Matemaattinen merkintä

Matemaattinen merkintä ("matematiikan kieli") on graafinen merkintä, jota käytetään ilmaisemaan abstrakteja matemaattisia ajatuksia ja tuomioita ihmisen luettavassa muodossa. Se muodostaa (monimutkaisuudessaan ja monimuotoisuudessaan) merkittävän osan ihmiskunnan käyttämistä ei-puhe- merkkijärjestelmistä . Tässä artikkelissa kuvataan yleisesti hyväksyttyä kansainvälistä merkintätapaa, vaikka menneisyyden eri kulttuureissa oli omansa, ja jotkin niistä ovat olleet jopa rajallisesti käytössä tähän asti.

Huomaa, että matemaattista merkintää käytetään pääsääntöisesti joidenkin luonnollisten kielten kirjoitetun muodon yhteydessä .

Perus- ja sovelletun matematiikan lisäksi matemaattista merkintää käytetään laajalti fysiikassa sekä (epätäydellisessä laajuudessaan) tekniikassa , tietojenkäsittelytieteessä , taloustieteessä ja todellakin kaikilla ihmisen toiminnan aloilla, joilla käytetään matemaattisia malleja . Oikean matemaattisen ja sovelletun merkintätavan eroja käsitellään tekstin aikana.

Yleistä tietoa

Järjestelmä kehittyi luonnollisten kielten tavoin historiallisesti (katso matemaattisten merkintöjen historia ) ja on järjestetty luonnollisten kielten kirjoittamisen tapaan , lainaten sieltä myös monia symboleja (pääasiassa latinalaisista ja kreikkalaisista aakkosista). Symbolit, kuten tavallisessa kirjoituksessa, on kuvattu kontrastisilla viivoilla tasaisella taustalla (musta valkoisella paperilla, vaalea tummalla taululla, kontrasti näytöllä jne.), ja niiden merkitys määräytyy ensisijaisesti muodon ja suhteellisuuden perusteella. asema. Väriä ei oteta huomioon eikä sitä yleensä käytetä, mutta kirjaimia käytettäessä niiden ominaisuuksilla, kuten tyylillä ja jopa kirjasintyypillä , jotka eivät vaikuta tavallisen kirjoituksen merkitykseen, voi olla semanttinen rooli matemaattisessa merkinnässä.

Rakenne

Tavalliset matemaattiset merkinnät (erityisesti ns. matemaattiset kaavat ) kirjoitetaan yleensä riville vasemmalta oikealle, mutta ne eivät välttämättä muodosta peräkkäistä merkkijonoa. Erilliset merkkilohkot voivat sijaita rivin ylä- tai alaosassa, vaikka merkit eivät mene päällekkäin pystysuunnassa. Lisäksi jotkin osat sijaitsevat kokonaan viivan ylä- tai alapuolella. Kieliopillisesti lähes mitä tahansa "kaavaa" voidaan pitää hierarkkisesti organisoituna puutyyppisenä rakenteena .

Standardointi

Matemaattiset merkinnät edustavat järjestelmää komponenttiensa välisen yhteyden merkityksessä, mutta eivät yleensä muodosta muodollista järjestelmää (matematiikan itse ymmärtämisessä). Vaikeassa tapauksessa niitä ei voi edes purkaa ohjelmallisesti . Kuten mikä tahansa luonnollinen kieli, "matematiikan kieli" on täynnä epäjohdonmukaisia nimityksiä, homografioita , erilaisia (puhujien joukossa) tulkintoja siitä, mitä pidetään oikeana jne. Matemaattisista symboleista ei ole edes ennakoitavissa olevaa aakkostoa, ja erityisesti siksi, että Kysymys ei aina ole yksiselitteisesti ratkaistu, pitääkö kahta nimitystä eri merkkinä vai yhden merkin eri kirjoitusasuina.

Osa matemaattisista merkinnöistä (pääasiassa mittauksiin liittyvästä ) on standardoitu ISO 31-11 -standardissa , mutta yleisesti ottaen merkinnöistä ei ole standardisoitua.

Matemaattisen merkinnän elementit

Numerot

Kokonaislukujen kirjoittamiseen käytetään pääsääntöisesti desimaalilukujärjestelmää arabialaisilla numeroilla . Riville kirjoitettu numerosarja tulkitaan numeroksi; mahdolliset poikkeukset on lueteltu alla .

