Poisson-jakauma

Poisson-jakauma
Todennäköisyysfunktio
jakelutoiminto
Nimitys	${\mathrm {P}}(\lambda )$
Vaihtoehdot	$\lambda \in (0,\infty )$
Kuljettaja	$k\in \{0,1,2,\ldots\}$
Todennäköisyysfunktio	${\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!)}}$
jakelutoiminto	${\frac {\Gamma (k+1,\lambda )}{k!)))$
Odotettu arvo	$\lambda$
Mediaani	$\noin \llattia \lambda +1/3-0,02/\lambda \rlattia$
Muoti	$\llattia \lambda \rlattia$
Dispersio	$\lambda$
Kurtoosikerroin	$\lambda ^{-1}$
Differentiaalinen entropia	$\lambda [1\!-\!\ln(\lambda )]\!+\!e^{{-\lambda }}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {\ lambda ^{k}\ln(k!)}{k!}}$
Hetkien funktion luominen	$\exp(\lambda (e^{t}-1))$
ominaista toimintoa	$\exp(\lambda (e^{it}-1))$

Poisson -jakauma on satunnaismuuttujan diskreettityyppinen jakauma, joka edustaa tiettynä aikana tapahtuneiden tapahtumien määrää , edellyttäen, että nämä tapahtumat tapahtuvat jollakin kiinteällä keskimääräisellä intensiteetillä ja toisistaan riippumatta .

Poisson-jakauma on avainasemassa jonoteoriassa .

Määritelmä

Valitaan kiinteä luku ja määritetään diskreetti jakauma , jonka antaa seuraava todennäköisyysfunktio : $\lambda>0$

p(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }

missä

$k$ - tapahtumien määrä,
$\lambda$ - satunnaismuuttujan matemaattinen odotus (tapahtumien keskimääräinen määrä tietyn ajanjakson aikana),
$k!$ tarkoittaa luvun tekijää , $k$
$e=2{,}718281828\ldots$ on luonnollisen logaritmin kanta .

Se tosiasia, että satunnaismuuttujalla on Poisson-jakauma matemaattisella odotuksella , kirjoitetaan: . $Y$ $\lambda$ $Y\sim ~{\mathrm {P}}(\lambda )$

Moments

Poisson-jakauman momenttigeneraattorifunktio on muotoa:

E_{Y}(t)=e^{{\lambda \left(e^{t}-1\right)}}

missä

{\mathbb {M}}[Y]=\lambda

{\mathbb {D}}[Y]=\lambda

Jakauman tekijämomenteille pätee yleinen kaava:

\mathbb {M} Y^{[k]}=\sum _{i=0}^{k}\lambda ^{i}\left\{{\begin{matrix}k\\i\end {matriisi}}\oikea\}

jossa kiharat hakasulkeet tarkoittavat toisen tyyppisiä Stirling-lukuja . $k=1,2,...$

Ja koska momentit ja faktorimomentit liittyvät lineaarisesti toisiinsa, Poisson-jakauman kannalta tutkitaan usein faktoriaalisia momentteja, joista voidaan tarvittaessa johtaa myös tavallisia momentteja.

Poisson-jakauman ominaisuudet

Riippumattomien Poisson-satunnaismuuttujien summalla on myös Poisson-jakauma. Anna . Sitten $Y_{i}\sim {\mathrm {P}}(\lambda _{i}),\;i=1,\ldots ,n$

Y=\sum \limits _{{i=1}}^{n}Y_{i}\sim {\mathrm {P}}\left(\sum \limits _{{i=1}}^{n} \lambda _{i}\right)

Anna , ja . Sitten ehdollinen jakauma ehdolla, että , on binomiaalinen. Tarkemmin: $Y_{i}\sim {\mathrm {P}}(\lambda _{i}),\;i=1,2$ ${\displaystyle Y=Y_{1}+Y_{2))$ $Y_{1}$ $Y=y$

Y_{1}\mid Y=y\sim {\mathrm {Bin}}\left(y,{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}} \oikea)

