Hypersfääri

Hyperpallo ( toisesta kreikasta ὑπερ- " super- " + σφαῖρα "pallo") on ylipintainen dimensioinen euklidinen avaruus , jonka muodostavat pisteet, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä ja jota kutsutaan pallon keskipisteeksi . $n$

klo , Hypersfääri rappeutuu kahteen pisteeseen, jotka ovat yhtä kaukana keskustasta ; $n = 1$
kun se on ympyrä ; $n = 2$
kun hypersfääri on pallo . $n = 3$
kun hyperpallo on 3-pallo . $n = 4$
kun hyperpallo on 4-pallo . $n = 5$

…

kun hypersfääri on 7-pallo . 7-pallo on huomionarvoinen siinä mielessä, että tämä ulottuvuus on ensimmäinen, jossa on eksoottisia sfäärejä , eli monistoja, jotka ovat homeomorfisia standardin 7-pallon kanssa, mutta eivät diffeomorfisia. $n = 8$

Etäisyyttä hyperpallon keskustasta sen pintaan kutsutaan hyperpallon säteeksi . Hyperpallo on -ulotteinen osamonisto -ulotteisessa avaruudessa , jonka kaikki normaalit leikkaavat sen keskellä. $(n-1)$ $n$

Yhtälöt

Säteinen hyperpallo, jonka keskipiste on piste, määritellään ehdon täyttävien pisteiden paikaksi: $R$ $a=\vasen\{a_{1},a_{2},\pisteet a_{n}\oikea\}$

(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-a_{n})^{2} =R^{2}

Hyperpallokoordinaatit

Kuten tiedät, napakoordinaatit kuvataan seuraavasti:

x=\rho \cdot \cos \alpha

y=\rho \cdot \sin \alpha

ja pallomaiset koordinaatit kuten tämä:

x=\rho \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta

y=\rho \cdot \sin \alpha \cdot \cos \beta

z=\rho \cdot \sin \beta

N-ulotteinen pallo voidaan parametroida seuraavilla hyperpallokoordinaateilla :

{\displaystyle x_{1}=\rho \cdot \cos \alpha _{1}\cdot \cos \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1))

{\displaystyle x_{2}=\rho \cdot \sin \alpha _{1}\cdot \cos \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1))

{\displaystyle x_{3}=\rho \cdot \sin \alpha _{2}\cdot \cos \alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1))

\ldots

{\displaystyle x_{n}=\rho \cdot \sin \alpha _{n-1))

missä ja . $\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots ,\alpha _{n-1}\in \left[-{\frac {\pi }{2)),{\frac { \pi }{2}}\right]$ $\alpha _{1}\in [0,2\pi )$

Tämän muodonmuutoksen jakobilainen on

J=\rho ^{n-1}\cos \,\alpha _{2}\cdot \cos ^{2}\,\alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \cos ^{n -2}\,\alpha _{n-1}

Toisessa muunnelmassa,

{\displaystyle x_{1}=\rho \cdot \sin \alpha _{1}\cdot \sin \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1))

{\displaystyle x_{2}=\rho \cdot \cos \alpha _{1}\cdot \sin \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1))

{\displaystyle x_{3}=\rho \cdot \cos \alpha _{2}\cdot \sin \alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1))

\ldots

x_{n}=\rho \cdot \cos \alpha _{{n-1}}

missä ja . $\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots ,\alpha _{n-1}\in [0,\pi ]$ $\alpha _{1}\in [0,2\pi )$

Jacobilainen tässä muodossa on

J=\rho ^{n-1}\sin \,\alpha _{2}\cdot \sin ^{2}\,\alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \sin ^{n -2}\,\alpha _{n-1}

Pinta-ala ja tilavuus

Dimensionaalinen euklidinen avaruus sen mittaiselle hyperpallolle , pinta - ala ja sen rajoittama tilavuus (n-ulotteisen pallon tilavuus ) voidaan laskea kaavojen [1] [2] avulla : $n$ $n$ $S_{{n-1}}$ $V_{n}$

S_{n-1}=nC_{n}R^{n-1}

V_{n}=C_{n}R^{n}

missä

C_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\displaystyle \Gamma \left({n \over 2}+1\right)))

a on gammafunktio . Tälle lausekkeelle voidaan antaa toinen muoto: $\gamma (x)$

C_{{2k}}={\frac {\pi ^{k}}{k!)}}

C_{{2k+1}}={\frac {2^{{k+1}}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}

Tässä on kaksoisfaktoriaali . $n!!$

Koska

V_{n}/S_{n-1}=R/n

S_{n+1}/V_{n}=2\pi R

silloin pallojen tilavuudet tyydyttävät toistuvan suhteen

V_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{{n-2}}

ja niiden pinta-alat liittyvät toisiinsa kuten

S_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n-1}}S_{n-2}

Seuraava taulukko osoittaa, että yksikköpallon ja pallon tilavuus on äärimmäinen ja vastaavasti. $S_{{6}}$ $V_{{5}}$

