Mandelbrot setti

Mandelbrot - joukko on joukko sellaisia pisteitä c kompleksitasolla , joille toistuvuusrelaatio at määrittää rajoitetun sekvenssin. Toisin sanoen tämä on sellaisen c :n joukko, jolle on olemassa todellinen R siten, että epäyhtälö pätee kaikkiin positiivisiin kokonaislukuihin n . Määritelmä ja nimi johtuu Duadista $z_{{n+1}}={z_{n}}^{2}+c$ $z_{0}=0$ $|z_{n}|<R$ , matemaatikko Benoit Mandelbrotin [1] mukaan .

Mandelbrot-sarja on yksi tunnetuimmista fraktaaleista , myös matematiikan ulkopuolella, värintoistonsa ansiosta . Sen fragmentit eivät ole tiukasti samanlaisia kuin alkuperäinen sarja, mutta moninkertaisella lisäyksellä tietyt osat ovat yhä samankaltaisempia toistensa kanssa.

Mandelbrot-joukon alueen tarkkaa arvoa ei tunneta. Vuonna 2012 sen arvioitiin olevan 1 506 591 884 9 ± 2,8 × 10 -9 . Massakeskipisteen tarkkaa koordinaattia (sijaitsee x-akselilla) ei myöskään tunneta, ja sen arvioidaan olevan −0,286 768 420 48 ± 3,35×10 −9 [2] .

Laajennettu määritelmä

Yllä olevaa sekvenssiä voidaan laajentaa jokaiselle kompleksitason pisteelle seuraavasti: $c$

{\begin{aligned}c&=x+i\cdot y,\\Z_{0}&=0,\\Z_{1}&=Z_{0}^{2}+c=\\& =x+iy\\Z_{2}&=Z_{1}^{2}+c=\\&=(x+iy)^{2}+x+iy=\\&=x^{2} +2ixy-y^{2}+x+iy=\\&=x^{2}-y^{2}+x+(2xy+y)i,\\Z_{3}&=Z_{2}^ {2}+c=\ldots \end{aligned}}

ja niin edelleen.

Jos muotoilemme nämä lausekkeet uudelleen kompleksisen tason koordinaattien arvojen iteratiiviseksi sarjaksi, eli korvaamme arvoilla , ja , saamme : $(x, y)$ $z_n$ $x_{n}+i\cpiste y_{n}$ $c$ $x_{0}+i\cdot y_{0}$

x_{n+1}={x_{n}}^{2}-{y_{n}}^{2}+x_{0},

y_{n+1}=2{x_{n}}{y_{n}}+y_{0}.

Visuaalisesti Mandelbrot-joukon sisällä voidaan erottaa ääretön määrä alkeisfiguuria, ja suurin keskellä on kardioidi . Kardioidia koskettaa myös joukko soikioita, joiden koko pienenee vähitellen nollaan. Jokaisella näistä soikeista on oma sarja pienempiä soiioita, joiden halkaisija myös pyrkii olemaan nolla jne. Tämä prosessi jatkuu loputtomiin muodostaen fraktaalin. On myös tärkeää, että nämä hahmojen haarautumisprosessit eivät tyhjennä Mandelbrot-joukkoa kokonaan: jos tarkastelemme lisää ”haaroja” kasvavalla suurennuksella, voimme nähdä niissä niiden kardioidin ja ympyrät, jotka eivät liity päähahmoon. Suurin luku (näkyy pääjoukkoa tarkasteltaessa) niistä on alueella -1,78 - -1,75 reaaliarvojen negatiivisella akselilla.

Mandelbrot-sarjan historia

Mandelbrot-joukon kuvasi ensimmäisen kerran vuonna 1905 Pierre Fatou ( fr. Pierre Fatou ), ranskalainen matemaatikko, joka työskenteli kompleksilukujen analyyttisen dynamiikan parissa . Fatou tutki muodon rekursiivisia prosesseja

z\to z^{2}+c.

