Gaussin menetelmä (kiertoradan määritys)

Gaussin menetelmää taivaanmekaniikassa ja astrodynamiikassa käytetään aluksi määrittämään taivaankappaleen kiertoradan parametrit kolmesta havainnosta.

Käytännössä tarkkuuden lisäämiseksi käytetään enemmän havaintoja, mutta teoriassa kolme riittää. Kohteen taivaallisten koordinaattien lisäksi tarvittavat tiedot ovat havaintoajat ja havaintopisteiden maanpäälliset koordinaatit.

Historia

Vuonna 1801 Ceres löydettiin , mutta jonkin aikaa sen havainnointi oli vaikeaa sen läheisyyden vuoksi Auringon kanssa, minkä jälkeen sitä oli vaikea löytää uudelleen taivaalta. Carl Friedrich Gauss asetti itselleen tehtäväksi määrittää sen kiertoradan käytettävissä olevien havaintojen perusteella, minkä ansiosta hän saavutti maailmanlaajuista mainetta [1] . Alla kuvattu menetelmä soveltuu kuitenkin vain sellaisten kiertoratojen määrittämiseen, joiden fokus on kehossa, josta havaintoja tehdään, joten Gaussin ongelma oli vaikeampi.

Tarkkailijan sijaintivektori

Tarkkailijan sijaintivektori ( ekvatoriaalisessa koordinaatistossa ) voidaan laskea havaintopaikan leveysasteella ja paikallisella sidereaaliajalla :

\mathbf {R_{n}} =\left[{R_{e} \over {\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi _{n}} ))+H_{n}\oikea]\cos \phi _{n}(\cos \theta _{n}\ \mathbf {\hat {I)) +\sin \theta _{n}\ \mathbf { \hat {J}} )+\left[{R_{e}(1-f)^{2} \over {\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi _{n))))+H_{n}\oikea]\sin \phi _{n}\ \mathbf {\hat {K))

tai:

\mathbf {R_{n)) =R_{e}\cos \phi '_{n}\cos \theta _{n}\ \mathbf {\hat {I)) +R_{e}\cos \phi '_{n}\sin \theta _{n}\ \mathbf {\hat {J)) +R_{e}\sin \phi '_{n}\ \mathbf {\hat {K)) ,

missä:

$\mathbf {R_{n}}$ on tarkkailijan sijaintivektori;
$R_{e}$ on sen kappaleen päiväntasaajan säde, jolla tarkkailija sijaitsee;
$f$ - kehon litteys navoissa (esimerkiksi maapallolla - 0,003353);
$\phi _{n}$ — geodeettinen leveysaste;
${\displaystyle \phi '_{n))$ — geosentrinen leveysaste;
$H n$ - korkeus;
$\theta_n$ - paikallinen sideerinen aika.

Suuntavektori objektiin

Kohteen suuntavektori voidaan laskea käyttämällä deklinaatiota ja oikeaa nousua :

\mathbf {{\hat {\rho }}_{n}}=\cos \delta _{n}\cos \alpha _{n}\ \mathbf {\hat {I}} +\cos \ delta _{n}\sin \alpha _{n}\ \mathbf {\hat {J)) +\sin \delta _{n}\ \mathbf {\hat {K))

missä:

$\mathbf {{\hattu {\rho ))_{n))$ on kohteen suuntavektori;
$\delta _{n}$ - deklinaatio;
$\alpha_{n}$ - oikea ylösnousemus.

Ratamäärittely

Seuraavaksi sinun on hankittava etäisyysvektori esineeseen, ei vain sen yksikkösuuntavektori.

