Roottori (differentiaalioperaattori)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 5. lokakuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 21 muokkausta .

Roottori , pyöritys päivää tai whirlwind on vektoridifferentiaalioperaattori vektorikentän yli .

Ilmoitettu eri tavoin:

$\operaattorinimi{rot}$ (yleisin venäjänkielisessä [1] kirjallisuudessa),
$\operaattorinimi{curl}$ (englanninkielisessä kirjallisuudessa, Maxwellin ehdottama [2] ),
$\mathbf {\nabla } \times$ — differentiaalioperaattorina nabla , vektoriaalisesti kerrottuna vektorikentällä, eli vektorikentällä, roottorioperaattorin toiminnan tulos, joka on kirjoitettu tähän muotoon, on nabla-operaattorin ja tämän kentän vektoritulo : . $\mathbf {F}$ $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F}$

Roottorioperaattorin toiminnan tulosta tietyssä vektorikentässä kutsutaan kenttäroottoriksi tai yksinkertaisesti roottoriksi ja se on uusi vektorikenttä [3] : $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$

\operaattorin nimi {rot} \mathbf {F} \equiv \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F}

Kenttä (vektorin pituus ja suunta kussakin avaruuden pisteessä) luonnehtii tietyssä mielessä ( katso alla ) kentän kiertokomponenttia vastaavissa pisteissä. $\operaattorin nimi {rot} \mathbf {F}$ $\operaattorin nimi {rot} \mathbf {F}$ $\mathbf {F}$

Määritelmä

Vektorikentän roottori on vektori, jonka projektio kumpaankin suuntaan on raja vektorikentän kiertokulkua pitkin ääriviivaa , joka on tasaisen alueen reuna , kohtisuorassa tähän suuntaan, suhteessa tämän arvoon. pinta-ala (ala), kun alueen koko pyrkii nollaan, ja itse pinta-ala supistuu pisteeseen [4] : $\operaattorin nimi {rot} \mathbf {a}$ $\mathbf {a}$ $\operaattorin nimi {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a}$ $\mathbf n$ $L$ $\Delta S$

\operaattorinnimi {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\oint \limits _{L}\mathbf {a\ cdot \,dr} }{\Delta S))

Ääriviivan kulkusuunta valitaan siten, että suuntaan katsottuna ääriviiva ajetaan myötäpäivään [5] . $\mathbf n$ $L$

Tällä tavalla määritelty operaatio on olemassa varsinaisesti vain kolmiulotteisen avaruuden vektorikentille. Katso yleistykset muihin ulottuvuuksiin alla .

Vaihtoehtoinen määritelmä voi olla differentiaalioperaattorin suora laskennallinen määritelmä, joka pelkistyy arvoon

\operaattorinnimi {rot} \mathbf {a} =\nabla \times \mathbf {a}

joka voidaan kirjoittaa tiettyihin koordinaatteihin alla olevan kuvan mukaisesti .

Joskus voit törmätä sellaiseen vaihtoehtoiseen [6] määritelmään [7]

\operaattorinnimi {rot} \mathbf {a} {\Big |}_{O}=\lim _{S\to O}{\frac {\oint \limits _{S}[\mathbf {a} \times d\mathbf {S} ]}{V}}

, missä on piste, jossa kentän roottori määritetään ,

O

\mathbf {a}

S

- jokin suljettu pinta, jonka sisällä on piste ja joka kutistuu siihen rajassa,

O

d\mathbf {S}

on tämän pinnan elementin vektori, jonka pituus on yhtä suuri kuin pintaelementin pinta-ala, joka on kohtisuorassa pintaan tietyssä pisteessä, merkki tarkoittaa vektorituloa,

\ajat

V

on tilavuus pinnan sisällä .

S

Tämä viimeinen määritelmä on sellainen, että se antaa välittömästi roottorivektorin ilman tarvetta määritellä projektioita kolmelle akselille erikseen.

