Kaareva koordinaattijärjestelmä

Käyräviivainen koordinaattijärjestelmä tai kaarevat koordinaatit on koordinaattijärjestelmä euklidisessa ( affine ) avaruudessa tai sen sisältämällä alueella . Kaarevia koordinaatteja ei vastusteta suoraviivaisten koordinaattien kanssa , jälkimmäinen on edellisen erikoistapaus. Niitä käytetään yleensä tasossa ( n =2) ja avaruudessa ( n =3); koordinaattien lukumäärä on yhtä suuri kuin avaruusmitta n . Tunnetuin esimerkki kaarevasta koordinaattijärjestelmästä on polaarikoordinaatit tasossa.

Kaarevakoordinaattien paikalliset ominaisuudet

Tarkasteltaessa kaarevia koordinaatteja tässä osiossa oletetaan, että tarkastelemme kolmiulotteista avaruutta ( n =3), joka on varustettu suorakulmaisilla koordinaateilla x , y , z . Muiden mittojen tapaus eroaa vain koordinaattien lukumäärästä.

Euklidisen avaruuden tapauksessa metrisen tensorin , jota kutsutaan myös kaaridifferentiaalin neliöksi , on näissä koordinaateissa muoto, joka vastaa identiteettimatriisia:

dS^{2}={\mathbf {dx}}^{2}+{\mathbf {dy}}^{2}+{\mathbf {dz}}^{2}.

Yleinen tapaus

Olkoon , , joitain kaarevia koordinaatteja, joiden katsotaan olevan tasaisia x , y , z funktioita . Jotta kolme funktiota , voisivat toimia koordinaatteina jollain avaruuden alueella, tarvitaan käänteinen kuvaus: $q_{1}$ $q_{2}$ $q_{3}$ $q_{1}$ $q_{2}$ $q_{3}$

\left\{{\begin{matrix}x=\varphi _{1}\left(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right);\\y=\varphi _ {2}\left(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right);\\z=\varphi _{3}\left(q_{1},\;q_{ 2},\;q_{3}\right),\end{matrix}}\right.

missä ovat funktiot, jotka on määritelty jossain koordinaattijoukkojen alueella. $\varphi _{1},\;\varphi _{2},\;\varphi _{3}$ $\left(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right)$

Paikallispohja- ja tensorianalyysi

Tensorilaskennassa voit syöttää paikalliset kantavektorit: , missä ovat karteesisen koordinaatiston ortit, on Jacobi-matriisi , koordinaatit karteesisessa järjestelmässä ovat syötetyt kaarevat koordinaatit. On helppo nähdä, että kaarevat koordinaatit muuttuvat yleensä pisteestä toiseen. Merkitään kaavat käyräviivaisten ja karteesisten koordinaattien väliselle yhteydelle: missä , missä E on identiteettimatriisi. Kahden paikallispohjaisen vektorin tulo muodostaa metrisen matriisin : _ _ ${\mathbf {R_{j))}={\frac {d{\mathbf r}}{dy^{j}}}={\frac {dx^{i}}{dy^{j}}}{ \mathbf e}_{i}=Q_{j}^{i}{\mathbf e}_{i}$ ${\mathbf e}_{i}$ $Q_{j}^{i}$ $x^{i}$ $y^{i}$

${\mathbf R}_{i}=Q_{i}^{j}{\mathbf e}_{j}$
${\mathbf e}_{i}=P_{i}^{j}{\mathbf R}_{j}$ $P_{i}^{j}Q_{j}^{i}=E$

${\mathbf R}_{i}{\mathbf R}_{j}=Q_{i}^{n}Q_{j}^{m}d_{{nm))=g_{{ij))$
${\mathbf R}^{i}{\mathbf R}^{j}=P_{n}^{i}P_{m}^{j}d^{{nm))=g^{{ij))$
$g_{{ij}}g^{{jk}}=g^{{jk}}g_{{ij}}=d_{i}^{k}$ $d_{{ij}},d^{{ij}},d_{j}^{i}$
${\mathbf T}$
${\mathbf T}=T^{{i_{1}...i_{n))}{\mathbf e}_{i}\otimes ...\otimes {\mathbf e}_{n}=T ^{{i_{1}...i_{n}}}P_{{i_{1}}}^{{j_{1}}}...P_{{i_{n}}}^{{j_ {n}}}{\mathbf R}_{{j_{1}}}\otimes ...\otimes {\mathbf R}_{{j_{n}}}$

