Laplace-muunnos

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 18. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Laplace-muunnos (ℒ) on integraalimuunnos, joka yhdistää kompleksisen muuttujan ( kuvan ) funktion todellisen muuttujan ( alkuperäinen ) funktioon. Sen avulla tutkitaan dynaamisten järjestelmien ominaisuuksia ja ratkaistaan differentiaali- ja integraaliyhtälöitä . $\F(s)$ $\f(x)$

Yksi Laplace-muunnoksen ominaisuuksista, joka määräsi sen laajan käytön tieteellisissä ja teknisissä laskelmissa, on, että monet alkuperäisten kuvasuhteet ja toiminnot vastaavat kuvien yksinkertaisempia suhteita. Siten kahden funktion konvoluutio kuvien avaruudessa pelkistyy kertolaskuoperaatioon ja lineaariset differentiaaliyhtälöt muuttuvat algebrallisiksi.

Määritelmä

Suora Laplace-muunnos

Reaalimuuttujan funktion Laplace-muunnos on kompleksisen muuttujan funktio [1] siten, että: $\f(t)$ $\F(s)$ $s=\sigma +i\omega$

F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int \limits _{0}^{\infty }e^{{-st}}f(t) \,dt.

Tämän lausekkeen oikeaa puolta kutsutaan Laplacen integraaliksi .

Funktiota kutsutaan Laplace-muunnoksessa alkuperäiseksi ja funktiota funktion kuvaksi . $f(t)$ $F(s)$ $f(t)$

Kirjallisuudessa alkuperäisen ja kuvan välinen suhde on usein kuvattu seuraavasti: ja , ja kuva kirjoitetaan yleensä isolla kirjaimella. $f(t)\risingdotseq F(s)$ $F(s)\fallingdotseq f(t)$

Käänteinen Laplace-muunnos

Kompleksisen muuttujan funktion käänteinen Laplace-muunnos on todellisen muuttujan funktio siten, että: $F(s)\$ $f(t)\$

f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{\omega \rightarrow \infty }\int \limits _{\sigma _{1}-i\omega }^{\sigma _{1}+i\omega }e^{st}F(s)\,ds,

missä on jokin reaaliluku (katso olemassaoloehdot ). Tämän lausekkeen oikeaa puolta kutsutaan Bromwich-integraaliksi [2] . $\sigma _{1}\$

Kaksisuuntainen Laplace-muunnos

Kaksipuolinen Laplace-muunnos on yleistys sellaisille ongelmille, joissa funktion arvot ovat mukana . $f(x)\$ $x<0$

Kaksipuolinen Laplace-muunnos määritellään seuraavasti:

F(s)={\mathcal {L}}\{f(x)\}=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-sx}}f (x)\,dx.

Diskreetti Laplace-muunnos

Sitä käytetään tietokoneohjausjärjestelmien alalla. Diskreetti Laplace-muunnos voidaan soveltaa hilafunktioihin.

Erota -transformaatio ja -muunnos. $D\$ $Z\$

$D\$ -muunnos

Olkoon hilafunktio, eli tämän funktion arvot määritetään vain diskreeteillä aikoina , missä on kokonaisluku ja näytteenottojakso. $x_{d}(t)=\sum \limits _{{n=0}}^{\infty }x(nT)\cdot \delta (t-nT)$ $nT\$ $n\$ $T\$

Sitten Laplace-muunnoksen avulla saamme:

{\mathcal {D}}\{x_{d}(t)\}=\sum \limits _{{n=0}}^{\infty }x(nT)\cdot e^{{-snT}} .

$Z\$ -muunnos

Jos käytämme seuraavaa muuttujien muutosta:

z=e^{{sT}},

saamme -muunnos: $Z$

{\mathcal {Z}}\{x_{d}(t)\}=\sum \limits _{{n=0}}^{\infty }x(nT)\cdot z^{{-n}} .

