Eukleideen rinnakkaisuuden aksiooma

Eukleideen rinnakkaisuuden aksiooma eli viides postulaatti on yksi klassisen planimetrian taustalla olevista aksioomeista . Ensimmäisen kerran Euclid [1] julkaisussa " Periaatteet " :

Ja jos kahdelle viivalla putoava viiva muodostaa sisäpuolen ja toisella puolella kulmat ovat pienempiä kuin kaksi viivaa , niin nämä loputtomasti jatketut viivat kohtaavat sillä puolella, jossa kulmat ovat pienempiä kuin kaksi viivaa.

Alkuperäinen teksti  (vanha kreikka)[ näytäpiilottaa] Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες. — ΣTOIXEIA EΥKΛEI∆OΥ

Euclid käyttää postulaatin ja aksiooman käsitteitä selittämättä niiden eroja; Eukleideen "alkujen" eri käsikirjoituksissa lausuntojen jako aksioomeihin ja postulaatteihin on erilainen, samoin kuin niiden järjestys ei ole sama. Geibergin klassisessa Principia -painoksessa mainittu lausunto on viides postulaatti.

Nykykielellä Eukleideen teksti voidaan muotoilla uudelleen seuraavasti [2] :

Jos [tasolla] kolmannen kahden suoran leikkauskohdassa sisäisten yksipuolisten kulmien summa on pienempi kuin 180°, niin nämä viivat leikkaavat riittävän jatkumon, ja lisäksi sillä sivulla, josta tämä summa on alle 180°.

Selvennys, millä puolella suorat leikkaavat, Euklids lisäsi luultavasti selvyyden vuoksi - on helppo todistaa, että se johtuu itse leikkauspisteen olemassaolosta [2] .

Viides postulaatti on äärimmäisen erilainen kuin muut Eukleideen postulaatit, jotka ovat yksinkertaisempia ja ilmeisempiä (katso Eukleideen elementit ). Siksi kahden vuosituhannen ajan yritykset eivät lakanneet sulkea sitä pois aksioomien luettelosta ja päätellä sitä lauseena . Kaikki nämä yritykset päättyivät epäonnistumiseen. "On luultavasti mahdotonta löytää tieteestä jännittävämpää ja dramaattisempaa tarinaa kuin tarina Eukleideen viidennestä postulaatista" [3] . Negatiivisesta tuloksesta huolimatta nämä haut eivät olleet turhia, sillä ne johtivat lopulta universumin geometriaa koskevien tieteellisten ajatusten tarkistamiseen [4] .

Rinnakkaisen postulaatin vastaavat formulaatiot

Nykyaikaisissa lähteissä rinnakkaisuuksien postulaatista annetaan yleensä toinen muoto, joka vastaa V-postulaattia ja kuuluu Proklokseen [5] (jota kutsutaan joskus Playfairin aksioomaksi ):

Tasossa pisteen kautta, joka ei ole tietyllä suoralla , voidaan piirtää yksi ja vain yksi suora yhdensuuntainen annetun suoran kanssa.

Tässä sanamuodossa sanat "yksi ja vain yksi" korvataan usein sanoilla "vain yksi" tai "enintään yksi", koska ainakin yhden sellaisen rinnakkaisuuden olemassaolo seuraa välittömästi Eukleideen elementtien lauseista 27 ja 28.

Yleensä viidennessä postulaatissa on valtava määrä vastaavia muotoiluja, joista monet vaikuttavat itsessään melko ilmeisiltä. Tässä on joitain niistä [6] [7] [8] .

Niiden ekvivalenssi tarkoittaa, että ne kaikki voidaan todistaa, jos hyväksymme V-postulaatin, ja päinvastoin, korvaamalla V-postulaatin millä tahansa näistä väitteistä, voimme todistaa alkuperäisen V-postulaatin lauseena.

Jos V-postulaatin sijasta oletetaan, että pisteparille - suoralle, V-postulaatti on virheellinen, niin tuloksena oleva aksioomijärjestelmä kuvaa Lobatševskin geometriaa . On selvää, että Lobatševskin geometriassa kaikki yllä olevat vastaavat väitteet ovat vääriä.

Viides postulaatti erottuu terävästi muista, melko ilmeinen, se näyttää enemmän monimutkaiselta, ei-ilmiselvältä lauseelta. Eukleides oli luultavasti tietoinen tästä, ja siksi Elementtien ensimmäiset 28 lausetta todistetaan ilman hänen apuaan.

