Binäärilukujärjestelmä

Numerojärjestelmät kulttuurissa
indoarabia
arabia tamili burma	Khmer Lao Mongolian Thai
Itä-Aasialainen
Kiinalainen japanilainen Suzhou korealainen	Vietnamilaiset laskukepit
Aakkosellinen
Abjadia armenia Aryabhata kyrillinen kreikka	Georgian Etiopian juutalainen Akshara Sankhya
muu
Babylonian egyptiläinen etruski roomalainen Tonava	Ullakko Kipu Mayan Egeanmeren KPPU-symbolit
paikallinen
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 20 , 60
Nega-asentoinen
symmetrinen
sekajärjestelmät
Fibonacci
ei-asentoinen
Yksikkö (yksittäinen)

Binäärilukujärjestelmä on paikkalukujärjestelmä, jonka kanta on 2. Koska binäärilukujärjestelmä on toteutettu suoraan digitaalisissa elektroniikkapiireissä logiikkaporteilla , sitä käytetään lähes kaikissa nykyaikaisissa tietokoneissa ja muissa elektronisissa laskentalaitteissa .

Numeroiden binäärimerkintä

Binäärijärjestelmässä numerot kirjoitetaan kahdella symbolilla ( 0 ja 1 ). Jotta ei menisi sekaannukseen, missä numerojärjestelmässä numero on kirjoitettu, se on varustettu osoittimella oikeassa alakulmassa. Esimerkiksi desimaaliluku 5 10 , binääriluku 101 2 . Joskus binäärilukua merkitään etuliitteellä 0b tai symbolilla & (et-merkki) [1] , esimerkiksi 0b101 tai vastaavasti &101 .

Binäärilukujärjestelmässä (kuten muissakin lukujärjestelmissä desimaalilukua lukuun ottamatta) merkit luetaan yksi kerrallaan. Esimerkiksi numero 1012 lausutaan "yksi nolla yksi".

Luonnolliset luvut

Luonnollisella luvulla, joka on kirjoitettu binäärimuodossa , on merkitys: $(a_{{n-1}}a_{{n-2}}\dots a_{{1}}a_{0})_{2}$

(a_{{n-1}}a_{{n-2}}\dots a_{{1}}a_{0})_{2}=\sum _{{k=0}}^{{n- 1}}a_{k}2^{k},

missä:

$n$ - numeroiden (merkkien) määrä numerossa,
$a_{k}$ — numeroiden arvot joukosta {0,1},
$k$ - numeron sarjanumero.

Negatiiviset luvut

Negatiiviset binääriluvut merkitään samalla tavalla kuin desimaaliluvut: "-" luvun edessä. Nimittäin negatiivisella kokonaisluvulla, joka on kirjoitettu binäärimuodossa, on arvo: $(-a_{{n-1}}a_{{n-2}}\dots a_{{1}}a_{0})_{2}$

(-a_{{n-1}}a_{{n-2}}\dots a_{{1}}a_{0})_{2}=-\sum _{{k=0}}^{{ n-1}}a_{k}2^{k}.

Laskennassa sitä käytetään laajalti negatiivisten binäärilukujen kirjoittamiseen kahden komplementtiin .

Murtoluvut

Murtoluvulla, joka on kirjoitettu binäärimuodossa muodossa , on arvo: $(a_{{n-1}}a_{{n-2}}\dots a_{{1}}a_{{0}},a_{{-1}}a_{{-2}}\dots a_{ {-(m-1)}}a_{{-m}})_{2}$

( a n − yksi a n − 2 … a yksi a 0 , a − yksi a − 2 … a − ( m − yksi ) a − m ) 2 = ∑ k = − m n − yksi a k 2 k , {\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{ -m})_{2}=\summa _{k=-m}^{n-1}a_{k}2^{k},}

(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{ -m})_{2}=\summa _{k=-m}^{n-1}a_{k}2^{k},

missä:

$m$ - luvun murto-osan numeroiden lukumäärä,
$a_{k}$ ovat joukon numeroiden arvoja . $\{0,1\}$

Binäärilukujen yhteen-, vähennys- ja kertolasku

Lisäystaulukko

+	0	yksi
0	0	yksi
yksi	yksi	0 (siirto 1 korkeaan järjestykseen)

vähennystaulukko

-	0	yksi
0	0	yksi
yksi	1 (laina seniorikategorialta)	0

Esimerkki sarakkeiden lisäämisestä (desimaalilauseke 14 10 + 5 10 = 19 10 binäärimuodossa näyttää tältä 1110 2 + 101 2 = 10011 2 ):

