie der Körper", Journal für die reine und angewandte Mathematik, voi. 137, 1910, s. 167-309 (ISSN 0075-4102).
↑ Yu. I. Zhuravlev, Yu. A. Flerov, M. N. Vyaly. Diskreetti analyysi. Korkeamman algebran perusteet. - M. : MZ Press, 2007. - S. 38. - 224 s.
↑ R. Dedekind , Supplement XI des Leçons en théorie des nombres de Dirichlet, 1894.
↑ Shannon, K. Viestinnän matemaattinen teoria // Tietoteoriaa ja kybernetiikkaa käsitteleviä teoksia. - M . : Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo, 1963. - S. 243-332.
↑ 1 2 Hamming, K. Koodit virheiden havaitsemiseen ja korjaukseen. - M . : Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo, 1956. - S. 7-23.
↑ Golay MJE Huomautuksia digitaalisesta koodauksesta // Proceedings IRE. 1949. V. 37, s. 657.
↑ O. S. Zenzin, M. A. Ivanov. Salausturvastandardi on AES. Lopeta kentät . - KUDITS-Obraz, 2002. - S. 41 -78. — 176 s. — ISBN 5-93378-046-4 .
↑ Anatoli Bolotov, Sergei Gashkov, Aleksandr Frolov, Anatoli Chasovskikh. Johdatus elliptiseen kryptografiaan. Algebralliset ja algoritmiset perusteet. - KomKniga, 2006. - S. 390 - 398. - 527 s. — ISBN 5-484-00443-8 .
↑ M. Rabin , Probabilistic Algorithm for Testing Primality, J. Number Th. 12 (1980), 128-138.
↑ Bose RC, Ray-Chaudhuri DK Virheenkorjaavan binaariryhmän koodien luokassa // Inform. ohjata. - vol. 3. - maaliskuu 1960. - s. 68-79.

Kirjallisuus

Vinberg E. B. Algebra-kurssi. - uusi painos, tarkistettu. ja ylimääräistä - M. : MTSNMO, 2011. - 592 s. - 2000 kappaletta. — ISBN 978-5-94057-685-3 .
Lidl R., Niederreiter G. Äärilliset kentät. 2 osana - M . : Mir, 1988. - 430 s. — ISBN 5-03-000065-8 .
Zhuravlev Yu.I., Flerov Yu.A., Vyaly M.N. Diskreetti analyysi. Korkeamman algebran perusteet. - 2. painos - M. : MZ Press, 2007. - 224 s. - 1000 kappaletta. — ISBN 5-94073-101-5 .
Vasiliev K. K., Glushkov V. A., Dormidontov A. V., Nesterenko A. G. Sähköisen viestinnän teoria. - Uljanovsk: UlGTU, 2008. - 452 s. - ISBN 978-5-9795-0203-8 .
Steinitz, Ernst. Algebraische Theorie der Körper (saksa) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1910. - Bd. 137 . - S. 167-309 .
Diffie W. , Hellman M.E. Uusia suuntauksia kryptografiassa // IEEE Trans . inf. Teoria / F. Kschischang - IEEE , 1976. - Voi. 22, Iss. 6. - P. 644-654. — ISSN 0018-9448 ; 1557-9654 - doi:10.1109/TIT.1976.1055638 .
Kleiner, Israel. Abstraktin algebran historia. - Birkhäuser, 2007. - ISBN 978-0-8176-4684-4 .