"Eukleideen on täytynyt tuntea rinnakkaispostulaatin eri muodot" [5] . Miksi hän valitsi pelkistetyn, monimutkaisen ja hankalan? Historioitsijat ovat pohtineet tämän valinnan syitä. V.P. Smilga uskoi, että Euclid tällaisella muotoilulla osoitti, että tämä teorian osa oli epätäydellinen [10] . M. Kline kiinnittää huomiota siihen tosiasiaan, että Eukleideen viides postulaatti on paikallinen luonne, eli se kuvaa tapahtumaa rajatulla alueella tason, kun taas esimerkiksi Procluksen muotoilu väittää rinnakkaisuuden tosiasian, joka vaatii harkintaa. koko äärettömästä rivistä [11] . On tehtävä selväksi, että muinaiset matemaatikot välttelivät todellisen äärettömän käyttöä ; esimerkiksi Eukleideen toinen postulaatti ei väitä viivan äärettömyyttä, vaan ainoastaan ​​sitä, että "viivaa voidaan jatkaa jatkuvasti". Muinaisten matemaatikoiden näkökulmasta edellä mainitut rinnakkaispostulaatin vastineet saattoivat tuntua mahdottomilta: ne viittaavat joko todelliseen äärettömyyteen tai (ei vielä käyttöön otettuun) mittauskäsitteeseen tai ne eivät myöskään ole kovin ilmeisiä. Historioitsija Imre Toth [12] esitti toisen version : euklidinen formulaatio saattoi olla (virheellisesti todistettu) lause yhdeltä Eukleideen edeltäjistä, ja kun he olivat vakuuttuneita siitä, ettei sitä voitu todistaa, tila lause nostettiin postulaatiksi sanamuotoa muuttamatta.

Absoluuttinen geometria

Jos V-postulaatti jätetään pois aksioomien luettelosta, niin tuloksena oleva aksioomijärjestelmä kuvaa ns. absoluuttista geometriaa . Erityisesti Eukleideen "Prinsiippien" 28 ensimmäistä lausetta on todistettu käyttämättä V-postulaattia ja viittaavat siksi absoluuttiseen geometriaan. Seuraavassa huomioidaan kaksi absoluuttisen geometrian lausetta:

Yritetään todistaa

Matemaatikot ovat pitkään yrittäneet "parantaa Euklidista" - joko sulkea pois viides postulaatti alkuperäisten väitteiden joukosta, toisin sanoen todistaa se muihin postulaatteihin ja aksioomiin luottaen, tai korvata se toisella, mikä on ilmeistä. kuten muutkin postulaatit. Toivoa tämän tuloksen saavutettavuudesta tuki se tosiasia, että Eukleideen IV postulaatti ( kaikki suorat kulmat ovat yhtä suuret ) osoittautui todella tarpeettomaksi - se todistettiin tiukasti lauseeksi ja jätettiin pois aksioomien luettelosta [6] .

Kahden vuosituhannen aikana ehdotettiin monia todisteita viidennelle postulaatille, mutta ennemmin tai myöhemmin jokaisessa niistä löydettiin looginen virhe (" todistuksen noidankehä "): kävi ilmi, että eksplisiittisten tai implisiittisten premissien joukossa oli väite, jota ei voitu todistaa käyttämättä samaa viidettä postulaattia.

Proklos ( 5. vuosisadalla jKr.) "Euklidisen elementtien kirjan I kommentissa" raportoi, että Claudius Ptolemaios tarjosi tällaisen todisteen , arvostelee hänen todistustaan ​​ja tarjoaa omansa [13] . Hieman yksinkertaistetussa muodossa sitä voidaan kuvata seuraavasti: anna suoran kulkea tietyn pisteen läpi yhdensuuntaisesti suoran kanssa ; todistamme, että mikä tahansa muu saman pisteen kautta kulkeva viiva leikkaa suoran . Kuten edellä mainittiin, suorien välinen etäisyys niiden leikkauspisteestä kasvaa loputtomasti (korostamme vielä kerran, että tämän lauseen todistus ei perustu V-postulaattiin). Mutta lopulta etäisyys ja ylittää yhdensuuntaisten viivojen välisen etäisyyden, eli viivat ja leikkaavat.

Yllä oleva todiste perustuu olettamukseen, että kahden yhdensuuntaisen suoran välinen etäisyys on vakio (tai ainakin rajoitettu). Myöhemmin kävi ilmi, että tämä oletus vastaa viidettä postulaattia.

Posidonius (I vuosisadalla eKr.) ehdotti määrittämään yhdensuuntaiset suorat viivat, jotka ovat yhtä kaukana toisistaan ​​koko pituudeltaan. Tästä määritelmästä on helppo päätellä viides postulaatti. Posidoniuksen määritelmä on kuitenkin virheellinen: mistään ei seuraa, että tietystä suorasta yhtä kaukana oleva suora on suora [14] .

Muinaisen kulttuurin rappeutumisen jälkeen islamilaisten maiden matemaatikot omaksuivat postulaatti V:n. Al-Khwarizmin oppilaan ( IX vuosisata ) [15] todiste al-Jawharista [15] implisiittisesti sisälsi: jos minkä tahansa kolmannen kahden suoran leikkauskohdassa ristikkäiset kulmat ovat yhtä suuret, niin sama tapahtuu, kun samat kaksi suoraa leikkaavat toisen. Ja tämä oletus vastaa viidettä postulaattia.

