Käänteiset trigonometriset funktiot

Käänteiset trigonometriset funktiot ( ympyräfunktiot , kaarifunktiot ) ovat matemaattisia funktioita , jotka ovat käänteisiä trigonometrisille funktioille . Käänteiset trigonometriset funktiot sisältävät yleensä kuusi funktiota:

arcsini (symboli: kulma , jonka sini on ) $\arcsin x;$ $x$
arkosiini (symboli: kulma, jonka kosini on yhtä suuri , jne.) $\arccos x;$ $x$
arctangentti (symboli: ; ulkomaisessa kirjallisuudessa ) $\operaattorin nimi {arctg} x$ $\arctan x$
arctangentti (symboli: ; ulkomaisessa kirjallisuudessa tai ) $\operaattorin nimi {arcctg} x$ $\operaattorin nimi {arccot} x$ $\operaattorin nimi {arccotan} x$
kaareva (symboli: ) $\operaattorin nimi {arcsec} x$
arccosecant (symboli: ; ulkomaisessa kirjallisuudessa ) $\operaattorin nimi {arccosec} x$ $\operaattorin nimi {arccsc} x$

Käänteisen trigonometrisen funktion nimi muodostetaan vastaavan trigonometrisen funktion nimestä lisäämällä etuliite "arc-" ( latinan sanasta arc us - arc). Tämä johtuu siitä, että geometrisesti käänteisen trigonometrisen funktion arvo voidaan liittää yhtä tai toista segmenttiä vastaavan yksikköympyrän kaaren pituuteen (tai kulmaan, joka alittaa tämän kaaren). Joten tavallinen sini antaa sinun löytää sointuman vähentämällä sen ympyrän kaarella, ja käänteisfunktio ratkaisee päinvastaisen ongelman. Käänteisten trigonometristen funktioiden osoittamistapa tällä tavalla ilmaantui 1700-luvun itävaltalaiselle matemaatikolle Karl Scherferille , ja se korjattiin Lagrangen ansiosta . Daniel Bernoulli käytti ensimmäistä kertaa erityistä symbolia käänteiselle trigonometriselle funktiolle vuonna 1729. 1800-luvun loppuun asti englantilaiset ja saksalaiset matemaattiset koulut tarjosivat muita merkintöjä, mutta ne eivät juurtuneet [1] . Vain toisinaan ulkomaisessa kirjallisuudessa sekä tieteellisissä / teknisissä laskimissa käytetään merkintöjä, kuten sin -1 , cos -1 arksiinille, arkosiinille jne. [2] - tällaista merkintää ei pidetä kovin kätevänä, koska sekaannukset ovat mahdollisia nostamalla funktion potenssiin −1. $\sin ^{-1},{\frac {1}{\sin )),$

Trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, joten niille käänteiset funktiot ovat moniarvoisia. Toisin sanoen kaarifunktion arvo on joukko kulmia ( kaaria ), joille vastaava suora trigonometrinen funktio on yhtä suuri kuin annettu luku. Esimerkiksi tarkoittaa joukkoa kulmia, joiden sini on . Kunkin kaarifunktion arvojoukosta erotetaan sen pääarvot (katso alla kaarifunktioiden pääarvojen kaavioita), joita yleensä tarkoitetaan, kun puhutaan kaarifunktiosta. arkosiini, arkosiini jne. $\arcsin 1/2$ $\vasen ( \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{13 \pi}{6}, \frac{17 \pi}{6} \dots ~ (30 ^\circ, 150^\circ, 390^\circ, 510^\circ \dots) \right )$ $1/2$

Yleisessä tapauksessa ehdolla , yhtälön kaikki ratkaisut voidaan esittää muodossa [3] $-1\leqslant \alpha \leqslant 1$ $\sinx=\alpha$ $x=(-1)^{n}\arcsin \alpha +\pi n,~n=0,\pm 1,\pm 2,\dots ~.$

