Todellinen projektiivinen taso

Projektiivitason peruspolygoni	Yksireunainen Möbius-nauha voidaan sulkea projektiivitasoon liimaamalla vastakkaiset reunat yhteen.	Vertailun vuoksi, Klein-pullo on Möbius-nauha, joka on suljettu sylinteriin.

Todellinen projektiotaso on esimerkki kompaktista suuntaamattomasta 2 - jakoputkesta , toisin sanoen yksipuolisesta pinnasta . Projektiivista tasoa ei voida upottaa tavalliseen kolmiulotteiseen avaruuteen ilman itseleikkauskohtaa. Tämän tason pääasiallinen sovellusalue on geometria , koska todellisen projektiivitason päärakenne on R3 : ssa olevien viivojen avaruus, joka kulkee origon kautta.

Taso kuvataan usein topologisesti Möbius-nauhaan perustuvan rakenteen suhteen - jos Möbius-nauhan (yksi) reuna liimataan itseensä oikeaan suuntaan, saadaan projektiivinen taso (tätä ei voi tehdä kolmiulotteisessa avaruudessa ). Vastaavasti ympyrän liimaaminen Möbius-nauhan rajaa pitkin tuottaa projektiivisen tason. Topologisesti pinnalla on Euler-ominaisuus 1, koska puolisuku (ei-orientoituva eli Euler-suku) on 1.

Koska Möbius-nauha puolestaan voidaan rakentaa neliöstä liimaamalla sen kaksi sivua yhteen, todellinen projektiotaso voidaan esittää yksikköneliönä (eli [0,1] × [0,1]), jossa puolet tunnistetaan seuraavalla relaatioekvivalenssilla :

(0,y)\sim (1,1-y),0\leqslant y\leqslant 1

(x,0)\sim (1-x,1),0\leqslant x\leqslant 1

kuten yllä olevassa vasemmassa kuvassa.

Esimerkkejä

Projektiivisessa geometriassa ei välttämättä ole kyse kaarevuudesta, vaan todellinen projektiotaso voidaan kiertää ja sijoittaa euklidiseen tasoon tai kolmiulotteiseen avaruuteen monin tavoin [1] . Alla on kuvattu joitakin tärkeitä esimerkkejä tason sisäkkäisyydestä.

Projektiivista tasoa ei voida upottaa (ilman leikkauspisteitä) kolmiulotteiseen euklidiseen avaruuteen . Todiste tästä menee suunnilleen näin: Oletetaan, että taso on upotettu, niin projektiivinen taso rajaa kolmiulotteisen euklidisen avaruuden kompaktin alueen yleisen Jordan-lauseen mukaisesti . Ulospäin suunnattu yksikkövektorikenttä määrittää sitten jakotukin rajan orientaation , mutta jakotukin rajana on projektiivinen taso , joka ei ole orientoitavissa. Meillä on ristiriita.

Projektiivinen pallo

Tarkastellaan palloa , olkoon pallon suuret ympyrät "suorat viivat" ja vastapäisten pisteiden parit ovat "pisteitä". On helppo varmistaa, että järjestelmä noudattaa projektitiivisen tason aksioomia :

mikä tahansa pari erillistä suurympyrää leikkaa vastakkaisten pisteiden parissa
mitkä tahansa kaksi erillistä paria vastapäisiä pisteitä sijaitsevat yhdellä suurympyrällä

Jos tunnistamme minkä tahansa pallon pisteen sen antipodaalisella pisteellä, saamme esityksen todellisesta projektiivitasosta, jossa projektitiivisen tason "pisteet" ovat todellisia pisteitä. Tämä tarkoittaa, että projektiivinen taso on pallon osamääräavaruus, joka saadaan jakamalla pallo ekvivalenssiluokkiin suhteella , jossa jos y = −x. Tämä osamääräavaruus on homeomorfinen kaikkien R3 : n origon kautta kulkevien suorien joukolle . $\sim$ $x\sim y$

Kertoimen kartoitus pallolta todelliseen projektiivitasoon on itse asiassa kaksiarkkinen (eli kaksi yhteen) peite . Tästä seuraa, että todellisen projektiivitason perusryhmä on 2-kertainen syklinen ryhmä. Yllä olevan kuvan sykli AB voidaan ottaa generaattoriksi.

