Hilbertin muunnos

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 27. marraskuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 9 muokkausta .

Hilbert-muunnos matematiikassa ja signaalinkäsittelyssä on lineaarinen operaattori , joka kuvaa reaalimuuttujan jokaisen funktion saman toimialueen funktioon konvoloimalla alkuperäisen funktion funktion kanssa . Fysiikassa nämä suhteet tunnetaan Kramers -Kronig-relaatioina , jotka yhdistävät järjestelmän kompleksisen vastefunktion imaginaariset ja todelliset osat. $u(t)$ $H(u)(t)$ $1/(\pi t)$

Määritelmä

Hilbert-muunnos määritellään seuraavasti (tässä vp tarkoittaa Cauchyn väärän integraalin pääarvoa ):

H(u)(t)={\frac {1}{\pi }}\operaattorinimi {vp} \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau ,

tai tarkemmin sanottuna:

H(u)(t)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int \limits _{\varepsilon }^{\infty }{\frac { u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,d\tau ={\frac {2}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int \ rajat _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{2\tau }}\,d\tau =H(\delta )(t) *u(t):=\delta(jt)*u(t).

Ominaisuudet

Hilbert-muunnoksen soveltamisen tulos kahdesti on alkuperäinen funktio päinvastaisella merkillä:

H{\big (}H(u){\big )}(t)=-u(t),

edellyttäen, että molemmat muunnokset ovat olemassa.

Hilbert-muunnos antaa funktion [1] suhteen ortogonaalisen funktion . ${\displaystyle H{\big (}u(t){\big )))$ $u(t)$

Suhde Fourier-muunnoksen kanssa

Hilbert-muunnos on kerroin spektrialueella.

{\mathcal {F}}{\big (}H(u){\big )}(\omega )=-i\operaattorinimi {sgn} (\omega )\cdot {\mathcal {F}}( u)(\omega ),

missä on muunnelma suorasta Fourier-muunnoksesta ilman normalisointitekijää. ${\mathcal {F}}(u)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }u(t)e^{-i\omega t}\,dt$

Käänteinen muunnos

H^{-1}=-H.

Jotkut Hilbertin muunnokset

Seuraavassa taulukossa taajuusparametri on reaaliluku. $\omega$

Signaali ${\näyttötyyli u(t)\,}$	Hilbertin muunnos $H(u)(t)$
vakio	0
$\sin \omega t$	$\operaattorinnimi {sgn}(\omega )\sin \left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2))\right)=-\operaattorin nimi {sgn}(\omega )\cos \omega t$
$\cos \omega t$	$\operaattorinnimi {sgn}(\omega )\cos \left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2))\right)=\operaattorin nimi {sgn}(\omega )\sin \omega t$
${\displaystyle e^{i\omega t))$	$\operaattorinimi {sgn}(\omega )e^{i\left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2))\right)}=-i\cdot \operaattorin nimi {sgn}(\ omega )e^{i\omega t}$
$1 \over t^{2}+1$	$t\over t^{2}+1$
$e^{-t^{2))$	$2\pi ^{-1/2}F(t)$ ( F ( t ) on Dawsonin integraali )
Sinc ${\frac {\sin t}{t))$	${\frac {1-\cos t}{t))$
Segmentin [ a , b ] ominaisfunktio ${\näyttötyyli \chi _{[a,b]}(t)}$	${{\frac {1}{\pi }}\ln \left\vert {\frac {ta}{tb}}\right\vert }$
Suorakaidefunktio (edellisen erikoistapaus) $\sqcap(t)$	${1 \over \pi }\ln \left\vert {t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}}\right\vert$
delta-toiminto ${\näyttötyyli \delta (t)}$	${1 \over \pi t}$

