Tsiolkovskyn kaava

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 14. helmikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Tsiolkovskyn kaava määrittää nopeuden, jonka lentokone kehittää rakettimoottorin työntövoiman vaikutuksesta , suunta muuttumattomana, ilman kaikkia muita voimia. Tätä nopeutta kutsutaan ominaisnopeudeksi :

V=I\cdot \ln {\frac {M_{1}}{M_{2}}},

jossa - ilma- aluksen lopullinen nopeus , jota avaruudessa kiertoradalla ja planeettojen välisissä lentoissa tapahtuvassa ohjauksessa usein merkitään ΔV , jota kutsutaan myös ominaisnopeudeksi;

V

minä

- rakettimoottorin ominaisimpulssi (moottorin työntövoiman suhde toiseen polttoainemassan kulutukseen);

M_{{1}}

- ilma-aluksen alkumassa (hyötykuorma + lentokoneen rakenne + polttoaine);

M_{{2}}

on lentokoneen lopullinen massa (hyötykuorma + lentokoneen rakenne).

Historia

Tämän kaavan johti K. E. Tsiolkovski käsikirjoituksestaan "Rocket" 10. toukokuuta ( 22 ), 1897 [1] ja julkaisi vuonna 1903 " Scientific Review " -lehden toukokuun numerossa seuraavassa muodossa [2] :53 [3 ] [4] :

{V \over V_{1}}=\ln \left(1+{M_{2} \over M_{1}}\right),

missä on raketin lopullinen nopeus;

V

V_{1}

- pakenevien elementtien nopeus suhteessa rakettiin;

M_{1}

- raketin massa ilman räjähteitä (eli ilman polttoainetta);

M_{2}

- räjähteiden massa.

Kuitenkin ensimmäiset, jotka ratkaisivat muuttuvan massaisen kappaleen liikeyhtälön, olivat englantilaiset tutkijat W. Moore vuosina 1810-1811 [5] , joka julkaisi ratkaisun myös kirjassaan vuonna 1813 [6] . P. G. Tate vuonna 1861 ja W. J. Steele Cambridgen yliopistosta vuonna 1856 .

Tsiolkovskyn kaava voidaan saada integroimalla Meshchersky - differentiaaliyhtälö muuttuvan massan materiaalipisteelle :

m\cdot {\frac {d{\vec {V}}}{dt}}+{\vec {u}}\cdot {\frac {dm}{dt}}=0,

missä on pistemassa;

m

V

on pisteen nopeus;

u

- suhteellinen nopeus, jolla sen massan pisteestä erottuva osa liikkuu.

Rakettimoottorille tämä arvo on sen ominaisimpulssi [7] . $minä$

Monivaiheisessa raketissa loppunopeus lasketaan Tsiolkovsky-kaavalla saatujen nopeuksien summana kullekin vaiheelle erikseen, ja laskettaessa kunkin vaiheen ominaisnopeutta lasketaan kaikkien seuraavien vaiheiden kokonaisalkumassa. alku- ja loppumassa.

Otetaan käyttöön merkintä:

$M_{{1i}}$ on raketin tankatun vaiheen massa ; $i$
$M_{{2i}}$ on kolmannen vaiheen massa ilman polttoainetta; $i$
$minä_{{i}}$ on kolmannen vaiheen moottorin ominaisimpulssi ; $i$
$M_{{0}}$ - hyötykuorman massa;
$N$ on raketin vaiheiden lukumäärä.

Sitten Tsiolkovsky-kaava monivaiheiselle raketille voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa:

V=\sum _{i=1}^{N}I_{i}\cdot \ln \left({\frac {M_{0}+{\sum _{j=i}^{N} }M_{1j}}{M_{0}+M_{2i}-M_{1i}+{\sum _{j=i}^{N}}M_{1j}}}\oikea).

Raketin todellisen nopeuden ja ominaisuuden välinen ero

Koska todellisissa lento-olosuhteissa rakettiin vaikuttavat muutkin voimat moottorin työntövoiman lisäksi, on rakettien näissä olosuhteissa kehittämä nopeus yleensä ominaista pienempi painovoiman, ympäristön vastuksen ja muiden tekijöiden aiheuttamien häviöiden vuoksi.

