Matemaattinen todiste

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 31. elokuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Matemaattinen todiste
Opiskeli vuonna	todisteiden teoria
Projektin tai tehtävän tarkoitus	lause

Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Matemaattinen todistus - päättely väitteen totuuden perustelemiseksi ( lause ) [2] , loogisten johtopäätösten ketju, joka osoittaa, että tiettyjen aksioomien ja päättelysääntöjen totuuden mukaan väite on tosi. Kontekstista riippuen tämä voi tarkoittaa todistusta tietyn muodollisen järjestelmän sisällä (erityissääntöjen mukaan rakennettu lausesarja, joka on kirjoitettu muodollisella kielellä ) tai luonnollisen kielen tekstiä , josta voimme tarvittaessa palauttaa muodollisen todisteen. Väitteiden muodollisen todisteen tarve on yksi matematiikan pääpiirteistä deduktiivisena tiedonhaarana, vastaavasti todistuksen käsite on keskeinen rooli matematiikan aineessa ja todisteiden saatavuus ja niiden saatavuus. oikeellisuus määrittää mahdollisten matemaattisten tulosten tilan .

Koko matematiikan historian ajatus todistusmenetelmistä ja hyväksyttävistä menetelmistä on muuttunut merkittävästi, lähinnä suuremman formalisoinnin ja suurempien rajoitusten suuntaan. Keskeinen virstanpylväs todisteiden formalisoinnissa oli matemaattisen logiikan luominen 1800-luvulla ja sen formalisointi perustodistustekniikoiden avulla. 1900-luvulla rakennettiin todisteteoria – teoria, joka tutkii todistetta matemaattisena objektina . Tietokoneiden ilmaantuessa 1900-luvun jälkipuoliskolla matemaattisten todistusmenetelmien käyttö ohjelmien tarkistamiseen ja syntetisoimiseen tuli erityisen tärkeäksi , ja jopa rakenteellinen vastaavuus luotiin tietokoneohjelmien ja matemaattisten todisteiden välille ( Curry-Howard -kirjeenvaihto ). ), jonka perusteella automaattinen todiste .

Tärkeimmät todisteiden konstruoinnissa käytetyt tekniikat: suora todistus , matemaattinen induktio ja sen yleistykset , todistus ristiriidalla , kontrapositio , konstruktio , laskenta , bijektion muodostaminen , tuplalaskenta ; sovelluksissa matemaattisina todisteina käytetään myös menetelmiä, jotka eivät anna muodollista todistusta, mutta varmistavat tuloksen käytännön sovellettavuuden - todennäköisyys, tilastollinen, likimääräinen. Riippuen matematiikan alasta, käytetystä formalismista tai matematiikan koulukunnasta, kaikkia menetelmiä ei voida hyväksyä ehdoitta, erityisesti konstruktiivinen todistus sisältää vakavia rajoituksia.

Todistuksen merkitys matematiikassa

Toisin kuin muissa tieteissä, empiiristä näyttöä ei voida hyväksyä matematiikassa: kaikki väitteet todistetaan yksinomaan loogisin keinoin. Matemaattisella intuitiolla ja analogioilla eri objektien ja lauseiden välillä on tärkeä rooli matematiikassa; Kaikkia näitä keinoja tutkijat kuitenkin käyttävät vain todisteita etsiessään, itse todisteet eivät voi perustua sellaisiin keinoihin. Luonnollisilla kielillä kirjoitetut todisteet eivät välttämättä ole kovin yksityiskohtaisia, sillä oletetaan, että koulutettu lukija pystyy rekonstruoimaan yksityiskohdat itse. Todistuksen tarkkuuden takaa se, että se voidaan esittää tietueen muodossa virallisella kielellä (näin tapahtuu, kun tietokone tarkistaa todisteet).