Kun Poisson-jakauma kasvaa , se pyrkii Gaussin jakaumaan keskihajonnan ja siirtymän kanssa . Tämän todistamiseksi meidän on sovellettava Stirlingin kaavaa kertoimelle ja sitten käytettävä Taylor-sarjan laajennusta jakauman läheisyydessä ja huipun sisällä . Sitten se selviää $\lambda$ $\sigma=\sqrt{\lambda}$ $\lambda$ $\ln(\lambda/k)^k$ $k=\lambda$ $\sqrt{k}\approx\sqrt{\lambda}$

p(k)\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi\lambda}}\exp\left(-\frac{(k-\lambda)^2}{2\lambda}\oikea)

Asymptoottinen taipumus jakautumiseen

Melko usein todennäköisyysteoriassa ei oteta huomioon itse Poisson-jakaumaa, vaan sen kanssa asymptoottisesti yhtä suuria jakaumia. Muodollisemmin harkitse satunnaismuuttujien sarjaa, joka ottaa kokonaislukuarvot siten, että jokaiselle se pätee . $\xi _{1},\xi _{2},\pisteet$ $k$ $P\{\xi _{n}=k\}\sim {\frac {\lambda ^{k}e^{{-\lambda }}}{k!)}}$ $n\to\infty$

Yksinkertaisin esimerkki on, kun sillä on binomijakauma, jolla on onnistumisen todennäköisyys jokaisessa kokeessa. $\xi _{n}$ ${\frac {\lambda }{n}}$ $n$

Palaute tekijähetkellä

Tarkastellaan satunnaismuuttujien sarjaa, joka ottaa ei-negatiivisia kokonaislukuja. Jos for ja jollekin kiinteälle (missä on -th factorial moment ), niin minkä tahansa for , meillä on . $\xi _{1},\xi _{2},\dots ,$ $\mu _{r}({\xi _{n)))\sim \lambda ^{r}$ $n\to\infty$ $r$ $\mu _{r}({\xi _{n)))$ $r$ $k$ $n\to\infty$ $P\{\xi _{n}=k\}\sim {\frac {\lambda ^{k}e^{{-\lambda }}}{k!)}}$

Todiste Lemma

Todistetaan ensin yleinen kaava satunnaismuuttujan tietyn arvon esiintymistodennäköisyyden laskemiseksi tekijämomenttien muodossa. Anna joillekin me kaikki tiedämme ja . Sitten $\xi$ $\mu _{r}(\xi )$ $\mu _{r}(\xi )\arvoksi 0$ $r\to\infty$

$\sum \limits _{r=k}^{\infty }{(-1)^{rk}{\frac {\mu _{r}(\xi )}{k!(rk)!} }}=\sum \limits _{r=k}^{\infty }{\sum \limits _{s=r}^{\infty }{(-1)^{rk}{\frac {s!} {k!(rk)!(sr)!}}P\{\xi =s\}}}.$

Muuttamalla summausjärjestystä tämä lauseke voidaan muuntaa muotoon

$\sum \limits _{s=k}^{\infty }{P\{\xi =s\}\sum \limits _{r=k}^{s}{\frac {(-1) ^{rk}s!}{k!(rk)!(sr)!}}}=\sum \limits _{s=k}^{\infty }{P\{\xi =s\}{\frac {s!}{k!}}\sum _{t=0}^{sk}{\frac {(-1)^{t}}{t!((sk)-t)!}}}.$

Lisäksi tunnetusta kaavasta saamme, että at ja sama lauseke degeneroituu muotoon at . $\sum \limits _{{k=0}}^{{n}}{(-1)^{k}C_{n}^{k}}=0$ ${\frac {s!}{k!}}\sum _{{t=0}}^{{sk}}{{\frac {(-1)^{t}}{t!((sk)- t)!}}}=0$ $s>k$ $yksi$ $s=k$

Siten se on todistettu $P\{\xi =k\}=\sum \limits _{r=k}^{\infty }{(-1)^{rk}{\frac {\mu _{r}(\xi )}{k!(rk)!}}}.$