Intuitiivinen kuva

Jos on kaasun (tai nesteen virtauksen) nopeuskenttä, niin on vektori, joka on verrannollinen virtauksessa olevan (ja kaasun tai nesteen liikkeen mukanaan tuoman) hyvin pienen ja kevyen pölyrakeen (tai pallon) kulmanopeusvektoriin; vaikka pallon keskipiste voidaan kiinnittää haluttaessa, vain niin, että se voi pyöriä vapaasti sen ympäri). $\mathbf {v} (x,y,z)$ $\operaattorin nimi {rot} \mathbf {v}$

Tarkemmin sanottuna missä tämä kulmanopeus on. $\operaattorin nimi {rot} \mathbf {v} =2{\boldsymbol {\omega }}$ ${\boldsymbol {\omega ))$

Katso alta yksinkertainen esimerkki tästä tosiasiasta .

Tämä analogia voidaan vetää melko tarkasti ( katso alla ). Edellä annettua levikkikohtaista perusmääritelmää voidaan pitää vastaavana näin saatua.

Lauseke tietyissä koordinaateissa

Roottorin kaava suorakulmaisina koordinaatteina

Kolmiulotteisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa roottori (yllä olevan määritelmän mukaan) lasketaan seuraavasti (tässä vektorikenttä, jossa on suorakulmaiset komponentit ja ovat karteesisten koordinaattien ortteja ): $\mathbf {F}$ ${\näyttötyyli (F_{x},F_{y},F_{z})}$ $\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z$

\operaattorinimi {rot} (F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\,\mathbf {e} _{y}+F_{z}\mathbf {e} _{ z})={}

= \left( \partial_y F_z - \partial_z F_y \right) \mathbf e_x+ \left( \partial_z F_x - \partial_x F_z \right) \mathbf e_y+ \left( \partial_x F_y \f_y) ekv

\equiv \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e } _{x}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf { e} _{y}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e}_{z}

tai

(\operaattorinimi {rot} \mathbf {F} )_{x}=\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\equiv {\frac {\partial F_ {z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}

(\operaattorinimi {rot} \mathbf {F} )_{y}=\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\equiv {\frac {\partial F_ {x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}

(\operaattorinimi {rot} \mathbf {F} )_{z}=\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\equiv {\frac {\partial F_ {y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}

(jota voidaan pitää vaihtoehtoisena määritelmänä, joka on olennaisesti yhtäpitävä osan alussa olevan määritelmän kanssa, ainakin sillä ehdolla, että kenttäkomponentit ovat differentioituvia).

Mukavuuden vuoksi voimme esittää roottorin muodollisesti nabla-operaattorin (vasemmalla) ja vektorikentän vektoritulona :

\operaattorinnimi {rot} \mathbf {F} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\partial _{x}\\\partial _{y}\\ \partial _{z}\end{pmatrix}}\times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e } _{z}\\\osittainen _{x}&\osittainen _{y}&\osittainen _{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}

(viimeinen yhtälö edustaa muodollisesti vektorituloa determinanttina ).

Roottorin kaava kaarevina koordinaatteina

Kätevä yleislauseke roottorille, joka sopii mielivaltaisiin kaareviin koordinaatteihin 3D-avaruudessa, on Levi-Civita-tensorin käyttö (käyttäen yläindeksiä, alaindeksiä ja Einsteinin summaussääntöä ):

{\displaystyle (\operaattorin nimi {rot} \mathbf {v} )_{i}=\varepsilon _{ijk}g^{jm}\nabla _{m}v^{k))

missä on Levi-Civita-tensorin koordinaattimerkintä, mukaan lukien tekijä , on metrinen tensori esityksessä yläindeksien kanssa , ja ovat vektorin kontravarianttien koordinaattien kovarianttijohdannaisia . $\varepsilon_{ijk}$ ${\sqrt {g))$ $g^{jm}$ $g\equiv \det(g_{rs})$ ${\displaystyle \nabla _{m}v^{k))$ ${\mathbf v}$

