Toiminnallinen alue

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 12. elokuuta 2013 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 31 muokkausta .

Funktionaalinen sarja on sarja , jonka jokainen jäsen, toisin kuin numeerinen sarja , ei ole luku , vaan funktio . $\ {u_{k}}(x)$

Toimintojärjestys

Annetaan kompleksiarvoisten funktioiden sarja d-ulotteiseen euklidiseen avaruuteen sisältyvälle joukolle . $\E$ $\ {\mathbb {R}}^{d}$

\ {u_{k}}(x):E\mapsto {\mathbb {C}},~~E\subseteq {\mathbb {R}}^{d},~~k\in {\mathbb {N} }

Pointwise konvergenssi

Funktionaalinen sekvenssi konvergoi pisteittäin funktioon, jos . $\ {u_{k}}(x)$ $\ {u}(x)$ $\forall x\in E\;\;\;\exists \lim _{{k\rightarrow \infty }}\ {u_{k}}(x)=\ {u}(x)$

Tasainen konvergenssi

Siinä on toiminto , joka: $\ u(x):E\mapsto {\mathbb {C}}$ $\ \sup \mid {u_{k}}(x)-u(x)\mid {\stackrel {k\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0,~~x\in E$

Tosiasia sekvenssin tasaisesta konvergenssista funktioon kirjoitetaan: $\ {u_{k}}(x)$ $\u(x)$ $\ {u_{k}}(x)\rightarrows u(x)$

Toiminnallinen alue

$\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

$\ {S_{n}}(x)=\summa _{{k=1}}^{{n}}{u_{k}}(x)$ — n:s osasumma .

Lähentyminen

Matematiikassa konvergenssi tarkoittaa äärellisen rajan olemassaoloa numeeriselle sarjalle , äärettömän sarjan summaa , arvoa virheelliselle integraalille , arvoa äärettömälle tulolle .

Sarjaa kutsutaan pisteittäin suppenevaksi, jos sen osasummien sarja konvergoi pisteittäin. $\{S_{n}}(x)$

Sarjaa kutsutaan tasaisesti konvergentiksi, jos sen osasummien jono konvergoi tasaisesti. $\{S_{n}}(x)$

Välttämätön ehto sarjan yhtenäiselle konvergenssille

$\ {u_{k}}(x)\rightarrows 0$ klo $\k\rightarrow \infty$

Tai vastaavasti , jossa X on konvergenssialue. $\forall \varepsilon >0\,\,\exists n_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N} :\forall x\in X,\forall n>n_{0}\,\, \,|{u_{n}}(x)|<\varepsilon$

Cauchy-kriteeri tasaiselle konvergenssille

Cauchy-kriteeri toiminnalliselle sekvenssille. Jotta joukolle määritetty funktiosarja lähentyisi tasaisesti tähän joukkoon, on välttämätöntä ja riittävää, että mille tahansa , alkaen tietystä määrästä , kaikille , suurempi tai yhtä suuri kuin , samanaikaisesti kaikille funktioiden arvoille ja eroavat enintään . $\left\{f_{n}\right\}_{{n=1}}^{\infty }$ $V$ $\varepsilon > 0$ $N=N(\varepsilon)$ $n,m$ $N$ $x \ in V$ $f_{n}(x)$ $f_{m}(x)$ $\varepsilon$

\forall \varepsilon >0\;\exists N=N(\varepsilon )\;\forall n,m\geq N\;\forall x\in V\;\left|{f_{n}}(x)- \ {f_{m}}(x)\oikea|<\varepsilon

Absoluuttinen ja ehdollinen konvergenssi

Sarjaa kutsutaan ehdottoman konvergentiksi, jos se suppenee. Täysin konvergentti sarja konvergoi. $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\mid {u_{k}}(x)\mid$

Jos sarja suppenee mutta hajoaa, sarjan sanotaan olevan ehdollisesti konvergentti. Tällaisille sarjoille pätee Riemannin lause ehdollisesti konvergentin sarjan ehtojen permutaatiosta . $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\mid {u_{k}}(x)\mid$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

Tasaisen lähentymisen merkkejä

Vertailun merkki

Sarja konvergoi ehdottoman ja tasaisesti, jos seuraavat ehdot täyttyvät: $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

Sarja konvergoi tasaisesti. $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{v_{k}}(x)$
$\ \mid {u_{k}}(x)\mid <{v_{k}}(x),~\forall x\in E,~\forall k\in {\mathbb {N}}$

Erikoistapaus on Weierstrassin kriteeri, kun . Siten toiminnallinen sarja rajoittuu tavalliseen. Se vaatii tavanomaista konvergenssia. $\ {v_{k}}(x)=a_{k}$

Dirichletin merkki

Sarja konvergoi tasaisesti, jos seuraavat ehdot täyttyvät: $\sum _{{k=1}}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}$