+		yksi	yksi	yksi	0
+			yksi	0	yksi

	yksi	0	0	yksi	yksi

Kertotaulu

×	0	yksi
0	0	0
yksi	0	yksi

Esimerkki kertomisesta "sarakkeella" (desimaalilauseke 14 10 * 5 10 \u003d 70 10 binäärimuodossa näyttää 1110 2 * 101 2 \u003d 1000110 2 ):

×				yksi	yksi	yksi	0
×					yksi	0	yksi

+				yksi	yksi	yksi	0
+		yksi	yksi	yksi	0

	yksi	0	0	0	yksi	yksi	0

Numeroiden muunnokset

Jos haluat muuntaa binääriarvosta desimaaliksi, käytä seuraavaa 2 peruspotenssien taulukkoa:

1024

512

256

128

kahdeksan

neljä

yksi

Alkaen luvusta 1, kaikki luvut kerrotaan kahdella. Pistettä 1:n jälkeen kutsutaan binääripisteeksi.

Binääriluvun muuntaminen desimaaliluvuiksi

Oletetaan, että binääriluku 110001 2 on annettu . Muuntaaksesi desimaaliksi, kirjoita se summana numeroiden päälle seuraavasti:

1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49

Sama asia hieman eri tavalla:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

Voit kirjoittaa tämän taulukkomuodossa seuraavasti:

512	256	128	64	32	16	kahdeksan	neljä	2	yksi
				yksi	yksi	0	0	0	yksi
				+32	+16	+0	+0	+0	+1

Siirrä oikealta vasemmalle. Kirjoita kunkin binääriyksikön alle sen vastine alla olevalle riville. Lisää tuloksena saadut desimaaliluvut. Siten binääriluku 110001 2 vastaa desimaalilukua 49 10 .

Murto-osan binäärilukujen muuntaminen desimaalilukuiksi

Sinun on muunnettava luku 1011010.101 2 desimaalijärjestelmäksi. Kirjoitetaan tämä numero näin:

1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 1 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 -1 + 0 * 2 -2 + 1 * 2 −3 = 90,625

Sama asia hieman eri tavalla:

1 *64 + 0 *32 + 1 *16 + 1 *8 + 0 *4 + 1 *2 + 0 *1 + 1 *0,5 + 0 *0,25 + 1 *0,125 = 90,625

Tai taulukon mukaan:

64	32	16	kahdeksan	neljä	2	yksi		0.5	0,25	0,125
yksi	0	yksi	yksi	0	yksi	0	,	yksi	0	yksi
+64	+0	+16	+8	+0	+2	+0		+0,5	+0	+0,125

Hornerin transformaatio

Jotta voit muuntaa luvut binääriluvuista desimaaliksi tällä menetelmällä, sinun on summattava luvut vasemmalta oikealle kertomalla aiemmin saatu tulos järjestelmän perusteella (tässä tapauksessa 2). Hornerin menetelmä muunnetaan yleensä binääristä desimaaliksi. Käänteinen operaatio on vaikeaa, koska se vaatii yhteen- ja kertolaskukykyä binäärilukujärjestelmässä.

Esimerkiksi binääriluku 1011011 2 muunnetaan desimaaliluvuksi seuraavasti:

0 * 2 + 1 = 1
1 * 2 + 0 = 2
2 * 2 + 1 = 5
5 * 2 + 1 = 11
11 * 2 + 0 = 22
22 * 2 + 1 = 45
45 * 2 + 1 = 91

Eli desimaalijärjestelmässä tämä luku kirjoitetaan muodossa 91.

Lukujen murto-osan käännös Hornerin menetelmällä

Luvut otetaan numerosta oikealta vasemmalle ja jaetaan numerojärjestelmän perusteella (2).

