Yhdeksän pisteen ympyrä

Yhdeksän pisteen ympyrä on ympyrä , joka kulkee kolmion kaikkien kolmen sivun keskipisteiden läpi .

Sitä kutsutaan myös Eulerin ympyräksi , Feuerbachin ympyräksi , kuuden pisteen ympyräksi , Terkemin ympyräksi , n-pisteen ympyräksi , puolipiirretyksi ympyräksi .

Määritelmälause

Yhdeksän pisteen ympyrä sai nimensä seuraavan lauseen ansiosta:

Satunnaisen kolmion kolmen korkeuden kantat, sen kolmen sivun keskipisteet ja kolmen janan keskipisteet, jotka yhdistävät sen kärjet ortosentriin , ovat kaikki samalla ympyrällä.

Toisin sanoen yhdeksän pisteen ympyrä on rajattu ympyrä seuraaville kolmelle kolmiolle:

ortokolmio ,
keskimmäinen kolmio ,
Eulerin kolmio (tai Feuerbachin kolmio , Euler-Feuerbach- kolmio) on kolmio, jonka kärjet ovat kolmen janan keskipisteet, jotka yhdistävät ortokeskiön ja kärjet.

Lauseen todistus

Artikkelissa The Trident Lemma todiste Eulerin ympyrän olemassaolosta on annettu tätä lemmaa käyttäen.

Ominaisuudet

Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste sijaitsee Euler-viivalla , täsmälleen ortosentin ja rajatun ympyrän keskipisteen välisen segmentin keskellä .
Eulerin ympyrän yhdeksästä pisteestä kolme on kärjet ortokeskiöön yhdistävien viivaosien keskipisteitä ( Euler-Feuerbachin kolmion kärjet ). Nämä kolme pistettä ovat kolmion sivujen keskipisteiden heijastuksia yhdeksän pisteen ympyrän keskipisteestä .
Siten yhdeksän pisteen keskipiste toimii symmetriakeskuksena , jolloin keskimmäinen kolmio muuttuu Euler-Feuerbach-kolmioksi (ja päinvastoin) [1]
Yhdeksän pisteen ympyrän halkaisija on yhtä suuri kuin rajatun ympyrän säde .
Piirretty ympyrä on kuva yhdeksän pisteen ympyrästä suhteessa homoteettiin , jonka keskipiste on ortokeskiössä ja kerroin 2.

Homoteettisuuden (samankaltaisuuden) viimeinen ominaisuus tarkoittaa, että yhdeksän pisteen ympyrä puolittaa minkä tahansa segmentin, joka yhdistää orthocenterin mielivaltaiseen pisteeseen, joka sijaitsee rajatulla ympyrällä .
Feuerbachin lause . Mielivaltaisen kolmion yhdeksän pisteen ympyrä koskettaa tämän kolmion sisäympyrää ja kaikkia kolmea ulkoympyrää . [2]
Mavlon lause . [3] : yhdeksän pisteen kehällä oleva kolmio katkaisee ulkopuolelta kolme kaarta kolmella sivullaan siten, että niistä suurimman pituus on yhtä suuri kuin kahden jäljellä olevan kaaren pituuksien summa. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa Mavlon lause antaa yhtälön: kaari IF = kaari HE + kaari GD.
Symmetrisessä muodossa Mavlon lause voidaan kirjoittaa seuraavasti: $\smallsmile IF+\smallsmile HE+\smallsmile GD=2\max\{\smallsmile IF,\smallsmile HE,\smallsmile GD\}.$

Tämä vastaa sitä tosiasiaa, että suurin kolmesta kaaresta on yhtä suuri kuin kahden muun summa.

Viimeinen ominaisuus on analoginen ominaisuuksien kanssa etäisyyksille ja ylimääräisen kolmion ( kolmio, jonka kärjet ovat tämän kolmion sivujen keskipisteissä) pisteistä. Feuerbach-pisteeseen , ei kaaria varten. Samanlainen suhde esiintyy myös Pompeuksen lauseessa . $x$ $y$ $z$
Hamiltonin lause . Kolme janaa, jotka yhdistävät ortokeskiön teräväkulmaisen kolmion kärkipisteisiin, jakavat sen kolmeksi kolmioksi, joilla on sama Eulerin ympyrä (yhdeksän pisteen ympyrä) kuin alkuperäisellä teräväkulmaisella kolmiolla. Feuerbachin pisteeksi katsotaan piste, joka on lihavoituna merkitty kärkeä A lähinnä olevaan ympyrään.