Ominaisuudet ja lauseet

Absoluuttinen konvergenssi

Jos Laplace- integraali suppenee ehdottomasti kohdassa , Eli on olemassa raja $\sigma=\sigma_{0}$

\lim _{{b\to \infty }}\int \limits _{0}^{b}|f(x)|e^{{-\sigma _{0}x}}\,dx=\int \limits _{0}^{\infty }|f(x)|e^{{-\sigma _{0}x}}\,dx,

silloin se konvergoi absoluuttisesti ja tasaisesti ja on analyyttinen funktio arvolle ( on kompleksisen muuttujan reaaliosa ). Lukujoukon tarkkaa infimumia , jossa tämä ehto täyttyy, kutsutaan funktion Laplace-muunnoksen absoluuttisen konvergenssin abskissaksi . $\sigma \geqslant \sigma _{0}$ $F(s)$ $\sigma \geqslant \sigma _{0}$ $\sigma ={\mathrm {Re}}\,s$ $s$ $\sigma _{a}$ $\sigma$ $f(x)$

Edellytykset suoran Laplace-muunnoksen olemassaololle

Laplace-muunnos on olemassa absoluuttisen konvergenssin merkityksessä seuraavissa tapauksissa: ${\mathcal {L}}\{f(x)\}$

$\sigma \geqslant 0$ : Laplace-muunnos on olemassa, jos integraali on olemassa ; $\int \limits _{0}^{\infty }|f(x)|\,dx$
$\sigma >\sigma _{a}$ : Laplace-muunnos on olemassa , jos integraali on olemassa jokaiselle äärelliselle ja ; $\int \limits _{0}^{{x_{1}}}|f(x)|\,dx$ $x_{1}>0$ $|f(x)|\leqslant Ke^{{\sigma _{a}x}}$ $x>x_{2}\geqslant 0$
$\sigma >0$ tai (kumpi raja on suurempi): Laplace-muunnos on olemassa, jos funktiolle ( johdannainen ) on Laplace-muunnos . $\sigma >\sigma _{a}$ $f'(x)$ $f(x)$ $\sigma >\sigma _{a}$

Huomaa : nämä ovat riittävät edellytykset olemassaololle.

Käänteisen Laplace-muunnoksen olemassaolon ehdot

Käänteisen Laplace-muunnoksen olemassaoloon riittää, että seuraavat ehdot täyttyvät:

Jos kuva on analyyttinen funktio ja sen kertaluku on pienempi kuin −1, niin sen käänteismuunnos on olemassa ja on jatkuva kaikille argumentin arvoille ja arvolle . $F(s)$ $\sigma \geqslant \sigma _{a}$ ${\mathcal {L}}^{{-1}}\{F(s)\}=0$ $t\leqslant 0$
Olkoon , Joten se on analyyttinen suhteessa kunkin ja on nolla , Ja , Sitten käänteinen muunnos on olemassa ja vastaavalla suoralla muunnolla on absoluuttisen konvergenssin abskissa. $F(s)=\varphi [F_{1}(s),\;F_{2}(s),\;\ldots ,\;F_{n}(s)]$ $\varphi (z_{1},\;z_{2},\;\ldots ,\;z_{n})$ $z_{k}$ $z_{1}=z_{2}=\ldots =z_{n}=0$ $F_{k}(s)={\mathcal {L}}\{f_{k}(x)\}\;\;(\sigma >\sigma _{{ak}}\colon k=1,\; 2,\;\lpisteet ,\;n)$

Huomaa : nämä ovat riittävät edellytykset olemassaololle.

Konvoluutiolause

Kahden alkuperäisen konvoluution Laplace-muunnos on tulos näiden alkuperäisten kuvista:

{\mathcal {L}}\{f(x)*g(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}\cdot {\mathcal {L}}\{g(x )\}.

Todiste

Konvoluutiota varten

(f*g)(x)=\int _{0}^{\infty }dy\,f(xy)g(y)

Laplace-muunnos:

{\mathcal {L}}\left\{(f*g)(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }dx\,e^{-sx}\int _ {0}^{\infty }dy\,f(xy)g(y)

Uudelle muuttujalle ${\näyttötyyli t=xy,\;x=t+y}$

{\mathcal {L}}\left\{(f*g)(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }dt\,e^{-s(t+y )}\int _{0}^{\infty }dy\,f(t)g(y)=\int _{0}^{\infty }dt\,e^{-st}f(t)\ int _{0}^{\infty }dy\,e^{-sy}g(y)={\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}\cdot {\mathcal {L }}\vasen\{g(x)\oikea\}

■

Kuvan kertominen

f(x)g(0)+\int \limits _{0}^{x}f(x-\tau )g'(\tau )\,d\tau =sF(s)G(s).