Tämä lauseke voidaan myös kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

{\displaystyle (\operaattorin nimi {rot} \mathbf {v} )^{n}=g^{ni}\varepsilon _{ijk}g^{jm}\nabla _{m}v^{k))

Roottorin kaava ortogonaalisissa kaarevissa koordinaateissa

\operaattorinnimi {rot} \mathbf {A} =\operaattorinnimi {rot} (\mathbf {q_{1}} A_{1}+\mathbf {q_{2}} A_{2}+\mathbf {q_ {3}}A_{3})=

{}={\frac {1}{H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{3}H_{3 })-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{2}H_{2})\right]\mathbf {q_{1}} \ +

{}+{\frac {1}{H_{3}H_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{1}H_{1 })-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{3}H_{3})\right]\mathbf {q_{2}} \ +

{}+{\frac {1}{H_{1}H_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{2}H_{2 })-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{1}H_{1})\right]\mathbf {q_{3}}

{}={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}{\begin{vmatrix}\mathbf {(} H_{1}{e}_{1}) &\mathbf {(} H_{2}{e}_{2})&\mathbf {(} H_{3}{e}_{3})\\{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{1))}&{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{2))}&{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{3 }}}\\(A_{1}H_{1})&(A_{2}H_{2})&(A_{3}H_{3})\end{vmatrix}}

missä ovat Lame-kertoimet . $Hei$

Yleistykset

Kierron yleistys, jota sovelletaan vektori- (ja pseudovektori-) kenttiin mielivaltaisissa mitoissa (edellyttäen, että avaruuden ulottuvuus on sama kuin kenttävektorin dimensio), on valenssin kaksi antisymmetrinen tensorikenttä , jonka komponentit ovat yhtä suuri:

(\operaattorinimi {rot} \mathbf {F} )_{ij}=\partial _{i}F_{j}-\partial _{j}F_{i}\equiv {\frac {\partial F_ {j}}{\partial x_{i}}}}-{\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}

Sama kaava voidaan kirjoittaa ulkotuotteelle nabla-operaattorilla:

\operaattorinnimi {rot} \mathbf {F} =\nabla \wedge \mathbf {F}

Kaksiulotteiselle tasolle voidaan käyttää samanlaista kaavaa pseudoskalaaritulolla (sellainen kihara on pseudoskalaarinen ja sen arvo on sama kuin perinteisen vektoritulon projektio normaalissa tälle tasolle, jos se on upotettu kolmiulotteinen euklidinen avaruus).

Jos kompleksisen avaruuden rakenne (koordinaatilla ) esitellään kaksiulotteiseen reaaliavaruuteen (koordinaateilla ja ) ja kaksiulotteiset vektorikentät kirjoitetaan kompleksiarvoisiksi funktioiksi , niin käyttämällä kompleksin muuttujan differentiaatiota $x$ $y$ $z=x+iy$ $f(z)$

{\frac {\partial {}}{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {}}{\partial x}}-i{ \frac {\partial {}}{\partial y}}\right)

roottori ja divergenssi (ja ne pysyvät reaalilukuina) voidaan kirjoittaa seuraavasti:

\operaattorinnimi {rot} f=2\operaattorin nimi {Im} {\frac {\partial f}{\partial z))

\operaattorin nimi {div} f=2\operaattorin nimi {Re} {\frac {\partial f}{\partial z))

Perusominaisuudet

Roottorin toiminta on lineaarinen vakiokentän yli: kaikille vektorikentille ja ja kaikille luvuille (vakio) ja $\mathbf {F}$ $\mathbf {G}$ $a$ $b$

\operaattorinnimi {rot} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\operaattorin nimi {rot} \mathbf {F} +b\operaattorinnimi {rot} \mathbf {G}

Jos on skalaarikenttä (funktio) ja on vektori, niin: $\varphi$ $\mathbf {F}$

\operaattorinnimi {rot} (\varphi \mathbf {F} )=\operaattorinimi {grad} \varphi \times \mathbf {F} +\varphi \operaattorinimi {rot} \mathbf {F}

\nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\times \mathbf {F} +\varphi (\nabla \times \mathbf {F} )

Jos kenttä on potentiaalinen , sen roottori on nolla (kenttä on irrotaatio): $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$

\mathbf {F} =\operaattorinimi {grad} \varphi \implies \operatorname {rot} \mathbf {F} ={\boldsymbol {0))

Päinvastoin on totta paikallisesti [8] : jos kenttä on irrotaatio, niin paikallisesti (riittävän pienillä alueilla) se on potentiaalinen (eli on olemassa sellainen skalaarikenttä , joka on sen gradientti): $\varphi$ $\mathbf {F}$

\operaattorinimi {rot} \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}\implies \mathbf {F} =\operaattorinimi {grad} \varphi

Siten eri vektorikentillä voi olla sama roottori. Tässä tapauksessa ne eroavat välttämättä irrotaatiokentällä (eli paikallisesti jonkin skalaarikentän gradientilla).

Roottorin hajonta on nolla (roottorikenttä on hajoamaton):

\operaattorin nimi {div} \operaattorin nimi {rot} \mathbf {F} =0

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0

Käänteinen ominaisuus pätee myös paikallisesti - jos kenttä on hajoamaton, se on paikallisesti jonkin kentän roottori , jota kutsutaan sen vektoripotentiaaliksi : $\mathbf {F}$ $\mathbf {G}$

\operaattorinnimi {div} \mathbf {F} =0\implies \mathbf {F} =\operaattorinimi {rot} \mathbf {G}

Kahden vektorikentän ristitulon ero ilmaistaan niiden roottoreina kaavalla:

\operaattorinnimi {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\operaattorinimi {rot} \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot \operaattorinimi {rot} \mathbf {G}

Siten, jos ja ovat irrotaatiovektorikenttiä, niiden vektoritulo on divergentti ja niillä on paikallisesti vektoripotentiaali. Esimerkiksi jos , ja , on helppo löytää vektoripotentiaali :

F

G

\mathbf {F} =\nabla f

\mathbf {G} =\nabla g

\mathbf {F} \times \mathbf {G}

\mathbf {F} \times \mathbf {G} =\operaattorinimi {rot} (f\nabla g)

. Paikallisesti jokainen divergenssivapaa vektorikenttä 3D-alueella on kahden gradientin ristitulo.

Roottorin kiertymä on yhtä suuri kuin divergenttigradientti miinus laplalainen:

\operaattorinnimi {rot} \operaattorin nimi {rot} \mathbf {F} =\operaattorin nimi {grad} \operaattorin nimi {div} \mathbf {F} -\Delta \mathbf {F}

Kenttien vektoritulon roottori on yhtä suuri kuin:

\operaattorinnimi {rot} (\mathbf {F\times G} )=(\operaattorin nimi {div} \mathbf {G} )\mathbf {F} -(\operaattorin nimi {div} \mathbf {F} )\ mathbf {G} +\nabla _{\mathbf {G} }\mathbf {F} -\nabla _{\mathbf {F} }\mathbf {G}

Fyysinen tulkinta

Kun jatkuva väliaine liikkuu , sen nopeuksien (eli nesteen virtausnopeuskentän) jakauma lähellä pistettä O saadaan Cauchy-Helmholtzin kaavalla:

\mathbf {v} (\mathbf {r} )=\mathbf {v} _{O}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} +\nabla \varphi +o(\ mathbf {r} )

missä on väliaineen elementin kulmakierron vektori pisteessä ja koordinaattien neliömuoto , on väliaineen elementin muodonmuutospotentiaali . ${\boldsymbol {\omega ))$ $O$ $\varphi$

Näin ollen jatkuvan väliaineen liike lähellä pistettä koostuu translaatioliikkeestä (vektori ), pyörimisliikkeestä (vektori ) ja potentiaalisesta liikkeestä - muodonmuutoksesta (vektori ). Soveltamalla roottorioperaatiota Cauchy- Helmholtzin tasakaavaan saadaan, että pisteessä $O$ $\mathbf {v} _{O}$ ${\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$ $\nabla\varphi$ $O$ $\operaattorin nimi {rot} \mathbf {v} =2{\boldsymbol {\omega }}$