Seuraava taulukko näyttää Saturn V -raketin nopeuksien tasapainon, kun Apollo - avaruusaluksen oletetaan saapuvan lentoradalle Kuuhun [8] .

askel	Ominainen nopeus, m/s	Painovoimahäviöt, m/s	Aerodynaamiset häviöt, m/s	Säätöhäviöt, m/s	Todellinen nopeus, m/s
Ensimmäinen (S-IC)	3660	1220	46	0	2394
Toinen (S-II)	4725	335	0	183	4207
Kolmas (S-IVB)	4120	122	0	4.5	3993,5
Yhteensä	12505	1677	46	187,5	10594,5 [9]

Kuten taulukosta voidaan nähdä, painovoimakomponentti on suurin kokonaishäviössä. Gravitaatiohäviöt johtuvat siitä, että pystysuunnassa alkava raketti ei vain kiihdy, vaan myös nostaa korkeutta, voittamalla Maan painovoiman, ja tämä kuluttaa myös polttoainetta. Näiden tappioiden arvo lasketaan kaavalla: [10]

\Delta v_{g}\ =\int \limits _{0}^{t}g(t)\cdot \cos(\gamma (t))\,dt,

missä on paikallinen painovoiman kiihtyvyys ja vastaavasti moottorin työntövoimavektorin ja paikallisen painovoimavektorin välinen kulma , jotka ovat lento-ohjelman mukaisia ajan funktioita.

{\näyttötyyli g(t),}

{\näyttötyyli \gamma (t)}

Kuten taulukosta näkyy, suurin osa näistä tappioista kohdistuu ensimmäisen vaiheen lentosegmenttiin. Tämä selittyy sillä, että tässä osiossa lentorata poikkeaa pystysuorasta vähemmän kuin seuraavien vaiheiden osissa, ja arvo on lähellä maksimiarvoa - 1. $\cos(\gamma (t))$

Aerodynaamiset tappiot johtuvat ilman vastustuksesta raketin liikkuessa siinä ja ne lasketaan kaavalla:

\Delta v_{a}\ =\int \limits _{0}^{t}{\frac {A(t)}{m(t)))\,dt,

missä on etuosan aerodynaamisen vastuksen voima;

A(t)

m(t)

on raketin nykyinen massa.

Tärkeimmät ilmanvastuksen häviöt tapahtuvat myös raketin 1. vaiheen toiminta-alueella, koska tämä alue tapahtuu ilmakehän alemmissa, tiheimmissä kerroksissa.

Avaruusalus tulee laukaista kiertoradalle tiukasti määritellyin parametrein, tätä varten lennon aktiivisessa vaiheessa oleva ohjausjärjestelmä kääntää rakettia tietyn ohjelman mukaan, kun taas moottorin työntövoiman suunta poikkeaa raketin nykyisestä suunnasta, ja tämä aiheuttaa ohjauksen nopeushäviöitä, jotka lasketaan kaavan mukaan:

\Delta v_{u}\ =\int \limits _{0}^{t}{\frac {F(t)}{m(t)}}\cdot (1-\cos(\alpha ( t)))\,dt,

missä on moottorin nykyinen työntövoima;

F(t)

m(t)

on raketin nykyinen massa ja raketin työntövoima- ja nopeusvektorien välinen kulma.

\alfa (t)

Suurin osa ohjusten ohjaushäviöistä tapahtuu 2. vaiheen lento-osiossa, koska juuri tässä osassa tapahtuu siirtyminen pystylennosta vaakasuuntaiseen lennosta ja moottorin työntövoimavektori poikkeaa eniten suunnassa raketin nopeusvektorista.

Tsiolkovsky-kaavan käyttö rakettien suunnittelussa

1800-luvun lopulla johdettu Tsiolkovsky-kaava muodostaa edelleen tärkeän osan matemaattista laitteistoa, jota käytetään rakettien suunnittelussa, erityisesti niiden päämassaominaisuuksien määrittämisessä.