Projektiivinen puolipallo

Koska pallo peittää todellisen projektiivitason kahdesti, projektiivinen taso voidaan esittää suljettuna puolipallona, jossa tunnistetaan reunan vastakkaiset pisteet [2] .

Battle Surface - Immersion

Projektiivinen taso voidaan upottaa (määrittelyalueen paikallisilla lähialueilla ei ole itseleikkauksia) kolmiulotteiseen avaruuteen. Boin pinta on esimerkki tällaisesta upottamisesta.

Monitahoisilla esimerkeillä on oltava vähintään yhdeksän pintaa [3] .

Roomalainen pinta

Steiner Roman -pinta on projektiivitason degeneroitunut kuvaus kolmiulotteiseksi avaruuteen, joka sisältää Möbius-nauhan .

Monitahoinen esitys on tetrahemiheksaedri [4] , jolla on sama yleinen muoto kuin Steinerin pinnalla.

Semipolyhedra

Toisessa suunnassa joitain abstrakteja säännöllisiä polyhedraja , puolikuutio , semidodekaedri ja semiikosaedri , voidaan rakentaa hahmoiksi projektiivitasolle . Katso artikkeli " Projektiivinen polyhedron ".

Tasomaiset projektiot

Erilaisia tasomaisia projektioita tai projektiotason projektioita on kuvattu. Vuonna 1874 Klein kuvaili kartoitusta [1] $k(x,y)={\sqrt {1+x^{2}+y^{2}}}.(x,y)$

Projektiivisen puolipallon keskiprojektio tasolle antaa tavanomaisen äärettömän projektiivitason, joka kuvataan alla.

Möbius-nauha

Jos liimaamme ympyrän Möbius-nauhalla , saadaan suljettu pinta. Tämä pinta voidaan esittää parametrisesti seuraavilla yhtälöillä:

X(u,v)=r\,(1+\cos v)\,\cos u,

Y(u,v)=r\,(1+\cos v)\,\sin u,

Z(u,v)=-\mathrm {th} \,\left(u-\pi \right)\,r\,\sin v,

jossa u ja v ovat 0:sta 2: een π . Nämä yhtälöt ovat samanlaisia kuin toruksen yhtälöt . Kuvassa 1 on suljettu levy, jossa on Möbius-nauha.

Kuva 1. Kaksi näkymää levystä, jossa on Möbius-nauha.

Möbius-nauhalla varustetussa kiekossa on symmetriataso , joka kulkee leikkauspisteineen segmentin läpi (kuvassa taso on vaakasuora). Kuvassa 1 Möbius-nauhakiekko on esitetty ylhäältä symmetriatason z = 0 suhteen, mutta se näyttää täsmälleen samalta alhaalta katsottuna.

Möbius-nauhalla varustettu kiekko voidaan leikata symmetriatasoa pitkin sillä ehdolla, että kaksoispistettä ei leikata. Tulos näkyy kuvassa 2.

Kuva 2. Kaksi näkymää leikatusta levystä, jossa on Möbius-nauha.

Tässä tilanteessa voidaan nähdä, että leikattu levy, jossa on Möbius-nauha, on homeomorfinen itsensä leikkaavalle levylle, kuten kuvassa 3 on esitetty.

Kuva 3. Kaksi erilaista näkymää itsensä leikkaavasta levystä.

Itseleikkaava levy on homeomorfinen tavalliselle levylle. Itseleikkaavan levyn parametriset yhtälöt:

X(u,v)=r\,v\,\cos 2u,

Y(u,v)=r\,v\,\sin 2u,

Z(u,v)=r\,v\,\cos u,

jossa u on 0 - 2 π ja v on 0 - 1.

Itseleikkaavan levyn projektio symmetriatasolle ( z = 0 yllä olevassa parametrisoinnissa), joka kulkee vain kaksoispisteiden läpi, on säännöllinen levy, joka toistaa itseään (taittuu itseensä).