Intuitiivisena kuvana, kuten edellä on kuvattu, tässä voit käyttää ajatusta virtaukseen heitetyn pienen pölyhiukkasen pyörimisestä (virtauksen mukana kulkeutumasta itsensä kanssa ilman havaittavaa häiriöitä) tai pienen pölyn pyörimisestä. yksi, joka on asetettu virtaukseen kiinteällä akselilla (ilman inertiaa, pyörii virtauksen vaikutuksesta, huomattavasti vääristämättä sitä) pyörät, joissa on suorat (ei kierteiset) siivet. Jos toinen tai toinen sitä katsottaessa pyörii vastapäivään, niin tämä tarkoittaa, että virtausnopeuskentän roottorivektorilla on tässä pisteessä positiivinen projektio meitä kohti.

Kelvin-Stokesin kaava

Vektorin kierto suljettua ääriviivaa pitkin, joka on tietyn pinnan raja, on yhtä suuri kuin tämän vektorin roottorin virtaus tämän pinnan läpi:

\oint \limits _{\partial S}\mathbf {F} \cdot \,\mathbf {dl} =\int \limits _{S}(\operaattorinimi {rot} ~\mathbf {F} )\ cdot \mathbf {dS}

Tasaisen pinnan Kelvin-Stokes-kaavan erikoistapaus on Greenin lauseen sisältö .

Esimerkkejä

Tässä luvussa käytämme yksikkövektoreita (suorakulmaisten) suorakulmaisten koordinaattien akseleilla merkintää $\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z.$

Yksinkertainen esimerkki

Harkitse vektorikenttää koordinaateista riippuen ja niin: $\mathbf {F}$ $x$ $y$

\mathbf{F}(x,y)=y\mathbf e_x - x \mathbf e_y

Tämän esimerkin yhteydessä on helppo nähdä, että missä on sädevektori, ja eli kenttää voidaan pitää suuruusyksikön kulmanopeudella pyörivän jäykän kappaleen pisteiden nopeuskenttänä , suunnattu akselin negatiiviseen suuntaan (eli myötäpäivään, jos katsot "ylhäältä" - akselia vasten ). Intuitiivisesti on enemmän tai vähemmän ilmeistä, että kenttä on kierretty myötäpäivään. Jos asetamme pyörän, jossa on terät, sellaisilla nopeuksilla virtaavaan nesteeseen (eli pyörivänä kokonaisuutena myötäpäivään) mihin tahansa paikkaan, näemme, että se alkaa pyöriä myötäpäivään. (Suuntien määrittämiseksi käytämme tavalliseen tapaan oikean käden tai oikean ruuvin sääntöä ). $\mathbf {F} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$ $\mathbf {r}$ ${\boldsymbol {\omega }}=-1\mathbf {e} _{z}$ $\mathbf {F}$ $z$ $z$
$z$ -kentän komponentin oletetaan olevan nolla. Kuitenkin, jos se on muu kuin nolla, mutta vakio (tai jopa riippuen vain ) - alla saatu tulos roottorille on sama. $\mathbf {F}$ $z$

Lasketaan roottori:

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} =0 \mathbf e_x + 0 \mathbf e_y+ \left[ {\frac{\partial}{\partial x))(-x) -{\frac{\partial }{\partial y)) y \right] \mathbf e_z = -2\mathbf e_z

