Tracy-Widom jakelu

Tracy-Widom-jakauma on Craig Tracyn ja Harold Widomin käyttöön ottama tilastollinen jakauma kuvaamaan satunnaisen Hermitian matriisin normalisoitua suurinta ominaisarvoa [1] .

Sovelletulla termillä Tracy-Widom-jakauma on siirtymäfunktio järjestelmän kahden vaiheen välillä: heikosti kytketyillä ja vahvasti kytketyillä komponenteilla [2] . Se syntyy myös satunnaisten permutaatioiden suurimman kasvavan osasekvenssin pituuden jakaumana [3] , epäsymmetrisen prosessin virran vaihteluissa yksinkertaisia poikkeuksia lukuun ottamatta (ASEP) vaiheittaisella alkuehdolla [4] [5] , ja yksinkertaistetuissa matemaattisissa malleissa satunnaissyötteiden suurimman yhteisen ongelman osasarjoissa [6] [7] .

F 1 -jakauma on erityisen kiinnostava monimuuttujatilaston kannalta [8] [9] [10] [11] .

Määritelmä

Tracy-Widom-jakauma määritellään rajaksi [12]

F_{\beta }(s)=\lim \limits _{{n\rightarrow \infty }}{{\rm {Prob}}}\left((\lambda _{{{\rm {max}}}} -{\sqrt {2n)))({\sqrt {2}})n^{{1/6}}\leq s\right){\mbox{,}}

missä on standardin satunnaismatriisin suurin ominaisarvo (matriisin komponenteille ) Gaussin ensemble : β=1 - ortogonaalinen, β=2 - unitaarinen, β=4 - symplektinen. Poikkeamaa käytetään jakauman keskittämiseen pisteeseen 0. Kerrointa käytetään, koska jakauman keskihajonnan skaalataan . $\lambda _{{{\rm {max))))$ $n\ kertaa n$ $\sigma =1/{\sqrt 2}$ ${\sqrt {2n}}$ $({\sqrt {2}})n^{{1/6}}$ $n^{{-1/6}}$

Vastaavat esitykset

Kumulatiivinen Tracy-Widom-jakaumafunktio unitaarisille ryhmille ( ) voidaan esittää Fredholmin determinanttina $\beta=2$

F_{2}(s)=\det(I-A_{s})

operaattori neliö-integroitava funktio säteen ytimen kannalta Airy-funktioiden kannalta $Kuten$ $(s,\infty )$ ${\mathrm {Ai}}$

{\frac {\mathrm {Ai} (x)\mathrm {Ai} '(y)-\mathrm {Ai} '(x)\mathrm {Ai} (y)}{xy)).

Se voidaan esittää myös integraalina

F_{2}(s)=\exp \left(-\int _{s}^{\infty }(xs)q^{2}(x)\,dx\oikea)

Painlevén yhtälön ratkaisun kautta II

q^{{\prime \prime }}(s)=sq(s)+2q(s)^{3}\,{\mbox{,}}

jossa , jota kutsutaan Hastings-McLeod-ratkaisuksi, täyttää rajaehdot: $q$

\displaystyle q(s)\sim {\textrm {Ai}}(s),s\rightarrow \infty .

Muut Tracy-Widom-jakelut

Tracy-Widom-jakaumat sekä ortogonaalisille ( ) että symplektisille ( ) yhtyeille ovat ilmaistavissa myös Painlevé-transsendenttinä [13] : $F_{1}$ $F_{4}$ $\beta=1$ $\beta=4$ $q$

F_{1}(s)=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\oikea)\,\left( F_{2}(s)\oikea)^{{1/2}}

F_{4}(s/{\sqrt {2}})={\mathrm {ch}}\left({\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x) )\,dx\oikea)\,\left(F_{2}(s)\right)^{{1/2}}.

Tämä määritelmä on laajennettu koskemaan kaikkia tapauksia [14] . $F_{\beta }$ $\beta>0$

Numeeriset likiarvot

Numeeriset menetelmät Painlevé II- ja Painlevé V -yhtälöiden likimääräisten ratkaisujen saamiseksi ja satunnaismatriisien ominaisarvojen numeerisesti määritettyjen jakaumien saamiseksi beta-ryhmissä esiteltiin ensimmäisen kerran vuonna 2005 [15] (käyttäen MATLAB :ia ). Näitä likimääräisiä menetelmiä jalostettiin myöhemmin analyyttisesti [16] ja niitä käytetään Painlevé II:n ja Tracy-Widomin jakaumien (for ) numeeriseen analyysiin S-PLUS :ssa . Nämä jakaumat taulukoitiin [16] neljään merkitsevään numeroon argumenttiarvoilla askeleella 0,01; työ sisälsi myös tilastollisen p - arvojen taulukon . Vuonna 2009 [17] , tarkat ja nopeat algoritmit numeerisille määritys- ja tiheysfunktioille . Näitä algoritmeja voidaan käyttää jakaumien keskiarvon , varianssin , vinouden ja kurtoosin numeeriseen laskemiseen . $\beta=1,2,4$ $F_{\beta }$ $\textstyle f_{\beta }(s)={dF_{\beta } \over ds}$ $\beta=1,2,4$ $F_{\beta }$