Käytä tarvittaessa lukujärjestelmää , jonka kantaluku on pienempi kuin kymmenen, kantaluku kirjoitetaan alaindeksillä: 20003 8 . Lukujärjestelmiä, joiden kantakanta on suurempi kuin kymmenen, ei käytetä yleisesti hyväksytyssä matemaattisessa merkinnässä (vaikka tiede itse tietysti tutkii niitä), koska niille ei ole tarpeeksi lukuja. Tietojenkäsittelytieteen kehityksen yhteydessä on tullut ajankohtaiseksi heksadesimaalilukujärjestelmä , jossa numerot 10-15 merkitään kuudella ensimmäisellä latinalaiskirjaimella A:sta F:iin. Tietojenkäsittelytieteessä käytetään useita erilaisia lähestymistapoja tällaisten lukujen osoittamiseen. , mutta niitä ei siirretä matematiikkaan.

Desimaalimurtolukua käytetään osoittamaan reaalilukuja sovelletuilla alueilla (tarkoittaa yleensä likimääräistä arvoa, jota ei ole erikseen määritelty). Jos ei-kokonaislukuinen rationaalinen luku matematiikassa sattuu olemaan kymmenen negatiivisen potenssin kerrannainen , niin se voidaan kirjoittaa myös desimaalilukuna . Kokonaisluvun ja murto-osien erotintyyppi ( piste tai pilkku ) riippuu käytetyn kielen perinteestä.

Sovelluksissa erittäin suuret tai erittäin pienet ( absoluuttisessa arvossa ) kirjoitetaan usein eksponentiaalisella merkinnällä : . Joskus (etenkin laskimet ) "kerrotaan kymmenellä potenssiin" sijaan he kirjoittavat kirjaimen "E", eli , mutta useimmilla aloilla (mukaan lukien "puhdas" matematiikka) tällaista merkintää ei käytetä. $1{,}6\cdot 10^{3}$ $1{,}6\cdot 10^{3}=1{,}6E3$

Matematiikka puolestaan pyrkii enemmän tarkkuuteen kuin merkinnän helppouteen, ja siksi tarvittava luku kirjoitetaan mahdollisuuksien mukaan lausekkeen muodossa eikä likimääräisenä.

Atomisymbolit

Aakkosmerkeistä käytetään pääasiassa latinalaisia ja kreikkalaisia kirjaimia. Rekisteröityminen on tärkeää. Latinalaiset kirjaimet " I " (iso "ja") ja " l " (pienet kirjaimet "el") suorassa tyylissä kirjoitetaan serifeillä , jotta niitä ei sekoiteta pystypalkkiin "|" ja toistensa kanssa, ja pyrkivät yleensä käyttämään tyylejä, jotka ovat mahdollisimman vähän samanlaisia kuin muut käytetyt merkit. Goottilaisia kirjaimia pidetään erillisinä kirjaimina. Periaatteessa käytettäville aakkosille ei ole rajoituksia.

Voit myös harkita latinalaisilla kirjaimilla kirjoitettuja atomisia sanoja - joidenkin funktioiden ja operaattoreiden yleisesti hyväksyttyjä nimityksiä, esimerkiksi "loki" (kirjoitettuna niitä ei rikota välilyönnillä, niitä ei siirretä jne.); katso luettelo matemaattisista lyhenteistä . Tällaiset sanat kirjoitetaan latinalaisilla (ei kursivoitu ) kirjaimilla pienillä kirjaimilla (lukuun ottamatta mahdollista ensimmäistä kirjainta, joka voi olla iso kirjain ). On myös digrafeja , jotka koostuvat muista kuin latinalaisista kirjaimista.

Älä käytä merkkejä, kuten "Ȉ" (englanniksi "ai" pisteillä), koska tällaiset merkit voidaan helposti sekoittaa johdannaisiin ( katso alla ).

Ylä- ja alaindeksimerkit

Sulkumerkit, vastaavat symbolit ja erottimet

Sulkuja "()" käytetään:

ryhmittelyä varten (eli toimintojen järjestyksen osoittamiseksi) (katso lisätietoja artikkelista toimintojen etusijasta );
funktion syntaksissa ;
muissa tapauksissa.