${\mathbf v}=v^{i}{\mathbf e}_{i}=v^{i}P_{i}^{j}{\mathbf R}_{j}$

Ortogonaaliset kaarevat koordinaatit

Euklidisessa avaruudessa ortogonaalisten kaarevien koordinaattien käyttö on erityisen tärkeää , koska pituuteen ja kulmiin liittyvät kaavat näyttävät yksinkertaisemmilta ortogonaalisissa koordinaateissa kuin tavallisessa tapauksessa. Tämä johtuu siitä, että ortonormaalisen perustan järjestelmien metrimatriisi on diagonaalinen, mikä yksinkertaistaa laskelmia huomattavasti.
Esimerkki tällaisista järjestelmistä on pallomainen järjestelmä ${\mathbb {R}}^{3}$

Lame kertoimet

Kirjoitamme kaaridifferentiaalin kaareviin koordinaatteihin muodossa (käyttäen Einsteinin summaussääntöä ):

dS^{2}=\left({\frac {\partial \varphi _{1)){\partial q_{i))}{\mathbf {dq))_{i}\oikea)^{2}+ \left({\frac {\partial \varphi _{2)){\partial q_{i))}{\mathbf {dq)))_{i}\oikea)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial q_{i}}}{\mathbf {dq}}_{i}\right)^{2},~i=1,2,3

Kun otetaan huomioon koordinaattijärjestelmien ortogonaalisuus ( at ), tämä lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon ${\mathbf {dq}}_{i}\cdot {\mathbf {dq}}_{j}=0$ $i \ne j$

dS^{2}=H_{1}^{2}dq_{1}^{2}+H_{2}^{2}dq_{2}^{2}+H_{3}^{2}dq_{ 3}^{2},

missä

H_{i}={\sqrt {\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial q_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\ partial \varphi _{2}}{\partial q_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial q_{i}}} \oikea)^{2}}};\ i=1,\;2,\;3

Avaruuden pisteestä riippuvia positiivisia arvoja kutsutaan Lame -kertoimiksi tai skaalaustekijöiksi. Lame-kertoimet osoittavat, kuinka monta pituusyksikköä tietyn pisteen koordinaattiyksikkö sisältää, ja niitä käytetään vektoreiden muuntamiseen siirryttäessä koordinaattijärjestelmästä toiseen. $Hei\$

Riemannin metriikan tensori koordinaatteina kirjoitettuna on diagonaalimatriisi , jonka diagonaalissa ovat Lamén kertoimien neliöt: ${q_{i}}$

g_{{ii}}={H_{i}}^{2}

g_{{ij}}=0

i ≠ j :lle

, tuo on

g_{{ij}}={\begin{pmatrix}{H_{1}}^{2}&0&0\\0&{H_{2}}^{2}&0\\0&0&{H_{3}}^{2 }\end{pmatrix}}

Esimerkkejä

Napakoordinaatit ( n =2)

Napakoordinaatit tasossa sisältävät etäisyyden r napaan (alkuperä) ja suunnan (kulman) φ.

Napakoordinaattien kytkentä suorakulmaiseen:

\left\{{\begin{matrix}x=r\cos {\varphi };\\y=r\sin {\varphi }.\end{matrix}}\right.

Lame kertoimet:

{\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\varphi }=r.\end{matrix))

Valokaariero:

dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\varphi ^{2}.

Origossa funktiota φ ei ole määritelty. Jos koordinaattia φ ei pidetä lukuna, vaan kulmana ( yksikköympyrän pisteenä ), napakoordinaatit muodostavat koordinaattijärjestelmän alueelle, joka saadaan koko tasosta poistamalla alkupiste. Jos φ kuitenkin katsotaan numeroksi, niin määrätyllä alueella se on moniarvoinen , ja koordinaattijärjestelmän rakentaminen tiukasti matemaattisessa mielessä on mahdollista vain yksinkertaisesti yhdistetyllä alueella, joka ei sisällä koordinaattien origoa, esimerkiksi lentokoneessa ilman sädettä .

