Surrealistisia lukuja

Surrealistiset luvut ( englanniksi surreal number ) - yleistys tavallisista reaaliluvuista ja äärettömistä järjestysluvuista . Niitä käytettiin ensimmäisen kerran englantilaisen matemaatikon John Conwayn teoksissa kuvaamaan useita peliteorian näkökohtia [1] .

Historia

Vuonna 1907 itävaltalainen matemaatikko Hans Hahn esitteli "Hahn-sarjan" muodollisten potenssisarjojen yleistyksenä , ja saksalainen matemaatikko Felix Hausdorff esitteli joitain järjestettyjä joukkoja, joita kutsutaan η α -joukoiksi α-järjestyksille ja kysyi, onko yhteensopiva tilatun ryhmän tai kenttärakenteen kanssa. Vuonna 1962 Norman Alling käytti Hahnin sarjan muunneltua muotoa tällaisten tiettyihin ordinaaleihin α liittyvien järjestettyjen kenttien rakentamiseen, ja kun α otetaan hänen konstruktionsa kaikkien ordinaaleiden luokaksi, saadaan luokka, joka on surrealististen lukujen kanssa isomorfinen järjestyskenttä [2] .

Yosen tutkiminen Go - pelissä johti John Conwayn uuteen surrealististen lukujen määritelmään ja rakentamiseen [3] . Conwayn mallia käytettiin Donald Knuthin vuoden 1974 kirjassa Surreal Numbers. Kirjassaan, joka on vuoropuhelun muotoinen, Knuth loi termin "surrealistiset luvut" sille, mitä Conway kutsui "pelkeiksi numeroiksi" [4] . Conway omaksui myöhemmin Knuthin termit ja käytti niitä vuoden 1976 kirjassaan Numbers and Games.

Conwayn ja Knuthin lisäksi matemaatikko Martin Kruskal antoi suuren panoksen surrealististen lukujen teoriaan . Tuolloin surrealistisilla luvuilla oli jo kaikki reaalilukujen perusominaisuudet ja operaatiot, ja ne sisälsivät kaikki reaaliluvut sekä monen tyyppiset äärettömyydet ja infinitesimaalit. Kruskal osallistui teorian perusteisiin: surrealististen funktioiden määrittelyyn ja niiden rakenteen analysointiin [5] . Hän löysi myös yhteyden surrealististen lukujen, asymptotiikan ja eksponentiaalisen asymptotiikan välillä. Tärkeä kysymys, jonka Conway, Kruskal ja Norton esittivät 1970-luvun lopulla ja jota Kruskal tutki erittäin sitkeästi, on, onko kaikilla surrealistisilla funktioilla määrätyt integraalit . Kostin, Friedman ja Erlich vastasivat tähän kysymykseen kieltävästi vuonna 2015 [6] . Kostinin ym. analyysi osoittaa kuitenkin, että melko laajalle surrealististen funktioiden luokalle on olemassa selvät integraalit, joihin Kruskalin ajatukset asymptoottisesta analyysistä soveltuvat .

Yleiskatsaus

Conwayn konstruktiossa [7] surrealistiset luvut rakennetaan vaiheittain. Surrealistiset luvut konstruoidaan samanaikaisesti binäärirelaation ⩽ kanssa. Lisäksi kahdelle surrealistiselle numerolle ja joko , tai . (Molemmat epäyhtälöt voivat olla voimassa samanaikaisesti, jolloin molemmat ovat ekvivalentteja ja merkitsevät samaa numeroa.) Luvut muodostetaan rakentamalla pari osajoukkoja jo muodostetuista luvuista: surrealististen lukujen osajoukkojen pari ja siten, että kaikki alkiot ovat tiukasti pienempiä kuin kaikki elementit , määrittelevät uuden luvun, jota merkitään , kun taas tämä luku on kaikkien elementtien ja alkioiden välissä. kaikki elementit . $a$ $b$ $a\leqslant {}b$ $b\leqslant {}a$ $a$ $b$ $L$ $R$ $L$ $R$ $\{L\mid {}R\}$ $L$ $R$

Eri jasaman luvun, vaikkamäärittäävoivatjaosajoukot voivat määrittää samat luvut: Siis tiukasti ottaen surrealistiset luvut ovat muodon esitysten ekvivalenssiluokkia suhteessa ekvivalenssisuhteeseen. $\{L\mid {}R\}$ $\{L'\mid {}R'\}$ $L\neq {}L'$ $R\neq {}R'$ ${\frac {1}{2))$ ${\frac {2}{4))$ $\{L\mid {}R\}$

Rakentamisen ensimmäisessä vaiheessa ei vielä ole numeroita, joten voit käyttää vain tyhjää joukkoa : . Tätä esitystä, jossa ja ovat tyhjiä, kutsutaan 0:ksi. Seuraavat vaiheet antavat muotoja, kuten: $\{\mid \}$ $L$ $R$

\{0\mid\}=1

\{1\mid\}=2

\{2\mid\}=3

yhtä hyvin kuin

\{\mid 0\}=-1

\{\mid -1\}=-2

\{\mid -2\}=-3

Näin ollen kokonaisluvut ovat surrealististen lukujen osajoukko. (Yllä olevat identiteetit ovat määritelmiä siinä mielessä, että oikea puoli on vasemman puolen nimi). Samalla tavalla voidaan muodostaa seuraavat luvut:

\{0\mid 1\}={\frac {1}{2))

\{0\mid {\frac {1}{2}}\}={\frac {1}{4}}

\{{\frac {1}{2}}\mid 1\}={\frac {3}{4}}

ja niin edelleen. Siten kaikki dyadiset rationaaliluvut (rationaaliluvut, joiden nimittäjät ovat luvun 2 potenssit) sisältyvät surrealistisiin lukuihin.