Taso z = 0 leikkaa itsensä leikkaavan levyn pariksi levyiksi, jotka ovat toistensa peilikuvia . Levyt on keskitetty alkupisteeseen .

Harkitse nyt levyvanteita ( v = 1). Itseleikkaavan kiekon reunan pisteet tulevat pareittain toistensa heijastuksina z = 0 -tason ympäri.

Möbius-nauhalla varustettu kiekko muodostetaan tunnistamalla nämä pisteparit. Tämä tarkoittaa, että piste, jolla on parametrit ( u ,1) ja koordinaatit, tunnistetaan pisteellä ( u + π,1), jonka koordinaatit ovat . Mutta tämä tarkoittaa, että (vastaavan) tavallisen levyn reunalla olevien vastakkaisten pisteiden parit tunnistetaan. Siten kiekosta muodostuu todellinen projektiivinen taso siten, että kuvan 1 pinta (levy Möbius-nauhalla) on topologisesti ekvivalentti todellisen projektiivitason RP2 kanssa . $(r\,\cos 2u,r\,\sin 2u,r\,\cos u)$ $(r\,\cos 2u,r\,\sin 2u,-r\,\cos u)$

Homogeeniset koordinaatit

Tason pisteet voidaan esittää homogeenisilla koordinaateilla . Pisteellä on homogeeniset koordinaatit , kun taas koordinaatit ja vastaavat samaa pistettä kaikille t :n nollasta poikkeaville arvoille . Koordinaattipisteet edustavat tavallista todellista tasoa , jota kutsutaan projektitiivisen tason äärelliseksi osaksi , ja pisteitä, joilla on koordinaatit , kutsutaan pisteiksi äärettömässä tai ideaalisissa pisteissä , jotka muodostavat suoran, jota kutsutaan suoraksi äärettömässä . Homogeeniset koordinaatit eivät edusta mitään pistettä. ${\näyttötyyli [x:y:z]}$ ${\näyttötyyli [x:y:z]}$ $[tx:ty:tz]$ ${\näyttötyyli [x:y:1]}$ ${\näyttötyyli [x:y:0]}$ $[0:0:0]$

Tasossa olevat viivat voidaan esittää homogeenisilla koordinaateilla. Projektiivisella suoralla, joka vastaa tasoa R3:ssa, on homogeeniset koordinaatit . Näin ollen näillä koordinaatteilla on ekvivalenssisuhde kaikille d :n nollasta poikkeaville arvoille . Tämä on seurausta siitä, että saman suoran yhtälö antaa samat homogeeniset koordinaatit. Piste sijaitsee rivillä, jos . Siten viivat, joilla on koordinaatit, joissa a ja b eivät ole yhtä suuria kuin 0, vastaavat tavallisen reaalitason viivoja , koska ne sisältävät pisteitä, jotka eivät ole äärettömässä. Koordinaattiviiva on äärettömässä oleva viiva, koska sillä on vain pisteet, joille . $ax+by+cz=0$ $(a:b:c)$ $(a:b:c)=(da:db:dc)$ $dax+dby+dcz=0$ ${\näyttötyyli [x:y:z]}$ $(a:b:c)$ $ax+by+cz=0$ $(a:b:c)$ $(0:0:1)$ $z=0$

Pisteet, suorat ja tasot

Tasossa P 2 olevaa suoraa voidaan esittää yhtälöllä . Jos katsomme a , b ja c sarakevektoriksi g ja x , y , z sarakevektoriksi x , niin yllä oleva yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti: $ax+by+cz=0$

\mathbf {x} ^{T}\mathbf {g} =0

tai .

\mathbf {g} ^{T}\mathbf {x} =0

Käyttämällä vektorimerkintää voimme sen sijaan kirjoittaa

\mathbf {x} \ldots \mathbf {g} =0

tai .

