Parabolinen koordinaattijärjestelmä

Paraboliset koordinaatit ovat ortogonaalinen koordinaattijärjestelmä tasossa, jossa koordinaattiviivat ovat konfokaalisia paraboleja . Kolmiulotteinen versio tästä koordinaattijärjestelmästä saadaan kiertämällä paraabeleja symmetria-akselinsa ympäri.

Paraboliset koordinaatit ovat löytäneet lukuisia sovelluksia matemaattisessa fysiikassa, erityisesti Stark-ilmiön teoriassa ja potentiaalin lähellä kulmaa koskevassa ongelmassa.

Kaksiulotteiset paraboliset koordinaatit

Kaksiulotteiset paraboliset koordinaatit määritellään lausekkeilla $(\sigma ,\;\tau )$

$\left\{{\begin{matrix}x=\sigma \tau \\y={\frac {1}{2}}(\tau ^{2}-\sigma ^{2})\end {matriisi}}\oikea.$

Vakiopinnat ovat konfokaalisia paraboleja $\sigma$

2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}

laajenee ylöspäin (sädettä pitkin ), ja vakion pinnat ovat konfokaalisia paraboleja $+y$ $\tau$

2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}

laajenee alas (sädettä pitkin ). Kaikkien paraabelien polttopisteet sijaitsevat origossa. $-y$

Kaksiulotteisten koordinaattien differentiaaliominaisuudet

Parabolisten koordinaattien Lame-kertoimet ovat

H_{\sigma }=H_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2))}.

Joten alue-elementti on

dS=(\sigma ^{2}+\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau ,

ja laplalainen on

\Delta \Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \ sigma ^{2))}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2))}\right).

Muita differentiaalioperaattoreita voidaan löytää samalla tavalla korvaamalla Lamén kertoimet vastaavaan yleiskaavaan.

Kolmiulotteiset paraboliset koordinaatit

Kaksiulotteisten parabolisten koordinaattien perusteella muodostetaan kahdenlaisia kolmiulotteisia koordinaatteja. Ensin mainitut saadaan yksinkertaisella projektiolla akselin suuntaiselle tasolle ja niitä kutsutaan lieriömäisiksi parabolisiksi koordinaateiksi . $XY$ $z$

Toinen koordinaattijärjestelmä, jota kutsutaan myös "parabolisiksi koordinaateiksi", on rakennettu pyörimisparaboloidien perusteella, jotka saadaan kiertämällä paraboleja symmetria-akselinsa ympäri.

{\begin{cases}x=\sigma \tau \cos \varphi ,\\y=\sigma \tau \sin \varphi ,\\z={\dfrac {1}{2))(\tau ^{2}-\sigma ^{2}).\end{cases}}

Paraboloidien akseli osuu yhteen akselin kanssa , koska kierto tapahtuu sen ympäri. Atsimuuttikulma määritellään seuraavasti $z$ $\varphi$

\mathrm {tg} \,\varphi ={\frac {y}{x)).

Vakiopinnat ovat konfokaalisia paraboloideja $\sigma$

2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}

suunnattu ylöspäin (sädettä pitkin ), ja vakion pinnat ovat konfokaalisia paraboloideja ${\näyttötyyli +z}$ $\tau$

2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}

alaspäin (sädettä pitkin ). Kaikkien paraboloidien pesäkkeet sijaitsevat alkupisteessä. $-z$

Kolmiulotteisten koordinaattien differentiaaliominaisuudet

Lame kertoimet kolmiulotteisessa tapauksessa:

H_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2))},

H_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},

H_{\varphi }=\sigma \tau .

Kuten voidaan nähdä, kertoimet ja ovat samat kaksiulotteisen tapauksen kanssa. Volyymielementti on ${\displaystyle H_{\sigma ))$ $H_{\tau }$

dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\varphi }=\sigma \tau (\sigma ^{2}+\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi ,

ja laplalainen on

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2))}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\ frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\ frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^ {2}\tau ^{2))}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2))}.

Muita differentiaalioperaattoreita, kuten divergenssi tai curl , voidaan löytää samalla tavalla korvaamalla Lame-kertoimet vastaavaan yleiskaavaan.

Toisen tyypin Christoffel -symbolit:

\Gamma _{11}^{1}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{21}^{2}=-\Gamma _{22}^{1}={\ frac {\sigma }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},

\Gamma _{22}^{2}=\Gamma _{12}^{1}=\Gamma _{21}^{1}=-\Gamma _{11}^{2}={\ frac {\tau }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},

\Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}={\frac {1}{\tau )),\ \Gamma _{33}^{1}=- {\frac {\sigma \tau ^{2}}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},\ \Gamma _{33}^{2}=-{\frac {\sigma ^ {2}\tau }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},\ \Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac { 1}{\sigma )}.

Loput hahmot ovat nollia.