Perussuhde

\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2))

\operaattorinimi {arctg}\,x+\operaattorinimi {arctg}\,x={\frac {\pi }{2))

arcsin-funktio

Luvun x arcsini on kulman y arvo radiaaneina ilmaistuna , jolle $\sin y=x,\quad -{\frac {\pi }{2))\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2)),\quad |x|\leqslant 1.$

Funktio on jatkuva ja rajoitettu koko määrittelyalueellaan. Se kasvaa jyrkästi. $y=\arcsin x$

$\sin(\arcsin x)=x\qquad$ klo $-1\leqslant x\leqslant 1,$
$\arcsin(\sin y)=y\qquad$ klo $-{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}},$
$D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad$ (verkkotunnus),
$E(\arcsin x)=\left[-{\frac {\pi }{2));{\frac {\pi }{2))\right]\qquad$ (arvoalue).

arcsin-funktion ominaisuudet

$\arcsin(-x)=-\arcsin x\qquad$ (funktio on pariton ).
$\arcsin x>0$ osoitteessa . $0<x\leqslant 1$
$\arcsin x=0$ klo $x=0.$
$\arcsin x<0$ klo $-1\leqslant x<0.$
$\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x.$
$\arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\-\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$
$\arcsin x=\operaattorin nimi {arctg}{\frac {x}({\sqrt {1-x^{2))))}$
$\arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\operaattorin nimi {arcctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x)),\qquad 0<x\ leqslant 1\\\operaattorinimi {arcctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x}}-\pi ,\qquad -1\leqslant x<0\end{matriisi }}\oikea.$

arcsin-funktion hakeminen

Annettu funktio . Koko määrittelyalueellaan se on paloittain monotoninen , ja siksi käänteinen vastaavuus ei koko lukujonolla ole funktio. Siksi harkitse segmenttiä , jolla funktio kasvaa tiukasti monotonisesti ja ottaa kaikki arvoalueensa arvot vain kerran. Sitten välissä on käänteisfunktio , jonka kuvaaja on symmetrinen funktion kuvaajan kanssa suoran suhteen . $y=\sin x$ $y=\arcsin x$ $[-\pi /2;\pi /2]$ $y=\sin x$ $[-\pi /2;\pi /2]$ $y=\arcsin x$ $y=\sin x$ $y=x$

arccos-toiminto

Luvun x arkosiini on kulman y arvo radiaanimittana, jolle $\cos y=x,\qquad 0\leqslant y\leqslant \pi ,\quad |x|\leqslant 1.$

Funktio on jatkuva ja rajoitettu koko määrittelyalueellaan. Se on tiukasti laskeva eikä negatiivinen. $y=\arccos x$

$\cos(\arccos x)=x$ klo $-1\leqslant x\leqslant 1,$
$\arccos(\cos y)=y$ klo $0\leqslant y\leqslant \pi .$
$D(\arccos x)=[-1;1]$ (verkkotunnus),
$E(\arccos x)=[0;\pi ]$ (arvoalue).

Arccos-funktion ominaisuudet

$\arccos(-x)=\pi -\arccos x.$ Funktio on keskeisesti symmetrinen pisteen suhteen ja on välinpitämätön (ei parillinen eikä pariton) . $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\right),$
$\arccos x>0$ klo $-1\leqslant x<1.$
$\arccos x=0$ klo $x=1.$
$\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x.$
$\arccos x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\\pi -\arcsin { \sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$
$\arccos x=\operaattorinimi {arcctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\arccos x=\left\{{\begin{matrix}\operaattorin nimi {arctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x)),\qquad 0<x\ leqslant 1\\\pi +\operaattorinimi {arctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x)),\qquad -1\leqslant x<0\end{matriisi }}\oikea.$
$\arccos x=2\arcsin {\sqrt {\frac {1-x}{2))}$
$\arccos x=2\arccos {\sqrt {\frac {1+x}{2))}$
$\arccos x=2\operaattorin nimi {arctg}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}$