\mathbf {g} \ldots \mathbf {x} =0

Yhtälö (jossa k on nollasta poikkeava skalaari) pyyhkäisee pois tason, joka kulkee R 3 :n origon läpi , ja k ( x ) pyyhkäisee jälleen origon läpi kulkevan suoran. Taso ja suora ovat lineaarisia aliavaruuksia R 3 :ssa , jotka kulkevat aina origon kautta. $k(\mathbf {x} ^{T}\mathbf {g} )=0$

Ihanteelliset pisteet

P 2 : ssa suoran yhtälö on ja tämä yhtälö voi edustaa mitä tahansa suoraa millä tahansa x , y -tason suuntaisella tasolla , kun yhtälö kerrotaan k :lla . $ax+by+c=0$

Jos z = 1, meillä on normalisoitu homogeeniset koordinaatit. Kaikki pisteet, joille z = 1, luovat tason. Kuvittelemme, että katsomme tätä tasoa (pisteestä kauempana z -akselia pitkin ja katsomme kohti origoa) ja tasossa on kaksi yhdensuuntaista suoraa. Näkökulmasta voimme nähdä vain osan tasosta (näön ominaisuuksien vuoksi), joka on korostettu kuvassa punaisella. Jos siirrymme pois tasosta z -akselia pitkin (ja jatkamme katsomista kohti origoa), voimme nähdä suurimman osan tasosta. Näkemysfragmenttimme lähtökohdat liikkuvat. Voimme heijastaa tätä liikettä jakamalla homogeeniset koordinaatit vakiolla. Kuvassa olemme jakaneet kahdella, joten z -arvo on nyt 0,5. Jos siirrymme riittävän kauas, kyseinen alue muuttuu pisteeksi. Kun siirrymme pois, näemme viivat yhä laajemmin, kun taas yhdensuuntaiset viivat leikkaavat viivalla äärettömässä (suora, joka kulkee origon kautta tasossa z \u003d 0). Tason z = 0 suorat ovat ihanteellisia pisteitä. Taso z = 0 on suora äärettömässä.

Piste, jolla on tasaiset koordinaatit (0, 0, 0), on piste, jossa kaikki todelliset pisteet konvergoivat, kun katsot tasoa äärettömyydestä, ja tason viiva z = 0) on viiva, jossa kaikki yhdensuuntaiset suorat leikkaavat.

Kaksinaisuus

Yhtälössä on kaksi sarakevektoria . Voit muuttaa toista pitäen yhden sarakkeen vakiona. Jos pidämme pisteen x vakiona ja muutamme kertoimia g , luomme uusia pisteen läpi kulkevia suoria. Jos pidämme kertoimet vakioina ja muutamme yhtälön täyttäviä pisteitä, luomme suoran. Käsittelemme x :ää pisteenä, koska käyttämämme akselit ovat x , y ja z . Jos sen sijaan käytämme kertoimina a , b , c -akseleita , pisteistä tulee suoria ja suorista pisteitä. Jos todistetaan jokin tosiasia datan graafiselle esittämiselle x- , y- ja z - akseleilla , voidaan samaa päättelyä käyttää a- , b- ja c -akseleille . Tätä kutsutaan kaksinaisuudesta. $\mathbf {x} ^{T}\mathbf {g} =0$

Pisteitä ja viivojen leikkauspisteitä yhdistävät suorat (kaksoisuudella)

Yhtälö laskee kahden sarakevektorin pistetulon . Kahden vektorin pistetulo on nolla, jos vektorit ovat ortogonaalisia . P 2 -tasossa pisteiden x 1 ja x 2 välinen viiva voidaan esittää sarakevektorina g , joka täyttää yhtälöt ja , eli toisin sanoen sarakevektorina g , joka on ortogonaalinen vektoreihin x 1 ja x nähden. 2 . Ristitulo löytää sellaisen vektorin - kahta pistettä yhdistävällä suoralla on yhtälön - antamat homogeeniset koordinaatit . Kahden suoran leikkauspiste voidaan löytää samalla tavalla, käyttämällä kaksinaisuutta, suoria edustavien vektoreiden ristitulona . $\mathbf {x} ^{T}\mathbf {g} =0$ $\mathbf {x} _{1}^{T}\mathbf {g} =0$ $\mathbf {x} _{2}^{T}\mathbf {g} =0$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2))$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{1}\times \mathbf {g} _{2))$

Upottaminen 4-ulotteiseen avaruuteen

Projektiivinen taso on upotettu 4-ulotteiseen euklidiseen avaruuteen. Todellinen projektiivinen taso P 2 ( R ) on 2-pallon osamääräavaruus

