Cauchy-jakauma

Cauchy-jakauma
Vihreä käyrä vastaa Cauchyn standardijakaumaaTodennäköisyystiheys
Värit ovat yllä olevan taulukon mukaisetjakelutoiminto
Nimitys	${\mathrm {C}}(x_{0},\gamma )$
Vaihtoehdot	$x_{0}$ - siirtokerroin - mittakaavatekijä $\gamma > 0$
Kuljettaja	$x\in (-\infty ;+\infty )$
Todennäköisyystiheys	${\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\oikea)^{2}\oikea] }}$
jakelutoiminto	${\frac {1}{\pi }}{\mathrm {arctg}}\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2} }$
Odotettu arvo	ei ole olemassa
Mediaani	$x_{0}$
Muoti	$x_{0}$
Dispersio	ei ole olemassa
Epäsymmetriakerroin	ei ole olemassa
Kurtoosikerroin	ei ole olemassa
Differentiaalinen entropia	$\ln(4\,\pi \,\gamma )$
Hetkien funktion luominen	ei määritetty
ominaista toimintoa	$\exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,\|t\|)$

Cauchyn jakauma todennäköisyysteoriassa ( kutsutaan myös Lorentzin jakaumaksi ja Breit - Wigner - jakaumaksi fysiikassa ) on ehdottoman jatkuvien jakaumien luokka . Cauchyn jakauman omaava satunnaismuuttuja on vakioesimerkki muuttujasta, jolla ei ole keskiarvoa eikä varianssia .

Määritelmä

Anna satunnaismuuttujan jakauma tiheydellä , jolla on muoto: $X$ $f_{X}(x)$

f_{X}(x)={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2} \right]}}={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\oikea]

missä

$x_{0}\in {\mathbb {R}}$ on siirtoparametri;
$\gamma >0$ on mittakaavaparametri.

Sitten he sanovat, että sillä on Cauchyn jakauma ja kirjoittavat . Jos ja , niin tällaista jakaumaa kutsutaan Cauchyn standardijakaumaksi . $X$ $X\sim {\mathrm {C}}(x_{0},\gamma )$ $x_{0}=0$ $\gamma=1$

Jakelufunktio

Cauchyn jakaumafunktiolla on muoto:

F_{X}(x)={\frac {1}{\pi }}\,{\mathrm {arctg}}\,\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\ oikea)+{\frac {1}{2}}

Se kasvaa tiukasti ja sillä on käänteinen funktio :

F_{X}^{{-1}}(x)=x_{0}+\gamma \,{\mathrm {tg}}\,\left[\pi \,\left(x-{1 \over 2 }\oikea)\oikea].

Tämä mahdollistaa näytteen muodostamisen Cauchyn jakaumasta käyttämällä käänteismuunnosmenetelmää .

Moments

Lebesguen integraalista lähtien

\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}\!x^{{\alpha }}f_{X}(x)\,dx

ei ole määritelty :lle eikä matemaattiselle odotukselle (vaikka 1. hetken integraali pääarvon merkityksessä on: ), tämän jakauman varianssia tai korkeamman kertaluvun momentteja ei ole määritelty. Joskus sanotaan, että matemaattista odotusta ei ole määritelty ja varianssi on ääretön. $\alpha \geqslant 1$ $\lim \limits _{{c\rightarrow \infty }}\int \limits _{{-c}}^{{c}}x\cdot {1 \over \pi }\left[{\gamma \over ( x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\oikea]\,dx=x_{0}$

Muut ominaisuudet

Cauchyn jakauma on äärettömästi jaollinen .
Cauchyn jakauma on vakaa . Erityisesti Cauchyn vakiojakauman otoskeskiarvolla on vakio Cauchyn jakauma: jos , niin $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim {\mathrm {C}}(0,1)$

\overline {X}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}\sim {\mathrm {C}}(0,1)

Suhde muihin jakeluihin

Jos , niin $U\simU[0,1]$

x_{0}+\gamma \,{\mathrm {tg}}\,\left[\pi \left(U-{1 \over 2}\right)\right]\sim {\mathrm {C}}( x_{0},\gamma )

Jos ovat riippumattomia normaaleja satunnaismuuttujia siten, että , Sitten $X_{1}, X_{2}$ $X_{i}\sim {\mathrm {N}}(0,1),\;i=1,2$

{\frac {X_{1}}{X_{2}}}\sim {\mathrm {C}}(0,1)

[1] [2] .

Cauchyn vakiojakauma on Studentin jakauman erikoistapaus :

{\mathrm {C}}(0,1)\equiv {\mathrm {t}}(1)

Esiintyminen käytännön ongelmissa

Cauchyn jakauma luonnehtii janan pituutta, joka on katkaistu abskissalla suoralla viivalla, joka on kiinnitetty johonkin y-akselin pisteeseen, jos suoran ja y-akselin välinen kulma jakautuu tasaisesti välillä (−π ; π) (eli viivan suunta on isotrooppinen tasossa). Pohjimmiltaan tämä tarkoittaa seuraavaa [1] :

Jos , niin (− ), siis . Tangentin jaksollisuudesta johtuen tasaisuus välissä (−π/2; π/2) tarkoittaa samanaikaisesti tasaisuutta välillä (−π; π). $U\simU[0,1]$ $\pi \ \left(U-{1 \over 2}\right)\sim$ $U$ ${\näyttötyyli \pi /2,\pi /2}$ $\mathrm {tg} \,\left[\pi \left(U-{1 \over 2}\right)\right]\sim \mathrm {C} (0,1)$

Fysiikassa Cauchyn jakauma (kutsutaan myös Lorentz-muodoksi) kuvaa tasaisesti levenneiden spektriviivojen profiileja.
Cauchyn jakauma kuvaa lineaaristen värähtelyjärjestelmien amplitudi-taajuusominaisuuksia resonanssitaajuuksien läheisyydessä.

Muistiinpanot

↑ 1 2 Galkin V. M., Erofeeva L. N., Leshcheva S. V. Cauchyn jakaumaparametrin arviot. Nižni Novgorodin osavaltion teknisen yliopiston julkaisut. R.E. Alekseeva. 2014. nro 2(104). S. 314
↑ Cauchy Distribution Arkistoitu 29. heinäkuuta 2017 Wayback Machinessa // risktheory.novosyolov.com

Todennäköisyysjakaumat
Diskreetti	Bernoulli Binomi Geometrinen hypergeometrinen Logaritminen Negatiivinen binomi Poisson Diskreetti univormu Multinomi
Ehdottomasti jatkuvaa	Beeta Weibulla Gamma- hypereksponentiaalinen Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormaali Normaali (Gaussin) Logistinen Nakagami Pareto Pearson puoliympyrän muotoinen jatkuva yhtenäinen Riisi Rayleigh Opiskelija Tracey - Vidoma Fisher Chi-neliö Eksponentiaalinen Varianssi-gamma Monimuuttuja normaali kopula