Äärettömän määrän vaiheita jälkeen saataville tulee äärettömiä osajoukkoja (tiukempi määritelmä edellyttää transfiniittisen induktion käsitettä ), joten mikä tahansa reaaliluku a voidaan esittää kaavalla , jossa on kaikkien dyadisten rationaalilukujen joukko pienempi kuin , ja on kaikkien dyadisten rationaalilukujen joukko, suuri (samanlainen kuin Dedekind-osio ). Siten surrealististen lukujen luokassa voidaan rakentaa myös reaalilukuja. $\{L_{a}\mid {}R_{a}\}$ ${\näyttötyyli L_{a))$ $a$ $R_{a}$ $a$

Näkymiä on myös mm

\{0,1,2,3,\ldots \mid \}=\omega

\{0\mid 1,{\frac {1}{2)),{\frac {1}{4)),{\frac {1}{8)),\ldots \}=\varepsilon

jossa on äärellinen luku , joka on suurempi kuin kaikki kokonaisluvut, ja on äärettömän pieni, suurempi kuin 0, mutta pienempi kuin mikä tahansa positiivinen reaaliluku ( hyperreaaliluku ). Lisäksi standardiaritmeettiset operaatiot (yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku) voidaan laajentaa koskemaan näitä ei-reaalilukuja tavalla, joka muuttaa surrealististen lukujen joukon järjestykseen kenttään, jotta voidaan puhua jne . $\omega$ $\varepsilon$ $2\omega$ $\omega-1$

Rakentaminen

Surrealistiset luvut muodostetaan induktiivisesti surrealististen lukujen parien ekvivalenssiluokiksi, joita rajoittaa ehto, että ensimmäisen joukon jokaisen elementin on oltava pienempi kuin minkä tahansa toisen joukon alkio. Rakenne koostuu kolmesta toisistaan riippuvaisesta osasta: rakentamissäännöt, vertailusäännöt ja vastaavuussäännöt.

Lomakkeet

Surrealistisen luvun muoto on surrealististen lukujen pari, jota kutsutaan sen vasemman ja oikean joukoksi. Muoto, jossa on vasen joukko L ja oikea joukko R , kirjoitetaan muodossa { L | R }. Kun L ja R annetaan elementtiluetteloina, niiden ympärillä olevat sulut voidaan jättää pois. Toinen tai molemmat muotojoukot voivat olla tyhjiä. Lomake {{} | {}} vasemmalla ja oikealla tyhjällä joukolla kirjoitetaan { | }.

Numerolomakkeet

Suunnittelusääntö

Lomake { L | R } on numeerinen, jos L: n ja R :n leikkauspiste on tyhjä joukko ja mikä tahansa R :n alkio on suurempi kuin mikä tahansa L :n alkio , alla olevan säännön antaman järjestyssuhteen ⩽ mukaisesti.

Numeromuodon ekvivalenssiluokat

Numeeriset muodot sijaitsevat ekvivalenssiluokissa; jokainen ekvivalenssiluokka on surrealistinen luku. Muodon vasemman ja oikean joukon elementit on otettu juuri surrealististen lukujen (ei muotojen, vaan ekvivalenssiluokkien) universumista [8] .

Ekvivalenssisääntö

Kaksi numeerista muotoa x ja y ovat saman luvun muotoja (ovat samassa ekvivalenssiluokassa) jos ja vain jos x ⩽ y ja y ⩽ x .

Suhteen ⩽ määritelmä annetaan alla.

Toisin sanoen järjestysrelaatio on antisymmetrinen , eli lausekkeen x = y (eli x ⩽ y ja y ⩽ x ovat molemmat tosi) täytyy olla tosi vain silloin, kun x ja y ovat sama kohde. Tämä ei koske surrealistisia lukumuotoja, mutta se pätee surrealistisiin lukuihin (ekvivalenssiluokkiin).

Ekvivalenssiluokka, johon { | } kutsutaan 0; myös { | } on surrealistisen luvun 0 muoto.

Tilaa

Surrealististen muotojen järjestyksen rekursiivinen määritelmä annetaan seuraavasti:

Olkoon numeeriset muodot x = { X L | X R } ja y = { Y L | Y R }, sitten x ≤ y jos ja vain jos:

ei ole olemassa x L ∈ X L niin, että y ⩽ x L (jokainen vasemmassa joukossa x on pienempi kuin y ), ja
ei ole olemassa y R ∈ Y R niin, että y R ⩽ x (jokainen oikean joukon y alkio on suurempi kuin x ).

Vertailu y ⩽ c muodolle y ja surrealistiselle luvulle c määritetään valitsemalla mikä tahansa muoto z ekvivalenssiluokasta c ja tarkistamalla y ⩽ z ; samoin c ⩽ x :lle ja kahden surrealistisen luvun b ⩽ c vertailulle .

Induktio

Tämä määritelmäryhmä on rekursiivinen ja vaatii jonkin verran matemaattista induktiota niissä esiintyvien objektien (muotojen ja numeroiden) universumin määrittelemiseksi. Ainoat surrealistiset luvut, jotka saavutetaan "äärellisen induktion" avulla, ovat binääriset rationaaliluvut . Laajempi universumi on saavutettavissa käyttämällä transfiniittistä induktiota .

Induktiosääntö

On olemassa S 0 = {0}, jossa 0 on ekvivalenssiluokka, joka koostuu ainoasta muodosta { | }.
Jokaiselle järjestysluvulle n on S n - kaikkien surrealististen lukujen joukko, joka voidaan saada soveltamalla rakennussääntöä kaikkiin luvun osajoukkoon . ${\displaystyle \cup _{i<n}S_{i))$

Peruskirjain on itse asiassa induktiosäännön erikoistapaus, jossa 0 on "pienimmän järjestysluvun" nimike. Koska ei ole S i :tä , jossa i < 0, lauseke on tyhjä joukko; tyhjän joukon ainoa osajoukko on tyhjä joukko, joten S 0 koostuu ainoasta surrealistisesta muodosta { | } ekvivalenssiluokasta 0. ${\displaystyle \cup _{i<0}S_{i))$

Jokaiselle äärelliselle järjestysluvulle n joukko on surrealististen lukujen vertailun kannalta hyvin järjestetty. $S_{n}$

Ensimmäinen induktiosäännön soveltaminen tuottaa kolme numeerista muotoa { | 0 } < { | } < { 0 | } (Muoto { 0 | 0 } ei ole numeerinen, koska 0 ⩽ 0). Ekvivalenssiluokka, joka sisältää { 0 | } on merkitty 1:llä ja ekvivalenssiluokka, joka sisältää { | 0}, merkitty −1. Näillä kolmella merkinnällä on erityinen merkitys renkaan määrittävissä aksioomeissa – ne ovat yhteenlaskuneutraali (0), kertolaskuneutraali (1) ja käänteissumma 1:een (−1). Alla määritellyt aritmeettiset operaatiot ovat yhdenmukaisia näiden nimien kanssa.