S^{2}=\{(x,y,z)\in \mathbf {R} ^{3}3:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \}

antipodaalisessa suhteessa . Harkitse funktiota, joka on annettu muodossa . Tämä kartoitus rajoittuu kartoitukseen, jonka domeeni on S 2 , ja koska kukin termi on tasa-asteinen homogeeninen polynomi, se saa samat arvot R4 : ssä kummassakin pallon S 2 vastapäispisteessä . Tämä antaa näytön . Lisäksi tämä kartoitus on liite. Huomaa, että tämä upotus mahdollistaa projisoinnin R3 : een , joka roomalainen ${\näyttötyyli (x,y,z)\sim (-x,-y,-z)}$ $\mathbf {R} ^{3}\rightarrow \mathbf {R} ^{4}$ $(x,y,z)\mapsto (xy,xz,y^{2}-z^{2},2yz)$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}(\mathbf {R} )\rightarrow \mathbf {R} ^{4))$

Korkeamman semigenusin suuntautumattomat pinnat

Liimaamalla projektiiviset tasot peräkkäin saadaan korkeamman semigenusin suuntautumattomia pintoja . Liimausprosessi koostuu siitä, että jokaiselta pinnalta leikataan pieni kiekko ja tunnistetaan ( liimataan ) rajat. Liimaamalla kaksi projektiivista tasoa saadaan Klein-pullo .

Peruspolygonia käsittelevä artikkeli kuvaa korkeamman semigenusin ei-orientoituvia pintoja .

Katso myös

Todellinen projektiotila
projektiivinen tila
Tasainen projektiotila

Muistiinpanot

↑ 1 2 Apéry, 1987 .
↑ Viikot, 2002 , s. 59.
↑ Brehm, 1990 , s. 51-56.
↑ Richter .

Kirjallisuus

Apery F. Todellisen projektiivitason mallit. - Vieweg, 1987. - ISBN 9783528089559 .
Coxeter HSM Todellinen projektiivinen taso. – 2. painos - Cambridge: University Press, 1955.
Reinhold Baer. Lineaarinen algebra ja projektiiivinen geometria. - Dover, 2005. - ISBN 0-486-44565-8 .
David A. Richter. Kaksi todellisen projektiivitason mallia .
Viikot J. Avaruuden muoto. - Marcel Dekker, Ine, 2002. - (puhtaan ja sovelletun matematiikan monografiat ja oppikirjat). — ISBN 0-8247-0709-5 .
Brehm U. Kuinka rakentaa minimaaliset polyhedral-mallit Boy-pinnasta // Matemaattinen älykäs. - 1990. - T. 12 , no. 4 .

Linkit

Weisstein, Eric W. Real Projective Plane (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Viivakenttien väritys Werner Boyn todellisella projektiivisella tasoimmersionilla
Todellinen projektiivinen kone YouTubessa

Kompaktit pinnat ja niiden upotus kolmiulotteiseen tilaan

Kompaktin kolmiopinnan homeoformiteettiluokka määräytyy suuntautuvuuden, rajakomponenttien lukumäärän ja Eulerin ominaisuuden perusteella.

ei rajaa

Suuntautuva	Pallo (suku 0) Thor (suku 1) "Kahdeksan" (suku 2) " Pretzel " (suku 3) ...
Suuntautumaton	Todellinen projektiivinen taso suku 1; Taistelun pinta roomalainen pinta Klein-pullo (suku 2) Dick pinta (suku 3) ...

reunalla

Levy
- pallonpuolisko
Nauha
- Rengas
- Sylinteri
Mobius-nauha
- Möbius-nauha
Pallo jossa kolme reikää...

Liittyvät
käsitteet

Ominaisuudet	Yhteydet tiiviys Kolmio tai sileys Suuntautuvuus
Ominaisuudet	Reunuskomponenttien lukumäärä Suku Eulerin ominaisuus
Toiminnot	Yhdistetty summa reiän leikkaaminen Kahvan kiinnittäminen Möbius-nauhan kiinnitys Upotus