Kuten odotettiin, suunta osui yhteen akselin negatiivisen suunnan kanssa . Tässä tapauksessa roottori osoittautui vakioksi, eli kenttä osoittautui homogeeniseksi, koordinaateista riippumattomaksi (mikä on luonnollista jäykän kappaleen pyörimiselle). Mikä on ihanaa $z$ $\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F}$

nesteen pyörimiskulmanopeus, joka on laskettu roottorista ja todettu täsmälleen yhtä suureksi , vastasi täsmälleen Fysikaalisen tulkinnan kappaleessa ilmoitettua , eli tämä esimerkki havainnollistaa hyvin siinä annettua tosiasiaa $\operaattorin nimi {rot}{\mathbf F}/2$ . (Tietenkin laskelmat, jotka toistavat edellä mainitun täysin, mutta vain yksikkökulmanopeudelle, antavat saman tuloksen ). $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =2{\boldsymbol {\omega }}$

Pyörimiskulman nopeus tässä esimerkissä on sama missä tahansa avaruuden pisteessä (kiinteään kappaleeseen liimatun pölyrakeen kiertokulma ei riipu pölyrae liimauspaikasta). Roottorikaavio ei siis ole liian mielenkiintoinen: $\mathbf {F}$

Monimutkaisempi esimerkki

Tarkastellaan nyt hieman monimutkaisempaa vektorikenttää [9] :

{\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=-x^{2}\mathbf {e} _{y))

Hänen aikataulunsa:

Emme ehkä näe kiertoa, mutta katsomalla lähemmäksi oikealle näemme suuremman kentän esimerkiksi pisteessä kuin pisteessä . Jos asentaisimme sinne pienen siipipyörän, oikealla puolella oleva suurempi virtaus saa pyörän pyörimään myötäpäivään, mikä vastaa ruuvaamista suuntaan . Jos asetamme pyörän pellon vasemmalle puolelle, suurempi virtaus sen vasemmalla puolella saa pyörän pyörimään vastapäivään, mikä vastaa ruuvaamista suuntaan . Tarkistamme arvauksemme laskelmalla: $x=4$ $x=3$ $-z$ ${\näyttötyyli +z}$

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} = 0 \mathbf e_x + 0 \mathbf e_y + {\frac{\partial}{\partial x))(-x^2) \mathbf e_z = -2x \ mathbf e_z

Todellakin, ruuvaaminen tapahtuu negatiivisen ja positiivisen suuntaan , kuten odotettiin. Koska tämä roottori ei ole sama joka pisteessä, sen kaavio näyttää hieman mielenkiintoisemmalta: ${\näyttötyyli +z}$ $x$ $-z$ $x$

Voidaan nähdä, että tämän roottorin kuvaaja ei ole riippuvainen tai (kuten sen pitäisi olla) ja se on suunnattu positiiviselle ja negatiiviselle suuntaan . $y$ $z$ $-z$ $x$ ${\näyttötyyli +z}$ $x$

Selittäviä esimerkkejä

Tornadossa tuulet pyörivät keskustan ympäri, ja tuulen nopeuksien vektorikentässä on nollasta poikkeava roottori (jossain) keskialueella. (katso pyörreliike ). (Totta, lähempänä reunaa jossain, roottori voi saada myös nolla-arvon, katso alla ).
Pyörivän jäykän (absoluuttisen jäykän) kappaleen pisteiden liikenopeuksien vektorikentässä se on sama koko tämän kappaleen tilavuudessa ja on yhtä suuri (vektori) kaksi kertaa pyörimiskulmanopeuteen verrattuna ( katso lisätietoja yllä ) . Erityisessä puhtaasti translaatioliikkeessä tai lepotilassa tämä roottori voi olla yhtä suuri kuin nolla, samoin kuin kulmanopeus, myös kehon kaikissa kohdissa. ${\mathbf v}$ $\operaattorin nimi {rot} \mathbf {v}$
Jos radalla olevien autojen nopeudet kuvattaisiin vektorikentällä ja eri kaistalla olisi erilaiset nopeusrajoitukset, kaistan välisellä rajalla oleva roottori olisi nollasta poikkeava.
Faradayn sähkömagneettisen induktion laki , yksi Maxwellin yhtälöistä , kirjoitetaan yksinkertaisesti (differentiaalimuodossa) roottorin läpi: sähkökentän roottori on yhtä suuri kuin magneettikentän muutosnopeus (ajan kanssa) otettuna vastakkaisella merkillä.
Maxwellin neljäs yhtälö - Ampère-Maxwell -laki - kirjoitetaan myös differentiaalimuodossa roottorilla: magneettikentän voimakkuuden roottori on yhtä suuri kuin tavanomaisten virrantiheyksien ja siirtymävirran summa [10] .