Sylinterimäiset koordinaatit ( n =3)

Sylinterimäiset koordinaatit ovat triviaali yleistys polaarisista koordinaateista kolmiulotteisen avaruuden tapaukseen lisäämällä kolmas koordinaatti z . Sylinterimäisten koordinaattien suhde karteesiseen:

{\begin{cases}&x=r\cos {\varphi };\\&y=r\sin {\varphi };\\&z=z.\end{cases))

Lame kertoimet:

{\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\varphi }=r;\\H_{z}=1.\end{matriisi))

Valokaariero:

dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\varphi ^{2}+dz^{2}.

Pallokoordinaatit ( n =3)

Pallokoordinaatit liittyvät yksikköpallon leveys- ja pituuskoordinaatteihin . Palloisten koordinaattien kytkentä suorakulmaiseen:

\left\{{\begin{matrix}x=r\sin {\theta }\cos {\varphi };\\y=r\sin {\theta }\sin {\varphi };\\z=r\ cos {\theta }.\end{matrix}}\right.

Lame kertoimet:

{\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\theta }=r;\\H_{\varphi }=r\sin {\theta }.\end{matrix))

Valokaariero:

dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}{\theta }d\varphi ^{2 }.

Pallokoordinaatit, kuten lieriömäiset koordinaatit, eivät toimi z -akselilla { x =0, y =0}, koska siellä ei ole määritelty φ-koordinaattia.

Erilaiset eksoottiset koordinaatit tasossa ( n =2) ja niiden yleistykset

Ortogonaalinen:

Elliptiset koordinaatit - laajennettavissa kolmeen ulottuvuuteen
Paraboliset koordinaatit - laajennettavissa kolmeen ulottuvuuteen
Kaksinapaiset koordinaatit - laajennettavissa 3 ulottuvuuteen
…

Muut:

…

Käyräviivaiset koordinaatit differentiaaligeometrian kannalta

Euklidisen (affiinisen) avaruuden eri alueilla määriteltyjä kaarevia koordinaatteja voidaan pitää sovelluksena sileän moniston käsitteen avaruuteen . Nimittäin kuinka karttojen kartasto rakennetaan .

Kirjallisuus

Korn G., Korn T. Matematiikan käsikirja (tieteilijöille ja insinööreille). - M .: Nauka, 1974. - 832 s.

Koordinaattijärjestelmät
Koordinaattien nimi	Abskissa Ordinate Applikointi
Koordinaattijärjestelmien tyypit	Suoraviivainen koordinaattijärjestelmä Kaareva koordinaattijärjestelmä
2D koordinaatit	Kaksikulmaiset koordinaatit Kaksikeskiset koordinaatit Hyperboliset koordinaatit Polaarikoordinaatit Bipolaariset koordinaatit Paraboliset koordinaatit Elliptiset koordinaatit Tetrasykliset koordinaatit Trilineaariset koordinaatit
3D-koordinaatit	Sylinterimäiset koordinaatit Pallomaiset koordinaatit Bisfääriset koordinaatit Toroidaaliset koordinaatit Lieriömäiset paraboliset koordinaatit Kaksisylinteriset koordinaatit Ellipsoidiset koordinaatit Kartiokoordinaatit Pentasfääriset koordinaatit Dipolaarinen koordinaattijärjestelmä
$n$ -ulotteiset koordinaatit	Suorakulmaiset koordinaatit Affine koordinaatit Projektiiviset koordinaatit Plückerin koordinaatit barysentriset koordinaatit
Fyysiset koordinaatit	Rindlerin koordinaatit Syntymäkoordinaatit Taivaallinen koordinaattijärjestelmä Maantieteelliset koordinaatit Ortodrominen pääkoordinaattijärjestelmä
Aiheeseen liittyvät määritelmät	Koordinaattimenetelmä Alkuperä Koordinaattiakseli Vektori Orth viitejärjestelmä Vertailuarvo Huonot kertoimet Metrinen tensori