Sarjakuvapiirtäjä Shura

Schur-kerroin on ryhmän G toinen ryhmähomologia . Sen esitteli Isai Shur [1] projektiivisia esityksiä käsittelevässä työssään $H_{2}(G,\mathbb {Z} )$ .

Esimerkit ja ominaisuudet

Äärillisen ryhmän G Schur-kerroin on äärellinen Abelin ryhmä, jonka eksponentti jakaa ryhmän G järjestyksen. Jos G :n Sylow p - alaryhmä on syklinen jollekin p :lle, järjestys ei ole jaollinen p :llä . Erityisesti, jos kaikki G :n Sylow - p -alaryhmät ovat syklisiä, niin se on triviaali. ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {M} (G)}$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {M} (G)}$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {M} (G)}$

Esimerkiksi ei-Abelin ryhmän 6 Schur-kerroin on triviaaliryhmä , koska mikä tahansa Sylow-aliryhmä on syklinen. Alkeisasteen 16 Abelin ryhmän Schur-kerroin on luokkaa 64 oleva alkeis-Abelin ryhmä, mikä osoittaa, että kertoja voi olla tiukasti suurempi kuin itse ryhmä . Kvaternioniryhmän Schur-kerroin on triviaali, kun taas dihedraalisten 2-ryhmien Schur-kerroin on luokkaa 2.

Äärillisten yksinkertaisten ryhmien Schur-kertoimet määritellään äärellisille yksinkertaisille ryhmille . Vuorottelevien ja symmetristen ryhmien on viime aikoina kiinnitetty paljon huomiota.

Yhteys projektiivisiin esityksiin

Alkuperäinen syy kertojien tutkimiseen Schurille oli projektitiivisten esitysten luokitteluryhmiä, ja sen määritelmän nykyaikainen muotoilu on ryhmien toinenkohomologia . Projektiivinen esitys on hyvin samanlainen kuinryhmäesitys, paitsi että homomorfismin sijastatäysi lineaarinen ryhmä,homomorfismiprojektiiviseentäyslineaariseenotetaan. Toisin sanoen projektiivinen esitys on esitys modulothe center. $H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times })$ $\operaattorin nimi {GL} (n,\mathbb {C} )$ $\operatorname {PGL} (n,\mathbb {C} )$

Schur [1] [2] osoitti, että mihin tahansa äärelliseen ryhmään G liittyy vähintään yksi äärellinen ryhmä C , jota kutsutaan Schur -peiteeksi , ja jolla on ominaisuus, että mikä tahansa G :n projektiivinen esitys voidaan nostaa C :n tavalliseksi esitykseksi . Schur-päällyste tunnetaan myös peittoryhmänä . Schur -peitokset äärellisille yksinkertaisille ryhmille tunnetaan ja jokainen on esimerkki kvasiyksinkertaisesta ryhmästä . Täydellisen ryhmän Schur-peitto on määritelty yksiselitteisesti isomorfismiin asti, mutta yleisen äärellisen ryhmän Schur-peite on määritelty vain isoklinismiin asti .

Suhde keskuslaajennuksiin

Tällaisten peittoryhmien tutkiminen johtaa luonnollisesti keskus - ja varren jatkeiden tutkimukseen .

Ryhmän G keskeinen jatke on jatke

1\to K\to C\to G\to 1

jossa on ryhmän C keskustan alaryhmä . $K\leqslant Z(C)$

Ryhmän G varren jatke on jatke

1\to K\to C\to G\to 1

missä on keskuksen C leikkausalaryhmä ja ryhmän C johdettu alaryhmä . Tämä on rajoittavampi kuin keskusta [3] . $K\leqslant Z(C)\cap C'$

Jos ryhmä G on äärellinen ja huomioidaan vain varren laajennukset, niin tällaisella ryhmällä C on suurin koko , ja mille tahansa tämän kokoiselle ryhmälle C alaryhmä K on isomorfinen ryhmän G Schur-kertoimelle . Jos äärellinen ryhmä G on lisäksi täydellinen , niin C on ainutlaatuinen isomorfismiin asti ja on itse täydellinen. Tällaista ryhmää C kutsutaan usein ryhmän G universaaliksi täydelliseksi keskuslaajennukseksi tai peittoryhmäksi (koska se on topologian universaalin peittavuuden diskreetti analogi ). Jos äärellinen ryhmä G ei ole täydellinen, niin sen Schur-päällysteiden ryhmät (kaikki sellaiset maksimaaliset C:t) ovat vain isokliinisia [ .

Ryhmää kutsutaan myös lyhyemmin universaaliksi keskuslaajennukseksi , mutta huomaa, että suurinta keskuslaajennusta ei ole olemassa, koska ryhmän G ja Abelin ryhmän suora tulo muodostaa mielivaltaisen kokoisen ryhmän G keskuslaajennuksen .