Hyväksyntätila

Matematiikan todistettuja väitteitä kutsutaan lauseiksi (matemaattisissa teksteissä yleensä oletetaan, että joku on löytänyt todisteen; poikkeuksia tähän tapaan ovat pääasiassa logiikkateokset, joissa tutkitaan itse todisteen käsitettä); jos väitettä tai sen kieltämistä ei ole vielä todistettu, niin tällaista väitettä kutsutaan hypoteesiksi . Joskus lauseen todistamisprosessissa korostetaan vähemmän monimutkaisten lauseiden todisteita, joita kutsutaan lemmiksi .

Jotkut matemaattiset väitteet tunnetaan perinteisesti nimillä, jotka eivät vastaa niiden todellista tilaa. Näin ollen Fermatin viimeistä lausetta ei koskaan kutsuttu Fermatin hypoteesiksi, edes ennen kuin Andrew Wiles oli sen todistanut . Toisaalta Poincaren arvelu jatkaa tämän nimen kantamista jopa sen jälkeen , kun G. Ya. Perelman on todistanut sen .

Virheellinen todistus on teksti, joka sisältää loogisia virheitä, eli tekstiä, josta on mahdotonta palauttaa muodollista todistusta. Matematiikan historiassa on ollut tapauksia, joissa tunnetut tiedemiehet julkaisivat vääriä ”todistuksia”, mutta yleensä heidän kollegansa tai he itse löysivät nopeasti virheitä (yksi useimmin väärin todistetuista lauseista on Fermatin viimeinen lause . Vielä on ihmisiä, jotka eivät tietää, että se on todistettu, ja tarjota uusia vääriä "todisteita" [3] [4] ). Voi olla vain virheellistä tunnustaa todisteeksi "todiste" luonnollisella tai muodollisella kielellä; Muodollinen todiste ei voi olla määritelmän mukaan väärä.

Historia

Antiikki

Muinaisen idän maissa ( Babylon , Muinainen Egypti , Muinainen Kiina ) matemaattisten ongelmien ratkaisu annettiin pääsääntöisesti ilman perusteluja ja oli dogmaattinen , vaikka Pythagoraan lauseen graafinen perustelu löytyy babylonialaisista nuolenkirjoitustauluista . [5] . Todistuksen käsitettä ei ollut olemassa antiikin Kreikassa VIII-VII vuosisadalla eKr. e. Kuitenkin jo VI vuosisadalla eKr. e. Kreikassa loogisesta todistuksesta tulee tärkein menetelmä totuuden vahvistamisessa. Tällä hetkellä rakennettiin maailman ensimmäiset matemaattiset teoriat ja matemaattiset mallit , joilla oli täysin moderni ilme, eli ne rakennettiin rajallisesta määrästä loogisia johtopäätöksiä käyttäen.

Ensimmäiset todistukset käyttivät yksinkertaisimpia loogisia konstruktioita. Erityisesti Thales Miletoslainen , joka osoitti, että halkaisija jakaa ympyrän kahtia, tasakylkisen kolmion pohjan kulmat ovat yhtä suuret, kaksi leikkaavaa viivaa muodostavat yhtä suuret kulmat, käytti ilmeisesti todisteissaan taivutus- ja kuvioiden päällekkäisyyksiä. Kreikkalaisen filosofin Prokloksen (5. vuosisadalla jKr.) mukaan "Joskus hän käsitteli asiaa jonkin verran yleisesti, toisinaan luottaen selkeyteen . " Jo Pythagoraan aikana todistus siirtyy konkreettisista ajatuksista puhtaasti loogisiin johtopäätöksiin [6] . Parmenideksen todisteissa käytetään poissuljetun keskikohdan lakia , ja hänen oppilaansa Zeno käyttää aporiaoissa pelkistystä absurdiksi [7] .