Alkaen kompleksitason pisteestä, voit saada uusia pisteitä soveltamalla niihin peräkkäin tätä kaavaa. Tällaista pistejonoa kutsutaan muunnosradalla . $z_{0}$ $z_{0}$ $z\to z^{2}+c$

Fatou havaitsi, että tämän muunnoksen alkutilan kiertorata osoittaa melko monimutkaista ja mielenkiintoista käyttäytymistä. Tällaisia muunnoksia on ääretön määrä - yksi kutakin c :n arvoa kohden . Siihen aikaan ei vielä ollut tietokoneita, eikä Fatou tietenkään pystynyt rakentamaan koneen kaikkien pisteiden kiertoradat, hänen täytyi tehdä kaikki käsin. Laskelmiensa perusteella hän osoitti, että pisteen, joka sijaitsee suuremmalla kuin 2:n etäisyydellä origosta, kiertorata kulkee aina äärettömään. $z_{0}=0$

Fatou ei koskaan nähnyt kuvia, jotka tunnemme nyt Mandelbrot-joukon kuvina, koska tarvittavaa määrää laskelmia ei voida tehdä käsin. Professori Benoit Mandelbrot oli ensimmäinen, joka käytti tietokonetta sarjan visualisointiin.

Mandelbrot kuvaili fraktaaleja vuonna 1975 kirjassaan Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension (Fractal Objects: Form, Randomness and Dimension). Tässä kirjassa Mandelbrot käytti ensin termiä "fraktaali" viittaamaan matemaattiseen ilmiöön, jolla on niin arvaamatonta ja yllättävää käyttäytymistä. Nämä ilmiöt syntyivät käytettäessä rekursiivista algoritmia minkä tahansa käyrän tai joukon saamiseksi. Mandelbrot-joukko on yksi tällainen ilmiö, joka on nimetty tutkijansa mukaan.

Vuonna 1978 Robert W. Brooks ja Peter Matelsky määrittelivät ja piirsivät fraktaalin osana Klein-ryhmien tutkimusta [3] . 1. maaliskuuta 1980 Benoit Mandelbrot näki ensimmäisenä visualisoinnit sarjasta [4] . Mandelbrotin joukon matemaattinen tutkimus alkoi matemaatikoiden Adrien Douadyn ja John H. Hubbardin työstä, jotka selvittivät monia sen perusominaisuuksia [1] .

Mandelbrot-sarja tuli tunnetuksi 1980-luvun puolivälissä tietokonegrafiikan esittelyissä, kun henkilökohtaisista tietokoneista tuli tarpeeksi tehokkaita rakentamaan ja näyttämään sarjan korkealla resoluutiolla [5] .

Sarjan rakentaminen

On helppo todistaa, että heti kun moduuli on suurempi kuin 2 (tai reaali- ja imaginaariosien suhteen, ), kaikki seuraavat sekvenssin moduulit pyrkivät äärettömyyteen. Tapauksessa | c | > 2 tämä voidaan todistaa matemaattisen induktion menetelmällä . Milloin | c | > 2 , piste c ei todellakaan kuulu Mandelbrot-joukkoon, joka voidaan päätellä matemaattisella induktiolla tasa-arvon avulla (vaikka tässä tapauksessa voi olla toinen , jolle vastaava jono on rajattu absoluuttiseen arvoon, ja joillekin n :lle epäyhtälö pitää ). $z_n$ ${\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2))}>2$ $z_{0}=0$ $z_{0}$ $|z_{n}|>2$

Vertaamalla tähän numeroon (englanninkielisessä kirjallisuudessa sitä kutsutaan " bail-out ") voit valita pisteitä, jotka eivät kuulu sarjaan. Joukkon sisällä oleville pisteille iteraatioiden sarja ei muodosta trendiä etäisyydelle uudesta pisteestä äärettömään mille tahansa iteraatiomäärälle, joten laskenta voidaan suorittaa tietyn iteraatiomäärän jälkeen. Iteraatioiden enimmäismäärä, jonka jälkeen luvun katsotaan olevan joukon sisällä, asetetaan yksinkertaisesti rakenteen alkuehdoksi. $|z_{n}|$ $|z_{0}|$

Tällä tavalla saatu kuva on vain likiarvo todellisesta Mandelbrot-joukosta. Parempia tuloksia saadaan lisäämällä iteraatioiden maksimimäärää, mutta myös laskenta-aika kasvaa vastaavasti.