Jokaisella i < n :n sisältämät luvut sisältyvät myös (niiden esitysten superjoukkoon muodossa ) (Ehdollista lauseketta kaikkien edellisten liitolle käytetään rakennussäännössämme yksinkertaisemman muodon sijaan , joten määritelmä ja tämä ominaisuus ovat myös järkeviä, kun n on rajajärjestys ). Lukujen, jotka ovat jonkin luvun yläjoukkoa, sanotaan olevan "peritty sukupolvelta i ". Pienintä α:n arvoa, jossa tietty surrealistinen luku esiintyy, kutsutaan sen "syntymäpäiväksi" . Esimerkiksi syntymäpäivä 0 on 0 ja syntymäpäivä −1 on 1. $Si}$ $S_{n}$ $Si}$ $S_{{n-1}}$ $S_{n}$ $Si}$ ${\displaystyle S_{\alpha ))$

Rakennussäännön toinen iteraatio antaa seuraavan ekvivalenssiluokkien järjestyksen:

{ | -1 } = { | −1, 0 } = { | −1, 1 } = { | −1, 0, 1}

< { | 0 } = { | 0, 1} < { −1 | 0 } = { −1 | 0, 1} < { | } = { −1 | } = { | 1 } = { −1 | yksi } < { 0 | 1 } = { −1, 0 | yksi } < { 0 | } = { −1, 0 | } < { 1 | } = { 0, 1 | } = { −1, 1 | } = { −1, 0, 1 | }.

Näiden vastaavuusluokkien vertailu on johdonmukaista muodon valinnasta riippumatta. Voidaan nähdä, että:

Mukana on neljä uutta surrealistista numeroa. Kaksi niistä sisältää "äärimmäisiä" muotoja: { | −1, 0, 1 }, joka sisältää kaikki edellisten sukupolvien luvut oikeassa joukossaan, ja { −1, 0, 1 | } - vasemmassa joukossa. Toisilla on muoto, joka jakaa kaikki edellisten sukupolvien luvut kahteen ei-tyhjään joukkoon. $S_{2}$
Jokainen surrealistinen luku x , joka oli olemassa edellisessä "sukupolvessa" on olemassa myös tässä sukupolvessa ja saa ainakin yhden uuden muodon: kaikkien muiden lukujen kuin x jakaminen edellisistä sukupolvista vasempaan joukkoon (kaikki luvut pienempiä kuin x ) ja oikea joukko (kaikki luvut ovat suurempia kuin x ).
Luvun ekvivalenssiluokka riippuu vain sen vasemman joukon maksimialkiosta ja oikean joukon minimialkiosta.

Epäviralliset tulkinnat { 1 | } ja { | −1 } — ”numero välittömästi 1:n jälkeen” ja ”numero ennen −1”; niiden ekvivalenssiluokat on merkitty 2 ja −2. Epäviralliset tulkinnat { 0 | 1 } ja { −1 | 0 } on "luku puolivälissä välillä 0 ja 1" ja "luku puolivälissä välillä −1 ja 0", vastaavasti; Niiden ekvivalenssiluokat on merkitty 1/2 ja −1/2. Nämä merkinnät ovat myös johdonmukaisia alla olevien surrealististen yhteen- ja kertolaskujen määritelmien kanssa.

Ekvivalenssiluokkaa jokaisessa vaiheessa n voidaan luonnehtia sen n - täydellisellä muodolla (joka sisältää mahdollisimman monta elementtiä vasemmassa ja oikeassa joukossaan). Joko tämä täysi muoto sisältää kaikki aiempien sukupolvien luvut, jolloin se on ensimmäinen sukupolvi, jossa tämä numero esiintyy, tai se sisältää kaikki edellisten sukupolvien luvut yhtä lukuun ottamatta, jolloin se on saman luvun uusi muoto . Säilytämme edellisen sukupolven merkinnät näille "vanhoille" numeroille ja kirjoitamme järjestyksen edelleen vanhaa ja uutta merkintää käyttäen:

−2 < −1 < −1/2 < 0 < 1/2 < 1 < 2.

Kolmas havainto ulottuu kaikkiin surrealistisiin lukuihin, joissa on äärellinen vasen ja oikea joukko. (Tämä pätee äärettömälle vasemmalle tai oikealle joukolle muunnetussa muodossa, koska äärettömät joukot eivät välttämättä sisällä maksimi- tai minimielementtiä.) Luku {1, 2 | 5, 8} on siis yhtä suuri kuin {2 | 5}; Voidaan määrittää, että ne ovat lomakkeita 3, käyttämällä alla kuvattua syntymäpäiväominaisuutta, joka on seuraus yllä olevista säännöistä.

syntymäpäivä omaisuutta

Muoto x = { L | Sukupolvessa n esiintyvä R } edustaa aiemmalta sukupolvelta perittyä lukua, jos ja vain jos S i : ssä on jokin luku i < n :lle, joka on suurempi kuin kaikki L: n alkiot ja pienempi kuin kaikki R :n alkiot . (Toisin sanoen, jos L ja R erotetaan aiemmin luodulla luvulla, niin x ei ole uusi luku, vaan se on jo rakennettu.) Jos x edustaa lukua mistä tahansa sukupolvesta ennen n :ää, niin pienin tällainen sukupolvi on olemassa. i ja vähintään yksi numero y hyvää syntymäpäivää i , L: n ja R :n välissä . x on tämän luvun y muoto, toisin sanoen se sijaitsee S n :n ekvivalenssiluokassa , joka on esityksen y superjoukko sukupolvessa i .