Tiedetään, että irrationaalisuuden käsitteen perustana olevan neliön sivun ja diagonaalin yhteensopimattomuuden todiste kuuluu todennäköisesti pythagoralaisille , vaikka se esitettiin ensimmäisen kerran vasta Eukleideen elementeissä (X). tulee päinvastoin ja perustuu lukujen kahdella jaollisuuden teoriaan [8] . On mahdollista, että näkemysten erot matemaattisen todisteen roolista oli yksi syy konfliktiin Eudoxuksen välillä (jota pidetään matematiikan teoreemojen muodossa järjestämisen perinteen perustajana , mutta joka ei turvautunut todisteisiin periaate [9] ) ja Platon [10] .

Tärkeä hetki matkalla kohti matemaattisten todisteiden tulevaa formalisointia oli Aristoteleen logiikan luominen , jossa hän yritti systematisoida ja kodifioida kaikki todisteissa käytetyt päättelysäännöt, kuvaili tärkeimmät esiin nousevat vaikeudet ja epäselvyydet. Aristoteles oletti todisteiden olevan tärkeä osa tiedettä, koska hän uskoi, että todisteet "paljastaa asioiden olemuksen" [11] . Mutta aristoteelisella logiikalla ei ollut suoraa vaikutusta antiikin Kreikan matematiikkaan, eikä todistuksessa kiinnitetty huomiota muodollisen logiikan kysymyksiin [12] .

Keski- ja nykyaika

Matematiikan kehittyessä keskiajalla ja nojautuessa skolastiikasta omaksumaan logiikkaan muodollisista todisteista muodostuu asteittain ajatuksia ja sen menetelmät kehittyvät. Gersonideihin kuuluu matemaattisen induktion menetelmän perustelu ja käyttöönotto [13] . 1500-luvulta lähtien on ollut erillisiä yrityksiä ymmärtää kriittisesti antiikin kreikkalaisten matemaatikoiden todisteita, esimerkiksi Peletier kommentoi Eukleideen "Elementtejä" kritisoi näyttöä kolmioiden yhtäläisyydestä siirtymällä [14] .

Nykyaikana , kiitos matematiikan soveltamisen luonnontieteissä, matemaattisia väitteitä ja todisteita pidettiin luotettavina heti, kun alkuperäisille käsitteille oli annettu tarkka ja muodollinen määritelmä, ja matematiikkaa kokonaisuutena pidettiin mallina. kurinalaisuutta ja todisteita kaikille muille tieteenaloille. Erityisesti Leibniz pitää päättelyn aksioomia ja sääntöjä horjumattomina ja pyrkii rakentamaan muodollisen logiikkajärjestelmän "todistaakseen kaiken, mikä voidaan todistaa" [15] . Kuitenkin jopa 1700-luvulla todisteen käsite oli vielä liian epävirallinen ja spekulatiivinen, todisteena tästä voi olla se, että Euler piti seuraavia väitteitä oikeutettuina samanaikaisesti:

\sum _{{n=0}}^{\infty }{1-(n\operaattorinimi {mod}2)\cdot 2}=0

ja ,

\sum _{{n=1}}^{\infty }{1-(n\operaattorinimi {mod}2)\cdot 2}=1

yhtä hyvin kuin:

\sum _{{n=0}}^{\infty }{2^{n}}=-1

ymmärtää tietysti näiden lausuntojen merkityksettömyyden, mutta ottaen huomioon niiden "todistettavuuden" paradoksit [16] .

1800-luvulla herää yhä useammin ajatuksia tarpeesta postuloida joitain intuitiivisesti ilmeisiä sääntöjä, joita ei voida todistaa muodollisesti. Toinen sysäys postuloiduista periaatteista riippuvien todisteiden suhteellisuuden ymmärtämiseen vuosisatoja kestäneiden epäonnistuneiden yritysten jälkeen todistaa Eukleideen rinnakkaisuuden aksiooma oli Lobachevskyn , Bolyain , Gaussin ja Riemannin luominen ei-euklidisista geometrioista [17] .