Värivaihtoehdot

Tarkkaan matemaattisesti katsottuna Mandelbrotin ja Julian sarjojen kuvien tulee olla mustavalkoisia - piste joko kuuluu joukkoon tai ei. Mutta vaihtoehtoja on ehdotettu kuvien tekemiseksi värillisiksi. Yleisin tapa on värittää pisteet joukon ulkorajan lähelle iteraatioiden määrästä riippuen, minkä jälkeen käy ilmi, että piste ei kuulu joukkoon (sen jälkeen kriteeri alkaa täyttyä ). $|z_{n}|>2$

Menettely sen määrittämiseksi kuuluuko piste joukkoon (perinteisesti mustaksi maalattu) vai ei (maalattu värillä "poistonopeudesta" riippuen: jokaisessa iteraatiossa lasketaan nykyinen etäisyys - pisteen arvo modulo , jota sitten verrataan "äärettömyyden kriteeriin" (yleensä arvoksi otetaan 2). Voit vähentää merkittävästi laskelmien määrää kieltäytymällä laskemasta neliöjuuren tarkistusta , ei vaan . $z_{0}$ $|z_{n}|={\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}$ ${\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2))}>2$ $x_{n}^{2}+y_{n}^{2}>4$

Siten jos , piste maalataan sillä värillä, joka on aiemmin valittu - iteroinnin numero, jossa kriteeri täyttyi (se voi toimia väritaulukon indeksinä tai käyttää parametrina monimutkaisemmassa algoritmi). Jos kriteeriä ei saavuteta tämän konstruktion enimmäismäärällä iteraatioita, pisteen katsotaan kuuluvan joukkoon ja sen väri on musta. $|z_{n}|^{2}\geqslant 4$ $z_{0}$ $n$

Pisteet lähellä joukon rajaa tarvitsevat yleensä enemmän iteraatioita saavuttaakseen ei-jäsenyysehdon. Siksi tällaisia alueita käsitellään paljon pidempään.

Optimointi

Yksi tapa vähentää laskelmien määrää rakennettaessa yleiskuvaa joukosta on tarkistaa, osuuko piste pääkardioidin alueelle . Kardioidin kaava napakoordinaateissa on seuraava:

\rho _{c}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos \theta .

Näin ollen pisteen laskeminen on välttämätöntä $(x, y)$

\rho ={\sqrt {\left(x-{\frac {1}{4}}\right)^{2}+y^{2}}},

\theta =\operaattorinimi {atn} _{2}\left(y,x-{\frac {1}{4}}\right),

\rho _{c}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos \theta .

Jos , niin piste putoaa joukon sisään ja maalataan mustaksi, jolloin iteratiiviset laskelmat voidaan jättää pois. ${\displaystyle \rho \leqslant \rho _{c))$ $(x, y)$

Käytännössä suurin vähennys laskelmien määrään saadaan seuraamalla rajaa: jos on jokin suljettu käyrä, joka ei leikkaa abskissa-akselia, jonka jokainen piste ylittää pelastusrajan samalla iteraatiomäärällä tai päinvastoin kuuluu Mandelbrot-joukkoon, silloin millä tahansa tämän käyrän sisällä olevalla pisteellä on sama ominaisuus, ja siksi koko reunan sisällä oleva alue on täytetty samalla värillä.

Suhde Julia-sarjaan

Mandelbrot-joukko rakennettiin alun perin Julia-sarjojen luettelona : jokaisella monimutkaisen tason pisteellä on oma Julia-sarja. Mandelbrot-joukkoon kuuluvat pisteet vastaavat yhdistettyjä Julia-joukkoja ja pisteet, jotka eivät kuulu irtautuneisiin .

Tästä on selvää, että Julia-joukon mielenkiintoiset variantit vastaavat Mandelbrot-joukon rajalla olevia pisteitä. Syvällä sisällä olevat pisteet muodostavat yksinkertaisia geometrisia muotoja, kun taas ulommat näyttävät pölyltä, joka ympäröi värillisiä pisteitä. Jotkut ohjelmat, kuten Fractint, antavat käyttäjälle mahdollisuuden määrittää näytöllä, mihin kohtaan vastaava Julia-sarja on rakennettava, mikä helpottaa kauniiden kuvien löytämistä.