Thabit ibn Qurra ( 9. vuosisata ) antoi kaksi todistetta; ensimmäisessä hän nojautuu olettamukseen, että jos kaksi viivaa siirtyy poispäin toiselta puolelta, ne välttämättä lähestyvät toiselta puolelta. Toisessa, kuten Posidonius, hän lähtee tasaetäisyyden suorien viivojen olemassaolosta, ja Ibn Kurra yrittää johtaa tämän tosiasian "yksinkertaisen liikkeen" käsitteestä, eli tasaisesta liikkeestä kiinteällä etäisyydellä suorasta (se näyttää ilmeiseltä hänelle, että tällaisen liikkeen liikerata on myös suora) [16] . Kumpikin kahdesta mainitusta Ibn Qurran lausunnosta vastaa viidettä postulaattia.

Ibn al-Haytham teki samanlaisen virheen , mutta hän harkitsi ensin hahmoa, joka myöhemmin tunnettiin nimellä " Lambertin nelikulmio " - nelikulmio, jossa on kolme sisäkulmaa, jotka ovat oikeat. Hän muotoili kolme mahdollista vaihtoehtoa neljänteen kulmaan: terävä, suora, tylppä. Myöhemmissä tutkimuksissa on toistuvasti noussut esiin keskustelu näistä kolmesta hypoteesista eri versioina.

Runoilija ja matemaatikko Omar Khayyam kritisoi yrityksiä tuoda mekaanista liikettä geometriaan. Hän ehdotti V-postulaatin korvaamista toisella, yksinkertaisemmalla: kaksi suppenevaa suoraa leikkaavat toisiaan, ja on mahdotonta, että kaksi suppenevaa suoraa hajoaa lähentymissuunnassa. Kumpikin tämän lausunnon kahdesta osasta vastaa Eukleideen postulaattia [17] .

Al-Abhari tarjosi samanlaisen todisteen kuin al-Jawhari . Al-Samarkandi lainaa tätä todistetta kirjassaan , ja useat tutkijat pitivät sitä itse al-Samarkandin kirjoittajana. Todistus lähtee absoluuttisessa geometriassa todenmukaisesta väitteestä, että mille tahansa suoralle, joka leikkaa tietyn kulman sivut, voidaan rakentaa vielä yksi suora, joka leikkaa saman kulman sivut ja on kauempana sen kärjestä kuin ensimmäinen. Mutta tästä väittämästä kirjoittaja tekee loogisesti perusteettoman johtopäätöksen, että minkä tahansa pisteen kautta tietyn kulman sisällä on mahdollista piirtää viiva, joka leikkaa tämän kulman molemmat puolet - ja perustuu tähän viimeiseen väitteeseen, joka vastaa V-postulaattia, kaikki edelleen todiste.

Nasir ad-Din at-Tusi ehdotti samanlaista rakennetta kuin Omar Khayyam [18] . Huomaa, että at-Tusin teokset tulivat John Vallisin tietoon , ja niillä oli siten rooli ei-euklidisen geometrian tutkimuksen kehittämisessä Euroopassa.

Ensimmäisen meidän tuntemamme yrityksen Euroopassa todistaa Eukleideen rinnakkaisuuden aksiooma ehdotti Gersonides (alias Levi ben Gershom, XIV vuosisata ), joka asui Provencessa (Ranska ). Hänen todisteensa perustui väitteeseen suorakulmion olemassaolosta [19] .

Jesuiittatieteilijän Christopher Claviuksen todisteet juontavat juurensa 1500-luvulle . Hänen todisteensa, kuten ibn Qurrankin, perustui väitteeseen, että viiva, joka on yhtä kaukana suorasta, on myös suora [20] .

Wallis vuonna 1693 toistaa yhdessä teoksessaan al-Tusin teoksen käännöksen ja tarjoaa vastaavan, mutta yksinkertaisemman muotoilun: samanlaisia, mutta ei samanarvoisia lukuja on [21] . Claude Clairaut kirjassaan " Geometrian periaatteet " ( 1741 ), kuten Gersonides, otti V-postulaatin sijaan sen vastineen "on suorakulmio".

Yleisesti ottaen voidaan sanoa, että kaikki edellä mainitut yritykset ovat tuoneet huomattavia etuja: V-postulaatin ja muiden väitteiden välille muodostui yhteys, V-postulaatille muotoiltiin selkeästi kaksi vaihtoehtoa - terävän ja tylpän kulman hypoteesi.

Ensimmäiset luonnokset ei-euklidisesta geometriasta

Italialainen jesuiittamunkki, matematiikan opettaja Girolamo Saccheri suoritti vuonna 1733 perusteellisen tutkimuksen viidennestä postulaatista, joka perustui täysin alkuperäiseen periaatteeseen . Hän julkaisi teoksen " Euclid, puhdistettu kaikista tahroista tai geometrinen yritys vahvistaa kaiken geometrian ensimmäiset periaatteet ". Saccherin ajatuksena oli korvata V-postulaatti päinvastaisella väitteellä, johtaa mahdollisimman monia seurauksia uudesta aksioomajärjestelmästä ja siten rakentaa "väärä geometria" ja löytää ristiriitaisuuksia tai ilmeisen ei-hyväksyttäviä ehtoja tästä geometriasta. Silloin V-postulaatin pätevyys todistetaan ristiriidalla [22] .