Arccos-funktion hankkiminen

Annettu funktio . Koko määrittelyalueellaan se on paloittain monotoninen , ja siksi käänteinen vastaavuus ei koko lukujonolla ole funktio. Siksi harkitse segmenttiä , jolla funktio pienenee tiukasti monotonisesti ja ottaa kaikki arvoalueensa arvot vain kerran. Sitten välissä on käänteisfunktio , jonka kuvaaja on symmetrinen funktion kuvaajan kanssa suoran suhteen . $y=\cos x$ $y=\arccos x$ $[0;\pi]$ $y=\cos x$ $[0;\pi]$ $y=\arccos x$ $y=\cos x$ $y=x$

arctg-funktio

Numeron x arctangentti on radiaaneina ilmaistu kulman arvo , jolle ${\näyttötyyli y,}$ $\operaattorinnimi {tg} y=x,\quad -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}.$

Funktio on määritelty koko reaaliviivalla, jatkuva ja rajattu kaikkialla. Se kasvaa jyrkästi. $y=\operaattorinimi {arctg}x$

$\operaattorinimi {tg}\,(\operaattorinimi {arctg}\,x)=x$ klo $x\in {\mathbb R},$
$\operaattorinimi {arctg}\,(\operaattorinimi {tg}\,y)=y$ klo $-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},$
$D(\operaattorinimi {arctg} \,x)=(-\infty ;\infty )$ (verkkotunnus),
$E(\operaattorin nimi {arctg}\,x)=\left(-{\frac {\pi }{2));{\frac {\pi }{2))\oikea)$ (arvoalue).

Arctg-funktion ominaisuudet

$\operaattorinimi {arctg}(-x)=-\operaattorinimi {arctg}x\qquad$ (funktio on pariton ).
$\operaattorinnimi {arctg} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2)))).$
$\operaattorinnimi {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\geqslant 0\ \-\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$
$\operaattorinimi {arctg} x=\pi /2-\operaattorinimi {arctg} x.$
$\operaattorinnimi {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\operaattorin nimi {arcctg} {\frac {1}{x)),\qquad x>0\\\operaattorin nimi {arcctg} {\ frac {1}{x}}-\pi ,\qquad x<0\end{matrix}}\right.$
${\displaystyle \operaattorinnimi {arctg} x=-i\operaattorin nimi {arth} {ix))$ , missä on käänteinen hyperbolinen tangentti, pintatangentti . ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {arth} }$
$\operaattorinnimi {arth} x=i\operaattorin nimi {arctg} {ix}.$

Hae funktio arctg

Annettu funktio . Se on paloittain monotoninen koko määritelmäalueensa , ja siksi käänteinen vastaavuus ei ole funktio. Siksi harkitse väliä , jolla funktio kasvaa tiukasti monotonisesti ja ottaa kaikki alueensa arvot vain kerran. Sitten välissä on käänteisfunktio , jonka kuvaaja on symmetrinen funktion kuvaajan kanssa suoran suhteen . $y=\operaattorinimi {tg}\,x$ $y=\operaattorinimi {arctg}\,x$ $(-\pi /2;\pi /2)$ $y=\operaattorinimi {tg}\,x$ $(-\pi /2;\pi /2)$ $y=\operaattorinimi {arctg}\,x$ $y=\operaattorinimi {tg}\,x$ $y=x$

arcctg-funktio

Luvun x arctangentti on kulman y arvo (kulmien radiaanimittana), jolle $\operaattorin nimi {ctg} \,y=x,\quad 0<y<\pi .$

Funktio on määritelty koko reaaliviivalla, jatkuva ja rajattu kaikkialla. Se on jyrkästi laskussa ja kaikkialla positiivista. $y=\operaattorinimi {arctg}\,x$