Mandelbrot-joukko itsessään sisältää Julia-joukkoa muistuttavia rakenteita: minkä tahansa c :n Mandelbrot-joukon alue c :n ympärillä muistuttaa Julia-joukon keskustaa parametrilla c . Jos suurennamme Mandelbrotin joukkoa suuresti rajapisteessä c ja teemme saman Julia-joukon kanssa samalla c :n arvolla ja samassa pisteessä, kuviot taipuvat asymptoottisesti toisiinsa kasvavilla suurennuksilla.

Mandelbrot-sarjan muunnelmia

Usein nimellä "Mandelbrot set" ymmärretään vain edellä kuvattu joukko. Jokaisella kompleksisen muuttujan funktiolla on kuitenkin vastaava Mandelbrot-joukko, jolle on myös tunnusomaista yhdistetyn Juliajoukon olemassaolo tai puuttuminen. Voit esimerkiksi laittaa f c ( z ) = z 3 + c . Sitten jokaiselle c:n arvolle tarkistetaan funktion f c Julia-joukon yhteys ja jos yhteys on, oletetaan c kuuluvan Mandelbrot-joukkoon. Kuvatussa tapauksessa liitettävyys voidaan tarkistaa samalla tavalla kuin f c ( z ) = z 2 + c .

Nämä väitteet voidaan myös yleistää useammalla kuin kahdella numerolla määriteltyihin Julia-joukkoon. Esimerkiksi kolmen reaaliluvun määrittelemällä Juliajoukolla on vastaava kolmiulotteinen Mandelbrot-joukko.

Myös Mandelbrot-joukon moniulotteiset muunnelmat otetaan huomioon. Joten kolmiulotteista analogia kutsuttiin Mandelbrotin hehkulampuksi , vaikka klassisia analogeja kompleksiluvuille on olemassa vain ulottuvuudessa, joka vastaa 2:n tehoa.

Mandelbrot-joukon sovellus

Mandelbrot-sarjaa käytetään analysoimaan turbulenssin esiintymistä plasmafysiikassa ja termodynamiikassa, bifurkaatioiden kehittymistä jne.

Sovellus taiteessa

Kauniiden fragmenttien löytäminen Mandelbrot-sarjan värillisistä versioista on mielenkiintoinen harrastus niin monelle ihmiselle. He keräävät kokoelmia tällaisista kuvista, ja jokainen niistä voidaan kuvata pienellä määrällä parametreja, esimerkiksi yksinkertaisesti keskuksen koordinaatteja. Luovuuden elementti ei ole vain koordinaattien etsiminen, vaan myös väritaulukon valinta, joka yhdistää sen suoritettujen iteraatioiden määrään sekä suoritettujen iteraatioiden enimmäismäärään.

Keskipisteen koordinaatit:
−1,7433419053321,
0,0000907687489,
leveys 0,00000000374
Keskipisteen koordinaatit:
−1,88488933694469, 0,00000000081387
,
leveys 0,000000000000024
Keskipisteen koordinaatit:
−0,777807810193171,
0,131645108003206,
leveys 0,0000000000000032
Keskipisteen koordinaatit:
−0,56267837374,
0,65679461735,
leveys 0,000000064

Fraktaalien piirtämiseen on olemassa lukuisia ohjelmia, mutta tästä huolimatta monet kirjoittavat omia versioitaan joustavuuden lisäämiseksi kokeileessaan esimerkiksi animoitujen kuvien luomista.

Keskipisteen koordinaatit:
−0,56267837374,
0,65679461735,
leveys 0,000000064
Keskipisteen koordinaatit:
−1,96680095,
0,00000478,
leveys 0,00000014
Keskipisteen koordinaatit:
−1,7433419053321,
0,0000907687489,
leveys 0,00000000374

Matemaattisia faktoja Mandelbrot-joukosta

Davdy ja Hubbard ovat osoittaneet, että Mandelbrot-sarja on yhdistetty , vaikka tätä on vaikea uskoa, kun tarkastellaan sen eri osia yhdistäviä monimutkaisia siltajärjestelmiä. Mandelbrot-joukon liitettävyys johtuu siitä, että se on sisäkkäisten yhdistettyjen kompaktien joukkojen leikkauspiste.