Saccheri tarkastelee kaikkia samoja kolmea hypoteesia Lambertin nelikulmion 4. kulmasta. Hän hylkäsi tylpän kulman hypoteesin välittömästi muodollisista syistä. On helppo osoittaa, että tässä tapauksessa yleensä kaikki suorat leikkaavat, ja sitten voimme päätellä, että Eukleideen postulaatti V on totta - hänhän vain toteaa, että tietyissä olosuhteissa suorat leikkaavat. Tästä päätellään, että " tyhkän kulman hypoteesi on aina täysin väärä, koska se tuhoaa itsensä " [23] .

Sen jälkeen Saccheri jatkaa "akuutin kulman hypoteesin" kumoamista, ja tässä hänen tutkimuksensa on paljon mielenkiintoisempi. Hän myöntää, että se on totta, ja hän todistaa yksi kerrallaan joukon seurauksia. Tietämättään hän etenee melko pitkälle Lobatševskin geometrian rakentamisessa . Monet Saccherin todistamista lauseista vaikuttavat intuitiivisesti mahdottomalta hyväksyä, mutta hän jatkaa lauseiden ketjua. Lopuksi Saccheri todistaa, että "väärässä geometriassa" mitkä tahansa kaksi suoraa joko leikkaavat toisiaan tai niillä on yhteinen kohtisuora, jonka molemmilla puolilla ne siirtyvät pois toisistaan ​​tai siirtyvät pois toisistaan ​​toiselta puolelta ja lähestyvät rajattomasti toisella puolella. Tässä vaiheessa Saccheri tekee odottamattoman johtopäätöksen: " terävän kulman hypoteesi on täysin väärä, koska se on ristiriidassa suoran luonteen kanssa " [24] .

Ilmeisesti Saccheri tunsi tämän "todisteen" perusteettomuuden, koska tutkimus on käynnissä. Hän pitää tasaetäisyyttä  - tason pisteiden sijaintia, yhtä kaukana suorasta; toisin kuin edeltäjänsä, Saccheri ymmärtää, että tässä tapauksessa kyseessä ei ole ollenkaan suora viiva. Laskeessaan sen kaaren pituutta Saccheri tekee kuitenkin virheen ja joutuu todelliseen ristiriitaan, minkä jälkeen hän lopettaa tutkimuksen ja ilmoittaa helpottuneena, että hän " katkaisi juuri tämän haitallisen hypoteesin ". Valitettavasti Saccherin uraauurtava teos, joka julkaistiin kuoleman jälkeen, ei kiinnittänyt matemaatikoiden ansaitsemaa huomiota, ja vasta 150 vuotta myöhemmin ( 1889 ) hänen maanmiehensä Beltrami löysi tämän unohdetun teoksen ja arvosti sen historiallista merkitystä.

1700-luvun jälkipuoliskolla julkaistiin yli 50 yhtäläisyyden teoriaa. Noita vuosia koskevassa katsauksessa ( G. S. Klugel ) tarkastellaan yli 30 yritystä todistaa viides postulaatti ja niiden virheellisyys todistetaan. Kuuluisa saksalainen matemaatikko ja fyysikko J. G. Lambert , jonka kanssa Klugel oli kirjeenvaihdossa, kiinnostui myös ongelmasta; hänen "Rinnakkaislinjojen teoria" julkaistiin (kuten Saccherin työ, postuumisti) vuonna 1786 .

Lambert havaitsi ensimmäisenä, että "tyhkän kulman geometria" toteutuu pallolla , jos suorilla viivoilla tarkoitetaan suuria ympyröitä . Hän, kuten Saccheri, päätteli monia seurauksia "akuutin kulman hypoteesista", ja hän eteni paljon pidemmälle kuin Saccheri; Erityisesti hän havaitsi, että kolmion kulmien summan lisääminen 180°:een on verrannollinen kolmion pinta-alaan.

Lambert totesi kirjassaan viisaasti [25] :

Minusta on erittäin merkittävää, että toinen hypoteesi [tyhpästä kulmasta] on perusteltu, jos litteiden kolmioiden sijaan otamme pallomaisia. Minun pitäisi melkein tehdä johtopäätös tästä - johtopäätös, että kolmas hypoteesi pätee jollain kuvitteellisella sfäärillä . Joka tapauksessa täytyy olla syy, miksi sitä ei suinkaan voida niin helposti kumota lentokoneessa kuin se voitaisiin tehdä toisen hypoteesin suhteen.

