Logaritminen jakauma

logaritminen jakauma
Nimitys	$\mathrm {Log} (p)$
Vaihtoehdot	$0<p<1$
Kuljettaja	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \))$
Todennäköisyysfunktio	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {\;p^{k}}{k}}$
jakelutoiminto	$1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)))$
Odotettu arvo	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p}{1-p}}$
Muoti	$yksi$
Dispersio	$-p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)))$
Hetkien funktion luominen	${\frac {\ln(1-p\,\exp(t))}{\ln(1-p)))$
ominaista toimintoa	${\frac {\ln(1-p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)))$

Todennäköisyysteorian logaritminen jakauma on diskreettien jakaumien luokka. Logaritmista jakaumaa käytetään monissa sovelluksissa, mukaan lukien matemaattinen genetiikka ja fysiikka.

Määritelmä

Olkoon satunnaismuuttujan jakauma todennäköisyysfunktiolla : $Y$

p_{Y}(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)=-{\frac {1}{\ln(1-p))){\frac {p^{k)) {k}},\;k=1,2,3,\ldots

missä . Sitten sanomme, että sillä on logaritminen jakauma parametrilla . Kirjoita :. $0<p<1$ $Y$ $s$ $Y\sim \mathrm {Log} (p)$

Satunnaismuuttujan jakaumafunktio on paloittain vakio hyppyillä luonnollisissa pisteissä: $Y$

F_{Y}(y)=\left\{{\begin{matrix}0,&y<1&\\1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0) }{\ln(1-p)))),\;&y\in [k,k+1),\;&k=1,2,3,\ldots \end{matrix}}\right.,

missä on epätäydellinen beetafunktio . $\mathrm {B} _{p}$

Huomautus

Se, että funktio on todellakin jonkin jakauman todennäköisyysfunktio, seuraa logaritmin Taylor-sarjan laajennuksesta : $p_{Y}(k)$

\ln(1-p)=-\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {p^{k}}{k));0<p<1

missä

\sum \limits _{k=1}^{\infty }p_{Y}(k)=1

Moments

Satunnaismuuttujan momenttien generointifunktio on annettu kaavalla $Y\sim \mathrm {Log} (p)$

M_{Y}(t)={\frac {\ln \left[1-pe^{t}\right]}{\ln[1-p]}}

missä

\mathbb {E} [Y]=-{\frac {1}{\ln(1-p))){\frac {p}{1-p))

\mathrm {D} [Y]=-p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1- p)}}

Suhde muihin jakeluihin

Riippumattomien logaritmisten satunnaismuuttujien Poisson-summalla on negatiivinen binomijakauma . Antaa olla sarja riippumattomia identtisesti jakautuneita satunnaismuuttujia siten, että . Olkoon Poissonin satunnaismuuttuja. Sitten ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n))$ $X_{i}\sim \mathrm {Log} (p),\;i=1,2,\ldots$ $N\sim \mathrm {P} (\lambda )$

Y=\sum \limits _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {NB}

Sovellukset

Logaritminen jakauma kuvaa tyydyttävästi asteroidien kokojakaumaa aurinkokunnassa .

Todennäköisyysjakaumat
Diskreetti	Bernoulli Binomi Geometrinen hypergeometrinen Logaritminen Negatiivinen binomi Poisson Diskreetti univormu Multinomi
Ehdottomasti jatkuvaa	Beeta Weibulla Gamma- hypereksponentiaalinen Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormaali Normaali (Gaussin) Logistinen Nakagami Pareto Pearson puoliympyrän muotoinen jatkuva yhtenäinen Riisi Rayleigh Opiskelija Tracey - Vidoma Fisher Chi-neliö Eksponentiaalinen Varianssi-gamma Monimuuttuja normaali kopula