Tämän lausekkeen vasenta puolta kutsutaan Duhamelin integraaliksi , jolla on tärkeä rooli dynaamisten järjestelmien teoriassa .

Alkuperäisen eriyttäminen ja integrointi

Laplacen mukainen kuva alkuperäisen ensimmäisestä johdannaisesta argumentin suhteen on kuvan ja jälkimmäisen argumentin tulo vähennettynä alkuperäisellä oikealla nollassa:

{\mathcal {L}}\{f'(x)\}=s\cdot F(s)-f(0^{+}).

Yleisemmässä tapauksessa ( :n kertaluvun derivaatta ) : $n$

{\mathcal {L}}\{f^{(n)}(x)\}=s^{n}\cdot F(s)-s^{n-1}f(0^{+ })-s^{n-2}f^{(1)}(0^{+})-\ldots -sf^{(n-2)}(0^{+})-f^{(n) -1)}(0^{+}).

Laplace-kuva alkuperäisen integraalista argumentin suhteen on alkuperäisen kuva jaettuna sen argumentilla:

{\mathcal {L}}\left\{\int \limits _{0}^{x}f(t)\,dt\right\}={\frac {F(s)}{s}}.

Kuvan eriyttäminen ja integrointi

Kuvan derivaatan käänteinen Laplace-muunnos argumentin suhteen on alkuperäisen ja sen argumentin tulo, otettuna vastakkaisella merkillä:

{\mathcal {L}}^{{-1}}\{F'(s)\}=-xf(x).

Kuvan integraalin käänteinen Laplace-muunnos argumentin yli on tämän kuvan alkuperäinen jaettuna sen argumentilla:

{\mathcal {L}}^{{-1}}\left\{\int \limits _{s}^{{+\infty }}F(s)\,ds\right\}={\frac { f(x)}{x}}.

Alkuperäisten ja kuvien viivästyminen. Rajalauseet

Kuvan viive:

{\mathcal {L}}\{e^{{ax}}f(x)\}=F(sa);

{\mathcal {L}}^{{-1}}\{F(sa)\}=e^{{ax}}f(x).

Alkuperäinen viive:

{\mathcal {L}}\{f(ta)H(ta)\}=e^{{-as}}F(s);

{\mathcal {L}}^{{-1}}\{e^{{-as}}F(s)\}=f(xa)H(xa).

missä on Heaviside-funktio . $H(x)$

Alku- ja loppuarvon lauseet (rajalauseet):

f(\infty )=\lim _{{s\to 0}}sF(s)

jos funktion kaikki navat ovat vasemmassa puolitasossa.

sF(s)

Äärillisen arvon lause on erittäin hyödyllinen, koska se kuvaa alkuperäisen käyttäytymistä äärettömässä yksinkertaisella suhteella. Tätä käytetään esimerkiksi analysoimaan dynaamisen järjestelmän liikeradan vakautta .

Muut ominaisuudet

Lineaarisuus :

{\mathcal {L}}\{af(x)+bg(x)\}=aF(s)+bG(s).

Kerro numerolla:

{\mathcal {L}}\{f(ax)\}={\frac {1}{a}}F\left({\frac {s}{a}}\oikea).

Joidenkin funktioiden suora ja käänteinen Laplace-muunnos

Alla on Laplacen muunnostaulukko joillekin funktioille.