Kaavan yksinkertaisilla muunnoksilla saamme seuraavan yhtälön:

{\frac {M_{1}}{M_{2}}}=e^{V/I},

(yksi)

Tämä yhtälö antaa raketin alkumassan suhteen sen lopulliseen massaan annetuille raketin loppunopeuden ja ominaisimpulssin arvoille .

Otetaan käyttöön seuraava merkintä:

$M_{{0}}$ - hyötykuorman massa;
$M_{{k}}$ - rakettirakenteen massa;
$M_{{t}}$ - polttoaineen massa.

Rakettirakenteen massa monilla arvoilla riippuu polttoaineen massasta lähes lineaarisesti: mitä suurempi polttoaineen syöttö, sitä suurempi on sen varastointia varten tarkoitettujen säiliöiden koko ja massa, sitä suurempi on kannatuksen massa. rakenteellisia elementtejä, mitä tehokkaampi (ja siten massiivisempi) propulsiojärjestelmä. Ilmaisemme tämän riippuvuuden muodossa:

M_{k}={\frac {M_{t)){k)),

missä on kerroin, joka osoittaa kuinka paljon polttoainetta on rakenteen massayksikköä kohti.

k

Järkevällä suunnittelulla tämä kerroin riippuu ensisijaisesti raketin valmistuksessa käytettyjen rakennemateriaalien ominaisuuksista (tiheydestä ja lujuudesta). Mitä vahvempia ja kevyempiä materiaaleja käytetään, sitä suurempi kerroinarvo . Tämä kerroin riippuu myös polttoaineen keskimääräisestä tiheydestä (pienempi polttoaine vaatii suurempia säiliöitä ja massoja, mikä johtaa arvon laskuun ). $k$ $k$

Edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

{\frac {M_{0}+M_{t}+M_{t}/k}{M_{0}+M_{t}/k}}=e^{V/I},

joka alkeismuunnoksilla pelkistetään muotoon:

M_{t}={\frac {M_{0}\cdot k\cdot (e^{V/I}-1)}{k+1-e^{V/I))}.

Tämä Tsiolkovsky-yhtälön muoto mahdollistaa polttoaineen massan laskemisen, joka tarvitaan tietyn ominaisnopeuden saavuttamiseen yksivaiheisella raketilla, kun otetaan huomioon hyötykuorman massa, ominaisimpulssin arvo ja kertoimen arvo . $k$

Kaava on järkevä vain, kun syötetietojen korvaamisesta saatu arvo on positiivinen. Koska positiivisen argumentin eksponentti on aina suurempi kuin 1, kaavan osoittaja on aina positiivinen, joten myös tämän kaavan nimittäjän on oltava positiivinen:

k+1-e^{V/I}>0

, toisin sanoen,

k>e^{V/I}-1.

Tämä epäyhtälö on kriteeri tietyn nopeuden saavuttamiselle yksivaiheisella raketilla tietyn impulssin ja kertoimen annetuille arvoille . Jos epäyhtälö ei täyty, annettua nopeutta ei voida saavuttaa millään polttoaineenkulutuksella: polttoaineen määrän kasvaessa rakettirakenteen massa kasvaa ja raketin alkumassan suhde lopulliseen. ei koskaan saavuta Tsiolkovsky-kaavan edellyttämää arvoa tietyn nopeuden saavuttamiseksi. $V$ $minä$ $k$

Esimerkki raketin massan laskemisesta

Se on laukaistava keinotekoinen maasatelliitti, jonka massa on m, pyöreälle kiertoradalle, jonka korkeus on 250 km. Käytettävissä olevalla moottorilla on tietty impulssi m/s. Kerroin tarkoittaa, että rakenteen massa on 10 % polttoaineena käytettävän raketin (vaiheen) massasta. Määritetään kantoraketin massa . $M_{0}=10$ $I=2900$ $k=9$

Ensimmäinen avaruusnopeus valitulle kiertoradalle on 7759,4 m/s, johon lisätään oletetut painovoimahäviöt 600 m/s, ominaisnopeus on siis m/s (muut häviöt voidaan jättää huomiotta ensimmäisessä approksimaatiossa). Näillä parametreilla arvo . Epätasa-arvo (4) ei täyty, joten näissä olosuhteissa on mahdotonta saavuttaa asetettua tavoitetta yksivaiheisella raketilla . $V=8359.4$ $e^{V/I}=17,86$