Hakasulkeita "[]" käytetään usein ryhmittelyssä, kun joudut käyttämään useita hakasulkeiparia. Tässä tapauksessa ne sijoitetaan ulkopuolelle ja (siisti typografialla ) niiden korkeus on suurempi kuin sisällä olevat kiinnikkeet.

Neliötä "[]" ja sulkuja "()" käytetään merkitsemään suljettuja ja avoimia tiloja , vastaavasti.

Aaltosulkeet "{}" käytetään yleensä joukkojen määrittämiseen , vaikka niitä koskee sama varoitus kuin hakasulkeisiin. Vasen "{" ja oikea "}" voidaan käyttää erikseen; niiden tarkoitus on kuvattu alla .

Siistin typografian kulmahakasulkeissa " " tulee olla tylpäitä kulmia , joten ne eroavat vastaavista epätasa -arvomerkeistä , joilla on suora tai terävä kulma. Käytännössä tätä ei kannata toivoa (etenkään käsin kirjoitettaessa kaavoja) ja ne täytyy erottaa intuition avulla. $\langle \;\rangle$

Symmetristen (pystyakselin suhteen) symbolien pareja, mukaan lukien muut kuin luetellut, käytetään usein korostamaan kaavan osaa. Parillisten hakasulkeiden tarkoitus on kuvattu alla .

Pilkkua ", " käytetään erottimena. Kun pilkkua käytetään erottimena desimaaliluvussa (esimerkiksi venäläisessä perinteessä), pilkkua ei kirjoiteta. Kaikissa muissa tapauksissa (esim. käytettäessä pilkkua funktion argumenttien erottimena ) pilkun oikealle puolelle sijoitetaan pieni väli, mutta vasemmalle ei yleensä jätetä välilyöntiä.

Pystypalkkisymbolilla "|" on kaksi roolia . Kontekstista riippuen se voi olla joko hakasulku (esim. itseisarvo , matriisin determinantti ), tai erotin erilaisissa rakenteissa tai matriisin alun/lopun merkintä . $|x|$ $|M|$

Indeksit

Sijainnista riippuen erotetaan ylä- ja alaindeksit . Yläindeksi voi (mutta ei välttämättä tarkoita) eksponentiota , katso alla muita käyttötarkoituksia varten .

Toisin kuin tavallisessa typografiassa , matematiikassa koko lauseke toimii usein "indeksinä", joka sisältää usein murto-osia ja omia indeksejä, mikä johtaa merkkien tarkentamiseen ja yleensä vaikeuttaa kaavojen visuaalista tunnistamista.

Symbolien keskinäinen järjestely

Joten hahmojen järjestelyn päämallit:

riville;
useilla toisiinsa liittyvillä riveillä (katso esimerkki );
sisäsulut (voi olla järjestelytapauksia sekä yhdessä rivissä että useissa);
merkkijono merkkijonossa olevan merkin ylä- tai alapuolella (yleensä suurennettu koko);
rivi pienempiä merkkejä ( pistekoko ) kirjoitetaan oikealle korkeamman merkin yläpuolelle tai oikealle alapuolelle (katso yllä );
kaksi toistensa yläpuolella olevaa alimerkkijonoa, jotka on erotettu vaakasuoralla suoralla segmentillä - katso tämän artikkelin merkitys ).

Syntaksi

Vakiot

Vakiot ovat arvoja, jotka on vahvistettu jo kaavan kirjoitushetkellä, erityisesti numeerisia. Kokonaislukujen kirjoittaminen mainittiin edellä , mutta jos se sisältää liian monta numeroa, se voidaan esittää aritmeettisena lausekkeena, esimerkiksi ,. $2^{{127}}-1$

Jos kirjoitettava luku on ilmeisen rationaalinen , niin matematiikassa se kirjoitetaan suurimmassa osassa tapauksia tarkasti, toisin sanoen yleensä yksinkertaisen murtoluvun muodossa (jos luku ei ole kokonaisluku).

Algebrallinen luku , mikäli mahdollista, kirjoitetaan juurien kautta. Samoin mikä tahansa muu luku voidaan kirjoittaa lausekkeeksi, joka antaa sen tarkan arvon.