$\operaattorinnimi {ctg} (\operaattorin nimi {arcctg} \,x)=x$ klo $x\in {\mathbb R},$
$\operaattorin nimi {arcctg} (\operaattorin nimi {ctg} \,y)=y$ klo $0<y<\pi ,$
$D(\operaattorinimi {arcctg} x)=(-\infty ;\infty ),$
$E(\operaattorinimi {arcctg} x)=(0;\pi ).$

arcctg-funktion ominaisuudet

$\operaattorinnimi {arcctg} (-x)=\pi -\operaattorinnimi {arcctg} x.$ Funktion kuvaaja on keskipisteen symmetrinen pisteen suhteen Funktio on välinpitämätön (ei parillinen eikä pariton) . $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\oikea).$
$\operaattorin nimi {arcctg} x>0$ mille tahansa $x.$
$\operaattorinnimi {arcctg} x=\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2)))).$
$\operatorname {arcctg} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\geqslant 0\ \\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$
$\operaattorinnimi{arctg} x = \pi/2-\operaattorinnimi{arctg} x.$
$\operaattorinnimi {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\operaattorin nimi {arctg} {\frac {1}{x)),\qquad x>0\\\operaattorin nimi {arctg} {\ frac {1}{x}}+\pi ,\qquad x<0\end{matrix}}\right.$

Hae funktio arcctg

Annettu funktio . Se on paloittain monotoninen koko määritelmäalueensa , ja siksi käänteinen vastaavuus ei ole funktio. Siksi harkitse väliä , jolla funktio pienenee tiukasti monotonisesti ja ottaa kaikki alueensa arvot vain kerran. Sitten välissä on käänteisfunktio , jonka kuvaaja on symmetrinen funktion kuvaajan kanssa suoran suhteen . $y=\operaattorinimi {ctg}\,x$ $y=\operaattorinimi {arctg}\,x$ $(0;\pi )$ $y=\operaattorinimi {ctg}\,x$ $(0;\pi )$ $y=\operaattorinimi {arctg}\,x$ $y=\operaattorinimi {ctg}\,x$ $y=x$

Arkutangentin käyrä saadaan arkitangentin käyrästä, jos jälkimmäinen heijastuu pitkin y-akselia (eli korvaa argumentin etumerkki, ) ja siirretään ylöspäin arvolla π / 2 ; tämä seuraa yllä olevasta kaavasta $x\rightarrow -x$ $\operaattorinnimi {arctg}x=\operaattorin nimi {arctg}(-x)+\pi /2.$

arcsec-funktio

Luvun x kaariluku on kulman y arvo (kulmien radiaanimittana), jolle $\sec y=x,\qquad |x|\geqslant 1,\quad 0\leqslant y\leqslant \pi .$

Funktio on jatkuva ja rajoitettu koko määrittelyalueellaan. Se kasvaa jyrkästi eikä kaikkialla ole negatiivinen. $y=\operaattorin nimi {arcsec} x$

$\sec(\operaattorinimi {arcsec} x)=x$ klo $|x|\geqslant 1,$
$\operaattorin nimi {arcsec}(\sec y)=y$ klo $0\leqslant y\leqslant \pi .$
$D(\operaattorinimi {arcsec} x)=(-\infty ;-1]\cup [1,\infty )$ (verkkotunnus),
$E(\operaattorinimi {arcsec} x)=[0;{\frac {\pi }{2)))\cup ({\frac {\pi }{2));\pi ]$ (arvoalue).