Logiikan ja Hilbert-ohjelman formalisointi

Intuitionismi

Epätäydellisyyslauseet

Konstruktivismi

Muodollinen todiste

Kun puhutaan muodollisesta todistuksesta, he kuvaavat ensin muodollista mallia - joukkoa aksioomia , jotka on kirjoitettu muodollisella kielellä , ja päättelysääntöjä. Formaali johtaminen on äärellinen järjestys rivien joukko, joka on kirjoitettu muodollisella kielellä siten, että jokainen niistä on joko aksiooma tai saatu aikaisemmista riveistä käyttämällä jotakin päättelysääntöä. Lausunnon muodollinen todistus on muodollinen johdannainen, jonka viimeinen rivi on annettu lause. Lausetta, jolla on muodollinen todistus, kutsutaan lauseeksi , ja tietyn muodollisen mallin kaikkien lauseiden joukkoa (jota tarkastellaan yhdessä muodollisen kielen aakkosten, aksioomijoukkojen ja päättelysääntöjen kanssa) kutsutaan muodolliseksi teoriaksi .

Teoriaa kutsutaan täydelliseksi , jos se tai sen kieltäminen on jollekin väitteelle todistettavissa, ja johdonmukaiseksi , jos siinä ei ole todistettavia väitteitä negatiivisten kanssa (tai vastaavasti, jos siinä on ainakin yksi todistamaton väite). Useimmat "riittävän rikkaat" matemaattiset teoriat, kuten Gödelin ensimmäinen epätäydellisyyslause osoittaa , ovat joko epätäydellisiä tai epäjohdonmukaisia. Aikamme yleisin aksioomijoukko on Zermelo-Fraenkel- aksiooma valinnan aksiooman kanssa (vaikka jotkut matemaatikot vastustavat jälkimmäisen käyttöä). Tähän aksioomijärjestelmään perustuva teoria ei ole täydellinen (esimerkiksi jatkumohypoteesia ei voida todistaa eikä kumota siinä - olettaen, että tämä teoria on johdonmukainen). Huolimatta tämän teorian laajasta käytöstä matematiikassa, sen johdonmukaisuutta ei voida todistaa omin menetelmin. Siitä huolimatta ylivoimainen enemmistö matemaatikoista uskoo sen johdonmukaisuuteen ja uskoo, että muuten ristiriidat olisi löydetty kauan sitten.

Todistusteoria

Muodollisia todisteita käsittelee erityinen matematiikan todistusteorian haara . Itse muodollisia todisteita matematiikka ei juuri koskaan käytä, koska ne ovat erittäin monimutkaisia ihmisen havainnon kannalta ja vievät usein paljon tilaa.

Tietojenkäsittelytieteessä

Tietojenkäsittelytieteessä matemaattisia todisteita käytetään algoritmien ja ohjelmien oikeellisuuden tarkistamiseen ja analysointiin (katso tietojenkäsittelytieteen logiikka ) näyttöön perustuvien ohjelmointitekniikoiden puitteissa.

Muodollisen todisteen menetelmät

Suora todiste

Suora todistus sisältää vain suoran deduktiivisen päättelyn käyttämisen väitteistä, jotka katsotaan todeksi (aksioomit, aiemmin todistetut lemmat ja lauseet), käyttämättä tuomioita, jotka kieltävät väitteitä [18] . Esimerkiksi suoraa todistusta varten seuraavat luvut katsotaan hyväksyttäviksi ( luonnollisessa deduktiossa :

{\frac {A,B}{A}}

, , ( modus ponens ).