Käänteiset muunnokset

Siirtyminen karteesisista parabolisiin koordinaatteihin suoritetaan kaavojen mukaisesti: $(x,\;y,\;z)$ $(\eta ,\;\xi ,\;\varphi )$

{\begin{cases}\eta =-z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\xi =z+{\sqrt {x^ {2}+y^{2}+z^{2}}},\\\varphi =\mathrm {arctg} {\dfrac {y}{x}},\end{cases}}

jossa $\eta \geqslant 0,\quad \xi \geqslant 0.$

{\begin{vmatrix}d\eta \\d\xi \\d\varphi \end{vmatrix))={\begin{vmatrix}{\dfrac {x}{\sqrt {x^{2} +y^{2}+z^{2))))&{\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))&-1+ {\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))\\{\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^ {2}+z^{2))))&{\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))&1+{\dfrac {z} {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2))}&{\ dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}.

Kohteessa , saamme tason koordinaattien rajoituksen : $\varphi=0$ $XZ$

\eta =-z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}},

\xi =z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}.

Tasoviiva : $\eta =c$

z|_{\eta =c}={\frac {x^{2}}{2c}}-{\frac {c}{2}}.

Tämä on paraabeli , jonka painopiste joka tapauksessa sijaitsee origossa. $c$

Samoin, kun saamme $\xi =c$

z|_{\xi =c}={\frac {c}{2}}-{\frac {x^{2}}{2c}}.

Koordinaattiparaabelit leikkaavat pisteen

P:\left({\sqrt {bc)),\;{\frac {bc}{2}}\oikea).

Pari parabolas leikkaa kahdessa pisteessä, mutta , Piste sisältyy puolitasossa , Koska se vastaa . $\varphi=0$ $x>0$ $x<0$ $\varphi=\pi$

Etsi pisteen paraabelien tangenttien kulmat : $P$

{\frac {dz_{c}}{dx}}={\frac {x}{c}}={\frac {\sqrt {bc}}{c}}={\sqrt {\frac { b}{c}}}=s_{c},

{\frac {dz_{b}}{dx}}=-{\frac {x}{b}}={\frac {-{\sqrt {bc}}}{b}}=-{\ sqrt {\frac {c}{b}}}=s_{b};

s_{c}s_{b}=-{\sqrt {\frac {b}{c))}{\sqrt {\frac {c}{b))}=-1.

Koska kertoimien tulo on −1, paraabelit ovat kohtisuorassa leikkauspisteessä. Siten paraboliset koordinaatit ovat ortogonaalisia.

Pari määrittää koordinaatit puolitasossa. Kun 0:sta vaihdetaan puolitaso pyörii akselin ympäri , saadaan kierrosparaboloidit ja puolitasot koordinaattipinnoiksi. Vastakkaiset paraboloidit määrittelevät ympyrän ja magnitudi määrittelee puolitason, joka leikkaa ympyrän yhdessä pisteessä. Sen suorakulmaiset koordinaatit ovat: $(\xi ;\;\eta )$ $\varphi$ $2\pi$ $z$ $\varphi$

{\begin{cases}x={\sqrt {\xi \eta }}\cos \varphi ,\\y={\sqrt {\xi \eta }}\sin \varphi ,\\z={ \dfrac {1}{2}}(\xi -\eta ).\end{cases}}

{\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\xi }{ \eta ))}\cos \varphi &{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\eta }{\xi }}}\cos \varphi &-{\sqrt {\xi \eta }}\sin \varphi \\{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\xi }{\eta }}}\sin \varphi &{\dfrac {1}{2}}{ \sqrt {\dfrac {\eta }{\xi }}}\sin \varphi &{\sqrt {\xi \eta }}\cos \varphi \\-{\dfrac {1}{2}}&{\ dfrac {1}{2}}&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}d\eta \\d\xi \\d\varphi \end{vmatrix}}.

Ulkoiset linkit

Weisstein, Eric W. Parabolic Coordinates (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Koordinaattijärjestelmät
Koordinaattien nimi	Abskissa Ordinate Applikointi
Koordinaattijärjestelmien tyypit	Suoraviivainen koordinaattijärjestelmä Kaareva koordinaattijärjestelmä
2D koordinaatit	Kaksikulmaiset koordinaatit Kaksikeskiset koordinaatit Hyperboliset koordinaatit Polaarikoordinaatit Bipolaariset koordinaatit Paraboliset koordinaatit Elliptiset koordinaatit Tetrasykliset koordinaatit Trilineaariset koordinaatit
3D-koordinaatit	Sylinterimäiset koordinaatit Pallomaiset koordinaatit Bisfääriset koordinaatit Toroidaaliset koordinaatit Lieriömäiset paraboliset koordinaatit Kaksisylinteriset koordinaatit Ellipsoidiset koordinaatit Kartiokoordinaatit Pentasfääriset koordinaatit Dipolaarinen koordinaattijärjestelmä
$n$ -ulotteiset koordinaatit	Suorakulmaiset koordinaatit Affine koordinaatit Projektiiviset koordinaatit Plückerin koordinaatit barysentriset koordinaatit
Fyysiset koordinaatit	Rindlerin koordinaatit Syntymäkoordinaatit Taivaallinen koordinaattijärjestelmä Maantieteelliset koordinaatit Ortodrominen pääkoordinaattijärjestelmä
Aiheeseen liittyvät määritelmät	Koordinaattimenetelmä Alkuperä Koordinaattiakseli Vektori Orth viitejärjestelmä Vertailuarvo Huonot kertoimet Metrinen tensori