Kompleksiluku voidaan kirjoittaa muodossa , jossa a ja b ovat todellisia vakioita, mutta se voidaan kirjoittaa kompleksiluvun argumentin ja moduulin avulla. $a+ib$

Vakiomerkinnän ympärille laitetaan tarvittaessa hakasulkeet, ja yleisesti ottaen vakioiden kirjoittaminen lausekkeiksi puhtaassa matematiikan tasolla ei eroa muiden lausekkeiden kirjoittamisesta.

Useilla matemaattisilla vakioilla on kirjainnimet - katso numero Pi ( ), Euler-luku e ja joukko muita . Matemaattista laitteistoa käyttävissä tieteissä on monia omia nimettyjä ja vakiokirjaimilla merkittyjä. Katso esimerkiksi Fyysiset perusvakiot . $\pi$

Muuttujat

Tieteissä on joukkoja suureita, ja mikä tahansa niistä voi ottaa joko joukon arvoja ja kutsua muuttujaksi (muunnelmaksi) tai vain yhden arvon ja kutsua vakioksi. Matematiikassa suureet irrotetaan usein fysikaalisesta merkityksestä, jolloin muuttuja muuttuu abstraktiksi (tai numeeriseksi) muuttujaksi, jota merkitään jollain symbolilla, jota ei ole varattu yllä mainitulla erityisellä merkinnällä.

Muuttujan X katsotaan olevan annettu, jos sen hyväksymä arvojoukko {x} on määritetty . On kätevää pitää vakiosuure muuttujana, jonka vastaava joukko {x} koostuu yhdestä alkiosta. [yksi]

Toiminnot ja operaattorit

Matematiikassa ei ole olennaista eroa operaattorin ( unary ), kuvauksen ja funktion välillä . [2]

Ymmärretään kuitenkin, että jos sulut on määriteltävä tallentamaan kuvauksen arvo annetuista argumenteista , niin tämän kuvauksen symboli ilmaisee funktiota, muissa tapauksissa puhutaan pikemminkin operaattorista. Yhden argumentin joidenkin funktioiden symboleja käytetään hakasulkeiden kanssa ja ilman. Monet perusfunktiot , kuten tai , mutta perusfunktioita kutsutaan aina funktioiksi . $\sin x$ $\sin(x)$

Operaattorit ja relaatiot (unääri- ja binäärisuhteet)

Binäärioperaattorit ja relaatiot kirjoitetaan infix-muodossa, elleivät ne käytä funktion syntaksia . Unaarioperaattorit on kirjoitettu sattumanvaraisesti; algebrassa operaattorin merkki sijoitetaan yleensä argumentin vasemmalle puolelle (etuliitemerkintä). Differentiointioperaattori kirjoitetaan alkuluvulla (yleensä se tarkoittaa differentiaatiota suhteessa muuttujaan x tai yksinkertaisesti yhdellä funktion argumentilla) tai pisteellä yläosassa (yleensä se tarkoittaa differentiaatiota suhteessa muuttujaan t - aika ). $f'$ ${\piste f}$

Katso aritmeettisten operaatioiden ja perusfunktioiden sekä joidenkin muiden "standardi" funktioiden käytöstä artikkelista " matemaattinen kaava ".

Toiminnot

Funktioon voidaan viitata kahdessa mielessä: sen arvon ilmaisuna annetuilla argumenteilla (kirjoitettu jne.) tai itse funktiona. Jälkimmäisessä tapauksessa laitetaan vain funktiosymboli, ilman sulkuja (vaikka ne usein kirjoittavat sen satunnaisesti). $f(x),\ f(x,y)$

Matemaattisessa työssä käytetyille yleisille funktioille on monia merkintöjä ilman lisäselityksiä. Muuten funktio on kuvattava jotenkin, eikä se perusmatematiikassa pohjimmiltaan poikkea muuttujasta ja se on myös merkitty mielivaltaisella kirjaimella samalla tavalla. Kirjain f on suosituin muuttujafunktioissa , usein käytetään myös g :tä ja suurinta osaa kreikan kielestä .