Aritmetiikka

Surrealististen lukujen yhteenlasku , käänteinen ( laskennan käänteisluku ), kertolasku ja käänteinen (kertolasku) muodoilla x = { X L | X R } ja y = { Y L | Y R } määritellään neljällä rekursiivisella kaavalla

Lisäys

Lisäämisen määritelmä saadaan rekursiivisella kaavalla: , missä $x+y=\{X_{L}|X_{R}\}+\{Y_{L}|Y_{R}\}=\{X_{L}+y,x+Y_{L} |X_{R}+y,x+Y_{R}\}$

${\displaystyle X+y=\{x+y:x\in X\},x+Y=\{x+y:y\in Y\))$

Tämä kaava toimii toiminnolla, jossa lisätään yksi lomakkeista numeroihin, jotka on otettu yhdestä toisen lomakkeen joukosta. Tämä tulisi ymmärtää sellaisen operaation tuloksena missä tahansa numeroekvivalenssiluokasta otetussa muodossa. Tämä on tietysti järkevää vain, jos tällaisen toimenpiteen tulos ei riipu tietyn numeroekvivalenssiluokan edustajan valinnasta. Tämä voidaan todistaa induktiivisesti kolmen väitteen perusteella:

0 + 0 = { | } + { | } = { | } = 0 x + 0 = x + { | } = { X L + 0 | X R + 0 } = { X L | X R } = x 0 + y = { | } + y = { 0 + Y L | 0 + YR } = { Y L | Y R } = y

(Kaksi viimeistä väitettä itse todistetaan induktiivisesti ensimmäisen kautta, joten itse asiassa induktion perusta pelkistyy ensimmäiseen lauseeseen)

Vastakkainen numero

Vastakkainen luku x = { X L | XR } on määritelty:

${\displaystyle -x=-\{X_{L}|X_{R}\}=\{-X_{R}|-X_{L}\))$

jossa lukujoukon S vastakohta määritellään S:n vastakkaisten alkioiden joukoksi:

${\displaystyle -S=\{-s:s\in S\))$

Kuten edellisessä, tässä ei oteta muotojen, vaan numeroiden vastakohtaa, ja todiste siitä, että vastakkainen luku ei riipu muodon valinnasta, suoritetaan induktiivisesti kantalla:

-0 = - { | } = { | } = 0.

Lisäksi emme enää mainitse hienouksia, jotka liittyvät tarpeeseen valita numeroekvivalenssiluokan edustaja.

Kertominen

Tässä kaavassa on lausekkeita, jotka sisältävät operaation ja joukon, kuten . Tämä tulee ymmärtää joukona, joka koostuu kaikista mahdollisista näiden operaatioiden tulosten laskemistuloksista, kun otetaan yksi elementti jokaisesta lausekkeen joukosta, ja jos elementti otetaan lausekkeen yhdessä osassa joukosta, niin Saman lausekkeen toisen osan samasta joukosta tulee olla sama elementti. ${\displaystyle X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R))$ ${\begin{aligned}xy&=\{X_{L}|X_{R}\}\{Y_{L}|Y_{R}\}=\\&=\left\{X_{L} y+xY_{L}-X_{L}Y_{L},X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R}|X_{L}y+xY_{R}-X_{L }Y_{R},xY_{L}+X_{R}y-X_{R}Y_{L}\oikea\}\\\end{tasattu}}$

Valitus

Kertolaskun käänteisluvun ottaminen luvuksi määritellään seuraavasti: $y$

${\frac {1}{y}}={\Bigg \{}0,{\frac {1+(y_{R}-y)({\frac {1}{y}})_{ L}}{y_{R}}},{\frac {1+(y_{L}-y)({\frac {1}{y}})_{R}}{y_{L}}}{ \Bigg |}{\frac {1+(y_{L}-y)({\frac {1}{y)))_{L}}{y_{L}}},{\frac {1+( y_{R}-y)({\frac {1}{y)))_{R}}{y_{R}}}{\Bigg \}}$ positiiviselle , ja tässä kaavassa käytetään vain positiivisia termejä (loput jätetään huomioimatta), mutta ne ovat aina positiivisia. $y$ $y_{L}$ ${\displaystyle y_{R))$

Huomaa, että tämä lauseke, joka määrittelee , käyttää sekä saman numeron vasemman että oikean joukon elementtejä . Itse asiassa määritelmä on induktiivinen: jokaisessa uudessa vaiheessa vasempaan ja oikeaan joukkoon lisätään uusia elementtejä jo lisättyjen perusteella. [7] :21 Tämä on aivan luonnollista, jos muistamme, että vain dyadiset rationaaliluvut voivat kulua loppuun äärellisillä joukoilla. ${\frac {1}{y))$ $\left({\tfrac {1}{y}}\right)_{L}$ $\left({\tfrac {1}{y}}\right)_{R}$ ${\frac {1}{y))$

Negatiiviselle käänteisarvo määritellään seuraavasti: . $y$ ${\frac {1}{y}}=-\left({\frac {1}{-y}}\right)$

Jos , niin käänteistä kertolaskua ei ole määritetty sille. $y = 0$

Johdonmukaisuus

Voidaan osoittaa, että yhteen-, vähennys- ja kertolaskujen määritelmät ovat yhdenmukaisia siinä mielessä, että:

yhteen- ja vähennyslasku määritellään rekursiivisesti "yksinkertaisemmilla" yhteen- ja vähennyslaskuilla, joten operaatiot lukuille, joilla on syntymäpäivä n , voidaan ilmaista täysin summina ja eroina lukujen, joiden syntymäpäivät ovat pienempiä kuin n;
kertolasku määritellään rekursiivisesti yhteen-, vähennys- ja "yksinkertaisempien" kertolaskujen avulla, jotta lukujen tulot, joiden syntymäpäivä on n , voidaan ilmaista täysin summina ja tuloina lukujen, joiden syntymäpäivät ovat pienempiä kuin n;
jos operandit ovat surrealististen lukujen oikeita muotoja (jokainen oikean joukon alkio on pienempi kuin mikä tahansa oikean joukon alkio), tuloksena tulee myös surrealistisen luvun oikea muoto;
kaikki operaatiot voidaan laajentaa lukuihin (muotoekvivalenssiluokkiin): lukujen x ja y yhteen-, vähennys- tai kertolaskutulos edustaa samaa lukua riippumatta muodon x, y valinnasta;
nämä operaatiot täyttävät kentän aksioomat: assosiatiivisuuden, kommutatiivisuuden, vastakkaisen elementin ja distributiivisuuden aksioomat, neutraalilla alkiolla summalla 0 = { | } ja neutraali alkio kertomalla 1 = { 0 | }.