Ei.	Toiminto	Aika-alue $x(t)={\matical {L}}^{{-1}}\{X(s)\}$	taajuusalueella $X(s)={\matical {L}}\{x(t)\}$	Kausaalisten järjestelmien konvergenssialue _
yksi	delta-toiminto	$\delta (t)\$	$yksi\$	$\forall s\$
1a	viivästynyt deltatoiminto	$\delta (t-\tau )\$	$e^{{-\tau s}}\$
2	-: nnen tilauksen viive taajuusmuutoksella $n$	${\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{{-\alpha (t-\tau )))\cdot H(t-\tau )$	${\frac {e^{{-\tau s}}}{(s+\alpha )^{{n+1))))$	$s>0$
2a	teho -th järjestys $n$	${\frac {t^{n}}{n!}}\cdot H(t)$	${\frac {1}{s^{{n+1))))$	$s>0$
2a.1	teho -th järjestys $q$	${\frac {t^{q}}{\Gamma (q+1)}}\cdot H(t)$	${\frac {1}{s^{{q+1))))$	$s>0$
2a.2	Heaviside-toiminto	$H(t)\$	${\frac {1}{s))$	$s>0$
2b	viivästynyt Heaviside-toiminto	$H(t-\tau )\$	${\frac {e^{{-\tau s}}}{s}}$	$s>0$
2c	"vauhtiaskel"	$t\cdot H(t)\$	${\frac {1}{s^{2}}}$	$s>0$
2d	$n$ -th järjestys taajuusmuutolla	${\frac {t^{n}}{n!}}e^{{-\alpha t}}\cdot H(t)$	${\frac {1}{(s+\alpha )^{{n+1))))$	$s>-\alpha$
2d.1	eksponentiaalinen hajoaminen	$e^{{-\alpha t}}\cdot H(t)\$	${\frac {1}{s+\alpha ))$	$s>-\alpha\$
3	eksponentiaalinen approksimaatio	$(1-e^{{-\alpha t}})\cdot H(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )))$	$s>0\$
neljä	sinus	$\sin(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2))}$	$s>0\$
5	kosini	$\cos(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2))}$	$s>0\$
6	hyperbolinen sini	${\mathrm {sh}}\,(\alpha t)\cdot H(t)\$	${\frac {\alpha }{s^{2}-\alpha ^{2))}$	$s>\|\alpha \|\$
7	hyperbolinen kosini	${\mathrm {ch}}\,(\alpha t)\cdot H(t)\$	${\frac {s}{s^{2}-\alpha ^{2))}$	$s>\|\alpha \|\$
kahdeksan	eksponentiaalisesti hajoava sini	$e^{{-\alpha t}}\sin(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {\omega }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2))}$	$s>-\alpha\$
9	eksponentiaalisesti vaimeneva kosini	$e^{{-\alpha t}}\cos(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {s+\alpha }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2))}$	$s>-\alpha\$
kymmenen	th juuri $n$	${\sqrt[ {n}]{t}}\cdot H(t)$	$s^{{-(n+1)/n}}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)$	$s>0$
yksitoista	luonnollinen logaritmi	$\ln \left({\frac {t}{t_{0))}\right)\cdot H(t)$	$-{\frac {t_{0}}{s}}[\ln(t_{0}s)+\gamma ]$	$s>0$
12	Ensimmäisen tyyppinen Bessel - funktio $n$	$J_{n}(\omega t)\cdot H(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2))}\right)^{{-n))}{{\sqrt {s^ {2}+\omega ^{2}}}}}$	$s>0\$ $(n>-1)\$
13	muunnettu ensimmäisen tyyppinen Bessel -funktio $n$	$I_{n}(\omega t)\cdot H(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2))}\right)^{{-n))}{{\sqrt {s^ {2}-\omega ^{2}}}}}$	$s>\|\omega \|\$
neljätoista	nollakertainen toisen tyyppinen Bessel-funktio	$Y_{0}(\alpha t)\cdot H(t)\$	$-{\frac {2{\mathrm {arsh}}(s/\alpha )}{\pi {\sqrt {s^{2}+\alpha ^{2))))}$	$s>0\$
viisitoista	muunneltu Besselin funktio toisen luokan nollasta	$K_{0}(\alpha t)\cdot H(t)$
16	virhetoiminto	${\mathrm {erf}}(t)\cdot H(t)$	${\frac {e^{{s^{2}/4}}{\mathrm {erfc}}(s/2)}{s}}$	$s>0$
Taulukon huomautukset: $H(t)\$ on Heaviside-funktio ; $\delta (t)\$ - delta-toiminto ; $\Gamma (z)\$ - gammatoiminto ; $\gamma \$ on Euler-Mascheronin vakio ; $t\$ on todellinen muuttuja; $s\$ on kompleksinen muuttuja; $\alpha\$ , , ja ovat reaalilukuja ; $\beeta\$ $\tau \$ $\omega \$ $n\$ on kokonaisluku . Kausaalijärjestelmä on järjestelmä, jossa impulssinsiirtofunktio on nolla millä tahansa ajanhetkellä . $h(t)\$ $t<0\$