Kolmion ympyrässä on täsmälleen kolme pistettä siten, että niiden Simson-viiva on kolmion Euler-ympyrän tangentti , ja nämä pisteet muodostavat säännöllisen kolmion . Tämän kolmion sivut ovat yhdensuuntaiset Morleyn kolmion sivujen kanssa . $ABC$ $ABC$
Jos kolmion lähellä kuvattu hyperbola kulkee korkeuksien leikkauspisteen läpi, niin se on tasakylkinen (eli sen asymptootit ovat kohtisuorassa) [4] . Tasasivuisen hyperbolin asymptoottien leikkauspiste on yhdeksän pisteen ympyrällä [4] . Tätä hyperbeliä kutsutaan Kiepert-hyperboliksi ja sen keskusta on nimetty Encyclopedia of Triangle Centers -tietosanakirjassa X(115).
Jos ortopolin viiva ℓ kulkee kolmion rajatun ympyrän keskikohdan läpi , niin ortopoli itse sijaitsee tämän kolmion Eulerin ympyrällä . [5]
Jos ortopolin P viiva ℓ kulkee kolmion ortokeskiön Q läpi , niin ortopolin ortokeskiöön yhdistävän janan PQ jatkossa oleva piste , joka sijaitsee toisella puolella etäisyydellä PQ , on Eulerilla. ympyrä (9 pisteen ympyrällä) tästä kolmiosta. [6]

Jos ABCD on nelikulmio , joka on piirretty johonkin ympyrään. EFG on nelikulmion ABCD diagonaalinen kolmio . Tällöin nelikulmion ABCD bimediaanien leikkauspiste T on kolmion EFG yhdeksän pisteen ympyrällä .

Kohdassa [7] osoitettiin , että johonkin ympyrään piirretyn nelikulmion bimediaanien leikkauspiste kuuluu kolmion Eulerin ympyrään, jossa on yksi kärki nelikulmion lävistäjien leikkauspisteessä ja kaksi muuta kärkeä leikkauspisteessä. sen vastakkaisten sivujen parien jatkeiden pisteitä.

Yhdeksän pisteen ympyrälle, jota - muun muassa - kutsutaan myös "Terkemin ympyräksi", Terkem todisti Terkemin lauseen . [8] Hän väittää, että jos yhdeksän pisteen ympyrä leikkaa kolmion sivut tai niiden jatkeet 3 pisteparissa (kolmessa korkeus- ja mediaaniparissa), jotka ovat 3 cevianiparin kantat, niin jos 3 ceviania sillä 3 näistä kannoista leikkaa 1 pisteessä (esimerkiksi 3 mediaania leikkaa 1 pisteessä), sitten 3 ceviania 3 muussa kannat leikkaavat myös 1 pisteessä (eli 3 korkeuden on myös leikattava 1 pisteessä).

Yhdeksän pisteen ympyrän ja rajatun ympyrän keskinäiset järjestelyt

Kolmiossa rajatun ympyrän suhteen yhdeksän pisteen ympyrä (tai Eulerin ympyrä ) voidaan sijoittaa seuraavasti:

Se koskettaa rajattua ympyrää vain siinä tapauksessa, että kolmio on suorakulmainen . Tässä tapauksessa kahden ympyrän tangentti kulkee kolmion suoran kulman kärjessä.
Se on kokonaan rajatun ympyrän sisällä, jos kolmio on teräväkulmainen .
Se leikkaa rajatun ympyrän kahdessa eri pisteessä, jos kolmio on tylppä .