Edellä olevan perusteella voidaan varmistaa, että ensimmäisten sukupolvien aikana löydetyt numerot on nimetty oikein. Induktiosäännön käyttöä voidaan jatkaa saadakseen lisää sukupolvia surrealistisia lukuja:

S 0 = { 0 } S 1 = { −1 < 0 < 1 } S 2 = { −2 < −1 < − 1/2 < 0 < 1/2 < 1 < 2 } S 3 = { -3 < -2 < - 3 / 2 < -1 < - 3 / 4 < - 1 / 2 < - 1 / 4 < 0 < 1 / 4 < 1 / 2 < 3 / 4 < 1 < 3 / 2 < 2 < 3 } S 4 = { -4 < -3 < ... < - 1 / 8 < 0 < 1 / 8 < 1 / 4 < 3 / 8 < 1 / 2 < 5 / 8 < 3 / 4 < 7 / 8 < 1 < 5 / 4 < 3 / 2 < 7 / 4 < 2 < 5 / 2 < 3 < 4 }

Aritmeettinen sulkeminen

Minkä tahansa luonnollisen luvun (äärellisen järjestyksen ) kohdalla kaikki S n :n luvut ovat dyadisia rationaalisia, eli ne voidaan kirjoittaa muodon pelkistymättömäksi murto-osaksi, jossa a ja b ovat kokonaislukuja ja 0 ≤ b < n . ${\displaystyle {\frac {a}{2^{b))))$

Kaikkien surrealististen lukujen joukko, jotka esiintyvät jossakin S n :ssä, jossa on äärellinen n , voidaan merkitä muodossa S * = . On mahdollista muodostaa kolme joukkoa S 0 = { 0 }, S + = ja S − = , joiden liitto on S * . Mikään S n ei ole itse suljettu yhteen- ja kertolaskussa (paitsi S 0 ), mutta S * on; on rationaalilukujen osajoukko, joka sisältää kaikki dyadiset rationaaliluvut. $\cup _{n\in N}S_{n}$ ${x\in S_{*}:x>0}$ ${x\in S_{*}:x<0}$

Järjestyslukuja β on äärettömän monta siten, että surrealististen lukujen joukko, joiden syntymäpäivä on pienempi kuin β, on suljettu aritmeettisissa operaatioissa. [9] Jokaiselle järjestysluvulle α surrealististen lukujen joukko, joiden syntymäpäivä on β = ω α , suljetaan yhteenlaskussa ja muodostaa ryhmän; hyvää syntymäpäivää alle ω ω α sulkeutuu kertolaskussa ja muodostaa renkaan [10] ; ja hyvää syntymäpäivää pienempi kuin luku epsilon ε α on suljettu suhteessa käänteiseen ja muodostaa kentän. Jälkimmäiset ovat myös suljettuja Kruskalin ja Gonchorin esittelemän eksponentiaalisen funktion alle. [9] [11] :ch. 10 [9]

Aina on kuitenkin mahdollista rakentaa surrealistinen luku, joka on suurempi kuin mikä tahansa joukon alkio (lisäämällä joukko konstruktorin vasemmalle puolelle), joten kaikkien surrealististen lukujen joukko on oma luokkansa . Yhdessä järjestyksen ja algebrallisten operaatioiden kanssa ne muodostavat järjestetyn kentän sillä varauksella, että ne eivät muodosta joukkoa. Itse asiassa se on hyvin erikoistilattu kenttä: suurin. Mikä tahansa muu järjestetty kenttä voidaan upottaa surrealistisiin lukuihin. Kaikkien surrealististen lukujen luokka on merkitty . $\mathbf {ei}$

Infinity

Määritellään S ω kaikkien surrealististen lukujen joukoksi, jotka on saatu S * :n osajoukkoja käyttämällä konstruointisäännöllä . (Tämä on sama induktioaskel kuin aiemmin, ja järjestysluku ω on pienin järjestysluku, joka on suurempi kuin kaikki luonnolliset luvut; induktioaskeleen joukkojen liitto on nyt äärellisten joukkojen liitto, ja tällainen askel voidaan tehdä vain joukkoteoriassa, joka sallii sen). Ainutlaatuinen, verrattuna kaikkeen, mikä oli ennen, äärettömän suuri positiivinen luku osoittautuu S ω :ssä:

\omega =\{S_{*}|\}=\{1,2,3,4,...|\}.

S ω sisältää myös objekteja, jotka ovat rationaalilukuja . Esimerkiksi 1/3 :n ω-täydellinen muoto on :

{\tfrac {1}{3}}=\{y\in S_{*}:3v<1\mid y\in S_{*}:3v>1\}

Tämän muodon tulo 1/3 minkä tahansa muodon 3 kanssa on muoto, jonka vasen joukko sisältää vain numeroita, jotka ovat pienempiä kuin 1 ja jonka oikea joukko sisältää vain numeroita, jotka ovat suurempia kuin 1; ja syntymäpäiväominaisuudesta seuraa, että tämä tuote on silloin luvun 1 muoto.

