Pistejärjestys suhteessa käyrään

Matematiikassa pisteen indeksi eli pisteen järjestys suhteessa suljettuun käyrään tasossa on kokonaisluku , joka edustaa täydellisten kierrosten määrää, jonka käyrä tekee tietyn pisteen ympärillä vastapäivään [1] . Joskus puhutaan käyrän järjestyksestä pisteen suhteen. Indeksi riippuu käyrän suunnasta ja saa negatiivisen arvon , jos käyrää ajetaan myötäpäivään.

Käyriin liittyvät pisteindeksit ovat algebrallisen topologian perustutkimuskohteita , ja niillä on myös tärkeä rooli vektorianalyysissä , kompleksianalyysissä , geometrisessa topologiassa differentiaaligeometriassa ja fysiikassa , mukaan lukien merkkijonoteoriassa .

Intuitiivinen kuvaus

Olkoon xy -tasossa suljettu orientoitu käyrä . Voimme ajatella, että käyrä on kohteen reitti, ja käyrän suunta ilmaisee suunnan, johon kohde liikkuu. Tällöin pisteen indeksi suhteessa käyrään on yhtä suuri kuin kokonaisten vastapäivään kierrosten lukumäärä, jonka kohde tekee suhteessa havaintopisteeseen.

Kierroslukua laskettaessa vastapäivään liike lasketaan positiiviseksi, kun taas myötäpäivään liike negatiiviseksi. Jos objekti esimerkiksi kiertää katselupistettä neljä kertaa vastapäivään ja sitten kerran myötäpäivään, kokonaisindeksi on kolme.

Tässä kaaviossa käyrän, joka ei kulje havaintopisteen ympäri, indeksi on 0, kun taas myötäpäivään kulkeva käyrä antaa negatiivisen arvon. Siten pisteindeksi voi olla mikä tahansa kokonaisluku . Seuraavassa kuvassa on käyrät, joiden indeksit ovat välillä −2 ja 3:

$\cdots$
	−2	−1	0
				$\cdots$
	yksi	2	3

Muodollinen määritelmä

Käyrä xy -tasolla voidaan antaa parametriyhtälöillä :

x = x(t)\quad\text{and}\quad y=y(t)\qquad\text{for }0 \leq t \leq 1.

Jos ymmärrämme parametrin t ajan, nämä yhtälöt määräävät kohteen liikkeen tasossa välillä t = 0 ja t = 1. Tämän liikkeen polku on käyrä, jos funktiot x ( t ) ja y ( t ) ovat jatkuva . Tämä käyrä on suljettu, jos kohteen sijainti on sama hetkinä t = 0 ja t = 1.

Voimme määrittää pisteen indeksin tällaisen käyrän suhteen käyttämällä napakoordinaattijärjestelmää . Olettaen, että käyrä ei kulje havaintopisteen läpi, voimme kirjoittaa parametriset yhtälöt uudelleen:

r = r(t)

ja varten

\theta = \theta(t)

0 \leq t \leq 1.

Funktioiden r ( t ) ja θ ( t ) on oltava jatkuvia, kun r > 0. Koska aloitus- ja loppupisteet ovat samat, θ (0) ja θ (1) täytyy poiketa 2π :n kerrannaiselta . Tämä arvo on pisteindeksi:

pisteindeksi

= \frac{\theta(1) - \theta(0)}{2\pi}.

Tämä määritelmä antaa xy -tason origon indeksin . Koordinaatistoa muuttamalla tämä määritelmä voidaan laajentaa mihin tahansa havaintopisteeseen.

Muut määritelmät

Pisteindeksi määritellään usein eri tavoin matematiikan eri alueilla. Kaikki alla olevat määritelmät vastaavat yllä olevia:

Differentiaaligeometria

Differentiaaligeometriassa parametristen yhtälöiden oletetaan yleensä olevan differentioituvia (sileitä) (tai ainakin paloittain differentioituvia). Tässä tapauksessa napakoordinaatti θ liittyy suorakulmaisiin koordinaatteihin x ja y yhtälön avulla:

d\theta = \frac{1}{r^2} \left( x\,dy - y\,dx \right)

missä

r^2 = x^2 + y^2.

Newton-Leibnizin lauseen mukaan kokonaismuutos θ on yhtä suuri kuin integraali dθ . Siten pisteen indeksi suhteessa tasaiseen käyrään ilmaistaan kaarevana integraalina :

pisteindeksi

= \frac{1}{2\pi} \oint_C \,\frac{x}{r^2}\,dy - \frac{y}{r^2} \,dx.

Monimutkainen analyysi

Kompleksisessa analyysissä pisteen indeksi suljetun käyrän C suhteen kompleksitasossa voidaan ilmaista kompleksikoordinaateilla z = x + iy . Erityisesti, jos kirjoitamme z = re iθ , niin

dz=e^{i\theta }dr+ire^{i\theta }d\theta

ja siksi

\frac{dz}{z} \;=\; \frac{dr}{r} + i\,d\theta \;=\; d[ \ln r ] + i\,d\theta.