Lambert ei löytänyt ristiriitaa terävän kulman hypoteesissa ja tuli siihen tulokseen, että kaikki yritykset todistaa V-postulaatti olivat toivottomia. Hän ei ilmaissut epäilyksiä "terävän kulman geometrian virheellisyydestä", mutta toisesta oivaltavasta huomautuksestaan ​​päätellen Lambert ajatteli ei-euklidisen geometrian mahdollista fyysistä todellisuutta ja sen seurauksia tieteelle [ 26] :

Tässä on jotain ihailtavaa, mikä saa toivomaan, että kolmas hypoteesi olisi totta. Ja silti haluaisin <…>, ettei näin olisi, koska siihen liittyisi useita <…> haittoja. Trigonometrisista taulukoista tulisi äärettömän suuria, kuvioiden samankaltaisuutta ja suhteellisuutta ei olisi ollenkaan <...>, tähtitiede olisi ollut huonoa.

Lambertin merkittävä työ, kuten Saccherin kirja, oli paljon aikaansa edellä eikä herättänyt silloisten matemaatikoiden kiinnostusta. Sama kohtalo koki saksalaisten matemaatikoiden F.K. " astraaligeometrialle " .

Samaan aikaan yritykset "pestä pois täplät" Euclidista jatkuivat (Louis Bertrand, Legendre , Semjon Guryev ja muut). Legendre esitti peräti kolme todistetta viidennestä postulaatista, joiden virheellisyys osoitti nopeasti hänen aikalaisensa [27] . Hän julkaisi viimeisen "todistuksensa" vuonna 1823, kolme vuotta ennen Lobatševskin ensimmäistä raporttia uudesta geometriasta.

Ei-euklidisen geometrian löytäminen

1800-luvun ensimmäisellä puoliskolla K. F. Gauss , J. Bolyai , N. I. Lobachevsky ja F. K. Schweikart seurasivat Saccherin määräämää polkua . Mutta heidän tavoitteensa oli jo erilainen - ei paljastaa ei-euklidista geometriaa mahdottomaksi, vaan päinvastoin rakentaa vaihtoehtoinen geometria ja selvittää sen mahdollinen rooli todellisessa maailmassa. Tuolloin se oli täysin harhaoppinen ajatus; kukaan tutkijoista ei aiemmin epäillyt, että fyysinen avaruus on euklidinen. On mielenkiintoista, että Gaussia ja Lobatševskia opetti nuoruudessaan sama opettaja - Martin Bartels , joka ei kuitenkaan itse opiskellut ei-euklidista geometriaa.

Ensimmäinen oli Schweikart. Vuonna 1818 hän lähetti Gaussille kirjeen, jossa hän analysoi vakavasti ei-euklidisen geometrian perusteita, mutta pidättäytyi tuomasta näkemyksiään julkiseen keskusteluun. Gauss ei myöskään uskaltanut julkaista teosta tästä aiheesta, mutta hänen muistiinpanoluonnoksensa ja useat kirjeensä vahvistavat selvästi syvän ymmärryksen ei-euklidisesta geometriasta. Tässä on joitain tunnusomaisia ​​otteita Gaussin kirjeistä, joissa termi " ei-euklidinen geometria " esiintyy ensimmäistä kertaa tieteessä [28] :

Oletus, että kolmion kolmen kulman summa on alle 180°, johtaa omituiseen, aivan erilaiseen [euklidiseen] geometriamme; tämä geometria on täysin johdonmukainen, ja olen kehittänyt sen itselleni varsin tyydyttävästi; Minulla on mahdollisuus ratkaista mikä tahansa ongelma tässä geometriassa, paitsi tietyn vakion [29] määrittäminen, jonka arvoa ei voida määrittää etukäteen.

Mitä enemmän arvoa annamme tälle vakiolle, sitä lähemmäksi pääsemme euklidiseen geometriaan, ja sen äärettömän suuri arvo johtaa molempien järjestelmien yhteensopivuuteen. Tämän geometrian ehdotukset näyttävät osittain paradoksaalisilta ja jopa absurdilta tottumattomalle ihmiselle; mutta tiukasti ja rauhallisesti pohdittaessa käy ilmi, että niissä ei ole mitään mahdotonta. Joten esimerkiksi kolmion kaikki kolme kulmaa voidaan tehdä mielivaltaisen pieniksi, jos vain otetaan riittävän suuret sivut; Kolmion pinta-ala ei voi ylittää, ei edes saavuttaa tiettyä rajaa, olivatpa sen sivut kuinka suuret tahansa. Kaikki yritykseni löytää ristiriita tai epäjohdonmukaisuus tässä ei-euklidisessa geometriassa ovat olleet hedelmättömät, ja ainoa asia, joka vastustaa järkeämme tässä järjestelmässä on se, että avaruudessa, jos tämä järjestelmä olisi pätevä, pitäisi olla jonkin verran itsemääräämiä. (vaikkakin meille tuntematon) on lineaarinen suure. Mutta minusta näyttää siltä, ​​että, lukuun ottamatta metafyysikkojen sanallista viisautta, joka ei ilmaise mitään, me tiedämme hyvin vähän tai edes mitään avaruuden olemuksesta. ( Kirjeestä Taurinukselle , 1824 )

Vuonna 1818 Gauss ilmaisi huolensa kirjeessään itävaltalaiselle tähtitieteilijälle Gerlingille [30] :

Iloitsen siitä, että uskallat puhua ääneen ikään kuin myöntäisit rinnakkaisteoriamme ja samalla koko geometriamme valheellisuuden. Mutta ampiaiset, joiden pesää häiritset, lentävät päähäsi.