Ennalta määritetyt (varatut) nimitykset

Yksikirjaimille nimityksille voidaan kuitenkin haluttaessa antaa erilainen merkitys. Esimerkiksi kirjainta i käytetään usein indeksimerkintänä yhteyksissä, joissa kompleksiluvut eivät päde, ja kirjainta π voidaan käyttää muuttujana, kuten kombinatoriikassa . Myös joukkoteorian symboleja (kuten " " ja " ") ja lauselaskua (kuten " " ja " ") voidaan käyttää muissa merkityksissä, yleensä järjestysrelaatioina ja vastaavasti binäärioperaatioina . $\osajoukko$ $\supset$ $\kiila$ $\vee$

Indeksointi

Indeksointi esitetään graafisesti indekseillä (yleensä alaindeksit, joskus yläindeksit), ja se on tavallaan tapa laajentaa muuttujan sisältöä. Sitä käytetään kuitenkin kolmessa hieman erilaisessa (vaikka päällekkäisessä) mielessä.

Todelliset luvut

On mahdollista käyttää useita eri muuttujia merkitsemällä ne yhdellä kirjaimella, samalla tavalla kuin käyttämällä aksenttimerkkejä . Esimerkiksi: . Yleensä niitä yhdistää jokin yhteinen piirre, mutta yleensä tämä ei ole välttämätöntä. $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\ldots$

Lisäksi "indekseina" voit käyttää paitsi numeroita myös mitä tahansa merkkejä. Kuitenkin, kun toinen muuttuja ja lauseke kirjoitetaan indeksiksi, tämä merkintä tulkitaan "muuttujaksi, jonka numero määrittää indeksilausekkeen arvon."

Tensorianalyysissä

Lineaarisessa algebrassa , tensorianalyysissä , differentiaaligeometriassa indekseillä (muuttujien muodossa), tensorisuureet kirjoitetaan, ja niiden numero ilmaisee tensorin arvon. Myös yläindeksiä käytetään.

Kirjoitettaessa tensorisuureiden tuloa tulkinta riippuu käytettyjen indeksimuuttujien yhteensattumisesta. Jos ne ovat kaikki erillisiä, tarkoitetaan tensorituloa . Jos yksi muuttuja esiintyy kahdesti (esimerkiksi: ), sille suoritetaan konvoluutio . On myös mahdollista kirjoittaa matriisin tyyppi - jälki . Tätä merkintää kutsutaan perinteisesti " summaksi toistuvien indeksien päälle ", koska kiinteällä perusteella se näyttää juuri siltä. $A_{l}^{k}B_{m}^{l}$ $A_{k}^{k}$

Vaihtoehdot

Rakenteet, joissa käytetään peilimerkkejä (parimerkkejä)

Sulkujen arvot , muut kuin osoittavat toimintojen järjestystä (ryhmittely). Jos argumentteja on useita (useampia kuin yksi), erotinmerkki on pilkku "", ellei toisin mainita.

Hakasulkeet "()":

pistetulo (2 argumenttia);
järjestetty pari (2 argumenttia) jne. (enemmän argumentteja).

Hakasulkeet "[]":

kytkin (2 argumenttia) ja vastaavat toiminnot.

Jos erikoismerkkejä ei ole, hakasulkeet " " voidaan käyttää osoittamaan luvun kokonaislukuosa . $\llattia \ \rlattia$

Kiharat hakasulkeet "{}":

sets (satunnainen määrä pilkuilla erotettuja argumentteja tai "{ lauseke | ehto }");
antikommutaattori (2 argumenttia).

Kulmasulut "<>":

bra ja ket (2 tai 3 argumenttia; erotin — pystypalkki "|" ), Hermitian muoto (2 argumenttia);
monikko ( matemaattisessa logiikassa jne.; argumentteja on niin monta kuin haluat, vähintään 0).

Tikut "||" ja kaksinkertaiset tikut " ": $||\ ||$

itseisarvo ("moduuli"), normi (1 argumentti).

Sarjat ja luokat

Joukko tai luokka voidaan merkitä, kuten muutkin objektit, ennalta määritetyn merkinnän, muuttujan (atomisymbolin) muodossa, joukoille tehdyn toimenpiteen tuloksena $\{$ $\mid$ $\}$ jne. Kaikki lausekkeen arvot, jolle ehto on asetettu on totta. Tietyssä lausekkeessa käytetyt muuttujat voivat olla paikallisia.

Voidaan myös kirjoittaa " ehto " $\{x\in M\mid$ $\}$ , missä

x on paikallinen muuttuja (jonka arvot muodostavat vaaditun joukon);
M on jokin ennalta määrätty joukko, jonka läpi muuttuja x kulkee.

Joukko tai luokka voidaan kirjoittaa myös enumina: "{elementti}", "{elementti, elementti}" , "{elementti, elementti, elementti}" jne.