Kaikki muut rationaaliset luvut eivät ainoastaan näy S ω :ssä ; myös kaikki puuttuvat reaaliluvut . Esimerkiksi,

\pi =\{3,{\frac {25}{8)),{\frac {201}{64)),...|4,{\frac {7}{2)),{ \frac {13}{4)),{\frac {51}{16}},...\}

Näiden konstruktien ja Dedekind-osien välillä on tietty yhteys . Conway kuvaa periaatteessa kaikkia surrealististen lukujen konstruktioita yleistyksenä Dedekind-osien ideasta. [12]

S ω :n ainoat äärettömät ovat ω ja −ω; mutta S ω :ssä on muita virheellisiä lukuja, jotka ovat todellisten lukujen "välissä". Tarkastellaan S ω : n pienintä positiivista lukua :

\varepsilon =\{S_{-}\cup S_{0}|S_{+}\}=\{0|1,{\tfrac {1}{2)),{\tfrac {1}{ 4)),{\tfrac {1}{8}},...\}=\{0|y\in S_{*}:y>0\}

Tämä luku on suurempi kuin nolla, mutta pienempi kuin kaikki binaariset rationaaliluvut. Tämä tarkoittaa, että se on äärettömän pieni luku , jota usein merkitään ε:llä. ε:n ω-täydellinen muoto (vastaavasti -ε) on sama kuin 0:n ω-täydellinen muoto, paitsi että 0 sisältyy vasempaan (vastaavasti oikeaan) joukkoon. Ainoat "todelliset" infinitesimaalit S ω :ssä ovat ε ja sen vastakohta lisäksi -ε; niiden summa minkä tahansa dyadisen rationaaliluvun y kanssa muodostaa luvut y ± ε, jotka myös sisältyvät S ω :ään .

Voit selvittää ω:n ja ε:n välisen suhteen kertomalla tietyt muodot ja saamalla:

ω · ε = { ε · S + | ω · S + + S * + ε · S * }.

Tämä lauseke on määritelty vain joukkoteoriassa, joka sallii transfiniittisen induktion . Tällaisessa järjestelmässä voidaan osoittaa, että kaikki vasemman joukon alkiot ω ε ovat positiivisia äärettömän pieniä lukuja ja oikean joukon kaikki alkiot ovat positiivisia äärettömän suuria lukuja, ja silloin ω ε:n on oltava vanhin positiivinen luku, eli 1. Siksi $S_{\omega ^{2}}$

1 / e = ω.

Jotkut kirjoittajat käyttävät systemaattisesti arvoa ω −1 symbolin ε sijasta.

Sisältö S ω

Mille tahansa x = { L | R } S ω :ssä täsmälleen yksi seuraavista on tosi:

L ja R ovat molemmat tyhjiä, tässä tapauksessa x = 0;
R on tyhjä ja jokin kokonaisluku n ≥0 on suurempi kuin mikä tahansa luku L :ssä, jolloin x on yhtä suuri kuin pienin tällainen luku n ;
R on tyhjä, eikä L :ssä ole yhtään kokonaislukua n suurempaa kuin mikä tahansa luku , jolloin x on +ω;
L on tyhjä ja jokin kokonaisluku n ≤0 on pienempi kuin mikä tahansa luku R :ssä, jolloin x on yhtä suuri kuin suurin tällainen luku n ;
L on tyhjä, eikä R :ssä ole yhtään kokonaislukua n pienempiä kuin mikä tahansa luku , jolloin x on −ω;
L ja R ovat molemmat ei-tyhjiä ja:
- jotkut dyadiset rationaaliluvut y ovat tiukasti L: n ja R :n välillä (suurempia kuin kaikki L: n alkiot ja pienempiä kuin kaikki R :n alkiot ), jolloin x on yhtä suuri kuin vanhin tällainen dyadinen rationaaliluku y ;
- ei ole olemassa dyadisia rationaalilukuja y , jotka ovat tiukasti L: n ja R :n välillä , mutta jokin dyadinen rationaaliluku on suurempi tai yhtä suuri kuin kaikki L :n alkiot ja pienempi kuin kaikki R :n alkiot , jolloin x on yhtä suuri kuin y + ε; $y\in L$
- ei ole olemassa dyadisia rationaalilukuja y , jotka ovat tiukasti L: n ja R :n välissä , mutta jokin dyadinen rationaaliluku on suurempi kuin kaikki L: n alkiot ja pienempi tai yhtä suuri kuin kaikki R :n alkiot , jolloin x on yhtä suuri kuin y − ε; $y\in R$
- jokainen diadinen rationaaliluku on joko suurempi kuin jokin R :n alkio tai pienempi kuin jokin L :n alkio , jolloin x on jokin reaaliluku, jota ei voida esittää dyadisena rationaalilukuna.

S ω ei ole algebrallinen kenttä, koska se ei ole suljettu aritmeettisissa operaatioissa; esimerkiksi ω+1, jonka muoto ei edusta mitään lukua S ω :ssä . Suurin osajoukko S ω , joka on suljettu aritmeettisten operaatioiden (äärellisten sovellusten) alaisuudessa, on reaalilukujen kenttä, joka saadaan hylkäämällä nollasta poikkeavien dyadisten rationaalien y ± ω, infinitesimaaliset ±ε ja äärettömät "naapurit" y ±ε . ${\displaystyle \{1,2,3,4,...|\}+\{0|\}=\{1,2,3,4,...,\omega |\))$

Tämä reaalilukujen konstruktio eroaa klassisen analyysin Dedekind-leikkauksista siinä , että se alkaa dyadisilla rationaalisilla luvuilla eikä kaikilla rationaalisilla luvuilla, ja myös luonnollisesti identifioi S ω :n dyadiset rationaaliluvut niiden aiempien sukupolvien muotojen kanssa. [ _ _ _ oikeat sarjat). Rationaaliset luvut eivät ole jokin erityinen, tunnistettavissa oleva vaihe surrealististen lukujen rakentamisessa; ne ovat yksinkertaisesti S ω :n osajoukko Q , joka sisältää kaikki x:t siten, että xb = a jollekin a :lle ja jollekin nollasta poikkeavalle b :lle , molemmat otettu S * :sta . Osoittamalla, että Q on suljettu surrealistisissa aritmeettisissa operaatioissa, osoitamme siten, että se on kenttä; ja osoittamalla, että Q :n jokainen alkio on saavutettavissa S * :sta äärellisellä (itse asiassa enintään kahdella) aritmeettisten operaatioiden ketjulla, mukaan lukien käänteisalkio ottaminen , osoitamme siten, että Q on ehdottomasti pienempi kuin tunnistettu osajoukko S ω todellisten lukujen kanssa.