Varren laajennuksilla on se mielenkiintoinen ominaisuus, että mikä tahansa ryhmän G generointijoukon nosto on C :n generoiva joukko . Jos ryhmä G määritellään vapaana ryhmänä F generaattoreiden joukossa ja normaali aliryhmä R generoidaan generaattoreiden linkkien avulla siten , että peittävä ryhmä voidaan esittää muodossa F , mutta pienemmällä normaalialaryhmällä S , eli . Koska G :n suhteet määräävät K :n alkiot , kun niitä pidetään osana C :tä , niiden on oltava voimassa . $G\cong F/R$ $C\cong F/S$ $S\leqslant [F,R]$

Itse asiassa, jos G on täydellinen, se riittää: C ≅ [ F , F ]/[ F , R ] ja M( G ) ≅ K ≅ R /[ F , R ]. Tämän yksinkertaisuuden vuoksi Aschbacherin artikkelin [4] kaltaiset esitykset käsittelevät ensin täydellistä tapausta. Schur-kertoimen yleinen tapaus on samanlainen, mutta huomio varmistaa, että laajennus on kantalaajennus rajoittamalla generoituun aliryhmään F : M( G ) ≅ ( R ∩ [ F , F ])/[ F , R ]. Nämä ovat kaikki hieman tuoreempia tuloksia Schurilta, joka tarjosi myös hyödyllisiä kriteerejä moninkertaisten laskemiseen selvemmin.

Suhde tehokkaisiin esityksiin

Kombinatorisessa ryhmäteoriassa ryhmiä kuvataan usein ryhmätehtävällä . Tärkeä aihe tällä matematiikan alueella on tehtävien, joissa on mahdollisimman vähän yhteyksiä, tutkiminen, kuten Baumslag-Solitaire-ryhmiä , joissa on yksi määrittävä suhde. Nämä ryhmät ovat äärettömiä ryhmiä, joissa on kaksi generaattoria ja yksi relaatio, ja Schreierin vanha tulos osoittaa, että mikä tahansa tehtävä, jossa on enemmän generaattoreita kuin suhteita, tuottaa äärettömän ryhmän. Sitten on mielenkiintoinen rajatapaus - kun äärellisillä ryhmillä on sama määrä generaattoreita ja suhteita, ja tässä tapauksessa he sanovat, että ryhmällä on nolla vika . Jotta ryhmällä olisi nollavirhe, ryhmällä on oltava triviaali Schur-kerroin, koska Schur-kerroingeneraattoreiden vähimmäismäärä on aina pienempi tai yhtä suuri kuin relaatioiden lukumäärän ja generaattoreiden lukumäärän välinen ero, mikä antaa negatiivisen virheen. . Tehokas ryhmä on ryhmä, jossa Schur-kerroin vaatii monta generaattoria [5] .

Hyvin tuore tutkimusaihe on löytää tehokkaita esityksiä kaikille äärellisille yksinkertaisille ryhmille triviaaleilla Schur-kertoimilla. Tällaiset esitykset ovat tavallaan mukavia, koska ne ovat yleensä lyhyitä, mutta vaikeita löytää ja niiden kanssa on vaikea työskennellä, koska ne sopivat huonosti standardimenetelmiin, kuten coset enumeration .

Suhde topologiaan

Topologiassa ryhmiä voidaan usein kuvata äärellisiksi ryhmämäärityksiksi , ja peruskysymys on laskea niiden täydellinen integraalihomologia . Erityisesti toisella homologialla on erityinen rooli, ja tämä sai Heinz Hopfin löytämään tehokkaan menetelmän sen laskemiseen. Hopfin artikkelissa [6] kuvattu menetelmä tunnetaan myös Hopfin integraalihomologiakaavana ja tämä kaava on identtinen äärellisen ryhmän Schur-kertoimen Schur-kaavan kanssa: $H_{n}(G,\mathbb {Z} )$

H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong (R\cap [F,F])/[F,R]

missä ja F on vapaa ryhmä . Sama kaava pätee myös, kun G on täydellinen ryhmä [7] . $G\cong F/R$

Ymmärtäminen, että nämä kaavat ovat itse asiassa samat, sai Samuel Eilenbergin ja Saunders MacLanen luomaan ryhmäkohomologian . Sen yleisessä merkityksessä

H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong {\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{* }

jossa tähti tarkoittaa algebrallisesti kaksoisryhmää. Lisäksi kun ryhmä G on äärellinen, kyseessä on luonnoton isomorfismi

{\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{*}\cong H^{2}(G,\mathbb {C } ^{\times }).

Hopfin kaava on yleistetty korkeampiin ulottuvuuksiin. Yhtä lähestymistapaa ja bibliografiaa varten katso Iveret, Grahn ja Van der Linden [8] . $H_{2}(G)$

Täydellinen ryhmä on ryhmä, jonka ensimmäinen integraalihomologia on nolla. Supertäydellinen ryhmä on ryhmä, kaksi ensimmäistä integraalista homologiaryhmää ovat nolla. Täydellisten rajallisten ryhmien Schur-pinnoitteet ovat supertäydellisiä. Asyklinen ryhmä on ryhmä, jossa kaikki pelkistyneet integraalihomologiat ovat nollia.