{\frac {A\Rightarrow B,B\Rightarrow C}{A\Rightarrow C}}

{\frac {A,A\Rightarrow B}{B}}

Korvaamista pidetään myös suoran todisteen menetelmänä: jos väite pitää paikkansa mihin tahansa siihen sisältyvien vapaiden muuttujien arvoihin, niin minkä tahansa tietyn arvojen korvaaminen niiden jonkin osajoukon sijaan kaikissa tapauksissa ( erityistapaus kaava ) antaa oikean lausunnon luonnollisen johdannaisen merkinnässä (epävirallinen merkintä, yksinkertaistettu yhdeksi muuttujaksi): $A$

{\frac {\forall x\,A(x)}{A[x:=a]}}

Joissakin tapauksissa negatiivista päättelyä käyttävät epäsuorat todistukset, erityisesti äärellisille objekteille, voidaan helposti pelkistää suoriksi ilman yleisyyden menettämistä, mutta tämä ei suinkaan aina päde äärettömiä kokoelmia koskeviin väitteisiin ja konstruktiivisten todisteiden arvon kasvaessa . 1900-luvun matematiikassa pidetään tärkeänä löytää suoria todisteita väitteille, jotka katsottiin todistetuiksi, mutta epäsuorin menetelmin.

Todisteoriassa suoralle todisteelle on kehitetty muodollinen määritelmä [19] .

Induktio

Induktiivinen menetelmä , jonka avulla voidaan siirtyä tietyistä lauseista universaaleihin lauseisiin, on mielenkiintoisin, kun sitä käytetään äärettömiin objektikokoelmiin, mutta sen muotoilu ja sovellettavuus vaihtelevat merkittävästi käyttöalueen mukaan.

Yksinkertaisin induktiivinen menetelmä [20] on matemaattinen induktio , päätelmä luonnollisista sarjoista , jonka ideana on vahvistaa tietty laki kaikille luonnollisille luvuille, perustuen sen toteutukseen ykseyteen ja seuraavaan totuuteen kullekin. seuraava numero luonnollisen päätelmän merkinnässä:

{\frac {P(1),\forall n\in {\mathbb N}(P(n)\Rightarrow P(n+1))}{\forall n\in {\mathbb N}(P(n) )}}

Matemaattisen induktion menetelmää voidaan luonnollisesti soveltaa mihin tahansa laskettavaan objektikokoelmiin, sitä pidetään luotettavana ja oikeutettuna sekä klassisissa että intuitionistisissa ja konstruktiivisissa todistusjärjestelmissä. Menetelmä on aksiomatisoitu Peanon aritmeettisen aksioomijärjestelmän .

Vaikeampi kysymys on, voidaanko induktiivista menetelmää laajentaa lukemattomiin kokoelmiin. Naiivin joukkoteorian puitteissa luotiin transfiniittisen induktion menetelmä , joka mahdollistaa induktiivisen päättelysäännön laajentamisen kaikille hyvin järjestetyille joukoille matemaattista induktiota vastaavan kaavan mukaisesti. Mahdollisuus käyttää induktiivista päättelyä lukemattomille kokoelmille ja intuitionistisessa logiikassa , joka tunnetaan nimellä bar-induktio [21] , löytyy .

On olemassa konstruktiivinen rakenteellisen induktion menetelmä , jonka avulla induktiota voidaan soveltaa hyvin järjestettyihin objektikokoelmiin, mutta niiden rekursiivisen määritelmän mukaan .

Päinvastoin

Ristiriitainen todistaminen käyttää loogista menetelmää tuodakseen järjettömyyteen ja rakennetaan seuraavan kaavion mukaan: väitteen todistamiseksi oletetaan, että se on väärä, ja sitten deduktiivista ketjua pitkin ne päätyvät esimerkiksi tarkoituksella väärä väite, josta kaksoisnegaation lain mukaan tehdään johtopäätös totuudesta luonnollisissa päätelmämerkinnöissä: $A$ $B\land \neg B$ $A$

{\frac {\neg A\Rightarrow (B\land \neg B)}{A)).

Olisi paljon parempi kirjoittaa se näin. Ristiriitaisten todisteiden kaavio on kaava:

{\dfrac {\begin{matrix}\left[{\mathcal {\neg A}}\right]&&\left[{\mathcal {\neg A}}\right]\\{\mathcal {B }}&&{\mathcal {\neg B}}\end{matrix}}{\mathcal {A}}}}.