Tämä laskenta on yksinkertaistettu eikä siinä oteta huomioon kehon potentiaalisen energian muuttamisen kustannuksia, ja sen suoralla soveltamisella syntyy illuusio, että kustannukset pienenevät kiertoradan korkeuden kasvaessa. Todellisuudessa, ottamatta huomioon ilmakehän vastusta ja painovoimahäviöitä kiertoradalle laukaisun aikana, vaadittu nopeus (välittömästi annettu keholle nollakorkeudessa pinnan yläpuolella) osoittautuu korkeammaksi. Se voidaan määrittää likimääräisesti soveltamalla mekaanisen energian säilymislakia (hypoteettinen elliptinen kiertorata, jonka keskipiste on kosketuspisteessä maan kanssa ja aposenteri kohderadan korkeudella):

\left({\frac {mV^{2}}{2}}\right)-\left({\frac {GmM}{R}}\right)=\left({\frac {mV_{ 0}^{2}}{2}}\oikea)-\vasen({\frac {GmM}{r}}\oikea),

missä on maan keskimääräinen säde;

r

R

- pyöreän kiertoradan korkeus (ottaen huomioon maan säteen, eli ); .

R=r+H

V_{0}^{2}=V^{2}-{\frac {2GM}{r))+{\frac {2GM}{R))

Jos otamme periapsisen nopeudeksi yhtä suuren kuin ympyränmuotoinen nopeus maan pinnan tasolla ( ), niin: $V_{0}^{2}={\frac {GM}{r}}$

V_{0}^{2}={\frac {2GM}{r}}-{\frac {GM}{R}}

, tai

V_{0}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}{\sqrt {1-{\frac {r}{2R}}}}.

Tämä approksimaatio ei ota huomioon impulsseja siirtymiseen Maan ympyräradalta elliptiselle kiertoradalle ja elliptisestä uudelle ympyräradalle, ja se on myös sovellettavissa vain Hohmann-siirtymiin (eli parabolisten ja hyperbolisten siirtymien sovellukseen). ei toimi), mutta se on paljon tarkempi kuin yksinkertaisesti ensimmäisen avaruustehtävän suorittaminen vaaditulla nopeudella useille LEO-korkeuksille.

Silloin 250 km:n korkeudessa lähdön vaadittu nopeus on 8,063 m/s, ei 7,764, ja geostationaarisella radalla (35 786 km maanpinnan yläpuolella) se on jo 10,762 m/s eikä 3,077 m/s, kuten se olisi, jos potentiaalisen energian muuttamisen kustannukset.

Laskelma kaksivaiheiselle raketille

Jaamme ominaisnopeuden puoliksi, joka on kaksivaiheisen raketin kunkin vaiheen ominaisnopeus: m / s. Tällä kertaa , joka täyttää saavutettavuuskriteerin (4) ja korvaamalla arvot kaavoilla (3) ja (2), toiselle vaiheelle saadaan: $V=4179.7$ $e^{V/I}=4,23$

M_{{t2}}={\frac {10\cdot 9\cdot (4,23-1)}{9+1-4,23}}=50,3

M_{{k2}}={\frac {50.3}{9}}=5.6

Siten toisen vaiheen kokonaismassa on 55,9 tonnia.

Ensimmäisessä vaiheessa toisen vaiheen kokonaismassa lisätään hyötykuorman massaan; asianmukaisen vaihdon jälkeen saamme:

M_{{t1}}={\frac {(10+55.9)\cdot 9\cdot (4.23-1)}{9+1-4.23}}=331.3

M_{{k1}}={\frac {331,3}{9}}=36,8

Ensimmäisen vaiheen kokonaismassa on siis 368,1 tonnia ja hyötykuormalla varustetun kaksivaiheisen raketin kokonaismassa on 10 + 55,9 + 368,1 = 434 tonnia. Laskelmat suoritetaan samalla tavalla useammille vaiheille. Tämän seurauksena saamme, että kolmivaiheisen raketin laukaisupaino on 323,1 tonnia, nelivaiheisen raketin - 294,2 tonnia, viisivaiheisen raketin - 281 tonnia.