Sovellukset

Kommutatiivisen renkaan R toinen algebrallinen K-ryhmä K 2 ( R ) voidaan identifioida(äärettömien) alkeismatriisien ryhmän E ( R ) toiseen homologiaryhmään H 2 ( E ( R ), Z ). R :n elementtien kanssa [9] .

Katso myös

Melko yksinkertainen ryhmä

Millerin artikkeli [10] antaa toisen näkemyksen Schur-kertoimesta morfismin κ ytimenä: G ∧ G → G kommutaattorikartan generoima.

Muistiinpanot

↑ 12 Schur , 1904 .
↑ Schur, 1907 .
↑ Rotman, 1994 , s. 553.
↑ Aschbacher, 2000 , s. §33.
↑ Johnson ja Robertson 1979 , s. 275–289.
↑ Hopf, 1942 .
↑ Rosenberg, 1994 , s. Lauseet 4.1.3, 4.1.19.
↑ Everaert, Gran, Van der Linden, 2008 , s. 2231–67.
↑ Rosenberg, 1994 , s. Seuraus 4.2.10.
↑ Miller, 1952 .

Kirjallisuus

Michael Aschbacher. Äärillinen ryhmäteoria // 2. - Cambridge University Press , 2000. - V. 10 . - ISBN 978-0-521-78145-9 .
Heinz Hopf . Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe // Commentarii Mathematici Helvetici. - 1942. - T. 14 . — S. 257–309 . — ISSN 0010-2571 . - doi : 10.1007/BF02565622 .
David Lawrence Johnson, Edmund Frederick Robertson. Nollan puutteen äärelliset ryhmät // Homologinen ryhmäteoria / CTC Wall. - Cambridge University Press , 1979. - V. 36. - (London Mathematical Society Lecture Note Series). - ISBN 978-0-521-22729-2 .
Leonid Viktorovich Kuzmin. Schur-kertoja // Matematiikan tietosanakirja / Michiel Hazewinkel. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 1994. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Jonathan Rosenberg. Algebrallinen K-teoria ja sen sovellukset . - Springer-Verlag , 1994. - V. 147. - ( Matematiikan tutkinnon tekstit ). — ISBN 978-0-387-94248-3 .
Joseph J. Rotman. Johdatus ryhmäteoriaan. - Springer-Verlag , 1994. - ISBN 978-0-387-94285-8 .
Isai Schur . Uber die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen. (saksa) // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1904. - T. 127 . - S. 20-50 . — ISSN 0075-4102 .
Isai Schur . Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen. (saksa) // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1907. - T. 132 , no. 132 . — S. 85–137 . — ISSN 0075-4102 . - doi : 10.1515/crll.1907.132.85 .
Wilberd Van der Kallen. Katsaus: F. Rudolf Beyl ja Jürgen Tappe, Ryhmälaajennukset, esitykset ja Schur-kertoja // Bulletin of the American Mathematical Society . - 1984. - T. 10 . - S. 330-3 . - doi : 10.1090/s0273-0979-1984-15273-x .
James Wiegold. Schur-kerroin: alkeellinen lähestymistapa // Ryhmät–St. Andrews 1981 (St. Andrews, 1981). - Cambridge University Press , 1982. - V. 71. - S. 137-154. - (London Math. Soc. Lecture Note Ser.).
Claire Miller. Ryhmän toinen homologia // Proc. amer. Matematiikka. Soc .. - 1952. - V. 3 , no. 4 . — S. 588–595 . - doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0049191-5 .
Dennis RK Etsii uusia "Homologia"-funktioita, joilla on läheinen suhde K-teoriaan. - Cornellin yliopisto, 1976.
Brown R., Johnson DL, Robertson EF Jotkut ryhmien ei-abelin tensoritulojen laskelmat // J. Algebra. - 1987. - T. 111 . — S. 177–202 . - doi : 10.1016/0021-8693(87)90248-1 .
Ellis GJ, Leonard F. Finite groupin Schur-kertoimien ja tensoritulojen laskeminen // Proceedings of the Royal Irish Academy. - 1995. - T. 95A , no. 2 . — s. 137–147 . — ISSN 0035-8975 . — .
Ellis GJ Ryhmäparin Schur-kerroin // Appl. Kateg. Rakenne.. - 1998. - V. 6 , no. 3 . — S. 355–371 . - doi : 10.1023/A:1008652316165 .
Bettina Eick, Werner Nickel. Schur-kertoimen ja polysyklisen ryhmän nonabelin tensorineliön laskeminen // J. Algebra. - 2008. - T. 320 , no. 2 . — S. 927–944 . - doi : 10.1016/j.jalgebra.2008.02.041 .
Tomas Everaert, Marino Gran, Tim Van der Linden. Korkeammat Hopf-kaavat homologialle Galois'n teorian kautta // Adv. Math.. - 2008. - V. 217 , nro 5 . — S. 2231–67 . - doi : 10.1016/j.aim.2007.11.001 .