Esimerkiksi 0,1101 2

(0 + 1 )/2 = 0,5
(0,5 + 0 )/2 = 0,25
(0,25 + 1 )/2 = 0,625
(0,625 + 1 )/2 = 0,8125

Vastaus: 0,1101 2 = 0,8125 10

Desimaalimuunnos binääriksi

Oletetaan, että meidän täytyy muuntaa luku 19 binääriksi. Voit käyttää seuraavaa menettelyä:

19/2 = 9 loppuosan kanssa 1
9/2 = 4 loppuosan kanssa 1
4/2 = 2 ilman jäännöstä 0
2/2 = 1 ilman loppuosaa 0
1/2 = 0 loppuosan kanssa 1

Joten jaamme jokaisen osamäärän 2:lla ja kirjoitamme jäännöksen binäärimerkinnän loppuun. Jatkamme jakoa, kunnes osamäärä on 0. Kirjoitetaan tulos oikealta vasemmalle. Toisin sanoen alin numero (1) on vasemmanpuoleisin numero jne. Tuloksena saadaan numero 19 binäärimuodossa: 10011 .

Murto-desimaalilukujen muuntaminen binäärilukuiksi

Jos alkuperäisessä luvussa on kokonaislukuosa, se muunnetaan erillään murto-osasta. Murtoluvun muuntaminen desimaalilukujärjestelmästä binääriluvuksi suoritetaan seuraavan algoritmin mukaisesti:

Murtoluku kerrotaan binäärilukujärjestelmän (2) kantaluvulla;
Tuloksena olevaan tuloon allokoidaan kokonaislukuosa, joka otetaan binäärilukujärjestelmän luvun merkittävimmäksi numeroksi;
Algoritmi päättyy, jos tuloksena olevan tuotteen murto-osa on yhtä suuri kuin nolla tai jos vaadittu laskentatarkkuus saavutetaan. Muussa tapauksessa laskelmat jatkuvat tuotteen murto-osan yli.

Esimerkki: Haluat muuntaa murto-desimaaliluvun 206.116 murto-binääriluvuksi.

Kokonaislukuosan käännös antaa 206 10 =11001110 2 aiemmin kuvattujen algoritmien mukaisesti. Kerromme 0,116:n murto-osan 2:lla asettamalla tuotteen kokonaislukuosat numeroihin halutun murto-binääriluvun desimaalipilkun jälkeen:

0,116 • 2 = 0,232 0,232
• 2 = 0,464 0,464 • 2 = 0,928 0,928 • 2 = 1,856 0,856 • 2 = 1,712 0,712 • 2 = 1,424 0,424 • 2 = 0,848 0,848 • 2 = 1,696 jne.

Siten 0,116 10 ≈ 0,0001110110 2

Saamme: 206.116 10 ≈ 11001110.0001110110 2

Sovellukset

Digitaalisissa laitteissa

Binäärijärjestelmää käytetään digitaalisissa laitteissa, koska se on yksinkertaisin ja täyttää vaatimukset:

Mitä vähemmän arvoja järjestelmässä on, sitä helpompi on tehdä yksittäisiä elementtejä, jotka toimivat näillä arvoilla. Erityisesti binäärilukujärjestelmän kaksi numeroa voidaan helposti esittää monilla fysikaalisilla ilmiöillä: virtaa on (virta on suurempi kuin kynnysarvo) - virtaa ei ole (virta on pienempi kuin kynnysarvo), magneettinen kentän induktio on suurempi kuin kynnysarvo tai ei (magneettikentän induktio on pienempi kuin kynnysarvo) jne.
Mitä pienempi elementin tilojen määrä on, sitä korkeampi on kohinansieto ja sitä nopeammin se voi toimia. Jos esimerkiksi haluat koodata kolme tilaa jännitteen, virran tai magneettikentän induktion suhteen, sinun on syötettävä kaksi kynnysarvoa ja kaksi vertailijaa ,

Laskennassa sitä käytetään laajalti negatiivisten binäärilukujen kirjoittamiseen kahden komplementtiin . Esimerkiksi luku -5 10 voitaisiin kirjoittaa muodossa -101 2 , mutta se tallennettaisiin 1111111111111111111111111111011 2 32-bittiseen tietokoneeseen .

Yleistykset

Binäärilukujärjestelmä on binäärikoodausjärjestelmän ja eksponentiaalisen painofunktion yhdistelmä, jonka kanta on 2. Luku voidaan kirjoittaa binäärikoodilla , ja numerojärjestelmä ei välttämättä ole binääri, vaan eri kantaluku. Esimerkki: BCD-koodaus , jossa desimaaliluvut kirjoitetaan binäärimuodossa ja numerojärjestelmä on desimaali.