Se formalisoi todistusmenetelmän ristiriitaisesti.

Intuitionistisissa ja konstruktiivisissa järjestelmissä ei käytetä ristiriitaista todistamista, koska kaksoisnegaation lakia ei hyväksytä.

huomautus . Tämä järjestelmä on samanlainen kuin toinen - järjettömyyteen pelkistämällä todistetusjärjestelmä . Tämän seurauksena he ovat usein hämmentyneitä. Joistakin yhtäläisyyksistä huolimatta niillä on kuitenkin erilainen muoto. Lisäksi ne eroavat paitsi muodoltaan myös pohjimmiltaan, ja tämä ero on perustavanlaatuinen.

Vastakohtaus

Kontrapositiotodistus käyttää vastalauseen lakia ja koostuu seuraavista: sen tosiasian todistamiseksi, että väiteseuraavaaditaan, ettäluonnollisen päätelmän symboliikassa on seuraa negaatiosta $A$ $B$ $B$ $A$

{\frac {\neg B\Rightarrow \neg A}{A\Rightarrow B))

Kontrapositiotodistus pelkistetään ristiriitamenetelmään : todistukselle sen negaatio tarkistetaan , ja koska premissi pätee , niin ristiriita paljastuu. $A\Nuoli oikealle B$ $\neg (A\Rightarrow B)\equiv \ A\land \neg B$ $\neg B\Rightarrow \neg A\equiv \neg (A\land \neg B)$

Esimerkkinä vastapositiotodistuksesta [22] vahvistaa sen tosiasian, että jos on pariton , niin se on myös pariton ( ), tälle on todistettu kontrapositio, että jos on parillinen, niin se on myös parillinen. $n^{2}$ $n$ $n \in \mathbb N$ $n$ $n^{2}$

Järjestelmissä, jotka eivät hyväksy kaksoisnegaation lakia, kontrapositiotodistus ei päde.

Rakennus

Lausumille, kuten olemassaolon lauseille , joissa jonkin kohteen olemassaolo formuloidaan seurauksena esimerkiksi luvun olemassaolosta, joka täyttää tietyt ehdot, tyypillisin todistustyyppi on halutun kohteen suora löytäminen käyttämällä vastaavaa muodollista järjestelmää tai käyttämällä vastaavan osan kontekstia. Monet klassiset olemassaololauseet todistetaan ristiriidalla: pelkistämällä absurdiksi olettamus, että objektia, jolla on tietyt ominaisuudet, ei ole olemassa, mutta tällaisia todisteita pidetään ei-konstruktivina, ja vastaavasti intuitionistisessa ja konstruktiivisessa matematiikassa käytetään vain konstruktiivisia todisteita. tällaisista lausunnoista.

Vaihtoehdot loppuvat

Joissakin tapauksissa väitteen todistamiseksi kaikki mahdolliset muunnelmat joukosta, jonka suhteen väite on muotoiltu, lajitellaan ( täydellinen luettelointi ) tai kaikki mahdolliset variantit jaetaan äärelliseen määrään tiettyjä tapauksia edustavia luokkia ja jokaiselle joka todistus suoritetaan erikseen [23] . Todistaminen vaihtoehtojen loppuunkulumismenetelmällä koostuu pääsääntöisesti kahdesta vaiheesta:

määrittää kaikki mahdolliset erityistapaukset ja osoittaa, ettei muita erityistapauksia ole,
todiste kustakin yksittäisestä tapauksesta.

Vaihtoehtojen määrä voi olla melko suuri, esimerkiksi neljän värin hypoteesin todistamiseksi tarvittiin lähes 2000 eri vaihtoehdon selvittämistä tietokoneella . Tällaisten todisteiden ilmestyminen 1900-luvun lopulla tietotekniikan kehityksen yhteydessä nosti esiin kysymyksen niiden asemasta matemaattisessa tieteessä mahdollisten todennettavuusongelmien vuoksi [24] .