Vaihe 1

Havaintojen väliset aikavälit lasketaan:

\tau _{1}=t_{1}-t_{2}

\tau _{3}=t_{3}-t_{2}

\tau =t_{3}-t_{1},

missä ovat havaintoajat. $t_{n}$

Vaihe 2

Vektorituotteet lasketaan :

\mathbf {p_{1}} =\mathbf ({\hat {\rho }}_{2}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{3}}

\mathbf {p_{2}} =\mathbf ({\hat {\rho }}_{1}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{3}}

\mathbf {p_{3}} =\mathbf ({\hat {\rho }}_{1}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{2}}

Vaihe 3

Sekatuotteet lasketaan :

D_{0}=\mathbf {{\hat {\rho }}_{1}} \cdot \mathbf {p_{1}}=\mathbf {{\hat {\rho }}_{1} } \cdot (\mathbf {{\hat {\rho }}_{2}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{3}} )

D_{11}=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{12}=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{2} } \qquad D_{13}=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{3}}

D_{21}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{22}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{2} } \qquad D_{23}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{3}}

D_{31}=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{32}=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{2} } \qquad D_{33}=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{3}}

Vaihe 4

Paikkakertoimet lasketaan:

A={\frac {1}{D_{0}}}\left(-D_{12}{\frac {\tau _{3}}{\tau }}+D_{22}+D_{ 32}{\frac {\tau _{1}}{\tau }}\right)

B={\frac {1}{6D_{0}}}\left[D_{12}\left(\tau _{3}^{2}-\tau ^{2}\oikea){\ frac {\tau _{3}}{\tau }}+D_{32}\left(\tau ^{2}-\tau _{1}^{2}\right){\frac {\tau _{ 1}}{\tau}}\oikea]

E=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {\rho }}_{2}}

Vaihe 5

Lasketaan tarkkailijan sijaintivektorin moduuli toisen havainnon aikana:

{R_{2}}^{2}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {R_{2}}

Vaihe 6

Polynomikertoimet lasketaan etäisyyden löytämiseksi:

a=-\left(A^{2}+2AE+{R_{2}}^{2}\oikea)

b=-2\mu B(A+E)

c=-\mu ^{2}B^{2},

missä on sen kappaleen painovoimaparametri , jonka ympäri pyöriminen tapahtuu. $\mu$

Vaihe 7

Etsimme ratkaisuja yhtälöön:

{r_{2}}^{8}+a{r_{2}}^{6}+b{r_{2}}^{3}+c=0,

missä on etäisyys kohteeseen toisen havainnon aikaan. $r_{2}$

Kuutioyhtälöllä voi olla enintään kolme reaalijuurta. Jos niitä on useampi kuin yksi, sinun on tarkistettava jokainen niistä.

Vaihe 8

Havaintopisteiden etäisyydet kohteeseen lasketaan kullakin havaintohetkellä:

\rho _{1}={\frac {1}{D_{0}}}\left[{\frac {6\left(D_{31}{\dfrac {\tau _{1}}{) \tau _{3}}}+D_{21}{\dfrac {\tau }{\tau _{3}}}\right){r_{2}}^{3}+\mu D_{31}\ vasen(\tau ^{2}-{\tau _{1}}^{2}\oikea){\dfrac {\tau _{1}}{\tau _{3}}}}{6{r_{ 2}}^{3}+\mu \vasen(\tau ^{2}-{\tau _{3}}^{2}\oikea)}}-D_{11}\oikea]

{\displaystyle \rho _{2}=A+{\frac {\mu B}{{r_{2}}^{3))))

\rho _{3}={\frac {1}{D_{0}}}\left[{\frac {6\left(D_{13}{\dfrac {\tau _{3}}{) \tau _{1))}-D_{23}{\dfrac {\tau }{\tau _{1))}\right){r_{2))^{3}+\mu D_{13}\ vasen(\tau ^{2}-{\tau _{3}}^{2}\oikea){\dfrac {\tau _{3}}{\tau _{1}}}}{6{r_{ 2}}^{3}+\mu \vasen(\tau ^{2}-{\tau _{1}}^{2}\oikea)}}-D_{33}\oikea]

Vaihe 9

Kohteen sijaintivektorit lasketaan ( ekvatoriaalisessa koordinaatistossa ):

