Aksiaalinen vektori

Aksiaalinen vektori tai pseudovektori on suure, jonka komponentit muunnetaan tavallisen (tosi) vektorin komponenteiksi, kun koordinaattijärjestelmää kierretään , mutta joiden etumerkki muuttuu päinvastaiseksi kuin vektorin komponentit käyttäytyvät minkä tahansa koordinaattien käänteisliikkeen (merkkien käänteisen) kanssa. muuttaa kannan suuntausta (kolmiulotteisessa avaruudessa oikealta vasemmalle tai päinvastoin; tällainen muunnos voi olla esimerkiksi peilikuva, yksinkertaisimmassa tapauksessa yhden koordinaattiakselin peilikuva). [1] Toisin sanoen pseudovektori kääntää suunnan säilyttäen absoluuttisen arvon (kerrotettuna "-1":llä) mille tahansa tällaiselle koordinaattijärjestelmän käänteelle.

Graafisesti kuvattu pseudovektori tällaisella koordinaattien muutoksella muuttaa suuntaa päinvastaiseksi.

Jotta voitaisiin korostaa eroa reaalivektorin välillä, jonka koordinaatit muunnetaan aina samalla tavalla kuin siirtymävektorin koordinaatit, reaalivektoria kutsutaan tosi- eli polaariseksi vektoriksi .

Yksinkertaisin esimerkki aksiaalisesta vektorista kolmiulotteisessa avaruudessa on kahden polaarisen vektorin ristitulo , esimerkiksi mekaniikassa  - impulssin momentti ja voimamomentti , neliulotteisessa avaruudessa  - aksiaalinen virta .

Ulkoisen algebran puitteissa pseudovektoria edustaa (n-1)-vektori n-ulotteisessa avaruudessa. Geometrisesti yksinkertainen (n-1)-vektori on suunnattu aliavaruus, joka on kohtisuorassa johonkin akseliin nähden. Siten kolmiulotteisessa avaruudessa pseudovektori on bivektori , joka puolestaan ​​voidaan esittää orientoituna tasona.

Perustiedot

Koordinaatteja muunnettaessa aksiaalivektorin koordinaatit kerrotaan lisäkertoimella (-1) verrattuna todellisten (toisin sanoen polaaristen) vektorien koordinaattimuunnoksiin, jos kanta muuttaa suuntausta (esim. jos kantaa peilataan heijastus). Siten aksiaalinen vektori, kuten pseudoskalaari , on pseudotensorin erikoistapaus . Graafisesti kuvattu pseudovektori tällaisella koordinaattien muutoksella muuttaa suuntaa päinvastaiseksi.

• Geometriassa pseudovektorin yleisin käyttötapa voi olla kolmiulotteisen äärettömän pienen kierron esittäminen sen avulla . Luultavasti (?), termi aksiaalinen vektori tulee juuri tästä, koska pseudovektori määrittää pyörimisakselin (sen suunnan), mutta vain kertoimeen (±1) asti, jolloin pyörimissuunta liittyy ehdolliseen mielivaltaiseen valintaan oikean perustan matematiikan näkökulmasta. [2] Toisin kuin todellinen (polaarinen) vektori, joka edustaa suunnattua segmenttiä (tai rinnakkaista käännöstä ) melko varmasti ja yksiselitteisesti alku- ja loppupisteiden antamaa.
• Mekaniikassa - kinematiikassa - suorassa yhteydessä edellä mainittuun äärettömän pienimuotoisen kierron esitykseen - yleisin pseudovektorisuure on kulmanopeusvektori . Todellinen nopeusvektori saadaan kulmanopeuden pseudovektorista pseudovektorioperaatiolla . Statiikassa ja dynamiikassa nämä ovat ennen kaikkea edellä mainitut voima- ja impulssimomentit.

Tavallinen tapa luoda pseudovektoreita on pseudovektorioperaatiot, yleisin, ellei ainoa kolmiulotteisessa tapauksessa käytetty, on vektoritulo (koska se sisältää Levi-Civita-pseudotensorin tavallisessa koordinaattimerkinnässä ) ja operaatiot, jotka sisältävät vektoritulon (esimerkiksi roottori jne.) n.) [3] tai pariton määrä niitä. Pseudovektorioperaatio luo pseudovektorit ja pseudoskalaarit todellisista vektoreista ja skalaareista.