Tärkeä intuitiivinen esimerkki

On syytä muistaa, että roottorin suunta ei välttämättä vastaa kentän pyörimissuuntaa (olkoon se nesteen nopeuksien kenttä), mikä vaikuttaa ilmeiseltä, mikä vastaa virtaussuuntaa. Sen suunta voi olla päinvastainen kuin virtaus, ja erityisesti roottori voi osoittautua nollaksi, vaikka virtaviivat ovat taipuneita tai jopa edustavat tarkkoja ympyröitä). Toisin sanoen vektorikentän vektoriviivojen kaarevuussuunta ei liity millään tavalla tämän kentän roottorin vektorin suuntaan.

Tarkastellaanpa tällaista esimerkkiä. Määritetään nesteen virtausnopeuskenttä kaavalla: ${\mathbf v}$

{\displaystyle \mathbf {v} =-f(y)\mathbf {e} _{x))

{\displaystyle \operaattorin nimi {rot} \mathbf {v} =f'(y)\mathbf {e} _{z))

Jos , virtaus kuljettaa hiukkasen oikealta vasemmalle (eli vastapäivään ylhäältä akselia pitkin ) , mutta jos ja on laskeva funktio, niin roottori on suunnattu alaspäin kaikkialla, mikä tarkoittaa, että jokainen nestehiukkanen on kierretty myötäpäivään (kun myös ja vääntynyt). $f'(y)>0$ $z$ $f'(y)<0$ $f(y)$

Yllä oleva tarkoittaa, että väliaine kokonaisuutena voi pyöriä havaitsijan ympäri yhteen suuntaan ja jokainen sen pieni tilavuus voi pyöriä vastakkaiseen suuntaan tai ei pyöriä ollenkaan.