Laplace-muunnoksen sovellukset

Laplace-muunnolla on laaja sovellus monilla matematiikan ( operaatiolaskennan ), fysiikan ja tekniikan aloilla :

Differentiaali- ja integraaliyhtälöjärjestelmien ratkaiseminen - Laplace-muunnoksen avulla on helppo siirtyä monimutkaisista matemaattisen analyysin käsitteistä yksinkertaisiin algebrallisiin suhteisiin. [3]
Dynaamisten järjestelmien, kuten esimerkiksi analogisten suodattimien , siirtofunktioiden laskenta .
Dynaamisten järjestelmien lähtösignaalien laskenta ohjausteoriassa ja signaalinkäsittelyssä - koska lineaarisen kiinteän järjestelmän lähtösignaali on yhtä suuri kuin sen impulssivasteen konvoluutio tulosignaalin kanssa, Laplace-muunnos antaa sinun korvata tämän toiminnon yksinkertaisella kertolaskulla .
Sähköpiirien laskenta. Se tuotetaan ratkaisemalla differentiaaliyhtälöitä, jotka kuvaavat piiriä operaattorimenetelmällä.
Matemaattisen fysiikan epästationaaristen ongelmien ratkaisu .

Proseduuri differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi Laplace-muunnolla on seuraava:

Annetun syöttötehosteen mukaan kuva löydetään vastaavuustaulukoiden avulla.
d.s. luo siirtofunktio.
Etsi pisteiden 1 ja 2 suuruuskuva.
Määrittele alkuperäinen. [neljä]

Suhde muihin muunnoksiin

Perusyhteydet

Lähes kaikki integraalimuunnokset ovat luonteeltaan samanlaisia ja ne voidaan saada toisistaan vastaavuuslausekkeiden avulla. Monet niistä ovat muiden muunnosten erikoistapauksia. Lisäksi annetaan kaavat, jotka yhdistävät Laplacen muunnokset joihinkin muihin funktionaalisiin muunnoksiin.

Laplace-Carson-muunnos

Laplace-Carson-muunnos (joskus kutsutaan vain Carson-muunnokseksi, joskus, ei aivan oikein, he käyttävät Carson-muunnosta, kutsuen sitä Laplace-muunnokseksi) saadaan Laplace-muunnoksesta kertomalla kuva kompleksisella muuttujalla:

{\mathcal {L}}_{K}\{f(x)\}=sF(s).

Carson-muunnos on laajalti käytössä sähköpiirien teoriassa, koska sellaisella muunnoksella kuvan ja alkuperäisen mitat ovat samat, joten siirtofunktioiden kertoimilla on fyysinen merkitys.

Kaksisuuntainen Laplace-muunnos

Kaksipuolinen Laplace-muunnos liittyy yksipuoliseen Laplace-muunnokseen seuraavalla kaavalla: ${\mathcal {L}}_{B}$

{\mathcal {L}}_{B}\{f(x);\;s\}={\mathcal {L}}\{f(x);\;s\}+{\mathcal {L} }\{f(-x);\;-s\}.

Fourier-muunnos

Jatkuva Fourier-muunnos vastaa kaksipuolista Laplace-muunnosta, jossa on monimutkainen argumentti : $s=i\omega$

F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}{\Big |}_{{s=i\omega }}=F(s){\Big |}_{{s=i\omega }}=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-i\ omega x}}f(x)\,dx.

Huomautus: Näistä lausekkeista on jätetty pois skaalaustekijä , joka sisältyy usein Fourier-muunnoksen määritelmiin. ${\frac {1}{{\sqrt {2\pi ))))$

Fourier - ja Laplace - muunnosten välistä suhdetta käytetään usein määrittämään signaalin tai dynaamisen järjestelmän taajuusspektri .