Integraaliosuus ln( r ) on nolla, joten integraali dz ⁄ z on yhtä suuri kuin i kertaa kokonaismuutos θ . Tällä tavalla,

pisteindeksi

= \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{dz}{z}.

Yleistäen minkä tahansa kompleksiluvun a indeksi saadaan kaavalla [2]

\frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{dz}{z - a}.

Tämä on kuuluisan Cauchyn integraalikaavan erikoistapaus . Piste-indekseillä on erittäin tärkeä rooli monimutkaisessa analyysissä (katso pääjäännöslauseen lause ).

Topologia

Topologiassa pisteen indeksi on vaihtoehtoinen käsite kartoitusasteelle [ 3] [4] [5] . Fysiikassa pisteindeksejä kutsutaan usein topologisiksi varauksiksi . Molemmissa tapauksissa käytetään samaa käsitettä.

Yllä olevalla esimerkillä pisteen ympäri kiertävästä käyrästä on yksinkertainen topologinen tulkinta. Tason pisteen komplementti on ympyrän homotopian vastine , joten ympyrän kuvaaminen itseensä on ainoa asia, joka on otettava huomioon. Voidaan osoittaa, että mikä tahansa tällainen kartoitus voidaan jatkuvasti muuttaa yhdeksi standardikuvaukseksi , jossa ympyrän tulo määritellään tunnistamalla ympyrä yksikkökompleksisella ympyrällä. Ympyrän topologiseen avaruuteen kartoittavien homotopialuokkien joukko muodostaa ryhmän, jota kutsutaan ensimmäiseksi homotopiaryhmäksi tai avaruuden perusryhmäksi . Ympyrän perusryhmä on kokonaislukujen ryhmä Z [6] . Pisteen indeksi kompleksiseen käyrään nähden on yksinkertaisesti homotopialuokka. $S^1 \to S^1 : s \mapsto s^n$

Kolmiulotteisen pallon kartoitus itseensä luokitellaan myös kokonaisluvulla, jota kutsutaan pisteindeksiksi tai joskus Pontryagin-luvuksi .

Monikulmiot

Monikulmioissa pisteen indeksi ilmaistaan polygonin tiheyteenä . Kuperille monikulmioille sekä yksinkertaisille monikulmioille (itsehajoaville) tiheys on 1 Jordanin lauseen mukaan . Vaikka säännöllisen tähtipolygonin { p / q } tiheys on q .

Kiertonumero

Voit harkita polun tangentin kierrosten määrää.

Kierrosluku määräytyy vain sileille (differentoiville) käyrille, joilla on tangentti missä tahansa pisteessä.

Tätä lukua kutsutaan kiertoluvuksi ja se voidaan laskea kiertokulmana jaettuna luvulla 2 π .

Pisteindeksi suhteessa käyrään ja Heisenbergin ferromagnetismin yhtälöön

Pisteindeksi liittyy läheisesti Heisenbergin ferromagnetismin (2 + 1)-ulotteisiin jatkuviin yhtälöihin ja niiden integroitaviin laajennuksiin — Ishimori-yhtälöön ym. Näiden yhtälöiden ratkaisut luokitellaan pisteindeksien tai topologisen varauksen mukaan ( topologinen invariantti ).

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Evgrafov M. A. Luku 1. Johdanto // Analyyttiset funktiot. - 3. - Moskova: Tiede. Ch. toim. Fys.-Math. lit., 1991. - s. 40. - ISBN 5-02-014200-X .
↑ Dieudonné, 1964 , jakso 9.8.2, s. 254-255.
↑ Seyferd G., Trefall W. § 78. Kartoitusaste // Topologia. - Izhevsk: Tutkimuskeskus "säännöllinen ja kaoottinen dynamiikka". - S. 361-362. — ISBN 5-93972-068-4 .
↑ Dold A. Luku 4 § 4. Mappausaste // Algebrallisen topologian luentoja. - M .: Mir, 1976. - S. 81. - ISBN 5-93972-068-4 .
↑ Viro, 2010 , 36'4x, s. 271.
↑ Viro, 2010 , 35.F, s. 265.

Kirjallisuus

Dieudonne J. Modernin analyysin perusteet. - M .: Mir, 1964.
O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Elementaarinen topologia. - MTSNMO, 2010. - ISBN 978-5-94057-587-0 .
Goryainov VV § 3. Hakemisto. Ketjut ja syklit // Luentokurssi kompleksisen muuttujan funktioiden teoriasta. - Volgograd: Volgograd State University Publishing House, 1998. - S. 61-62.

Linkit

Kääntönumero Arkistoitu 27. toukokuuta 2019 Wayback Machinessa PlanetMath- verkkosivustolla .