Historia

Täydellinen 8 trigrammin ja 64 heksagrammin sarja , joka vastaa 3- ja 6-bittisiä numeroita, tunnettiin muinaisessa Kiinassa Muutosten kirjan klassisissa teksteissä . Muutosten kirjassa olevien heksagrammien järjestyksen, joka on järjestetty vastaavien binäärilukujen arvojen mukaisesti (0 - 63), ja menetelmän niiden saamiseksi kehitti kiinalainen tiedemies ja filosofi Shao Yong 11. vuosisadalla . Ei kuitenkaan ole todisteita siitä, että Shao Yong olisi ymmärtänyt binääriaritmeettiset säännöt asettaen kaksimerkkiset rivit leksikografiseen järjestykseen .
Intialainen matemaatikko Pingala ( 200 eKr. ) kehitti matemaattisen kehyksen runouden kuvaamiseen käyttämällä ensimmäistä tunnettua binäärijärjestelmän sovellusta [2] [3] .

Tietokantojen prototyyppi, jota käytettiin laajasti Keski-Andeilla ( Peru , Bolivia ) valtion ja julkisiin tarkoituksiin I-II vuosituhannella jKr. eli inkat - kipu oli solmittu kirjoitus , joka koostui sekä numeerisista merkinnöistä desimaalijärjestelmässä [4] että ei-numeerisista merkinnöistä binäärikoodausjärjestelmässä [ 5] . Quipu käytti ensisijaisia ja toissijaisia avaimia, paikkanumeroita, värikoodausta ja toistuvien tietojen sarjan muodostamista [6] . Kipua käytettiin ensimmäistä kertaa ihmiskunnan historiassa soveltamaan sellaista kirjanpitomenetelmää kuin kaksoiskirjaus [7] .
Afrikkalaiset käyttivät sarjoja, jotka ovat binäärinumeroiden yhdistelmiä perinteisessä ennustamisessa (kuten Ifa ) keskiaikaisen geomantian ohella .
Vuonna 1605 Francis Bacon kuvasi järjestelmän, jossa aakkosten kirjaimet voitiin pelkistää binäärinumeroiden sarjoiksi, jotka puolestaan voitiin koodata hienovaraisina fonttimuutoksina missä tahansa satunnaisessa tekstissä. Tärkeä askel binäärikoodauksen yleisen teorian kehityksessä on havainto, että tätä menetelmää voidaan käyttää mille tahansa objektille [8] (katso Baconin salaus ).

Leibniz kuvasi täydellisesti modernin binäärijärjestelmän 1600 - luvulla Explication de l'Arithmétique Binairessa [9] . Leibnizin lukujärjestelmä käytti numeroita 0 ja 1, aivan kuten nykyaikainen binäärijärjestelmä. Kiinalaisesta kulttuurista kiehtovana ihmisenä Leibniz tiesi Muutosten kirjasta ja huomasi, että heksagrammit vastaavat binäärilukuja nollasta 111111:een. Hän ihaili sitä tosiasiaa, että tämä näyttö on todiste Kiinan merkittävistä saavutuksista tuon ajan filosofisessa matematiikan alalla [10] . .