Joukkotoimintojen symbolit on kuvattu artikkelissa " Toiminnot sarjoilla ".

Matemaattisen logiikan rakenteet

Loogiset liitännät

Predikaattiarvoista , binäärisuhteista jne. koostuvien loogisten lausekkeiden kirjoittamiseen käytetään loogisia konnekiiveja. Binäärikonnektiivit kirjoitetaan infix-muodossa . Yleisesti hyväksytty:

konjunktio "&" (myös " ", erityisesti Boolen logiikassa ); $\kiila$
disjunktio " " (symboli " | ", toisin kuin ohjelmointi, ei käytetä tässä merkityksessä); $\vee$
implikaatio : " " (merkittävänä lausumana), "→" (muodollisen teorian arvio); siinä tapauksessa, että tavan vastaisesti lähtökohta on oikealla ja seuraus vasemmalla, nuolen suunta muuttuu: " ", " "; $\Nuoli oikealle$ $\Vasen nuoli$ $\vasen nuoli$
negaatio "¬" (unäärinen konnektiivi, käytetään etuliitemuodossa ; monilla binäärirelaatiosymboleilla, erityisesti yhtäläisyyssymbolilla ja järjestyssymbolilla, on muunnelma, jossa on upotettu negaatio, joka saadaan yleensä viivalla symbolilla).

Propositiovakioilla, kuten myös muilla loogisilla konnektiivityypeillä, ei ole yleisesti hyväksyttyjä nimityksiä (lukuun ottamatta ehkä itse asiassa matemaattisen logiikan aluetta).

" Ja " ja " tai " kirjoitettaessa yhtälöitä

Sama konjunktio kirjoitettaessa ns. yhtälöjärjestelmä merkitään yleensä parittomalla avautuvalla aaltosulkeella "{".

Vastaavasti disjunktiota voidaan merkitä parittomalla avautuvalla hakasulkeella "[".

Joissakin ohjelmointikielissä on myös kolminkertaista ehdollista toimintaa vastaava rakenne:

\vartheta (x)={\begin{cases}0,&x<0\\1,&x\geqslant 0\end{cases}}

Kvantifiers

Universaali kvantori "∀" (jätetään usein pois identiteettejä kirjoitettaessa ja sisällytetään kaikkiin muuttujiin )
Eksistentiaalinen kvantori on "∃", on myös muoto, jossa on upotettu negaatio " ". $\ei \olemassa$
"∃!" olemassaolo ja ainutlaatuisuus . ( digrafi ).

Johtopäätös

Epävirallinen merkintä

Käännös ei-graafiseen muotoon

Suullinen lukeminen

Elektroninen koodaus

Tämän yleisin järjestelmä on TeX ja sen laajennukset. [3]

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Fikhtengolts G.M. Luku 1: Rajateoria. // Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. - 7. painos - "Nauka", 1969. - T. 1. - S. 43. - 608 s. - 100 000 kappaletta.
↑ Matemaattinen tietosanakirja / Ch. toim. Yu. V. Prokhorov . - " Sovet Encyclopedia ", 1988. - S. 431 . — 847 s. - 150 000 kappaletta.
↑ Wikipedia käyttää LaTeX :iä matemaattiseen merkintään , jonka käyttö on dokumentoitu Wikipedia:Kaavat -sivulla .

Ladonta

Kassakone

tavallinen	Aakkoset Ligatuurit Isot kirjaimet Pienet kirjaimet arabialaiset numerot Välimerkit Diakriittiset Typografiset merkit
Erityinen	Tähtitieteelliset symbolit Valuuttamerkit Matemaattiset symbolit Musiikin merkkejä Merkin fontti Upotekoriste fleuron Polytyyppi
Materiaali	Neliö Marzan Reglet tilaa Viilu

Kiinteä
tekstisarja

Erikoissoittotyypit

lohkosarja
Rekrytointi
Pylvässarja
Pöytäsarja

mikrotypografia

Valintamenetelmät

Kirjoittimet

Intertype
Kastenbein
Linotyyppi
Monoliini
Monotyyppi
Sivun ladonta
Linjavalukone Ludlow
Typografi
Sähkötypografi
tekstinkäsittelyohjelma
Työpöytäjulkaisu

Katso myös kustantamo Kirjapaino typografia fontti layout painatus