Joten kun tosivektori kerrotaan todellisella vektorilla, skalaaritulossa saadaan todellinen skalaari ja vektoritulossa pseudovektori. Kun tosivektori kerrotaan pseudovektorilla, skalaaritulossa saadaan pseudoskalaari ja vektoritulossa todellinen vektori. Kun kerrotaan kaksi pseudovektoria, saadaan todellinen skalaari skalaaritulossa ja pseudovektori vektoritulossa.

Fysikaalisissa teorioissa, lukuun ottamatta niitä, joissa on selvä ja periaatteessa havaittavissa oleva tilan peilisymmetrian rikkomus, pseudovektorit voivat olla läsnä väliarvoissa, mutta äärellisissä, havaittavissa, tekijät (-1) peiliheijastusten tapauksessa koordinaattien heijastukset on tuhottava, esiintyen parillisen määrän tuloissa (parillinen määrä pseudovektoria + pseudoskalaari + muut pseudotensoritekijät).

• Esimerkiksi klassisessa sähködynamiikassa magneettikentän induktio  on pseudovektori, koska se syntyy pseudovektorioperaatiolla, esimerkiksi Biot -Savartin laissa , mutta itse tämä arvo (pseudovektori) on määritelty periaatteessa ehdolliseen kertoimeen asti. , joka voidaan valita +1 tai −1. Todellinen havaittu arvo - varauksen kiihtyvyys magneettikentän vaikutuksesta - sisältää kuitenkin laskelmissaan vielä yhden pseudovektorioperaation Lorentzin voiman lausekkeessa , joka antaa vielä yhden ehdollisen kertoimen ±1, joka on yhtä suuri kuin ensimmäinen. , kun taas mielivaltaisuus katoaa vastauksesta, koska tulo ±1 (±1) antaa vain 1.

Katso myös

• Symmetria
• Skalaari

Muistiinpanot

1. ↑ Puhumme kantavektoreiden muuntamisesta muunnosmatriisilla, jolla on negatiivinen determinantti. Tämä on tärkeä kohta asian olemuksen ymmärtämiselle, koska esimerkiksi kun kaikkien koordinaattien etumerkkiä muutetaan, muunnos vastaa kiertoa (180°) eikä muuta kannan suuntausta vastaavasti. , ja pseudovektori, jolla on tällainen koordinaattimuunnos, muunnetaan samalla tavalla kuin todellinen vektori, se ei muuta etumerkkiä hänen kanssaan.
2. ↑ Se tarkoittaa, että matematiikan näkökulmasta oikeaa kantaa ei voi erottaa vasemmasta (kun taas fysiikan kannalta todellisessa fysikaalisessa maailmassa voi löytää eroja - matemaattisesti katsottuna tämä todellista fyysistä maailmaa ei eroteta suhteessa hypoteettiseen anti-maailmaan peiliheijastuksella, joten jos toinen korvattaisiin toisella, emme yksinkertaisesti huomaisi mitään. Sama pätee oikean perustan yhdistämiseen biologiseen epäsymmetriaan (sydän). on useimmissa ihmisissä vasemmalla, useimmat ovat oikeakätisiä jne. Näin ollen matemaattinen näkökulma tulee siihen tosiasiaan, että valitsemme ensin jonkin perustan, ikään kuin mielivaltaisesti, kutsuen sitä ehdollisesti oikeaksi, ja sitten kaikki muut emäkset voidaan luokitella sen suhteen oikeaan ja vasempaan.
3. ↑ Joissakin tapauksissa jotkin tällaisten operaatioiden määritelmät voivat sisältää implisiittisesti vektoritulooperaation, mutta sen muodollinen läsnäolo on yleensä helppo havaita uudelleenmuotoiltuna. Ja tietysti sen pseudovektoriluonne on mahdollista näyttää suoraan ilman vektoritulon käsitettä.