Syklinen ryhmä

Syklinen ryhmä on ryhmä , joka voidaan muodostaa yhdellä elementillä a , eli kaikki sen elementit ovat a :n potenssia (tai additiivista terminologiaa käyttäen voidaan esittää muodossa na , missä n on kokonaisluku ). Matemaattinen merkintä: . $(G,\cdot )$ $G=\langle a\rangle$

Nimestään huolimatta ryhmän ei tarvitse kirjaimellisesti edustaa "sykliä". Saattaa käydä niin, että kaikki tutkinnot ovat erilaisia. Näin muodostettua ryhmää kutsutaan äärettömäksi sykliseksi ryhmäksi ja se on isomorfinen kokonaislukujen ryhmän kanssa yhteenlaskettuna $g^{n}$ $(\mathbb {Z} ,+).$

Ominaisuudet

Kaikki sykliset ryhmät ovat Abelin ryhmiä .
Jokainen äärellinen syklinen ryhmä on isomorfinen ryhmälle = lisäyksellä modulo n (se on myös merkitty ), ja jokainen ääretön ryhmä on isomorfinen ryhmän kokonaislukujen modulo n kanssa . $\mathbb {Z} _{n}$ $\{0,1,\pisteet ,n-1\}$ $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$
- Erityisesti jokaiselle luonnolliselle luvulle n on olemassa ainutlaatuinen (isomorfismiin asti) syklinen ryhmä kertalukua n .
Jokainen syklisen ryhmän alaryhmä on syklinen.
Syklisellä kertaluvun n ryhmällä on täsmälleen φ( n ) generaattoria, missä φ on Euler-funktio .
Jos p on alkuluku , niin mikä tahansa ryhmä kertaluvun p on syklinen ja ainutlaatuinen aina isomorfismiin asti (tämä seuraa Lagrangen lauseesta ).
Kahden syklisen järjestysryhmän suora tulo ja on syklinen silloin ja vain, jos n ja m ovat koprime. $n$ $m$
- Esimerkiksi isomorfinen , mutta ei isomorfinen . $\mathbb {Z} _{12}$ $\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{4}$ $\mathbb {Z} _{6}\times \mathbb {Z} _{2}$
Äärimmäisen generoidun Abelin ryhmien peruslause sanoo, että mikä tahansa äärellisesti generoitu Abelin ryhmä hajoaa yksilöllisesti primääristen syklisten ryhmien suoraksi tuotteeksi . Ensisijainen ryhmä voi olla syklinen ryhmä , jossa p on alkuluku tai . $\mathbb {Z} _{p^{n}}$ $\mathbb {Z}$
Minkä tahansa äärellisen kentän kertova ryhmä on syklinen (sen generoi korkeimman luokan kentän elementti).
Ryhmän endomorfismirengas on isomorfinen renkaaseen nähden . Tämän isomorfismin mukaan luku r vastaa endomorfismia , joka määrittää elementille sen esiintymien r :n summan. Tällainen kartoitus olisi bijektio silloin ja vain jos r on suhteellisesti alkuluku n :lle , joten automorfismiryhmä on isomorfinen . $\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} _{n}^{\times }$

Esimerkkejä

Tehon n ykseyden juuriryhmä kertolaskulla.
Minkä tahansa äärellisen kentän äärellisen laajennuksen Galois-ryhmä on äärellinen ja syklinen; päinvastoin, kun annetaan äärellinen kenttä F ja äärellinen syklinen ryhmä G , on olemassa äärellinen laajennus F , jonka Galois-ryhmä on G.

Todisteet

lausunto . Jokainen syklisen ryhmän alaryhmä on syklinen.

Todiste . Antaa olla syklinen ryhmä ja olla ryhmän aliryhmä . Jos ryhmä on triviaali (koostuu yhdestä elementistä), se on myös syklinen. Jos on triviaali alaryhmä (koostuu identiteettielementistä tai yhtyy koko ryhmään G), niin se on syklinen. Seuraavassa todistuksen aikana oletamme, että emmekä ole triviaaleja. $G$ $H$ $G$ $G$ $H=G$ $H$ $H$ $H$ $G$ $H$

Antaa olla tuottava osa ryhmän , ja olla pienin positiivinen kokonaisluku sellainen, että . Lausunto: $g$ $G$ $n$ $g^{n}\in H$ $H=\langle g^{n}\rangle$

\langle g^{n}\rangle \subseteq H

{\forall a\in \langle g^{n}\rangle }\ {\olemassa z\in \mathbb {Z} }\mid {a=(g^{n})^{z))

g^{n}\in H\Rightarrow (g^{n})^{z}\in H\Rightarrow a\in H

Siksi ,.

\langle g^{n}\rangle \subseteq H

H\subseteq \langle g^{n}\rangle

Anna .

h\in H

h\in H\Rightarrow h\in G\Rightarrow \exists x\in {\mathbb {Z} }\mid h=g^{x}

. Jakoalgoritmin mukaan

\exists q,r\in {\mathbb {Z} }\mid 0\leq r\leq n-1\land x=qn+r

h=g^{x}=g^{qn+r}=g^{qn}g^{r}=(g^{n})^{q}g^{r}\Rightarrow g^{r} =h(g^{n})^{-q}

h,g^{n}\in H\Rightarrow g^{r}\in H

. Valintamme ja sen tosiasian perusteella päättelemme, että .

n

0\leq r\leq n-1

r = 0

r=0\Rightarrow h=(g^{n})^{q}g^{0}=(g^{n})^{q}\in \langle g^{n}\rangle

. Siksi ,.

H\subseteq \langle g^{n}\rangle

Kirjallisuus

Vinberg E. B. Algebra-kurssi. — M.: Factorial Press, 2001.
Hamermesh M. Ryhmäteoria ja sen soveltaminen fyysisiin ongelmiin. - M.: Mir, 1966.

Ryhmäteoria
Peruskonseptit	Alaryhmä Normaali alaryhmä Tekijäryhmä Työ suoraan puolisuorat vapaa
Algebralliset ominaisuudet	kommutatiivista ryhmää Syklinen ryhmä tilattu ryhmä Muuta ryhmää Ratkaistava ryhmä Schreierin Lemma Lagrangen lause Sylowin lauseet Yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelu
rajalliset ryhmät	Äärillinen syklinen ryhmä C n Symmetrinen ryhmä S n Dihedral ryhmä D n Vaihteleva ryhmä A n Kleinin neljän hengen ryhmä Mathieun ryhmät M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway-ryhmät Yhteistyö 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankon ryhmät J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Kalastajaryhmät F22 _ F 23 F24 _ Hirviö (M)
Topologiset ryhmät	Valheryhmät Ortogonaalinen ryhmä O(n) Erityinen ortogonaalinen ryhmä SO(n) Yhtenäinen ryhmä U(n) Erityinen yhtenäinen ryhmä SU(n) Symplektinen ryhmä Sp(n) Poikkeuksellisen yksinkertainen Lorentzin ryhmä Poincarén ryhmä
Algoritmit ryhmissä	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier-muunnos