Pakkaa ympyrät

Artikkelissa kuvataan ympyröiden pakkaamista pinnoille. Aiheeseen liittyvä artikkeli ympyrän pakkaamisesta tietyllä leikkauskaaviolla on artikkelissa " Ympyräpakkauslause ".

Geometriassa ympyräpakkaus on tutkimusta (saman kokoisten tai erikokoisten) ympyröiden sijoittamisesta tietylle pinnalle siten, että ne eivät leikkaa ja ympyrät koskettavat toisiaan . Järjestyksen vastaava pakkaustiheys η on osa ympyröiden miehittämästä alueesta. Ympyräpakkaukset on mahdollista yleistää suurempiin mittoihin - tätä kutsutaan pallopakkaukseksi , joka toimii yleensä samoilla palloilla.

Vaikka ympyröiden suurin pakkaustiheys on suhteellisen pieni 0,9069 euklidisessa tasossa , tämä tiheys ei ole minimaalinen. "Huonoin" tasopakkausluku ei ole tiedossa, vaikka tasoitetun kahdeksankulmion pakkaustiheys on noin 0,902414, joka on pienin keskisymmetrisistä kuperista kuvioista tunnettu maksimipakkaustiheys [1] . Koverien muotojen, kuten tähtipolygonien , pakkaustiheys voi olla mielivaltaisen pieni.

Matematiikan haara, joka tunnetaan nimellä "ympyröiden pakkaaminen", käsittelee mielivaltaisen kokoisten ympyröiden pakkausten geometriaa ja kombinatoriikkaa, ja tästä syntyy konformisten mappausten , Riemannin pintojen ja vastaavien diskreettejä analogeja.

Litteä pakkaus

Kaksiulotteisen euklidisen avaruuden osalta Joseph Louis Lagrange osoitti vuonna 1773, että suurin tiheys ympyröiden hilapakkaus on kuusikulmainen tiiviste [2] , jossa ympyröiden keskipisteet sijaitsevat kuusikulmaisessa hilassa (siksak-rivit kuten hunajakennoja ). ja jokaista ympyrää ympäröi kuusi muuta ympyrää. Tällaisen pakkauksen tiheys on yhtä suuri

Axel Thue antoi ensimmäisen todisteen siitä, että tämä tiiviste on optimaalinen vuonna 1890, osoittaen, että kuusikulmainen hila on tihein kaikista mahdollisista ympyrätäytteistä, sekä säännöllisistä että epäsäännöllisistä. Tätä todistetta pidettiin kuitenkin puutteellisena. Ensimmäinen täydellinen todistus on Laszlo Fejes Toth (1940) [2] .

Toisaalta on löydetty matalatiheyksisiä jäykkiä ympyröiden tiivisteitä.

Homogeeniset pakkaukset

Ympyräpakkauksia on 11, jotka perustuvat 11 yhtenäiseen tasoon tessellaatioon [3] . Näissä paketeissa mikä tahansa ympyrä voidaan yhdistää mihin tahansa muuhun ympyrään heijastuksen tai pyörityksen avulla. Kuusikulmaiset raot voidaan täyttää yhdellä ympyrällä ja kaksikulmaiset raot voidaan täyttää 7 ympyrällä muodostaen 3 yhtenäistä tiivistettä. Katkaistu kolmikulmainen laatoitus , jossa on molemmilla aukoilla, voidaan täyttää 4-homogeenisena tiivisteenä. Snub-kolmi kuusikulmainen laatoitus on kaksi peilimuotoa.

1-homogeeniset tiivisteet, jotka perustuvat yhtenäisiin laatoituksiin

kolmion muotoinen
Neliö
Kuusikulmainen
Pitkänomainen kolmio

Kolmikulmainen
Hullun neliö
Katkaistu neliö
Katkaistu kuusikulmainen

Rhombotrihexagonal
Snup kuusikulmainen
Snub kuusikulmainen (peili)
Katkaistu kolmikulmainen

Pakkaaminen pallon päälle

Tähän liittyvä ongelma on määrittää tasaisin välein olevien pisteiden minimienergiasijainti, joiden on sijaittava tietyllä pinnalla. Thomsonin ongelma tarkastelee pienitehoisten sähkövarausten jakautumista pallon pinnalla. Tammes- tehtävä on tämän ongelman yleistys ja maksimoi ympyröiden välisen minimietäisyyden pallolla.