Ei kuitenkaan tiedetä, onko se paikallisesti yhdistetty . Tätä monimutkaisessa dynamiikassa tunnettua arvelua on kutsuttu MLC:ksi ( Mandelbrot paikallisesti kytketty ) . Monet matemaatikot yrittävät todistaa sen. Jean-Christophe Yoccoz osoitti, että olettamus on totta kaikissa kohdissa äärellisellä uudelleennormalisoinnilla , sitten monet muut matemaatikot osoittivat oletuksen pätevyyden monissa Mandelbrot-joukon eri kohdissa, mutta yleinen olettamus on edelleen todistamaton.

Mitsuhiro Shishikura osoitti, että Mandelbrot-joukon rajan Hausdorff-ulottuvuus on 2. Mutta kysymys on, onko Mandelbrot-joukon rajalla positiivinen Lebesgue -mitta tasossa.

Iteraatioiden lukumäärä joukon rakentamisen minkä tahansa pisteen kohdalla on hyvin lähellä sen sähköpotentiaalin logaritmia, joka syntyy, kun Mandelbrot-joukko latautuu. Tarkemmin sanottuna raja osuu yhteen tämän potentiaalin kanssa. $\ln {\big (}\ln(|z_{n}|)/2^{n}{\big )}+{\text{const))$

Kirjallisuus

Benoit Mandelbrot , Richard L. Hudson. (Epä)tottelemattomat markkinat: Fractal Revolution in Finance = Markkinoiden väärinkäyttö. - M . : "Williams" , 2005. - S. 400. - ISBN 5-8459-0922-8 .

Katso myös

Mandelbrotin kuori
Mandelbrot-sarja wikikirjassa (näyteohjelmilla eri kielillä)

Muistiinpanot

↑ 1 2 Adrien Douady ja John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes , Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984/1985)
↑ Pikselilaskenta arkistoitu 10. elokuuta 2019 Wayback Machinessa .
↑ Robert Brooks ja Peter Matelski, The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C) , Irwin Kra. Riemannin pinnat ja niihin liittyvät aiheet: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference / Irwin Kra. - Princeton University Press , 1981. - ISBN 0-691-08267-7 . Arkistoitu kopio (linkki ei saatavilla) . Haettu 11. lokakuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 28. heinäkuuta 2019. (määrätön)
↑ R. P. Taylor & J. C. Sprott. Biofiiliset fraktaalit ja orgaanisten näytönsäästäjien visuaalinen matka . Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences, Voi. 12, ei. 1 . Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences (2008). Haettu 1. tammikuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 28. elokuuta 2008. (määrätön)
↑ Pountain, Dick. Turboahdin Mandelbrot (uuspr.) // Tavu . - 1986 - syyskuu.

Linkit

Video: 10 minuuttia järkyttävää sukellusta Mandelbrot-sarjaan
Mandelbrot ja Julia asettuvat FractalWorldiin
Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness , TED-puheen tallennus
Mandelbrot 4.0 on ilmainen ( GNU julkisen lisenssin alainen ) ohjelma Mandelbrot- ja Julia-sarjojen luomiseen
QuickMAN v.1.10 ilmainen ( julkisella GNU 2 -lisenssillä ) ohjelma Mandelbrot-sarjan luomiseen (englanniksi)
Mandelbrot-joukon interaktiivinen JavaScript-visualisointi

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Britannica (verkossa) Brockhaus

fraktaaleja
Ominaisuudet	fraktaali ulottuvuus Hausdorffin ulottuvuus Lebesguen ulottuvuus rekursio itsensä samankaltaisuus
Yksinkertaisimmat fraktaalit	Fern Barnsley Kantorin setti lohikäärmeen käyrä Kochin käyrä Sieni Menger Sierpinski matto Sierpinskin kolmio Tilan täyttökäyrä
outo houkutin	Multifraktaali
L-järjestelmä	Tilan täyttökäyrä
Bifurkaatiofraktaalit	Julia setti Ljapunovin fraktaali Mandelbrot setti Newtonin altaat
Satunnaiset fraktaalit	Brownin liike ruskea puu fraktaalipinta Perkolaatioteoria
Ihmiset	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Aleksanteri Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
liittyvät aiheet	Kuinka pitkä Ison-Britannian rannikko on? » Rannikkoparadoksi