Sarjalla S ω on sama kardinaliteetti kuin reaalilukujen joukolla ℝ. Tämä voidaan osoittaa rakentamalla surjektiiviset mappaukset arvosta S ω suljettuun yksikköväliin I in ℝ ja päinvastoin. Kuvaus S ω :stä I : hen on triviaali; yhdistä luvut, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin ε (mukaan lukien −ω) arvoon 0, luvut, jotka ovat suurempia tai yhtä suuria kuin 1−ε (mukaan lukien ω) 1:een ja luvut välillä ε ja 1−ε niiden vastaaviin I :ssä (mappaa äärettömän läheiset naapurit kunkin dyadisen rationaaliluvun y y ±ε yhdessä itse y :n kanssa y ) . Kartoittaaksesi I :stä S ω , kartoita joukon I keski (avoin) kolmasosa (1/3, 2/3) kohtaan { | } = 0; keskikolmas (7/9, 8/9) oikeasta jäljellä olevasta kolmanneksesta { 0 | } = 1; ja niin edelleen. Tämä kartoittaa kaikki tällaiset intervallit kaikkiin S * :n elementteihin ja monotonisesti. Jäljelle jää Cantor-joukko 2 ω , jonka jokainen piste määräytyy yksiselitteisesti jakamalla keskikolmandat vasemmalle ja oikealle, mikä vastaa täsmälleen muotoa { L | R } osaksi S ω . Tämä asettaa Cantor-joukon yksi-yhteen vastaavuuteen surrealististen syntymäpäivien joukon ω kanssa.

Transfiniitti induktio

Jatkamalla S ω : n transfiniittistä induktiota , saadaan uudet järjestysluvut α, joista jokaista edustaa suurin surrealistinen syntymäpäiväluku α. (Pohjimmiltaan tämä on ordinaaleiden määritelmä transfiniittisen induktion tuloksena.) Ensimmäinen tällainen ordinaal on ω+1 = { ω | }. Sukupolvessa ω+1 on myös toinen uusi positiivinen ääretön luku:

ω−1 = { 1, 2, 3, 4, … | ω}.

Surrealistinen luku ω−1 ei ole järjestysluku; järjestysluku ω ei seuraa mitään järjestyslukua. Se on surrealistinen luku, jonka syntymäpäivä on ω+1, ja sitä kutsutaan ω−1:ksi, koska se on sama kuin lukujen summa ω = { 1, 2, 3, 4, … | } ja −1 = { | 0}. Samoin sukupolvessa ω+1 on kaksi uutta infinitesimaalia:

2ε = ε + ε = { ε | 1+ε, 1/2 +ε, 1/4 + ε , 1/8 + ε , … } ja ε/2 = ε · 1/2 = { 0 | ε}.

Transfiniittisen induktion myöhemmässä vaiheessa mille tahansa luonnolliselle luvulle k ilmaantuu luku, joka on suurempi kuin ω + k :

2ω = ω + ω = { ω+1, ω+2, ω+3, ω+4, … | }

Tämä luku on nimetty ω + ω, koska sen syntymäpäivä on ω + ω (ensimmäinen järjestysluku, jota ei ole johdettu ω:stä ottamalla seuraava luku) ja koska se osuu yhteen ω:n ja ω:n surrealistisen summan kanssa; sitä voidaan kutsua myös 2ω:ksi, koska se on sama kuin lukujen tulo ω = { 1, 2, 3, 4, … | } ja 2 = { 1 | }. Tämä on toinen rajajärjestys; sen johtaminen arvosta ω rakennussääntöä käyttämällä edellyttää transfiniittistä induktiota . Tämä vaatii äärettömien joukkojen äärettömän liiton, joka on "vahvempi" joukkoteoreettinen operaatio kuin mikään aiemmin vaadittu transfiniittiseen induktioon. ${\displaystyle \bigcup _{k<\omega }S_{\omega +k))$

Huomaa, että järjestyslukujen tavallisen yhteen- ja kertolaskutulokset eivät aina täsmää näiden operaatioiden suorittamisen kanssa niiden surrealistisilla esityksillä. Järjestyslukujen summa 1 + ω on yhtä suuri kuin ω ja surrealistinen summa on kommutatiivinen, ja 1 + ω = ω + 1 > ω on sille totta. Ordinaaleja vastaavien surrealististen lukujen yhteen- ja kertolasku osuu yhteen ordinaalin luonnollisen summan ja luonnollistulon kanssa .

Aivan kuten 2ω on suurempi kuin ω + n mille tahansa luonnolliselle luvulle n , on olemassa surrealistinen luku ω/2, joka on äärettömän suuri, mutta pienempi kuin ω − n mille tahansa luonnolliselle luvulle n . ω/2 määritellään seuraavasti

ω/2 = { S * | ω − S * },

jossa oikealla puolella merkintää x − Y käytetään merkityksessä { x − y : y Y } : ssä . Tämä osuu yhteen ω:n ja muodon { 0 | tulon kanssa 1 } numerot 1/2 . Luvun ω / 2 syntymäpäivä on rajajärjestys ω2 (tai vastaavasti ω + ω).