Geometrinen tunne

Jaksollisille eli yksikköympyrällä määritellyille funktioille Hilbertin muunnolla on tulkinta äärettömän ulottuvuuden homogeenisten avaruuksien geometrian suhteen . Nimittäin ympyrän suuntaa säilyttävien diffeomorfismien ryhmällä on osamääräavaruus rotaatioista (eli ympyrän suuntaa säilyttävistä isometrioista ) koostuvan alaryhmän suhteen . Sitä kutsutaan Kirillov -Juriev- avaruudeksi , ja sillä on homogeeninen monimutkainen rakenne. Siihen liittyvä tensori on Hilbertin muunnos. Todellakin, Kirillov-Jur'ev-avaruuden tangenttiavaruus on ympyrän vektorikenttien algebran osamäärä vakiovektorikenttien suhteen. Ympyrän tangenttikimppu on triviaali, joten vektorikentät voidaan tunnistaa -jaksollisilla funktioilla, jolloin vakiovektorikentistä tulee vakioita. Ympyrän funktioiden osamäärällä vakioissa Hilbert-muunnos todellakin toimii monimutkaisen rakenteen operaattorina (eli neliöoperaattorina ); sen oma aliavaruus ominaisarvolle (jota kutsutaan aliavaruudeksi Hodge-teoriassa ) on Hardy-avaruus - yksikkölevyn jatkuvien funktioiden raja-arvot, jotka ovat holomorfisia sen sisällä (toisin sanoen -jaksolliset funktiot, joiden kaikki nollasta poikkeavilla Fourier-harmonisilla on positiiviset luvut). $2\pi$ $\mathrm {Diff} ^{+}(S^{1})$ $\mathrm {Diff} ^{+}(S^{1})/\mathrm {U} (1)$ $2\pi$ $-\mathrm {Id}$ ${\sqrt {-1}}$ $(1.0)$ $2\pi$

Kirillov-Jur'ev-avaruus sallii nipun toisen äärettömän ulottuvuuden homogeenisen avaruuden päälle , joka on diffeomorfismiryhmän tekijä suhteessa (lineaaristen jakeiden) levymuunnosten Möbius-muunnoksen raja-arvoihin. On helppo nähdä, että tämän nipun kuidut ovat homogeenisia tiloja, jotka ovat biholomorfisia yksikkökiekkoihin nähden. Tämän nipun suosio A. G. Sergeev . $\mathrm {Diff} ^{+}(S^{1})/\mathrm {M{\ddot {o}}b} (S^{1})$ $\mathrm {M{\ddot {o}}b} (S^{1})/\mathrm {U} (1)$

Voit työskennellä myös käänteisesti. Toinen hyvin tunnettu esimerkki ympyräkimpusta, jonka pohjalla on luonnollinen monimutkainen rakenne, on Hopf-nippu . Pallon päällä oleva kartio voidaan tunnistaa kompleksista vektoriavaruudesta , josta on heitetty ulos nolla. Vastaavasti ryhmää voidaan laajentaa ryhmällä (sellainen laajennus on kartion restauroinnin algebrallinen analogi) siten, että tuloksena oleva ryhmä on rakenteeltaan äärettömän ulottuvuuden kompleksinen Lie-ryhmä. Lie-algebroiden tasolla tämän laajennuksen antaa Gelfand - Fuchs -kosykli , joka on kirjoitettu ympyrän funktioina muodossa . Vastaavaa ryhmää kutsutaan Virasora (joskus Botta -Virasora ) ryhmäksi ja sillä on perustavanlaatuinen merkitys merkkijonoteoriassa ja muissa konformisen kenttäteorian haaroissa . $S^{2n+1}\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n+1}$ $\mathrm {Diff} ^{+}(S^{1})$ $\mathbb {R} _{>0}$ $\omega (f,g)=\int _{S^{1}}\left|{\begin{matrix}f'&g'\\f''&g''\end{matrix}}\right |dx$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Grigoriev A. A. Luennot signaaliteoriasta S. 13. Käyttöpäivä: 21. kesäkuuta 2017. Arkistoitu 3. heinäkuuta 2014. (määrätön)

Integraalit muunnokset
Abel muunnos Bessel muuntuu Bushmanin muunnos Gegenbauerin muunnos Hilbertin muunnos Kontorovich-Lebedev muunnos Laplace-muunnos Meyerin muunnos Mehler-Fockin muunnos Mellinin muunnos Nerain muunnos Radonin muutos Stieltjes muunnos Fourier-muunnos Hankelin muunnos Hartley muunnos

David Hilbertin panos tieteeseen
tilat	Hilbertin avaruus Pre-Hilbertin tila Gilbert tiili
aksiomatiikka	Hilbertin aksiomaattinen
Lauseet	Hilbertin lause 90 Hilbertin peruslause Hilbertin nollalause Hilbert-Schmidtin lause
Operaattorit	Hilbertin muunnos Hilbert-Schmidt operaattori
Yleinen suhteellisuusteoria	Einstein-Hilbertin yhtälöt " Hilbert ja gravitaatiokenttäyhtälöt "
Muut	Hilbertin ongelmia Hilbertin käyrä Hilbertin matriisi Hilbert-Arnoldin ongelma Hilbert-sarja ja Hilbert-polynomi Paradoksi "Grand Hotel"