Historia

Euler vuonna 1765 osoitti, että korkeuksien ja sivujen keskipisteet sijaitsevat samalla ympyrällä (siis nimi "kuuden pisteen ympyrä"). Ensimmäisen täydellisen todisteen yleisestä tuloksesta julkaisi ilmeisesti Karl Feuerbach vuonna 1822 (yhdessä hänen nimeään kantavan lauseen kanssa ), mutta on viitteitä siitä, että se tiedettiin aiemmin [2] .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Neljä ympyrää, joissa on yhdeksän kolmion pistettä nelikulmion sisällä . On hyvin tunnettu lause: Mielivaltaisessa kuperassa nelikulmiossa yhdeksän kolmion pisteen ympyrät , joihin kaksi diagonaalia jakaa sen, leikkaavat yhdessä pisteessä $ABCD$ $ABC,BCD,CDA,DAB$ - Poncelet-pisteessä . [9]
On hyvin tunnettu lause: Jos lävistäjät ovat kohtisuorassa kuperassa nelikulmiossa, niin yhdellä ympyrällä on kahdeksan pistettä (nelikulmion kahdeksan pisteen ympyrä ): sivujen keskipisteet ja sivujen keskipisteiden projektiot vastakkaisille puolille [10] .

Yhdeksän pisteen ympyrä on yhdeksän pisteen kartion erikoistapaus . Jos piste P on kolmion ABC ortokeskiö , niin täydellisen nelikulmion PABC yhdeksän pisteen kartiosta tulee yhdeksän pisteen ympyrä .

16 Feuerbachin ympyrää, joita kosketti 9 pisteen ympyrä. Oikealla oleva kuva näyttää vihreällä 16 tunnettua Feuerbach-ympyrää, jotka koskettavat punaisella merkittyä 9 pisteen ympyrää (itse kolmio on musta)

Katso myös (artikkelit, joissa mainitaan yhdeksän pisteen ympyrä )

Muistiinpanot

↑ Dekov. Nine-point center// Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry.— 2007.// http://eg-journal.comli.com/2007/JCGEG200721.pdf (linkki ei saatavilla)
↑ 1 2 Tony Crilly. Matemaattisia ideoita , jotka sinun on todella tiedettävä . — Phantom Press. — 209 s. — ISBN 9785864716700 . Arkistoitu 18. kesäkuuta 2016 Wayback Machineen
↑ D. P., Mavlo (2004), Merkittävien ruumiiden kauniit ominaisuudet, Matematiikka kouluissa (Ukraina) (nro 3): 265–269
↑ 1 2 Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Toisen kertaluvun käyrien geometriset ominaisuudet. - 2. painos, täydennetty .. - M . : MTSNMO , 2011. - 148 s. - ISBN 978-5-94057-732-4 .
↑ Orthopole (21. tammikuuta 2017). Haettu 22. kesäkuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 22. kesäkuuta 2020. (määrätön)
↑ College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. (Kappale: G. Orthopole. Kohta 699. Lause. Kuva 156. S. 290-291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 s.
↑ Fraivert, 2019 .
↑ Dmitri Efremov . Uusi kolmiogeometria arkistoitu 25. helmikuuta 2020 Wayback Machinessa . - Odessa, 1902. - S. 16.
↑ Matematiikka tehtävissä. Kokoelma materiaalia Moskovan joukkueen kenttäkouluista koko Venäjän matemaattiseen olympiadiin / Toimittanut A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov ja A. V. Shapovalov. c. 118, tehtävä 9
↑ Matematiikka tehtävissä. Kokoelma materiaalia Moskovan joukkueen kenttäkouluista koko Venäjän matemaattiseen olympiadiin / Toimittanut A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov ja A. V. Shapovalov. c. 118, tehtävä 11

Kirjallisuus

Sharygin I ., Yagubyants A. Yhdeksän pisteen ympyrä ja Eulerin viiva // Kvant. - 1981. - Nro 8 . - S. 34-37 . (Venäjän kieli)
Dm. Efremov. Uusi kolmion geometria 1902
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Uusia kohtaamisia geometrian kanssa. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Matematiikan ympyrän kirjasto).
Ponarin Ya. P. Alkeinen geometria. 2 osana - M . : MTSNMO , 2004. - S. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0 .
Feuerbach, Karl (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren German.
Mavlo D.P. Merkittävien ruumiiden kauniit ominaisuudet//Matematiikka koulussa. nro 3, 2004. s. 265-269.
Dekov. Yhdeksän pisteen keskipiste // Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry. – 2007.
Fraivert David . Uudet pisteet, jotka kuuluvat yhdeksän pisteen ympyrään // The Mathematical Gazette. - 2019. - T. 103 , nro 557 . - S. 222-232 .

Linkit

Elävä suunnitelma