Todistus lauseesta

Lemman ja lauseen ehtojen mukaan . $P\{\xi _{n}=k\}\sim \sum \limits _{{r=k}}^{{\infty }}{(-1)^{{rk}}{\frac {\ lambda ^{r}}{k!(rk)!}}}=\sum \limits _{{r=0}}^({\infty }}{(-1)^{r}{\frac {\ lambda ^{{r+k}}}{k!r!}}}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\sum \limits _{{r=0}}^{{ \infty )){{\frac {(-\lambda )^{r}}{r!}}}={\frac {\lambda ^{k}e^{{-\lambda }}}{k!} }$ $n\to\infty$

QED

Esimerkkinä tämän lauseen ei-triviaalista seurauksesta voidaan mainita esimerkiksi asymptoottinen taipumus eristettyjen reunojen (kaksi kärkeä kytkeytyvien komponenttien) lukumäärän jakautumiseen satunnaisessa -vertex-graafissa, jossa kukin reunat sisällytetään kuvaajaan todennäköisyydellä . [yksi] ${\mathrm {P}}(\lambda )$ $n$ $p_{n}\sim {\frac {2\lambda }{n^{2))}$

Historia

Siméon Denis Poissonin "Studies on the Probability of the Sentencing in Criminal and Civil Cases" [2] , jossa tämä jakelu esiteltiin, julkaistiin vuonna 1837 [3] . Esimerkkejä muista tilanteista, joita voidaan mallintaa tämän jakauman avulla, ovat: laiterikkoja, vakaan työntekijän huoltoaika, tulostusvirhe, bakteerien kasvu petrimaljassa , viat pitkässä nauhassa tai ketjussa, säteilylaskuripulssit, tehtyjen maalien määrä jalkapallojoukkue ja muut [4]

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Data-analyysin koulun videoluento . Käyttöpäivä: 7. joulukuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 8. huhtikuuta 2014. (määrätön)
↑ Poisson, 1837 .
↑ Chukova Yu. P. Poisson-jakelu // "Kvantti" : tieteellinen pop. Fys.-Math. -lehteä - M . : "Nauka" , 1988. - Nro 8 . — s. 15‒18 . — ISSN 0130-2221 .
↑ Vince, 2012 , s. 370.

Kirjallisuus

Ventzel E. S. , Ovcharov L. A. Todennäköisyysteoria ja sen tekniset sovellukset. 2. painos - M . : Korkeakoulu , 2000. - 480 s. - ISBN 978-5-406-00565-1 . - S. 135.
Vince, Ralph. Rahanhallinnan riskianalyysitekniikoiden matematiikka kauppiaille. — M .: Alpina Publisher , 2012. — 400 s. - ISBN 978-5-9614-1894-1 .
Poisson S. D. Tutkimuksia tuomion todennäköisyydestä rikos- ja siviilitapauksissa = Poisson S.-D. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. - Berliini: NG Verlag (Viatcheslav Demidov Inhaber), 2013. - 330 s. — ISBN 978-3-942944-29-8 . [Poisson.pdf ] . Arkistoitu alkuperäisestä 1. marraskuuta 2014. (määrätön)
Guerriero V. Power Law Distribution: Method Multi-scale Inferential Statistics . — Journal of Modern Mathematics Frontier , 2012, 1 . - s. 21-28. Arkistoitu 21. helmikuuta 2018 Wayback Machineen

Linkit

Poisson Distribution - Online-laskin

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Hienoa norjalaista Iso venäläinen Suuri Neuvostoliitto (1 painos) Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4253010-6 J9U : 987007558217205171 LCCN : sh85103956 NDL : 00569122

Todennäköisyysjakaumat
Diskreetti	Bernoulli Binomi Geometrinen hypergeometrinen Logaritminen Negatiivinen binomi Poisson Diskreetti univormu Multinomi
Ehdottomasti jatkuvaa	Beeta Weibulla Gamma- hypereksponentiaalinen Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormaali Normaali (Gaussin) Logistinen Nakagami Pareto Pearson puoliympyrän muotoinen jatkuva yhtenäinen Riisi Rayleigh Opiskelija Tracey - Vidoma Fisher Chi-neliö Eksponentiaalinen Varianssi-gamma Monimuuttuja normaali kopula