Tämä esimerkki osoittaa, kuinka monivaiheinen on perusteltua rakettitiedettä: samalla loppunopeudella raketilla, jossa on enemmän vaiheita, on pienempi massa.

Nämä tulokset saadaan sillä oletuksella, että raketin rakenteellisen täydellisyyden kerroin pysyy vakiona vaiheiden lukumäärästä riippumatta. Tarkempi tarkastelu osoittaa, että tämä on vahva yksinkertaistus. Vaiheet on yhdistetty toisiinsa erityisillä sovitinosilla - tukirakenteilla, joista jokaisen on kestettävä kaikkien myöhempien vaiheiden kokonaispaino kerrottuna raketin kokemalla suurimmalla ylikuormitusarvolla kaikilla lentoosilla, joissa sovitin on osa raketti. Kun vaiheiden lukumäärä kasvaa, niiden kokonaismassa pienenee, kun taas sovittimien lukumäärä ja kokonaismassa kasvavat, mikä johtaa kertoimen laskuun ja sen mukana monivaiheisen positiiviseen vaikutukseen . Nykyaikaisessa rakettitieteen käytännössä yli neljää vaihetta ei yleensä tehdä. $k$ $k$

Tällaisia laskelmia ei suoriteta vain suunnittelun ensimmäisessä vaiheessa - valittaessa raketin asetteluvaihtoehtoa, vaan myös suunnittelun myöhemmissä vaiheissa, koska suunnittelu on yksityiskohtainen, Tsiolkovsky-kaavaa käytetään jatkuvasti varmistuslaskelmissa , kun ominaisnopeudet lasketaan uudelleen. , ottaen huomioon raketin (vaiheen) alku- ja loppumassan suhteet, propulsiojärjestelmän erityisominaisuudet, nopeushäviöiden selvitys aktiivisen kohteen lento-ohjelman laskemisen jälkeen jne. saavutuksen hallitsemiseksi raketin määritetystä nopeudesta.

Tsiolkovskyn yleistetty kaava

Raketille, joka lensi lähellä valonnopeutta, yleistetty Tsiolkovsky-kaava pätee:

{\frac {M_{2}}{M_{1}}}=\left({\frac {1-{\frac {V}{c}}}{1+{\frac {V}{ c))))\oikea)^{\frac {c}{2I)),

missä on valon nopeus [11] .

c

Fotoniraketille ja kaavalla on muoto : $I=c$

{\frac {M_{2}}{M_{1}}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {V}{c}}}{1+{\frac {V}{ c}}}}}.

Fotoniraketin nopeus lasketaan kaavalla:

{\frac {V}{c}}={\frac {1-\left({\frac {M_{2}}{M_{1}}}\oikea)^{2}}{1+ \left({\frac {M_{2}}{M_{1}}}\oikea)^{2}}}.