arcsec-funktion ominaisuudet

$\operaattorinnimi {arcsec}(-x)=\pi -\operaattorin nimi {arcsec} x.$ Funktion kuvaaja on keskipisteen symmetrinen pisteen suhteen Funktio on välinpitämätön (ei parillinen eikä pariton) . $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\oikea).$
$\operaattorin nimi {arcsec} x\geqslant 0$ mille tahansa $x.$
$\operaattorinnimi {arcsec} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x)),\qquad x\geqslant 1\ \\pi +\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\qquad x\leqslant -1\end{matrix}}\right.$
$\operaattorinnimi {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\operaattorinimi {arccosec} x.$
$\operaattorinimi {arcsec} x=\arccos {\frac {1}{x)).$

arccosec-funktio

Luvun x kaarikanta on kulman y arvo (kulmien radiaanimittana), jolle $\operaattorin nimi {cosec} y=x,\qquad |x|\geqslant 1,\quad -\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2.$

Funktio on jatkuva ja rajoitettu koko määrittelyalueellaan. Se on jyrkästi laskussa. $y=\operaattorin nimi {arccosec} x$

$\operaattorin nimi {cosec} (\operaattorin nimi {arccosec} x)=x$ klo $|x|\geqslant 1,$
$\operaattorin nimi {arccosec} (\operaattorin nimi {cosec} y)=y$ klo $-\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2.$
$D(\operaattorinimi {arccosec} x)=(-\infty ;-1]\cup [1,\infty )$ (verkkotunnus),
$E(\operaattorinnimi {arccosec} x)=[-{\frac {\pi }{2));0)\cup (0;{\frac {\pi }{2))]$ (arvoalue).

Arccosec-funktion ominaisuudet

$\operaattorinimi {arccosec} (-x)=-\operaattorinimi {arccosec} x$ (funktio on pariton ).
$\operaattorinnimi {arccosec} \,x=\operaattorinnimi {arctg} {\frac {\operaattorinnimi {sgn} x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\left\{{\begin {matrix}\operaattorinnimi {arctg} {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x>1\\-\operaattorinimi {arctg} {\frac {1}{\ sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x<-1\end{matrix}}\right.$
$\operaattorinimi {arccosec} x=\pi /2-\operaattorinimi {arcsec} x.$
$\operatorname {arccosec} x=\arcsin {\frac {1}{x)).$

Laajennus sarjaan

$\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{{n=0} }^{{\infty }}{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)))x^{{2n+1}}$ kaikille [4] $\left|x\right|\leq 1$
$\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{{n=0}}^({\infty }}{\frac {(2n) !}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{{2n+1}}$ kaikille $\left|x\right|\leq 1$
$\displaystyle \operaattorinimi {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\ summa _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$ kaikille $\left|x\right|\leq 1$

Käänteisten trigonometristen funktioiden johdannaiset

Kaikki käänteiset trigonometriset funktiot ovat äärettömästi differentioituvia määritelmäalueensa jokaisessa pisteessä. Ensimmäiset johdannaiset:

Toiminto $f(x)$	Johdannainen $f'(x)$	Merkintä
$\arcsin {x}$	${\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Todiste Voit löytää arsinin derivaatan käyttämällä keskenään käänteisiä funktioita. Tämän jälkeen meidän on otettava näiden kahden funktion johdannainen. Nyt meidän on ilmaistava arcsinin derivaatta. Trigonometrisen identiteetin ( ) perusteella saamme. Ymmärtääksemme plussan tai miinuksen pitäisi olla, katsotaanpa mitä arvoja. Koska kosini on 2. ja 4. kvadrantissa, käy ilmi, että kosini on positiivinen. Se käy ilmi. $sin(arcsin((x))=x$ $[sin(arcsin((x))]'=x'$ $cos(arcsin(x))\cdot (arcsin(x))'=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{cos(arcsin(x))))$ $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\pm {\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))))))}$ $D(cos(x))=[{\frac {\pi }{2);-{\frac {\pi }{2))]$ ${\displaystyle (arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))))))$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\arccos {x}$	$-{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Todiste Voit löytää arkosiinin derivaatan käyttämällä tätä identiteettiä: Nyt löydämme tämän identiteetin molempien osien johdannaisen. Nyt ilmaisemme arkosiinin derivaatan. Se käy ilmi. $arcsin(x)+arccos(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arcsin(x)+arccos(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arcsin(x))'+(arccos(x))'=0$ $(arccos(x))'=-(arcsin(x))'$ $(arccos(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\mathrm {arctg} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2))))$	Todiste Löydät arktangentin derivaatan käyttämällä käänteisfunktiota: Nyt löydämme tämän identiteetin molempien osien derivaatan. Nyt meidän on ilmaistava arctangentin derivaatta: Nyt identiteetti ( ) tulee avuksemme : Osoittautuu. $tg(arctg(x))=x$ $[tg(arctg(x))]'=1$ ${\frac {1}{cos^{2}(arctg(x))))\cdot (arctg(x))'=1$ $(arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))$ ${\displaystyle cos(x)={\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(x)))))$ ${\displaystyle (arctg(x))'=({\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(arctg(x)))))^{2))$ ${\displaystyle (arctg(x))'={\frac {1}{1+x^{2))))$
$\mathrm {arcctg} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2))))$	Todiste Voit löytää käänteisen tangentin derivaatan käyttämällä tätä identiteettiä: Nyt löydämme tämän identiteetin molempien osien derivaatan. Nyt ilmaisemme käänteisen tangentin derivaatan. Se käy ilmi. $arctg(x)+arcctg(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arctg(x)+arcctg(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arctg(x))'+(arctg(x))'=0$ $(arctg(x))'=-(arctg(x))'$ ${\displaystyle (arcctg(x))'=-{\frac {1}{1+x^{2))))$
$\mathrm {arcsec} \ x$	${\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Todiste Löydät kaarevan johdannaisen identiteetin avulla: $arcsec(x)=arccos({\frac {1}{x)))$ Nyt löydämme tämän identiteetin molempien osien johdannaisen. $(arcsec(x))'=(arccos({\frac {1}{x))))'$ $(arcsec(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2))))))\cdot (-{\frac {1 }{x^{2}}})$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {\frac {x^{2}-1}{x^{2))))))))$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\|x\|}}}}$ Se käy ilmi. $(arcsec(x))'={\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {arccosec} \ x$	$-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Todiste Voit löytää kaaren kosekantin derivaatan käyttämällä tätä identiteettiä: Nyt löydämme tämän identiteetin molempien osien derivaatan. Nyt ilmaisemme arkosiinin derivaatan. Se käy ilmi. $arccosec(x)+arcsec(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arccosec(x)+arcsec(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arccosec(x))'+(arcsec(x))'=0$ $(arccosec(x))'=-(arcsec(x))'$ $(arccosec(x))'=-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$

Käänteisten trigonometristen funktioiden integraalit

Epämääräiset integraalit

Todellinen ja monimutkainen x :

{\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2))}+C,\\\int \arccos x\,dx&{ }=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operaattorinnimi {arctg}\,x\,dx&{}=x\,\operaattorin nimi {arctg }\,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operaattorinimi {arcctg}\,x\,dx&{} =x\,\operaattorinnimi {arcctg}\,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operaattorinimi{arcsec} x \,dx&{}=x\,\operaattorinnimi{arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2))}\ ,\oikea)\!\oikea)+C,\\\int \operaattorinimi {arccosec}\,x\,dx&{}=x\,\operaattorinimi {arccosec}\,x+\ln \left(x\left( 1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\oikea)\!\oikea)+C.\end{aligned}}

Todellinen x ≥ 1:

{\begin{aligned}\int \operaattorinnimi{arcsec} x\,dx&{}=x\,\operaattorinnimi{arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\ oikea)+C,\\\int \operaattorinimi {arccosec}\,x\,dx&{}=x\,\operaattorinimi {arccosec}\,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}- 1}}\oikea)+C.\end{tasattu}}

Katso myös Luettelo käänteisten trigonometristen funktioiden integraaleista

Käytä geometriassa

Käänteisiä trigonometrisia funktioita käytetään kolmion kulmien laskemiseen, jos sen sivut tunnetaan, esimerkiksi käyttämällä kosinilausetta .