Vuonna 1854 englantilainen matemaatikko George Boole julkaisi tärkeän työn, jossa kuvattiin algebrallisia järjestelmiä logiikkaan sovellettuina , mikä tunnetaan nykyään Boolen algebrana tai logiikan algebrana . Hänen loogisella laskullaan oli tarkoitus olla tärkeä rooli nykyaikaisten digitaalisten elektronisten piirien kehittämisessä.
Vuonna 1937 Claude Shannon esitti väitöskirjansa Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits at MIT , jossa Boolen algebraa ja binääriaritmetiikkaa sovellettiin elektronisiin releisiin ja kytkimiin. Pohjimmiltaan kaikki nykyaikainen digitaalitekniikka perustuu Shannonin väitöskirjaan .
Marraskuussa 1937 George Stiebitz , joka työskenteli myöhemmin Bell Labsissa , rakensi relepohjaisen "Model K" -tietokoneen (englanninkielisestä " Kitchen " keittiöstä, jossa kokoonpano tehtiin) tietokoneen, joka suoritti binäärilisäyksen. Vuoden 1938 lopulla Bell Labs käynnisti Stibitzin johtaman tutkimusohjelman. Hänen johdollaan luotu tietokone, joka valmistui 8. tammikuuta 1940, pystyi suorittamaan operaatioita kompleksiluvuilla . Demonstraatiossa American Mathematical Societyn konferenssissa Dartmouth Collegessa 11. syyskuuta 1940 Stiebitz osoitti kykynsä lähettää komentoja etäkompleksilukulaskuriin puhelinlinjan kautta kaukokirjoittimen avulla . Tämä oli ensimmäinen yritys käyttää etätietokonetta puhelinlinjan kautta. Konferenssin osallistujien joukossa, jotka näkivät mielenosoituksen, olivat John von Neumann , John Mauchly ja Norbert Wiener , jotka kirjoittivat siitä myöhemmin muistelmissaan.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Popova Olga Vladimirovna. Tietojenkäsittelytieteen oppikirja . Haettu 3. marraskuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 3. marraskuuta 2014. (määrätön)
↑ Sanchez, Julio & Canton, Maria P. (2007), Mikrokontrolleriohjelmointi: mikrosiru PIC , Boca Raton, Florida: CRC Press, s. 37, ISBN 0-8493-7189-9
↑ W.S. Anglin ja J. Lambek, The Heritage of Thales , Springer, 1995, ISBN 0-387-94544-X
↑ Ordish George, Hyams, Edward. Viimeiset inkat: Amerikan imperiumin nousu ja tuho. - New York: Barnes & Noble, 1996. - S. 80. - ISBN 0-88029-595-3 .
↑ Asiantuntijat 'salaavat' inka-kieliä . Arkistoitu alkuperäisestä 18. elokuuta 2011. (määrätön)
↑ Carlos Radicati di Primeglio, Gary Urton. Estudios sobre los quipus (neopr.) . - S. 49.
↑ Dale Buckmaster. Incan Quipu ja Jacobsenin hypoteesi // Journal of Accounting Research : päiväkirja. - 1974. - Voi. 12 , ei. 1 . - s. 178-181 .
↑ Bacon, Francis , The Advancement of Learning , voi. 6, Lontoo, s. Luku 1 , < http://home.hiwaay.net/~paul/bacon/advancement/book6ch1.html > Arkistoitu 18. maaliskuuta 2017 Wayback Machinessa
↑ http://www.leibniz-translations.com/binary.htm Arkistoitu 11. helmikuuta 2021 Wayback Machinessa Leibniz Translation.com BINARY ARITHMETIIKAN SELITYS
↑ Aiton, Eric J. (1985), Leibniz: A Biography , Taylor & Francis, s. 245–8, ISBN 0-85274-470-6

Linkit

Binäärilaskenta // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 osassa (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.
Oppikirja "Tietokoneiden ja järjestelmien aritmeettiset perusteet." Osa 1. Numerojärjestelmät
Hexadecimal Decimal Binary Octal Converter ohjelmoijille Arkistoitu 21. helmikuuta 2011 Wayback Machinessa
Kokonais- ja murtolukujen muuntaja binääriluvuista desimaalilukuihin .
Fomin SV Numerojärjestelmät . — M .: Nauka , 1987. — 48 s. - ( Suosittuja matematiikan luentoja ). (vaihtoehtoinen linkki), (vaihtoehtoinen linkki RSL : n verkkosivuille)
Numerojärjestelmät: ohjeet ja toimeksianto itsenäiseen työskentelyyn tieteenalalla "Informatiikka" kaikkien erikoisalojen opiskelijoille . - Saratov: Saratovin osavaltio. teknillinen yliopisto , 2009. - 24 s.
Lyubomudrov A.A. Numerojärjestelmät. Menetelmät lukujen muuntamiseksi paikkalukujärjestelmästä, jonka kantaluku on p1, paikkalukujärjestelmään, jonka kantaluku on p2 . — M .: NRNU MEPhI , 2009. — 28 s.
Andreeva E.V. Numerojärjestelmät ja tietokonearitmetiikka: oppikirja. korvaus. - toim. 3 . - M . : Binom. Lab. tieto, 2004. - 254 s.
Numerojärjestelmät (16.9.2014)
MGIU: Informatiikka. Ongelma 1. Numerojärjestelmät. (21. helmikuuta 2014)
Binäärilukujärjestelmä - visuaalinen selitys paikkalukujärjestelmien (erityisesti binäärijärjestelmän) toimintaperiaatteesta

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Hienoa norjalaista Brockhaus ja Efron Pieni Brockhaus ja Efron Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4150805-1 NDL : 00568548