Tutustuttuaan Lobatševskin työhön "Geometriset tutkimukset rinnakkaisteoriassa", Gauss vetosi tarmokkaasti venäläisen matemaatikon valintaan Göttingenin kuninkaallisen seuran ulkomaiseksi vastaavaksi jäseneksi (mikä tapahtui vuonna 1842 ).

Lobatševski ja Bolyai osoittivat enemmän rohkeutta kuin Gauss ja melkein samanaikaisesti (Lobatševski - vuoden 1826 raportissa ja 1829 julkaisussa ; Bolyai - kirjeessä 1831 ja julkaisussa 1832 ) julkaisivat toisistaan ​​riippumatta esityksen siitä, mitä kutsutaan nyt geometria Lobachevsky . Lobatševski eteni pisimmälle uuden geometrian tutkimuksessa, ja tällä hetkellä se kantaa hänen nimeään. Mutta hänen tärkein ansionsa ei ole tässä, vaan siinä, että hän uskoi uuteen geometriaan ja uskalsi puolustaa vakaumustaan ​​(hän ​​jopa ehdotti V-postulaatin kokeellista todentamista mittaamalla kolmion kulmien summa) [31] ] .

Kirjansa New Principles of Geometry johdannossa Lobatševski toteaa päättäväisesti [32] :

Kaikki tietävät, että geometriassa rinnakkaisteoria on toistaiseksi pysynyt epätäydellisenä. Turhat ponnistelut Eukleideen ajoista lähtien kahden tuhannen vuoden aikana saivat minut epäilemään, että itse käsitteet eivät vielä sisällä totuutta, jonka he halusivat todistaa ja joka, kuten muutkin fyysiset lait, voidaan varmistaa vain kokein, kuten esim. kuten esimerkiksi tähtitieteelliset havainnot.< …> Pääjohtopäätös <…> myöntää geometrian olemassaolon laajemmassa merkityksessä kuin sellaisena kuin se esitti meille ensimmäinen Eukleides. Tässä laajennetussa muodossa annoin tieteelle nimen Imaginary Geometry, johon Usable Geometry tulee erikoistapauksena.

Tiedemaailmassa ja virallisessa ympäristössä liian rohkeiden ajatusten vuoksi syrjäytetyn Lobatševskin traaginen kohtalo osoitti, että Gaussin pelot eivät olleet turhia. Mutta hänen taistelunsa ei ollut turhaa. Ironista kyllä, Lobatševskin rohkeiden ideoiden voiton varmisti (postuumisti) varovainen Gauss. 1860-luvulla julkaistiin Gaussin kirjeenvaihto, mukaan lukien useita ylistäviä arvosteluja Lobatševskin geometriasta, ja tämä kiinnitti huomion venäläisen matemaatikon töihin. Vuonna 1868 E. Beltrami julkaisi artikkelin , joka osoitti, että Lobatševsky-tasolla on jatkuva negatiivinen kaarevuus (euklidisella tasolla on nolla kaarevuus, pallolla on  positiivinen); Ei-euklidinen geometria sai hyvin nopeasti laillisen tieteellisen aseman, vaikka sitä pidettiin edelleen puhtaasti spekulatiivisena [33] .

1800-luvun lopulla - 1900-luvun alussa ensin matemaatikot ( Bernhard Riemann , William Kingdon Clifford ) ja sitten fyysikot ( Yleinen suhteellisuusteoria , Einstein ) päättivät vihdoin euklidisen fyysisen avaruuden geometrian dogman . ] .

Itsenäisyystodistuksesta

Viidennen postulaatin riippumattomuus tarkoittaa, että sen negaatio ei ole ristiriidassa geometrian muiden aksioomien kanssa (edellyttäen, että Eukleideen geometria on johdonmukainen). Samalla tämä tarkoittaa Lobatševskin geometrian johdonmukaisuutta . Itse asiassa seuraava lause on totta [34] .

Lause. Lobatševskin geometria on johdonmukainen, jos ja vain jos euklidinen geometria on johdonmukainen.

Tämän lauseen todistamiseksi modernissa matematiikassa käytetään yhden geometrian malleja toisessa. Ensimmäisen geometrian pisteiden, suorien ja muiden kohteiden mallissa objektit rakennetaan toisen geometrian puitteissa siten, että ensimmäisen geometrian aksioomat toteutuvat konstruoiduille objekteille. Siten, jos ristiriita löydettäisiin ensimmäisessä aksioomajärjestelmässä, niin se löydettäisiin toisesta.