Muistiinpanot

↑ Myös saksaksi, josta tämä nimitys ilmeisesti päätyi venäjäksi, ja melkein kaikkialla Euroopassa, paitsi Englannissa, jossa tällaista nimitystä pidetään "vaihtoehtoisena" (ehkä dissonanssin vuoksi: Englanti rot - rot, rappeutuminen) .
↑ O. Heaviside . Magneettisen voiman ja sähkövirran suhteet Arkistoitu 22. heinäkuuta 2016 Wayback Machinessa . // Sähköasentaja, 1882.
↑ Tarkemmin sanottuna - jos - pseudovektorikenttä , niin - tavallinen vektorikenttä (vektori - polaarinen) ja päinvastoin, jos kenttä on tavallisen (polaarisen) vektorin kenttä, niin - pseudovektorikenttä. $\mathbf {F}$ $\operaattorin nimi {rot} \mathbf {F}$ $\operaattorin nimi {rot} \mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ $\operaattorin nimi {rot} \mathbf {F}$
↑ Supistuminen pisteeseen on edellytys, pelkkä nollaan pyrkiminen ei riitä, koska haluamme saada kentän ominaiskäyrän yhteen tiettyyn pisteeseen. $\Delta S$
↑ Tavanomainen käytäntö, joka on yhdenmukainen nabla-operaattorin vektoritulon määritelmän kanssa.
↑ Näiden määritelmien vastaavuus, jos raja on olemassa eikä se riipu pisteen supistumismenetelmästä, on nähtävissä, jos valitsemme toisen määritelmän pinnan lieriömäisenä pinnana, jonka emäkset saadaan rinnakkaisella siirrolla ensimmäisen määritelmän paikka hyvin pienellä etäisyydellä kahdessa vastakkaisessa suunnassa kohtisuoraan kohtaan . Rajassa niiden tulisi lähestyä kokoa nopeammin . Sitten toisen määritelmän lauseke jaetaan kahdeksi termiksi, joista toinen, joka sisältää integraalin sivupinnan yli, osuu yhteen ensimmäisen määritelmän kanssa, ja toinen antaa nollan projektiossa kantaan nähden normaaliin, koska itse on siihen nähden ortogonaalinen pohjat. Voit sen sijaan pitää pintana vain pientä suuntaissärmiötä, silloin sitä ei ole niin helppoa heti tiukasti, mutta yleisesti ottaen analogia on selvä. $S$ $\Delta S$ $\Delta S$ $\Delta S$ $\Delta S$ $d\mathbf {S}$
↑ Muodollisesti samanlainen kuin pinnan läpi kulkevan virtauksen hajaantumisen määritelmä: $\operaattorinnimi {rot} \mathbf {a} {\Big |}_{O}=\lim _{S\to O}{\frac {\oint \limits _{S}(\mathbf {a} \cdot d\mathbf {S} )}{V}}$ .
↑ Lokaliteettilause on tärkeä yleisessä tapauksessa, kun tässä tarkasteltavat kentät voidaan määritellä ei-triviaalisen topologian avaruudessa (monijoukossa) tai alueella, ja kun ehdot täyttyvät myös yleisesti ottaen ei-triviaalisen topologian avaruudessa tai alueella. triviaali topologia. Euklidisen avaruuden tai sen yksinkertaisesti yhdistetyn alueen tapauksessa paikkalausetta ei tarvita; Eli silloin on olemassa sellainen skalaarikenttä , joka on totta kaikkialla tässä tilassa tai tällä alueella. $\mathbf {F}$ $\varphi$ $\operaattorin nimi {rot} \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}$ $\varphi$ $\mathbf {F} =\operaattorinimi {grad} \varphi$
↑ Tällaisen kentän yksinkertaisin fyysinen toteutus (additiiviseen vakioon asti, joka ei vaikuta roottorin laskentaan, koska ; lisäksi tämä vakio voidaan haluttaessa asettaa nollaan vaihtamalla nopeimpaan liittyvään vertailukehykseen virtaava vesi suihkun keskellä) - laminaarivirtaus (viskoosi) neste kahden yhdensuuntaisen kiinteän tason välillä, jotka ovat kohtisuorassa akseliin nähden , tasaisen voimakentän (painovoiman) tai paine-eron vaikutuksesta. Nesteen virtaus pyöreän poikkileikkauksen omaavassa putkessa antaa saman riippuvuuden , joten alla oleva roottorin laskenta pätee myös tähän tapaukseen (helpein tapa on ottaa putken akselin kanssa sama akseli, ja vaikka riippuvuus ei enää ole vakio, se on nolla kohdassa , kuten pääesimerkissä, eli laskelma ja vastaus mille tahansa putken akselin läpi kulkevalle tasolle on sama, ja tämä ratkaisee ongelman). $\operaattorinnimi {rot} \mathrm {const} ={\boldsymbol {0}}$ $x$ $v_y(x)$ $y$ $\mathbf v (z)$ $\partial v_y/\partial z$ $z = 0$
↑ Korkeakoulujen matemaattinen sanakirja. V. T. Vodnev, A. F. Naumovich, N. F. Naumovich

Katso myös

Vektorikentän roottori. Stokesin lause. YouTubessa _
Vektorikentän käpristymän laskenta. YouTubessa _
Vektorianalyysi
Greenin lause
Vektorianalyysin kaavat

Differentiaalilaskenta

Main

yksityiset näkymät

Differentiaalioperaattorit
( eri koordinaateissa )

Ensimmäinen tilaus	Nabla operaattori Kaltevuus Eroaminen Roottori Helmholtzian
toinen tilaus	Elliptinen operaattori Laplacen operaattori Laplace-vektorioperaattori D'Alembert-operaattori Laplace-Beltrami operaattori
korkeammat tilaukset	Hypoelliptinen operaattori

liittyvät aiheet