Sekoitettu tuote

Vektorien sekatulo on vektorin skalaaritulo ja vektorien vektoritulo ja : $({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})$ ${\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}}$ ${\mathbf {a}}$ ${\mathbf {b}}$ ${\mathbf {c}}$

({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf c})={\mathbf {a}}\cdot \left({\mathbf {b}}\times {\mathbf c} \oikea)

Sitä kutsutaan joskus vektorien kolmoispistetuloksi , mikä johtuu ilmeisesti siitä, että tulos on skalaari (tarkemmin pseudoskalaari ).

Geometrinen merkitys: sekatulon moduuli on numeerisesti yhtä suuri kuin vektorien muodostaman suuntaissärmiön tilavuus . ${\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c}$

Ominaisuudet

Sekoitettu tuote on vinossa symmetrinen kaikkien argumenttiensa suhteen:

({\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c})=({\mathbf b},{\mathbf c},{\mathbf a})=({\mathbf c},{\mathbf a},{\mathbf b})=-({\mathbf b},{\mathbf a},{\mathbf c})=-({\mathbf c},{\mathbf b},{\mathbf a} )=-({\mathbf a},{\mathbf c},{\mathbf b});

eli minkä tahansa kahden tekijän permutaatio muuttaa tuotteen etumerkkiä. Tästä seuraa siis

\langle {\mathbf a},[{\mathbf b},{\mathbf c}]\rangle =\langle [{\mathbf a},{\mathbf b}],{\mathbf c}\rangle

Sekoitettu tulo oikeassa suorakulmaisessa koordinaatistossa (ortonormaalissa perustassa) on yhtä suuri kuin vektoreista koostuvan matriisin determinantti ja : $({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})$ ${\mathbf {a},{\mathbf {b))$ ${\mathbf {c}}$

({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x} &b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.

Sekatulo vasemmassa suorakulmaisessa koordinaatistossa (ortonormaalissa pohjassa) on yhtä suuri kuin vektoreista koostuvan matriisin determinantti , joka on otettu miinusmerkillä: $({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})$ ${\mathbf {a},{\mathbf {b))$ ${\mathbf {c}}$

({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})=-{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x }&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.

Erityisesti,

Jos mitkä tahansa kaksi vektoria ovat kollineaarisia, niin minkä tahansa kolmannen vektorin kanssa ne muodostavat sekatulon, joka on yhtä suuri kuin nolla.
Jos kolme vektoria ovat lineaarisesti riippuvaisia (eli samantasoisia, sijaitsevat samassa tasossa), niin niiden sekatulo on nolla.
Geometrinen merkitys - Sekoitettu tulo itseisarvoltaan on yhtä suuri kuin vektorien ja muodostaman suuntaissärmiön tilavuus (katso kuva) ; etumerkki riippuu siitä, onko tämä vektorin kolmio oikea vai vasen. $({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})$ ${\mathbf {a},{\mathbf {b))$ ${\mathbf {c}}$
Vektorien sekatulon neliö on yhtä suuri kuin niiden määrittelemä Gram- determinantti [1] :215 .

Sekoitettu tuote kirjoitetaan kätevästi Levi-Civita-symbolilla (tensori) :

({\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c})=\sum _{{i,j,k}}\varepsilon _{{ijk}}a^{i}b^{j} c^{k}

(viimeisessä kaavassa ortonormaalilla pohjalla kaikki indeksit voidaan kirjoittaa alemmiksi; tässä tapauksessa tämä kaava toistaa kaavan determinantin kanssa melko suoraan, mutta tämä johtaa automaattisesti kertoimeen (-1) vasemmalle kantalle) .

Yleistys

-Dimensionaalisessa avaruudessa sekatulon luonnollinen yleistys, jolla on suuntautunut tilavuus, on vektorikoordinaateilla täytetyistä riveistä tai sarakkeista koostuvan matriisin determinantti. Tämän suuren merkitys on suunnattu -ulotteinen tilavuus (vakiokanta ja triviaali metriikka ovat oletettuja). $n$ $n\ kertaa n$ $n$

Satunnaisella mielivaltaisen ulottuvuuden perusteella sekoitettu tuote kirjoitetaan kätevästi käyttämällä vastaavan ulottuvuuden Levi-Civita-symbolia (tensoria) :

({\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c},\ldots )=\sum _{{i,j,k,\ldots }}\varepsilon _{{ijk\ldots }}a^ {i}b^{j}c^{k}\ldots

Kaksiulotteisessa avaruudessa tämä on pseudoskalaaritulo .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektorialgebra esimerkeissä ja ongelmissa . - M . : Korkeakoulu , 1985. - 232 s.

Linkit

Vektorien sekatulo ja sen ominaisuudet. Esimerkkejä ongelmanratkaisusta

Vektorit ja matriisit

Vektorit

Peruskonseptit	Vektori geometriassa Perusta Ortogonaalinen perusta Vektorikoordinaatit Kollineaarisuus Ortogonaalisuus Lineaarinen riippuvuus Saraketila
Vektorityypit	Yksikkövektori Aksiaalinen vektori isotrooppinen vektori Normaali Kollineaarisuus Nolla vektori Sädevektori Omavektori
Operaatiot vektoreille	Skalaarituote vektorituote sekoitettu tuote Pseudoskalaarinen tuote Kaksinkertainen ristituote
Tilatyypit	vektoriavaruus affinista tilaa Euklidinen avaruus Pseudoeuklidinen avaruus Normaali tila Minkowskin tila

matriiseja

Peruskonseptit	Matriisin kertolasku Transponoitu matriisi Hermitian konjugaattimatriisi Symmetrinen matriisi käänteinen matriisi Ominaisarvo Matriisin karakteristinen polynomi
Erikoismatriisit	Identiteettimatriisi Nolla matriisi Diagonaalinen matriisi lambda matriisi
Matriisihajotukset	LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen QR-hajotus LUP-hajoaminen singulaariarvon hajottelu Matriisin spektrihajotus

muu