Bijection

Bijection proof on tarkoitettu määrittämään väitteitä kokoelman koosta tai rakenteesta tai kokoelman vertailukelpoisuudesta mihin tahansa muuhun kokoelmaan, ja siinä luodaan yksi yhteen vastaavuus tutkittavan joukon ja joukon välille, jolla on tunnetut ominaisuudet. [25] . Toisin sanoen tiettyä kokoelmaa koskevien väitteiden todistaminen pelkistetään todistukseksi rakentamalla bijektio , mahdollisesti lisärajoituksin, kokoelmalla, josta tämä väite tunnetaan. $A$ $B$

Yksinkertaisimpia esimerkkejä bijektiivisistä todisteista ovat todisteet kombinatorisista väitteistä yhdistelmien lukumäärästä tai joukkojen alkioiden lukumäärästä, monimutkaisempia esimerkkejä ovat isomorfismien , homeomorfismien , diffeomorfismien , bimorfismien perustaminen , joista johtuen jo tunnetun objektin ominaisuudet , ovat invariantteja yhden tai erityisen bijektion suhteen. $A$ $B$

Double Count

Geometrinen todiste

Sovellettavat menetelmät

Likimääräiset menetelmät

Todennäköisyyslaskentamenetelmät

Tilastolliset menetelmät

Terminologia

Symbolit

Perinteisesti todisteen loppua merkittiin lyhenteellä " QED ", joka on peräisin latinalaisesta ilmaisusta lat. Quod Erat Demonstrandum ("Mitä vaadittiin todistettavaksi"). Nykyaikaisissa teoksissa merkkiä □ tai ■, ‣, // sekä venäjänkielistä lyhennettä h.t.d. käytetään useammin osoittamaan todisteen loppua .

Muistiinpanot

↑ Bill Casselman. Yksi vanhimmista säilyneistä kaavioista Euclidista . Brittiläisen Kolumbian yliopisto. Haettu 26. syyskuuta 2008. Arkistoitu alkuperäisestä 4. kesäkuuta 2012. (määrätön)
↑ Matemaattinen tietosanakirja . - M . : " Pöllöt. tietosanakirja ", 1988. - S. 211 .
↑ Gastev Yu., Smolyansky M. Muutama sana Fermatin viimeisestä lauseesta // Kvant . - 1972. - T. 8 . - S. 23-25 .
↑ Tsymbalov A. S. Fermatin lause (pääsemätön linkki) . Konferenssiraportti . Moderni humanitaarinen akatemia. Haettu 14. toukokuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 30. maaliskuuta 2009. (määrätön) }
↑ Kranz, 2011 , Babylonialaisilla oli tiettyjä kaavioita, jotka osoittavat, miksi Pythagoraan lause on totta, ja tablettien on havaittu vahvistavan tämän tosiasian, s. 44.
↑ Matematiikan historia, osa I, 1970 , s. 65-66.
↑ Bourbaki, 1963 , s. yksitoista.
↑ Matematiikan historia, osa I, 1970 , s. 73.
↑ Krantz, 2011 , <…> Eudoxus, joka aloitti suurenmoisen perinteen matematiikan järjestämisestä lauseiksi <…> Sen, minkä Eudoxus saavutti matemaattisten formulaatioidensa ankaruudessa ja tarkkuudessa, hän menetti, koska hän ei todistanut mitään, s. 44-45.
↑ Matematiikan historia, osa I, 1970 , s. 95.
↑ Matematiikan historia, osa I, 1970 , s. 59-61.
^ Bourbaki, 1963 , Aristoteleen ja hänen seuraajiensa kirjoituksilla ei näytä olleen huomattavaa vaikutusta matematiikkaan. Kreikkalaiset matemaatikot seurasivat opinnoissaan pythagoralaisten ja heidän seuraajiensa 4. vuosisadalla eKr. ehdottamaa polkua. (Theodore, Theaetetus, Eudoxus), ja he eivät olleet juurikaan kiinnostuneita muodollisesta logiikasta esitellessään tuloksiaan, s. 12-14.
↑ Rabinovich, NL Rabbi Levi ben Gershom ja matemaattisen induktion alkuperä // Tarkkojen tieteiden historian arkisto. - 1970. - Numero. 6 . - S. 237-248 .
↑ Bourbaki, 1963 , s. 27.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 22.
↑ Kranz, 2011 , 3.1. Euler and the Profundity of Intuition, s. 74-75.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 25-26.
↑ Hammack, 2009 , luku 4. Suora todiste, s. 95-109.
↑ Handbook of Mathematical Logic, Volume IV, 1983 , luku 3. Stetman R. Herbrandin lause ja Gentzenin suoran todistuksen käsite, s. 84-99.
↑ Hammack, 2009 , luku 10. Matemaattinen induktio, s. 152-154.
↑ Matemaattinen todiste - Encyclopedia of Mathematics -artikkeli . Dragalin A.G.
↑ Hammack, 2009 , luku 7. Ehdollisten lausuntojen todistaminen, s. 129-138.
↑ Lvovsky S. M., Toom A. L. Analysoidaan kaikki vaihtoehdot // Kvant . - 1988. - Nro 1 . - S. 42-47 .
↑ Samokhin A. V. Neljän värin ongelma: keskeneräinen todistushistoria // Soros Educational Journal . - 2000. - Nro 7 . - S. 91-96 . (linkki ei saatavilla)
↑ Stanley R. Bijektiivisen todisteen ongelmat ( 18. elokuuta 2009). Haettu 12. toukokuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 13. toukokuuta 2013.