Yksikkösäteisten hyperpallojen ja hyperpallojen pinta-alat ja tilavuudet

Ulottuvuus	1 (pituus)	2 (alue)	3 (määrä)	neljä	5	6	7	kahdeksan
yksittäinen pallo ( ) $S_{n}$	$2\pi$	$4\pi$	$2\pi ^{2}$	${\frac {8}{3}}\pi ^{2}$	$\pi ^{3}$	${\frac {16}{15}}\pi ^{3}$	${\frac {1}{3}}\pi ^{4}$	${\frac {32}{105}}\pi ^{4}$
Desimaali sisääntulo	6,2832	12,5664	19,7392	26,3189	31.0063	33,0734	32,4697	29,6866
Yksikkö pallo ( ) $V_{n}$	$2$	$\pi$	${\frac {4}{3}}\pi$	${\frac {1}{2}}\pi ^{2}$	${\frac {8}{15}}\pi ^{2}$	${\frac {1}{6}}\pi ^{3}$	${\frac {16}{105}}\pi ^{3}$	${\frac {1}{24}}\pi ^{4}$
Desimaali sisääntulo	2.0000	3,1416	4.1888	4,9348	5,2638	5,1677	4,7248	4,0587

Taulukon rivi "mitta" sisältää geometrisen kuvion pinnan mitat, ei sen tilan mittaa, jossa se sijaitsee. -ulotteisen pallon osalta sen "tilavuuden" mitta on myös , ja sen "pinta-alan" mitta on . $n$ $n$ $n-1$

On huomattava, että -ulotteisen pallon tilavuuden suhde sen ympärille rajatun -kuution tilavuuteen pienenee nopeasti kasvaessa , nopeammin kuin . $n$ $V_{n}=C_{n}R^{n}$ $n$ $2^{n}R^{n}$ $n$ ${\näyttötyyli 2^{-n))$

Hyperpallon topologia

Tässä osiossa pallolla tarkoitamme n-ulotteista hyperpalloa, pallolla n-ulotteista hyperpalloa , eli , , . $S_{n}$ $B_{n}$ $S_{n}\hookrightarrow \mathbb{R} ^{{n+1}}$ $B_{n}\hookrightarrow \mathbb{R} ^{n}$

Pallo on homeomorfinen pallon tekijöille sen rajalla . $S_{n}$ $B_{{n}}$
Pallo on homeomorfinen tekijöiden jakamisen suhteen . $B_{n}$ $B_{n}\simeq (S_{{n-1}}\times [0,1])/(S_{{n-1}}\times \{1\})$
Pallo on solutila . Yksinkertaisin solujen hajoaminen koostuu kahdesta solusta, homeomorfisesta ja . Se saadaan suoraan rakentamalla pallo suljetun pallon tekijätilaksi. Soluosio voidaan rakentaa myös induktiolla, jakamalla päiväntasaajaa pitkin kahteen n-ulotteiseen soluun, homeomorfiseen soluun ja palloon , joka on niiden yhteinen raja. $B_{0}={\mathrm {pt}}$ $B_{n}$ $S_{n}$ $B_{n}$ $S_{{n-1}}$

Muistiinpanot

↑ Vinogradov I. M. Matemaattinen tietosanakirja. - M .: Nauka, 1977, - v. 5, s. 287, artikkeli "Pyörä" - kaava n-ulotteisen pallon tilavuudelle
↑ L. A. Maksimov, A. V. Mikheenkov, I. Ya. Polishchuk. Tilastollisen fysiikan luentoja. Dolgoprudny, 2011. - s. 35, n-ulotteisen pallon tilavuuden kaavan johtaminen Euler-Poisson-Gauss-integraalin kautta

Katso myös

Linkit

Hypersphere (projekti d'Amateur). 4D Hypersphere ja Meridian Approximation Modeling Programs Arkistoitu 19. tammikuuta 2008 Wayback Machinessa
Hypersphere Imagination Trainer: Rubikin kuutio neljässä tai useammassa koossa Arkistoitu 25. tammikuuta 2018 Wayback Machinessa

Tilan mitat
Tilat mittojen mukaan	Nollaulotteinen yksiulotteinen 2D 3D neliulotteinen viisiulotteinen Kuusiulotteinen Seitsemänulotteinen oktaali Yhdeksänulotteinen n-ulotteinen Negatiivinen ulottuvuus
Polytoopit ja hahmot	Yksinkertainen hyperkuutio tesserakti Hypersuorakulmio (ortotooppi) Puolihyperkuutio Cross-polytooppi hypersfääri
Tilojen tyypit	äärellisulotteinen avaruus Euklidinen avaruus affinista tilaa projektiivinen tila Ilmainen moduuli Jakotukki Algebrallisen muuttujan ulottuvuus aika-avaruus
Muut ulottuvuuskäsitteet	Krullin ulottuvuus Lebesguen ulottuvuus Induktiivinen ulottuvuus Murtoluku ( Minkowskin ulottuvuus , Hausdorffin ulottuvuus ) fraktaali ulottuvuus Vapauden asteet
Matematiikka