Filateliassa

Tsiolkovskyn kaava on kuvattu vuoden 1963 puolalaisessa postimerkissä ( Sc #1178) , vuoden 1971 nicaragualaisessa postimerkissä sarjasta "10 matemaattista kaavaa, jotka muuttivat maan kasvot" ( Sc #880) ja vuoden 2002 valkovenäläisen postimerkin reunoilla. 45-vuotisjuhlavuoden avaruustutkimukselle omistettu lohko ( Sc #454) .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Venäjän tiedeakatemian (ARAS) arkisto. F. 555. Op. 1. D. 32. Ll. 1-2, 5, 11, 20. Katso sähköiset kopiot Näiden sivujen 20.1.2019 päivätty arkistokopio Wayback Machinella RAS- arkiston verkkosivuilla.
↑ Tsiolkovsky K. Maailman avaruuden tutkiminen reaktiivisilla laitteilla // Tieteellinen katsaus . - 1903. - Nro 5 . - S. 44-75 .
↑ Tsiolkovsky K. E. Proceedings on rakettitekniikka / Toimittanut M. K. Tikhonravov . - M . : Oborongiz, 1947. - S. 33.
↑ K. Tsiolkovsky, Exploring World Spaces with Reactive Instruments, 1903 (saatavilla verkossa tästä Arkistoitu 15. elokuuta 2011. RARed -pdf- muodossa)
↑ Moore, William; Woolwichin Royal Military Academysta . A Journal of Natural Philosophy, Chemistry and the Arts Vol. XXVII, joulukuu 1810, artikla IV: Rakettien liikkeen teoria . - Lontoo: W. Nichelson, 1810.
↑ Moore, William; Woolwichin Royal Military Academysta . Trakaatti rakettien liikkeestä. Tähän on lisätty, An Essay on Naval Gunnery . - Lontoo: G. ja S. Robinson, 1813.
↑ Lämpörakettimoottorille tämä pätee, jos paineet suuttimen ulostulossa ja ympäristössä ovat samat. Tsiolkovskyn kaava säilyttää pätevyytensä riippumatta siitä, täyttyykö tämä ehto.
↑ Miehitetyt kuutehtävät, SATURN V APOLLO:n suunnittelu ja suorituskyky Arkistoitu 14. marraskuuta 2017 Wayback Machinessa . VINITI abstrakti. - M., 1973.
↑ Tähän arvoon lisätään Maan pyörimisnopeus Cape Canaveralin leveysasteella , josta laukaistiin Apollo - ohjelman puitteissa - 406 m/s. Näin ollen Apollo-avaruusalus laukaisi Kuuhun nopeudella 11 000 m/s. 500 km:n korkeudessa (lähellä Maan kiertoradan apogee, josta alus siirtyi lentoradalle Kuuhun) toinen pakonopeus on 10 772 m/s.
↑ Feodosjev V., Sinjarev G. Johdatus rakettitekniikkaan. 2. painos, tarkistettu. ja ylimääräistä - M.: Oborongiz, 1961.
↑ Levantovsky, 1980 , s. 444.

Kirjallisuus

Levantovsky VI Avaruuslennon mekaniikka alkeisesityksessä. - M .: Nauka, 1980. - 512 s.

Taivaan mekaniikka

Lait ja tehtävät	Newtonin lait Painovoimalaki Keplerin lait Kaksi kehon ongelmaa Kolme kehon ongelmaa Gravitaatio N-kappaleen ongelma Bertrandin ongelma Keplerin yhtälö
Taivaallinen pallo	Taivaallinen koordinaattijärjestelmä galaktinen vaakasuoraan päiväntasaajan- ekliptiikka Kansainvälinen taivaankoordinaattijärjestelmä Pallomainen koordinaattijärjestelmä maailman akseli Taivaallinen päiväntasaaja oikea ylösnousemus deklinaatio Ekliptinen Päiväntasaus Päivänseisaus perustaso
Rataparametrit _	Kepleriläiset kiertoradan elementit epäkeskisyys puolipääakseli tarkoittaa anomaliaa nouseva solmupituusaste periapsis argumentti Apocenter ja periapsis Ratanopeus Ratasolmu Epoch
Taivaankappaleiden liikkeet	Auringon ja planeettojen liike taivaalla Ephemeris Planeetan kokoonpanot vastakkainasettelua yhdiste kvadratuuri venymä planeettojen paraati Pimennys auringonpimennys kuunpimennys saros Metoninen kierto Pinnoite Ohjaus huipentuma sideerinen ajanjakso synodinen ajanjakso Kiertojakso kiertoradan resonanssi Equinox Prelude Lähentyminen libration Painovoiman laajuus Kozai-efekti Jarkovski-efekti Dzhanibekovin vaikutus

Astrodynamiikka

Avaruuslento	avaruuden nopeus ensimmäinen (ympyrä) toinen (parabolinen) kolmas neljäs Tsiolkovskyn kaava Painovoiman liike Hohmannin lentorata Elementtien oskulointimenetelmä Vuorovesikiihtyvyys Orbitaalin kaltevuuden muutos Planeettojen välinen liikenneverkko Telakointi Lagrangen pisteet Pioneeriefekti
SC kiertoradalla	geostationaarinen kiertorata Heliosentrinen kiertorata geosynkroninen kiertorata geosentrinen kiertorata geosiirtorata Matala maan kiertorata napainen kiertorata Rata "Tundra" Auringon synkroninen kiertorata Rata "Salama" Oskuloiva kiertorata