\mathbf {r_{1}} =\mathbf {R_{1}} +\rho _{1}\mathbf {{\hattu {\rho }}_{1}}

\mathbf {r_{2}} =\mathbf {R_{2}} +\rho _{2}\mathbf {{\hattu {\rho }}_{2}}

\mathbf {r_{3}} =\mathbf {R_{3}} +\rho _{3}\mathbf {{\hattu {\rho }}_{3}}

Vaihe 10

Lagrangen kertoimet lasketaan . Tästä syystä kiertoradan määritelmästä tulee epätarkka:

f_{1}\noin 1-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{1}}^ {2}

f_{3}\noin 1-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{3}}^ {2}

g_{1}\approx \tau _{1}-{\frac {1}{6}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _ {1}}^{3}

g_{3}\approx \tau _{3}-{\frac {1}{6}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _ {3}}^{3}

Vaihe 11

Kohteen nopeusvektori lasketaan toisen havainnon aikaan (ekvatoriaalisessa koordinaattijärjestelmässä):

\mathbf {v_{2}} ={\frac {1}{f_{1}g_{3}-f_{3}g_{1}}}\left(-f_{3}\mathbf {r_ {1}} +f_{1}\mathbf {r_{3}} \right)

Vaihe 12

Nyt tiedämme kohteen sijainnin ja nopeuden tietyllä hetkellä. Siten on mahdollista määrittää kiertoradan parametrit [2] .

Muistiinpanot

↑ Gauss . Haettu 11. maaliskuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 15. toukokuuta 2012. (määrätön)
↑ Orbitaalimekaniikka insinööriopiskelijoille . Haettu 11. maaliskuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 10. marraskuuta 2020. (määrätön)

Kirjallisuus

Der, Gim J.. "Uudet vain kulmat -algoritmit alkuperäisen kiertoradan määrittämiseen." Advanced Maui Optical and Space Surveillance Technologies -konferenssi. (2012). tulosta _

Taivaan mekaniikka

Lait ja tehtävät	Newtonin lait Painovoimalaki Keplerin lait Kaksi kehon ongelmaa Kolme kehon ongelmaa Gravitaatio N-kappaleen ongelma Bertrandin ongelma Keplerin yhtälö
Taivaallinen pallo	Taivaallinen koordinaattijärjestelmä galaktinen vaakasuoraan päiväntasaajan- ekliptiikka Kansainvälinen taivaankoordinaattijärjestelmä Pallomainen koordinaattijärjestelmä maailman akseli Taivaallinen päiväntasaaja oikea ylösnousemus deklinaatio Ekliptinen Päiväntasaus Päivänseisaus perustaso
Rataparametrit _	Kepleriläiset kiertoradan elementit epäkeskisyys puolipääakseli tarkoittaa anomaliaa nouseva solmupituusaste periapsis argumentti Apocenter ja periapsis Ratanopeus Ratasolmu Epoch
Taivaankappaleiden liikkeet	Auringon ja planeettojen liike taivaalla Ephemeris Planeetan kokoonpanot vastakkainasettelua yhdiste kvadratuuri venymä planeettojen paraati Pimennys auringonpimennys kuunpimennys saros Metoninen kierto Pinnoite Ohjaus huipentuma sideerinen ajanjakso synodinen ajanjakso Kiertojakso kiertoradan resonanssi Equinox Prelude Lähentyminen libration Painovoiman laajuus Kozai-efekti Jarkovski-efekti Dzhanibekovin vaikutus

Astrodynamiikka

Avaruuslento	avaruuden nopeus ensimmäinen (ympyrä) toinen (parabolinen) kolmas neljäs Tsiolkovskyn kaava Painovoiman liike Hohmannin lentorata Elementtien oskulointimenetelmä Vuorovesikiihtyvyys Orbitaalin kaltevuuden muutos Planeettojen välinen liikenneverkko Telakointi Lagrangen pisteet Pioneeriefekti
SC kiertoradat	geostationaarinen kiertorata Heliosentrinen kiertorata geosynkroninen kiertorata geosentrinen kiertorata geosiirtorata Matala maan kiertorata napainen kiertorata Rata "Tundra" Auringon synkroninen kiertorata Rata "Salama" Oskuloiva kiertorata