On vaikea määritellä tarkasti, kuka ja milloin osoitti tämän lauseen.

Tietyssä mielessä voimme olettaa, että Lobatševski teki tämän jo. Todellakin, Lobatševski huomasi, että Orosfäärin geometria Lobatševskin avaruudessa ei ole muuta kuin euklidinen taso; näin ollen ristiriidan olemassaolo euklidisessa geometriassa johtaisi ristiriitaan Lobatševskin geometriassa [35] . Nykykielellä Lobatševski rakensi mallin euklidisesta tasosta Lobatševskin avaruudessa. Vastakkaiseen suuntaan sen rakentaminen eteni analyyttisesti ja Lobatševskin geometrian johdonmukaisuus seurasi todellisen analyysin johdonmukaisuutta.

Huolimatta näistä työkaluista, Lobatševski ei esittänyt itse johdonmukaisuuslausetta . Sen tiukkaa muotoilua varten tarvittiin looginen analyysi geometrian perusteista , jonka myöhemmin tekivät Pash , Hilbert ja muut [34] .

Olemme velkaa mallin konseptin ilmestymisen Beltramille . Vuonna 1868 hän rakensi projektiivisen mallin , konformisesti euklidisen mallin ja myös paikallisen mallin niin sanotulle pseudosfäärille . Beltrami näki myös ensimmäisenä yhteyden Lobatševskin geometrian ja differentiaaligeometrian välillä.

Beltramin rakentamat mallit kehittivät myöhemmin Klein ja Poincaré , joiden ansiosta rakenne yksinkertaistui huomattavasti, ja myös uuden geometrian yhteyksiä ja sovelluksia projektitiiviseen geometriaan ja monimutkaiseen analyysiin löydettiin . Nämä mallit osoittavat vakuuttavasti, että viidennen postulaatin kieltäminen ei ole ristiriidassa geometrian muiden aksioomien kanssa; Tästä seuraa, että V-postulaatti on riippumaton muista aksioomeista ja sitä on mahdotonta todistaa [33] .

Viides postulaatti ja muut geometriat

Kuten edellä on esitetty, viidennen postulaatin tai sen negaation lisääminen muihin Euklidesin aksioomeihin muodostaa vastaavasti Eukleideen geometrian tai Lobatševskin geometrian . Muissa yleisissä homogeenisissa geometrioissa viidennen postulaatin rooli ei ole niin suuri.

Pallogeometrian aksioomijärjestelmä vaatii Eukleideen aksioomien merkittävämpää muokkausta, koska siinä ei ole yhdensuuntaisia ​​suoria [36] . Projektiivisessa geometriassa rinnakkaiset suorat voidaan määritellä suoriksi, jotka leikkaavat vain pisteessä äärettömässä; niin viidennestä postulaatista tulee yksinkertainen seuraus aksioomasta: " kahden pisteen kautta voidaan vetää yksi ja vain yksi suora ." Todellakin, jos määritämme suoran ja sen ulkopuolella olevan pisteen ja sitten sovellamme yllä olevaa aksioomaa ja pistettä äärettömyyteen, niin tuloksena oleva suora on yhdensuuntainen ja luonnollisesti yksiselitteisesti määrätty [37] .