Pakkaaminen rajoitetuilla alueilla

Ympyröiden pakkaaminen yksinkertaisiin rajattuihin muotoihin on yleinen virkistysmatematiikan ongelma . Säiliön seinämien vaikutus on tärkeä, eikä kuusikulmainen tiivistys yleensä ole optimaalinen pienelle määrälle ympyröitä.

Epätasaiset ympyrät

On myös useita ongelmia, jotka mahdollistavat ympyröiden koon epäyhtenäisyyden. Yksi tällainen laajennus on ongelma löytää maksimi mahdollinen tiheys systeemille, jossa on kaksi ympyräkokoa ( binäärijärjestelmä ). Vain yhdeksän tarkkaa säteiden suhdetta mahdollistaa kompaktin pakkauksen , jossa jos kaksi ympyrää koskettaa, ne koskettavat vielä kahta ympyrää (jos yhdistät koskettavien ympyröiden keskipisteet viivasegmenteillä, ne kolmioavat pinnan) [4] . Seitsemälle tällaiselle sädesuhteelle tunnetaan kompakteja tiivisteitä, joilla saavutetaan suurin mahdollinen tiivistyssuhde (korkeampi kuin halkaisijaltaan samansuuruisilla ympyröillä) tietyn säteiden suhteen omaavien ympyröiden seoksella. Suurin pakkaustiheys on 0,911627478 sädesuhteella 0,545151042• [5] [6] .

Tiedetään myös, että jos säteiden suhde on suurempi kuin 0,742, binääriseosta ei voida pakata paremmin kuin samankokoisia ympyröitä [5] . Saavutetaan myös ylärajat, jotka voidaan saavuttaa tällaisella binääripakkauksella pienemmillä säteiden suhteilla [7] .

Käärimisympyröiden sovellukset

Kvadratuuriamplitudimodulaatio perustuu ympyröiden pakkaamiseen vaihe-amplitudiavaruuden ympyröiksi. Modeemi lähettää dataa pistesarjana 2-ulotteisella vaihe-amplituditasolla. Pisteiden välinen etäisyys määrittää lähetyskohinan herkkyyden, kun taas ulomman ympyrän halkaisija määrittää tarvittavan lähettimen tehon. Suorituskyky maksimoidaan, kun koodipisteiden signaalikonstellaatio on tiheästi pakattujen ympyröiden keskellä. Käytännössä suorakaiteen muotoista pakkausta käytetään usein yksinkertaistamaan dekoodausta.

Ympyröiden pakkaamisesta on tullut olennainen apuväline origami -taiteessa , sillä jokainen origami-figuurin pala vaatii ympyrän paperille [8] . Robert Lang käytti ympyrän pakkaamisen matematiikkaa kehittääkseen tietokoneohjelmia, jotka oli suunniteltu suunnittelemaan monimutkaisia ​​origamimuotoja.

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ Weisstein, Eric W. Smoothed Octagon  Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
  2. ↑ 1 2 Chang, Hai-Chau & Wang, Lih-Chung (2010), Yksinkertainen todiste Thuen lauseesta ympyräpakkauksesta, arΧiv : 1009.4322 [math.MG]. 
  3. ↑ Williams, 1979 , s. 35-39.
  4. ↑ 1 2 Kennedy, 2006 , s. 255-267.
  5. ↑ 1 2 3 Heppes, 2003 , s. 241-262.
  6. ↑ Kennedy .
  7. ↑ de Laat, de Oliveira Filho, Vallentin .
  8. ↑ Luennot modernista origamista " Robert Lang TED:ssä Arkistoitu 15. lokakuuta 2011 Wayback Machinessa ."

Kirjallisuus