β	Keskiverto	Dispersio	Epäsymmetriakerroin _	Ylimääräinen
yksi	−1.2065335745820	1.607781034581	0,29346452408	0,1652429384
2	−1,771086807411	0,8131947928329	0,224084203610	0,0934480876
neljä	−2.306884893241	0,5177237207726	0,16550949435	0,0491951565

Toiminnot Tracy-Widom-lakien kanssa työskentelyyn sisältyvät myös RMTstat [18] -pakettiin ja MATLAB RMLab [19] -pakettiin .

On myös laskettu yksinkertainen approksimaatio, joka perustuu puolueellisiin gamma -jakaumiin [20] .

Muistiinpanot

↑ Dominici, D. (2008) Special Functions and Orthogonal Polynomials American Math. soc.
↑ Salaperäisellä tilastolailla voi vihdoinkin olla selitys . wired.com (27. lokakuuta 2014). Haettu 30. syyskuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 17. heinäkuuta 2017. (määrätön)
↑ Baik, Deift & Johansson (1999) .
↑ Johanson, 2000 .
↑ Tracy, Widom, 2009 .
↑ Majumdar & Nechaev (2005) .
↑ Katso Takeuchi & Sano, 2010 , Takeuchi et al., 2011 saadaksesi kokeellisen varmistuksen (ja vahvistuksen), että kasvavan pisaran (tai emäksen) rajapinnan vaihtelut kuvataan Tracy-Widom-jakaumalla (tai ), kuten ennustetaan ( Prähofer & Spohn, 2000 ) $F_{2}$ $F_{1}$
↑ Johnstone, 2007 .
↑ Johnstone, 2008 .
↑ Johnstone, 2009 .
↑ Keskustelu universaalisuudesta , katso Deift (2007 ). Liite F 1 populaatiorakenteen päättelemiseksi geneettisistä tiedoista, katso Patterson, Price & Reich (2006 ) $F_{\beta }$ $\beta=1,2,4$
↑ Tracy, CA & Widom, H. (1996), Orthogonal and symplectic matrix ensembles , Communications in Mathematical Physics , osa 177(3): 727–754, ,10.1007/BF02099545:doi > Arkistoitu 20. joulukuuta 2014 Wayback Machinessa
↑ Tracy, Widom, 1996 .
↑ Ramírez, Rider & Virág (2006) .
↑ Edelman & Persson (2005) .
↑ 12. tammikuuta 2005 .
↑ Bornemann, 2010 .
↑ Johnstone et ai. (2009) .
↑ Päivä, 2006.
↑ Chiani, 2012 .