Suorakulmaisessa kolmiossa nämä sivujen suhteiden funktiot antavat välittömästi kulman. Joten, jos pituusjalka on vastakkainen kulman kanssa, niin $a$ $\alpha$

$\alpha =\arcsin(a/c)=\arccos(b/c)=\operaattorinimi {arctg} (a/b)=\operaattorinimi {arccosec} (c/a)=\operaattorin nimi {arcsec}( c/b)=\operaattorinimi {arctg} (b/a).$

Yhteys luonnolliseen logaritmiin

Käänteisten trigonometristen funktioiden arvojen laskemiseksi monimutkaisesta argumentista on kätevää käyttää kaavoja, jotka ilmaisevat ne luonnollisen logaritmin avulla:

{\begin{aligned}\arcsin z&{}=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})={\frac {\pi }{2}}-i\ ln(z+{\sqrt {z^{2}-1}}),\end{tasattu}}

{\begin{aligned}\arccos z&{}={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}),\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arctg}\,z&{}={\dfrac {i}{2}}(\ln(1-iz)-\ln(1+iz)),\end{aligned} }

{\begin{aligned}\operaattorinimi {arcctg}\,z&{}={\dfrac {i}{2}}\left(\ln \left({\dfrac {zi}{z}}\right)-\ ln \left({\dfrac {z+i}{z}}\right)\right),\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operaattorinnimi{arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{{-1}}\right)={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln \left( {\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2))))}+{\dfrac {i}{z}}\oikea),\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operaattorinimi {arccosec}\,z&{}=\arcsin \left(z^{{-1}}\right)=-i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\oikea).\end{aligned}}

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Alexandrova N. V. Matemaattisten termien, käsitteiden, merkinnän historia: Sanakirja-viitekirja, toim. 3 . - Pietari. : LKI, 2008. - S. 211 . - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Tässä merkki −1 määrittelee funktion x = f −1 ( y ), funktion y = f ( x ) käänteisarvon .
↑ Encyclopedic Dictionary, 1985 , s. 220.
↑ Kun x:n arvo on lähellä 1:tä, tämä laskentakaava antaa suuren virheen. Siksi voit käyttää kaavaa missä $\arcsin x = \arccos \sqrt{1-x^2},$ $\arccos x = {\pi\over 2}-\arcsin x$

Linkit

Weisstein, Eric W. Käänteiset trigonometriset funktiot Wolfram MathWorldissä .
Matemaattinen tietosanakirja / Ch. toim. I. M. Vinogradov. - M .: "Soviet Encyclopedia", 1982. - [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0% 9D%D0%AB%D0%95 V. 3. - s. 1135].
Käänteiset trigonometriset funktiot - artikkeli Great Soviet Encyclopediasta . - M .: "Neuvostoliiton tietosanakirja", 1974. - T. 18. - s. 225.
Käänteiset trigonometriset funktiot // Nuoren matemaatikon tietosanakirja / Savin A.P. - M .: Pedagogia, 1985. - S. 220-221. — 352 s.
Käänteisten trigonometristen funktioiden piirtäminen verkossa
Online-laskin: käänteiset trigonometriset funktiot

Trigonometria
Kenraali	Trigonometrian yleiskatsaus Tarina Käyttö Toiminnot Käänteinen Harvoin käytetty Yleistetty trigonometria
Hakemisto	Identiteetit Tarkat vakiot taulukoita yksikköympyrä
Lait ja lauseet	Sinilause Pythagoraan lause Kosinilause Tangenttilause Kotangenttilause Kolmioiden ratkaiseminen
Matemaattinen analyysi	Trigonometrinen korvaaminen Integraalit ( käänteisfunktiot ) Johdannaiset