Kirjallisuus

Muinaisista ajoista uuden ajan alkuun // Matematiikan historia / Toimittanut Yushkevich A.P. , kolmessa osassa. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
Matemaattisen logiikan hakuteos. IV. Todistusteoria ja konstruktiivinen matematiikka = Matemaattisen logiikan käsikirja / J. Barweiss - M .: Nauka , 1983. - 392 s.
Bourbaki N. Matematiikan perusteet. Logiikka. Joukkoteoria // Esseitä matematiikan historiasta / I. G. Bashmakova (käännetty ranskasta). - M . : Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo, 1963. - S. 37-53. — 292 s. — (Matematiikan elementit).
Todistus / Yu. A. Gastev // Suuri Neuvostoliiton Encyclopedia : [30 nidettä] / ch. toim. A. M. Prokhorov . - 3. painos - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1969-1978.
Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Ways and labyrinths. Esseitä matematiikan historiasta = Routes et dédales / Ranskan kielestä kääntänyt A. A. Bryadinskaya, toimittanut I. G. Bashmakova. - M .: Mir, 1986. - S. 394-402. — 432 s. — (Moderni matematiikka. Suosittu sarja). – 50 000 kappaletta.
Vladimir Andreevich Uspensky . Yksinkertaisimmat esimerkit matemaattisista todisteista . - MTSNMO , 2011. - 56 s. - 2000 kappaletta. — ISBN 978-5-94057-879-6 .
Franklin J., Daoud A. Todistus matematiikassa. - Sydney : Quakers Hill Press, 2001. - 98 s. — ISBN 1876192003 .
Hammak R. Todistuskirja (englanniksi) (2009). Haettu 11. toukokuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 13. toukokuuta 2013.
Krantz SG Todiste on vanukas. Katsaus matemaattisen todistuksen muuttuvaan luonteeseen. -N. Y.:Springer, 2011. - 281 s. —ISBN 978-0387489087.

Linkit

Yu. L. Ershov "Todistus matematiikassa" , A. Gordonin ohjelma 16. kesäkuuta 2003

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	NKC : ph307639