Kirjallisuus

Dotsenko V. S. Universaali satunnaisuus // Phys . - 2011. - T. 181 , nro 3 . - doi : 10.3367/UFNr.0181.201103b.0269 .
Baik, J.; Deift, P. & Johansson, K. (1999), Satunnaispermutaatioiden pisimmän kasvavan osasekvenssin pituuden jakautumisesta , Journal of the American Mathematical Society , osa 12 (4): 1119–1178 , DOI 10.1090/S0894- 0347-99-00307-0 .
Deift, P. (2007), Matemaattisten ja fysikaalisten järjestelmien universaalisuus , International Congress of Mathematicians (Madrid, 2006) , European Mathematical Society , s. 125-152 .
Johansson, K. (2000), Shape fluktuations and random matrices , Communications in Mathematical Physics , osa 209 (2): 437–476 , DOI 10.1007/s002200050027 .
Johansson, K. (2002), Toeplitzin determinantit, satunnainen kasvu ja determinanttiprosessit , Proc. International Congress of Mathematicians (Peking, 2002) , voi. 3, Peking: Higher Ed. Paina, s. 53-62 .
Johnstone, I.M. (2007), High Dimensional Statistical Inference and random matrixs , International Congress of Mathematicians (Madrid, 2006) , European Mathematical Society , s. 307-333 .
Johnstone, IM (2008), Monimuuttuja-analyysi ja Jacobi-ensembles: suurin ominaisarvo, Tracy–Widom-rajat ja lähentymisnopeudet , Annals of Statistics osa 36 (6): 2638–2716, PMID 20157626 , DOI 10.12-AOS6/08-AOS6/08.50 .
Johnstone, IM (2009), Suurimman juuren likimääräinen nollajakauma monimuuttujaanalyysissä , Annals of Applied Statistics osa 3 (4): 1616–1633, PMID 20526465 , DOI 10.1214/08-AOAS220 .
Majumdar, Satya N. & Nechaev, Sergei (2005), Tarkat asymptoottiset tulokset Bernoulli-sovitusmallille sekvenssikohdistusmallille , Physical Review E T. 72 (2): 020901, 4 , DOI 10.1103/PhysRevE.712.0209 .
Patterson, N.; Price, AL & Reich, D. (2006), Populaatiorakenne ja ominaisanalyysi , PLoS Genetics osa 2 (12): e190, PMID 17194218 , DOI 10.1371/journal.pgen.0020190 .
Prähofer, M. & Spohn, H. (2000), Universaalit jakaumat kasvatusprosesseille 1+1-ulottuvuuksissa ja satunnaismatriiseissa , Physical Review Letters , osa 84 (21): 4882–4885, PMID 10990822 , DOI 10.1103/ Phys.1103/Phys. .
Takeuchi, KA & Sano, M. (2010), Kasvavien rajapintojen yleiset vaihtelut: Todisteet turbulenteissa nestekiteissä , Physical Review Letters , osa 104 (23): 230601, PMID 20867221 , DOI 10.1103/PhysRevLett301041226.
Takeuchi, K.A.; Sano, M.; Sasamoto, T. & Spohn, H. (2011), Kasvavat rajapinnat paljastavat yleisiä vaihteluita mittakaavan invarianssin takana , Scientific Reports , osa 1: 34 , DOI 10.1038/srep00034
Tracy, CA & Widom, H. (1993), Tasovälijakaumat ja Airy-ydin , Physics Letters B osa 305 (1-2): 115-118
Tracy, CA & Widom, H. (1994), Tasovälijakaumat ja Airy-ydin , Communications in Mathematical Physics osa 159 (1): 151-174 , DOI 10.1007/BF02100489 .
Tracy, CA & Widom, H. (2002), Jakaumafunktiot suurille ominaisarvoille ja niiden sovellukset , Proc. International Congress of Mathematicians (Peking, 2002) , voi. 1, Peking: Higher Ed. Paina, s. 587-596 .
Tracy, CA & Widom, H. (2009), ASEP:n asymptotiikka vaiheen alkuehdon kanssa , Communications in Mathematical Physics osa 290 (1): 129–154 , DOI 10.1007/s00220-009-0761-0 .
Bejan, Andrei Iu. (2005), Suurimmat ominaisarvot ja näytekovarianssimatriisit. Tracy–Widom ja Painleve II: Laskennalliset näkökohdat ja toteutus S-Plusissa sovelluksilla , M.Sc. väitöskirja, tilastotieteen laitos, Warwickin yliopisto , < http://www.cl.cam.ac.uk/~aib29/TWinSplus.pdf > .
Bornemann, F. (2010), Jakaumien numeerisesta arvioinnista satunnaismatriisiteoriassa: Katsaus kokeelliseen matematiikkaan, Markov Processes and Related Fields , osa 16 (4): 803–866 .
Chiani, M. (2012), Todellisten Wishartin ja Gaussin satunnaismatriisien suurimman ominaisarvon jakauma ja yksinkertainen approksimaatio Tracy–Widom-jakaumaan .
Edelman, A. & Persson, P.-O. (2005), Numeeriset menetelmät satunnaismatriisien ominaisarvojakaumille .
Ramirez, JA; Rider, B. & Virág, B. (2006), Beta ensembles, stokastinen Airy spektri ja diffuusio .

Linkit

Kuijlaars, Jakaumafunktioiden universaalisuus satunnaismatriisiteoriassa , < http://web.mit.edu/sea06/agenda/talks/Kuijlaars.pdf > .
Tracy, CA & Widom, H. , Satunnaismatriisiteorian jakaumat ja niiden sovellukset , < http://www.math.ucdavis.edu/~tracy/talks/SITE7.pdf > .
Johnstone, Iain; Ma, Zongming; Perry, Patrick & Shahram, Morteza (2009), Package 'RMTstat' , < http://cran.r-project.org/web/packages/RMTstat/RMTstat.pdf > .
Quanta Magazine: Uuden yleismaailmallisen lain ääripäässä

Todennäköisyysjakaumat
Diskreetti	Bernoulli Binomi Geometrinen hypergeometrinen Logaritminen Negatiivinen binomi Poisson Diskreetti univormu Multinomi
Ehdottomasti jatkuvaa	Beeta Weibulla Gamma- hypereksponentiaalinen Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormaali Normaali (Gaussin) Logistinen Nakagami Pareto Pearson puoliympyrän muotoinen jatkuva yhtenäinen Riisi Rayleigh Opiskelija Tracey - Vidoma Fisher Chi-neliö Eksponentiaalinen Varianssi-gamma Monimuuttuja normaali kopula