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Vekshenov S. A. § 2. Kaksinaisuuden matematiikka. 2.1 Surrealistiset luvut // Metafysiikka. Vuosisadan XXI. Kalenteri. Numero 4. Metafysiikka ja matematiikka / Kokoanut ja toimittanut Yu. S. Vladimirov. - M . : "Binom. Knowledge Laboratory", 2014. - S. 101. - ISBN 9785457525504 . Arkistoitu 31. elokuuta 2017 Wayback Machineen
↑ Alling, Norman L. (1962), todellisten suljettujen kenttien olemassaolosta, jotka ovat η α -tehojoukot ℵ α , Trans. amer. Matematiikka. soc. T. 103: 341-352 , DOI 10.1090/S0002-9947-1962-0146089-X .
↑ O'Connor, J. J. & Robertson, E. F., Conway Biography , < http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Conway.html > . Haettu 24. tammikuuta 2008. Arkistoitu 13. tammikuuta 2008 Wayback Machinessa
↑ Knuth, 2014 .
↑ Muistokirjoitukset: Martin David Kruskal (linkki ei saatavilla) . Society for Industrial and Applied Mathematics (11. huhtikuuta 2007). Arkistoitu alkuperäisestä 10. huhtikuuta 2011. (määrätön)
↑ Costin, Ovidiu; Ehrlich, Philip & Friedman, Harvey M. (2015), Integration on the Surreals: a Conwayn, Kruskal and Norton, arΧiv : 1505.02478 [math.LO].
↑ 1 2 Conway, John H. Numeroista ja peleistä . - 2. - CRC Press , 2000. - ISBN 9781568811277 . Arkistoitu 28. huhtikuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ Jatkossa käytetään sanaa universumi sanajoukon sijaan, koska surrealistiset luvut eivät muodosta joukkoja ja sanan luokka käyttö voi aiheuttaa sekaannusta ekvivalenssiluokkien kanssa.
↑ 1 2 3 van den Dries, Lou; Ehrlich, Philip. Surrealististen lukujen kentät ja eksponentio (englanniksi) // Fundamenta Mathematicae : Journal. - Warszawa: Puolan tiedeakatemian matematiikan instituutti, 2001. - tammikuu ( osa 167 , nro 2 ). - s. 173-188 . — ISSN 0016-2736 . doi : 10.4064 / fm167-2-3 . Arkistoitu alkuperäisestä 21. lokakuuta 2016.
↑ Dyadisten rationaalilukujen joukko muodostaa yksinkertaisimman ei-triviaaliryhmän ja tämän tyyppisen renkaan; se koostuu surrealistisista luvuista, joiden syntymäpäivä on pienempi kuin ω = ω 1 = ω ω 0 .
↑ Gonshor, Harry. Johdatus surrealististen lukujen teoriaan . - Cambridge University Press , 1986. - Voi. 110.- (London Mathematical Society Lecture Note Series). — ISBN 9780521312059 . - doi : 10.1017/CBO9780511629143 .
↑ Conway kuvailee tätä ajatusta luentossaan Arkistoitu 9. marraskuuta 2020 Wayback Machinessa noin 0:16:30 - 0:19:30

Kirjallisuus

venäjäksi

Knut D. E. Surrealistiset numerot = Surreal Numbers / Kääntäjä N. Shikhov. - M . : "Binom. Knowledge Laboratory”, 2014. — 112 s. - 1000 kappaletta. — ISBN 978-5-9963-1541-3 .

muilla kielillä

Donald Knuthin alkuperäinen näyttely: Surrealistiset numerot: Kuinka kaksi ex-opiskelijaa siirtyi puhtaaseen matematiikkaan ja löysi täydellisen onnen , 1974, ISBN 0-201-03812-9 . Lisätietoja löytyy kirjan viralliselta kotisivulta .
Päivitys klassiseen vuoden 1976 kirjaan, jossa määritellään surrealistiset luvut ja tutkitaan niiden yhteyksiä peleihin: John Conway, Numeroista ja peleistä , 2. painos, 2001, ISBN 1-56881-127-6 .
Päivitys vuoden 1981 kirjan ensimmäisestä osasta, joka esitteli surrealistisia lukuja ja pelien analyysiä laajemmalle yleisölle: Berlekamp, Conway ja Guy, Winning Ways for Your Mathematical Plays , voi. 1, 2. painos, 2001, ISBN 1-56881-130-6 .
Martin Gardner , Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers, W. H. Freeman & Co., 1989, ISBN 0-7167-1987-8 , luku 4. Ei-tekninen yleiskatsaus; uusintapainos vuoden 1976 Scientific American -artikkelista.
Polly Shulman, "Infinity Plus One, and Other Surreal Numbers" , Discover , joulukuu 1995.
Surrealististen lukujen yksityiskohtainen käsittely: Norman L. Alling, Foundations of Analysis over Surreal Number Fields , 1987, ISBN 0-444-70226-1 .
Surrealististen kohtelu, joka perustuu merkkilaajenemisen toteutukseen: Harry Gonshor, An Introduction to the Theory of Surreal Numbers , 1986, ISBN 0-521-31205-1 .
Yksityiskohtainen filosofinen kehitys surrealististen lukujen käsitteestä yleisimpänä lukukäsitteenä: Alain Badiou , Number and Numbers , New York: Polity Press, 2008, ISBN 0-7456-3879-1 (nidottu), ISBN 0-7456- 3878-3 (kovakantinen).

Linkit

Kirillov A., Klumova I., Sosinsky A. Surrealistiset numerot // Kvant : Journal. - M . : Nauka , 1979. - Nro 11 . - S. 2-9 . — ISSN 0130-2221 .
AN Walker. Hackenstrings ja 0.999... ?= 1 FAQ ( linkki ei saatavilla) . MathsNet (1999). Käyttöpäivä: 4. kesäkuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 24. joulukuuta 2001.
Claus Thundering. Surrealistiset numerot - Johdanto-versio 1.7 (eng.) (pdf). tondering.dk (31. tammikuuta 2019). Haettu 24. helmikuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 21. marraskuuta 2015.
Surrealistinen numero (englanniksi) . PlanetMath . Haettu 4. kesäkuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 1. joulukuuta 2011.
Surrealistiset numerot . Hyvä matematiikka, huono matematiikka (3. toukokuuta 2007). — Sarja artikkeleita surrealistisista luvuista ja niiden muunnelmista. Haettu 4. kesäkuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 12. syyskuuta 2016.
John Conway: Surrealistiset numerot – Kuinka pelien pelaaminen johti enemmän numeroihin kuin kukaan koskaan uskoi YouTubessa

Numeeriset järjestelmät
Laskettavat sarjat	Luonnolliset luvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Kokonaisluvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Järkevä ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrallinen ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Jaksot Laskettavissa Aritmeettinen
Reaaliluvut ja niiden laajennukset	Todellinen ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Monimutkainen ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaternions ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayleyn numerot (oktaavit, oktoniot) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Vaihtoehdot Kaksinkertainen Hyperkompleksi Superrealistinen Hypermateriaali surrealistinen
Numeeriset laajennustyökalut	Cayley-Dixonin menettely Frobenius-lause Hurwitzin lause
Muut numerojärjestelmät	kardinaaliluvut Järjestysluvut (transfinite, ordinaals) p-adic Yliluonnollisia lukuja intervallinumerot
Katso myös	kaksoisnumerot Irrationaalisia lukuja transsendenttiset numerot numerosäde Biquaternion