Mellinin transformaatio

Mellin-muunnos ja käänteinen Mellin-muunnos liittyvät kaksipuoliseen Laplace-muunnokseen yksinkertaisella muuttujien muutoksella. Jos Mellin-muunnoksessa

G(s)={\mathcal {M}}\left\{g(\theta )\right\}=\int \limits _{0}^{\infty }\theta ^{s}{\frac {g (\theta )}{\theta }}\,d\theta

asetamme , niin saadaan kaksipuolinen Laplace-muunnos. $\theta =e^{{-x}}$

Z-muunnos

$Z$ -muunnos on hilafunktion Laplace-muunnos, joka suoritetaan muuttujien muutoksella:

z\equiv e^{{sT}},

missä on näytteenottojakso ja signaalin näytteenottotaajuus . $T=1/f_{s}\$ $f_{s}\$

Yhteys ilmaistaan käyttämällä seuraavaa suhdetta:

X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{{z=e^{{sT))))

Borel-muunnos

Borel- muunnoksen integraalimuoto on identtinen Laplace-muunnoksen kanssa, on myös yleistetty Borel-muunnos , jolla Laplace-muunnoksen käyttö laajenee laajempaan funktioluokkaan.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Venäläisessä kirjallisuudessa sitä merkitään myös . Katso esimerkiksi Ditkin V. A., Kuznetsov P. I. Handbook of Operational Calculus: Fundamentals of Theory and Tables of Formulas. - M . : Valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustantamo, 1951. - 256 s. $\scriptstyle {p}$
↑ Zheverzheev V.F., Kalnitsky L.A., Sapogov N.A. Korkea-asteen matematiikan erikoiskurssi korkeakouluille. - M., Higher School , 1970. - s. 231
↑ Vashchenko-Zakharchenko M.E. Symbolinen laskenta ja sen soveltaminen lineaaristen differentiaaliyhtälöiden integrointiin. - Kiova, 1862.
↑ Pienten miehittämättömien ilma-alusten automaattisen ohjausjärjestelmän arkkitehtuuri // Tietotekniikat ja laskentajärjestelmät. – 20.03.2018. — ISSN 2071-8632 . - doi : 10.14357/20718632180109 .

Kirjallisuus

Van der Pol B., Bremer H.. Operaatiolaskenta perustuu kaksipuoliseen Laplace-muunnokseen. - M . : Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo, 1952. - 507 s.
Ditkin V. A. , Prudnikov A. P. . Integraalimuunnokset ja operaatiolaskenta. - M. : Naukan fyysisen ja matemaattisen kirjallisuuden pääpainos, 1974. - 544 s.
Ditkin V. A., Kuznetsov P. I. . Operatiivisen laskennan käsikirja: teorian perusteet ja kaavataulukot. - M . : Valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustantamo, 1951. - 256 s.
Carslow H., Jaeger D. . Sovelletun matematiikan toimintatavat. - M . : Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo, 1948. - 294 s.
Kozhevnikov N. I., Krasnoshchekova T. I., Shishkin N. E. . Fourier-sarja ja integraalit. Kenttäteoria. Analyyttiset ja erikoistoiminnot. Laplacen muunnoksia. - M .: Nauka, 1964. - 184 s.
Krasnov M. L., Makarenko G. I. . operatiivinen laskenta. Liikkumisen vakaus. - M .: Nauka, 1964. - 103 s.
Mikusinsky Ya . Operaattorin laskenta. - M . : Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo, 1956. - 367 s.
Romanovsky P.I. Fourier-sarja. Kenttäteoria. Analyyttiset ja erikoistoiminnot. Laplacen muunnoksia. - M .: Nauka, 1980. - 336 s.

Linkit

Laplace-muunnos ja jotkin sen ominaisuudet (dsplib.org) Arkistoitu 12. elokuuta 2018 Wayback Machinessa
Laplace-muunnos osoitteessa exponenta.ru

Integraalit muunnokset
Abel muunnos Bessel muuntuu Bushmanin muunnos Gegenbauerin muunnos Hilbertin muunnos Kontorovich-Lebedev muunnos Laplace-muunnos Meyerin muunnos Mehler-Fockin muunnos Mellinin muunnos Nerain muunnos Radonin muutos Stieltjes muunnos Fourier-muunnos Hankelin muunnos Hartley muunnos

Sanakirjat ja tietosanakirjat	iso kiinalainen iso kiinalainen Hienoa norjalaista Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	BNF : 119531733 J9U : 987007555498105171 LCCN : sh85074666 NDL : 00567362 NKC : ph117703