Reaaliarvoisten funktioiden sarja on monotoninen ja $\ {a_{k}}(x)$ $\ \forall x\in E$ $\ {a_{k}}(x)\rightarrows 0$
Osasummat ovat tasaisesti rajattuja . $\ {S_{n}}(x)=\summa _{{k=1}}^{{n}}{u_{k}}(x)$

Abelin kyltti

Sarja konvergoi tasaisesti, jos seuraavat ehdot täyttyvät: $\sum _{{k=1}}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}$

Reaaliarvoisten funktioiden sarja on tasaisesti rajattu ja monotoninen . $\ {a_{k}}(x)$ $\ \forall x\in E$
Sarja konvergoi tasaisesti. $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

Tasaisesti konvergenttien ja sarjojen ominaisuudet

Jatkuvuuslauseet

Käsittelemme monimutkaisia arvoisia funktioita joukossa $\E$

Pisteessä jatkuva funktiosarja konvergoi tässä pisteessä jatkuvaksi funktioksi.

Jakso

\ {u_{k}}(x)\rightarrows u(x)

\ \forall k:

funktio on jatkuva pisteessä

\ {u_{k}}(x)

\ x_0

Sitten on jatkuva .

\u(x)

\ x_0

Useat pisteessä jatkuvat funktiot konvergoivat tässä pisteessä jatkuvaksi funktioksi.

Rivi

\ \sum _{{k=0}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)\rightarrows S(x)

\ \forall k:

funktio on jatkuva pisteessä

\ {u_{k}}(x)

\ x_0

Sitten on jatkuva .

\S(x)

\ x_0

Integrointilauseet

Reaaliarvoiset funktiot reaaliakselin segmentillä otetaan huomioon.

Lause siirtymisestä integraalimerkin alla olevaan rajaan.

\ \forall k:

funktio on jatkuva välissä

\ {u_{k}}(x)

\ [a,b]

\ {u_{k}}(x)\rightarrows u(x)

päällä

\ [a,b]

Sitten numeerinen sekvenssi konvergoi äärelliseen rajaan .

\left\{{\int \limits _{a}^{b}{{u_{k}}(x)dx}}\right\}

{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{u(x)dx))

Lause termikohtaisesta integroinnista.

\ \forall k:

funktio on jatkuva välissä

\ {u_{k}}(x)

\ [a,b]

\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)\rightarrows S(x)

päällä

\ [a,b]

Sitten lukusarja konvergoi ja on yhtä suuri kuin .

\ \sum _{k=1}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}{u_{k))(x)dx

\int \limits _{a}^{b}S(x)dx

Differentiointilauseet

Reaaliarvoiset funktiot reaaliakselin segmentillä otetaan huomioon.

Lause rajan alapuolella olevasta differentiaatiosta.

\ \forall k:

funktio on differentioituva (sillä on jatkuva derivaatta) välissä

\ {u_{k}}(x)

\ [a,b]

\ \olemassa c\in [a,b]:~u_{k}(c)

lähentyy (lopulliseen rajaan)

\ {u'_{k}}(x)\rightarrows \omega (x)

segmentillä

\ [a,b]

Sitten on erotettavissa päällä , päällä

\ \exists u(x):~{u_{k}}(x)\rightarrows u(x),~u(x)

\ [a,b]

\u'(x)=\omega(x)

\ [a,b]

Lause termien välisestä erottelusta.

\ \forall k:

funktio on erotettavissa segmentillä

\ {u_{k}}(x)

\ [a,b]

\ \olemassa c\in [a,b]:~\sum _{{k=1}}^{{\infty }}u_{k}(c)

lähentyy

\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u'_{k}}(x)

suppenee tasaisesti segmentillä

\ [a,b]

Sitten on erotettavissa päällä , päällä

\ \exists S(x):~\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)\rightarrows S(x),~S(x)

\ [a,b]

\ S'(x)=\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u'_{k}}(x)

\ [a,b]

Linkit

O.V.Besov. ‹…Š–ˆˆLuentoja matemaattisesta analyysistä. Osa 1 . - M .: MIPT, 2004. - 325 s. Luku 16 Funktiosekvenssit ja rivit

Jaksot ja rivit
Jaksot	Numerosarja Perusjärjestys Lineaarinen toistuva sekvenssi Fibonaccin numerot kiharat numerot Factorial Barker-sekvenssi de bruijn sekvenssi
Rivit, perus	Rivin summa Loput rivistä Ehdollinen konvergenssi Vaihteleva sarja Rivien moniosa
Numerosarja ( operaatiot numerosarjoilla )	harmoninen sarja Leibniz-sarja Sarja käänteisiä neliöitä Käänteisten alkulukujen sarja Dirichlet rivi Mercator-sarja Rivi Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
toiminnallisia rivejä	Taylor-sarja Laurent-sarja Fourier-sarja Trigonometrinen Fourier-sarja trigonometrinen sarja Wiener-sarja
Muut rivityypit	Neumann-sarja Puiseux'n rivi