Euklidinen geometria

Euklidinen geometria (tai alkeisgeometria ) on geometrinen teoria , joka perustuu aksioomijärjestelmään , joka esitettiin ensimmäisen kerran Euklidesin elementeissä ( 3. vuosisadalla eKr .).

Perustiedot

Alkugeometria on geometria, jonka määrittelevät pääasiassa siirtymäryhmä ( isometria ) ja samankaltaisuusryhmä . Esitetyt muunnokset eivät kuitenkaan tyhjennä alkeisgeometrian sisältöä. Alkeisgeometria sisältää myös inversiomuunnoksen , pallogeometrian kysymyksiä , geometristen rakenteiden elementtejä , geometristen suureiden mittausteorian ja muita kysymyksiä.

Alkugeometriaa kutsutaan usein euklidiseksi geometriaksi , koska sen alkuperäinen ja systemaattinen esitys, vaikkakaan ei tarpeeksi tiukka, oli Eukleideen elementeissä . Alkeisgeometrian ensimmäinen tiukka aksiomatiikka antoi Hilbert . Yläasteella opiskellaan geometriaa.

Aksiomatiikka

Alkeisgeometrian aksiomatisoinnin tehtävänä on rakentaa aksioomijärjestelmä siten, että kaikki euklidisen geometrian väitteet seuraavat näistä aksioomeista puhtaasti loogisen päättelyn avulla ilman piirustusten visualisointia.

Eukleideen "elementeissä" annettiin aksioomijärjestelmä , johon kaikki euklidinen geometria perustuu:

Suora viiva voidaan vetää mistä tahansa pisteestä mihin tahansa pisteeseen.
Rajoitettua linjaa voidaan jatkaa jatkuvasti suoraa linjaa pitkin.
Ympyrä voidaan kuvata mistä tahansa keskustasta millä tahansa säteellä.
Kaikki suorat kulmat ovat yhtä suuret keskenään.
Jos kahden suoran leikkaava viiva muodostaa sisäisiä yksipuolisia kulmia, jotka ovat pienempiä kuin kaksi suoraa kulmaa, niin loputtomasti jatkettuna nämä kaksi suoraa kohtaavat sillä sivulla, jossa kulmat ovat pienempiä kuin kaksi suoraa kulmaa.

Tämä järjestelmä riitti matemaatikolle ymmärtämään toista, mutta todistuksessa käytettiin implisiittisesti myös muita intuitiivisesti ilmeisiä väitteitä, erityisesti niin sanottua Paschin lausetta , jota ei voida päätellä Eukleideen postulaateista.

Vuonna 1899 Hilbert ehdotti ensimmäistä riittävän tiukkaa euklidisen geometrian aksiomatiikkaa . Ennen Gilbertiä Pasch , Schur , Peano ja Veronese yrittivät parantaa euklidelaista aksiomatiikkaa , mutta Hilbertin lähestymistapa, kaikesta hänen konservatiivisuudestaan käsitteiden valinnassa, osoittautui menestyneemmäksi.

On olemassa muitakin moderneja aksiomatiikkaa, tunnetuimmat ovat:

Aleksandrovin aksiomatiikka ;
Birkhoffin aksiomatiikka , joka sisältää vain 4 aksioomaa, mutta käyttää reaalilukuja valmiina käsitteenä;
Tarskin aksiomatiikka .

Merkintäjärjestelmät

Kilpailevia merkintäjärjestelmiä on useita.

Pisteet on yleensä merkitty isoilla latinalaisilla kirjaimilla . ${\näyttötyyli A,B,C,\pisteet }$
Suorat viivat merkitään yleensä pienillä latinalaisilla kirjaimilla . ${\näyttötyyli a,b,c,\pisteet }$
Pisteiden välinen etäisyys ja on yleensä merkitty tai . $P$ $K$ $PQ$ $|PQ|$
Pisteiden ja välinen segmentti on yleensä merkitty tai . $P$ $K$ $[PQ]$ ${\overline {PQ))$
Säde pisteestä pisteen läpi on yleensä merkitty tai . $P$ $K$ $[PQ)$ ${\overrightarrow {PQ))$
Pisteiden läpi kulkeva viiva on yleensä merkitty tai . $P$ $K$ $(PQ)$ ${\overleftrightarrow {PQ))$
Kolmio, jonka kärjet ovat , ja on yleensä merkitty tai . $P$ $K$ $R$ $\triangle PQR$ $[PQR]$
Kuvan pinta-ala on yleensä merkitty tai . $F$ $S(F)$ $|F|$
Säteiden muodostama kulma, jota yleensä merkitään . $[OP)$ $[OQ)$ $\angle POQ$
Kulman suuruus on yleensä merkitty . $\angle POQ$ $\measuredangle POQ$
- Tässä tapauksessa lyhyyden vuoksi kulman suuruus merkitään usein pienellä kreikkalaisella kirjaimella $\alpha ,\beta ,\gamma ,\dots$

Katso myös

Muistiinpanot

Kirjallisuus

D. Hilbert Geometrian perusteet. Käännös saksasta, toimittanut A. V. Vasiliev. - L . : "Kylväjä", 1923. - 152 s.
Hadamard J. Alkeinen geometria. - Osa 1. - M .: Uchpedgiz, 1948; Osa 2. - M . : Uchpedgiz, 1951.
Matemaattinen tietosanakirja . - M . : " Neuvostoliiton tietosanakirja ", 1988.
Obukhova AI Alkeisgeometrian historia .
Euklidinen geometria // Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja : [30 nidettä] / ch. toim. A. M. Prokhorov . - 3. painos - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1969-1978.

Matematiikan alat

Portaali "Tiede"

Matematiikan perusteet joukko teoria matemaattinen logiikka logiikan algebra

Lukuteoria ( aritmetiikka )

Algebra
Algebra	Yhtälön ratkaisu
Lineaarialgebra	Vektorilaskenta matriiseja Tensorilaskenta Multilineaarinen algebra
Yleisalgebra	Kommutatiivinen algebra Edustusteoria Differentiaalialgebra Homologinen algebra Yleisalgebra Luokkateoria

Analyysi
Klassinen analyysi	Differentiaalilaskenta Integraalilaskenta
Funktion teoria	Harmoninen analyysi Quaternion Analysis Monimutkainen analyysi mittateoria Reaalimuuttujan funktioiden teoria toiminnallinen analyysi Variaatiolaskelma
Differentiaali- ja integraaliyhtälöt	Dynaamiset järjestelmät ja ergodinen teoria Differentiaaliyhtälöt tavallinen osittaisissa johdannaisissa Integraaliyhtälöt
Vektorianalyysi Globaali analyysi Katastrofi teoria Mukautettu analyysi Sujuva äärettömän pieni analyysi

Geometria ja topologia
Geometria	Algebrallinen geometria Analyyttinen geometria Euklidinen geometria Ei-euklidinen geometria Planimetria Stereometria
Topologia	Yleinen topologia Algebrallinen topologia Differentiaaligeometria ja topologia

Diskreetti matematiikka
Kombinatoriikka graafiteoria

Sovellettu matematiikka
Matemaattinen fysiikka Matemaattinen kemia matemaattinen biologia Matemaattiset tilastot Matemaattinen mallinnus Algoritmien teoria Numeeriset menetelmät matemaattinen taloustiede talousmatematiikka Todennäköisyysteoria Toimintatutkimus Peliteoria

Portaali "Matematiikka"
Luokka "Matematiikka"