Muistiinpanot

  1. ↑ Beginnings of Euclid / Käännös kreikasta ja D. D. Mordukhai-Boltovskin kommentit M. Ya. Vygodskyn ja I. N. Veselovskin toimituksellisella osallistumisella. - M. - L .: GTTI, 1948. - T. I. - S. 15. Arkistoitu kopio (linkki ei saatavilla) . Haettu 25. huhtikuuta 2008. Arkistoitu alkuperäisestä 6. huhtikuuta 2008. 
  2. ↑ 1 2 Kagan. Lobatševski, 1948 , s. 164-165.
  3. ↑ Smilga, 1988 , s. neljä.
  4. ↑ 1 2 Zakharov V. D. Painovoima: Aristoteleesta Einsteiniin . Haettu: 28.5.2020.
  5. ↑ 1 2 Matematiikan historia / Toimittanut A. P. Yushkevich , kolmessa osassa. - M .: Nauka, 1970. - T. I. - S. 110.
  6. ↑ 1 2 Mordukhai-Boltovskoy D. D. Kommentteja Euclidin "Aluksi", kirjat I-VI. asetus. op. - S. 241-244.
  7. ↑ Eukleideen viides postulaatti . Haettu 17. maaliskuuta 2008. Arkistoitu alkuperäisestä 13. toukokuuta 2008.
  8. ↑ Kagan. Lobatševski, 1948 , s. 167-175.
  9. ↑ 1 2 3 Lelon-Ferrand J., 1989 , s. 255-256.
  10. ↑ Smilga, 1988 , s. 59-61.
  11. ↑ Kline M. Matematiikka. Varmuuden menetys . - M .: Mir, 1984. - S. 94-95. Arkistoitu kopio (linkki ei saatavilla) . Käyttöpäivä: 13. maaliskuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 12. helmikuuta 2007. 
  12. ↑ Tóth I. Das Parallelenproblem im Corpus Aristotelicum // Tarkkojen tieteiden historian arkisto . - Berliini-Heidelberg-New York, 1967. - Vol. 3 , no. 4.5 _ - S. 249-422 .
  13. ↑ 1 2 Smilga, 1988 , s. 72.
  14. ↑ Laptev B. L. N. I. Lobatševski ja hänen geometriansa. - M . : Koulutus, 1976. - S. 71. - 112 s.
  15. ↑ Matematiikan historia / Toimittanut A. P. Yushkevich , kolmessa osassa. - M .: Nauka, 1970. - T. I. - S. 231.
  16. ↑ Ibn Korra. Kirja, jossa kaksi viivaa, jotka on vedetty kulmassa, joka on pienempi kuin kaksi suoraa, kohtaavat / Käännös ja muistiinpanoja B. A. Rosenfeld. - M .: IMI, 1963. - T. XV. - S. 363-380.
  17. ↑ Khayyam. Tutkielmat / Kääntäjä B. A. Rosenfeld. Toimittaneet V. S. Segal ja A. P. Yushkevich. B. A. Rosenfeldin ja A. P. Yushkevichin artikkeli ja kommentit. - M. , 1962.
  18. ↑ At-Tusi. Tutkimus, joka parantaa epäilystä yhdensuuntaisista viivoista / Käännös B. A. Rosenfeld, muistiinpanot B. A. Rosenfeld ja A. P. Yushkevich. - M . : IMI, 1960. - T. XIII. - S. 483-532.
  19. ↑ Rosenfeld B. A. Keskiaikaisten matemaatikoiden Hassan ibn al-Khaythamin ja Leo Gersonidesin todisteet Eukleideen viidennestä postulaatista. - M . : IMI, 1958. - T. XI. - S. 733-742.
  20. ↑ Clavius ​​C. Euclidis Elementorum, kirjasto XV. - Romae, 1574.
  21. ↑ Wallis. Opera Mathematica, v. II. - Oxoniae, 1693. - S. 665.
  22. ↑ Matematiikan historia / Toimittanut A. P. Yushkevich , kolmessa osassa. - M .: Nauka, 1972. - T. III. - S. 215-217.
  23. ↑ G. Saccheri. Euklid von jedem Makel befreit. Julkaisussa: F. Engel, P. Stackel. Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung zur Vorgeschichte der Nicht-Euklidischen Geometrie. - Leipzig, 1895. - S. 100.
  24. ↑ G. Saccheri. Euklid von jedem Makel befreit. Julkaisussa: F. Engel, P. Stackel. Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung zur Vorgeschichte der Nicht-Euklidischen Geometrie. - Leipzig, 1895. - S. 105.
  25. ↑ Lambert J. H. Deutscher Gelehrter Briefwechsel. bd. 1-5. Herausg. von J. Bernoulli. - Berliini, 1781-1784. - S. 202-203.
  26. ↑ Smilga, 1988 , s. 121.
  27. ↑ Matematiikan historia, osa III, s. 218.
  28. ↑ Geometrian perusteista, s. 101-120.
  29. ↑ Toisesta kirjaimesta seuraa, että vakio on , missä tarkoittaa kaarevuutta .
  30. ↑ Geometrian perusteista, s. 119-120.
  31. ↑ Lobachevsky N. I. Teoksia geometriasta (Täydellinen kokoelma teoksia, osat 1-3). - M. - L .: GITTL, 1946-1949.
  32. ↑ Geometrian perusteista, s. 61-62.
  33. ↑ 1 2 Arcozzi, Nicola. Beltramin ei-euklidisen geometrian mallit  (englanniksi) . Haettu 16. heinäkuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 7. tammikuuta 2017.
  34. ↑ 1 2 Pogorelov A.V. Geometrian perusteet. - Toim. 4. - M .: Nauka, 1979. - S. 18-21. — 152 s.
  35. ↑ katso kohta 34 julkaisussa Lobachevsky, NI Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien  (saksa) . - Berliini: F. Fincke, 1840.
  36. ↑ Peil, Timothy. Hilbertin aksioomit modifioituna tasoelliptiseen geometriaan  . // Geometrian tutkimus . Haettu 18. lokakuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 19. lokakuuta 2016.
  37. ↑ Volberg O. A. Projektiivisen hegmetrian perusideoita. - Toim. 3. - M. - L .: Uchpedgiz RSFSR, 1949. - S. 7. - 188 s.

Kirjallisuus

Linkit

  Siirry Wikidata-kohteeseen  Sanakirjat ja tietosanakirjat
Bibliografisissa luetteloissa