Käänteisten alkulukujen sarja

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 29.6.2020 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Useat käänteisalkuluvut poikkeavat toisistaan . Tuo on:

\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{ \frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{ 17}}+\cdots=\infty

Tämän tosiasian todisti Leonhard Euler vuonna 1737 [1] , mikä vahvisti Eukleideen (3. vuosisadalla eKr.) tulosta, että alkulukuja on äärettömän monta .

Eulerin tuloksesta on useita todisteita, mukaan lukien estimaatti osittaisten summien alarajalle , jonka mukaan

\sum _{\scriptstyle p{\text{ prime)) \atop \scriptstyle p\leq n}{\frac {1}{p))\geqslant \ln \ln(n+1)-\ln {\frac {\pi ^{2}}{6}}

kaikille luonnollisille luvuille n . Kaksoisluonnollinen logaritmi (ln ln) osoittaa, että sarjan divergentti on hyvin hidasta. Katso artikkeli "Meissel-Mertens-vakio" .

Harmoninen sarja

Euler todisti tämän sarjan eron. Tätä varten hän harkitsi harmonista sarjaa :

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}} +{\frac {1}{4}}+\cdots =\infty$

Ja myös seuraava "identiteetti" , jolla hän myös osoitti, että alkulukujen joukko on ääretön:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p}}+{ \frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}$

Tässä tuotteella on kaikki alkuluvut. Tällaisia äärettömiä tuotteita kutsutaan nykyään Euler-tuotteiksi . Yllä oleva tuote heijastaa aritmeettisen peruslausetta . Euler havaitsi, että jos alkulukujen lukumäärä olisi äärellinen, oikeanpuoleisen tulon olisi suppeneva, mikä on ristiriidassa harmonisten sarjan hajaantumisen kanssa.

Todisteet

Eulerin todiste

Jatkaen edellä kuvattua päättelyä, Euler otti kummankin puolen luonnollisen logaritmin. Sitten hän käytti Taylor-sarjan laajennusta sekä käänteisten potenssisarjojen konvergenssia: ${\textstyle -\ln(1-x)=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{ 4}}{4}}+\pisteet }$

{\begin{aligned}\ln \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\right)&{}=\ln \left(\ prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1))}\right)=-\sum _{p}\ln \left(1-{\frac {1}{p)) \right)\\&{}=\sum _{p}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1} {3p^{3}}}+\cdots \right)\\&{}=\sum _{p}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2}}\sum _ {p}{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{3}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{3}}}+{ \frac {1}{4}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots \\&{}=A+{\frac {1}{2}}B+ {\frac {1}{3}}C+{\frac {1}{4}}D+\cdots \\&{}=A+K\end{aligned}}

kiinteällä vakiolla K < 1 . Sitten hän käytti omaisuutta

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n))=\ln \infty ,

jonka johtamista hän selitti esimerkiksi myöhemmässä 1748 julkaisussa [2] antamalla x = 1 Taylor-laajennuksessa

\ln \left({\frac {1}{1-x}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n} }.

Tämä antoi hänelle mahdollisuuden tehdä sen johtopäätöksen

A={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{ \frac {1}{11}}+\cdots =\ln \ln \infty .

Oletettavasti Euler tarkoitti, että n :tä pienempien alkulukujen käänteislukujen summa kasvaa asymptoottisesti, kun ln n n pyrkii äärettömään. Kävi ilmi, että näin todella on, ja Franz Mertens osoitti tiukasti tarkemman version tästä tosiasiasta vuonna 1874 [3] . Euler sen sijaan sai oikean tuloksen ei-tiukoilla menetelmillä.

Erdősin todistus ylä- ja alarajoilla

Seuraava ristiriitainen todistus johtuu Pal Erdősistä .

Olkoon p i i : ttä alkulukua. Kuvittele, että alkulukujen käänteislukujen summa konvergoi . Nuo.

\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i))}<\infty

Sitten on pienin positiivinen kokonaisluku k

\sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {1}{2}}\qquad (1)

Jos kyseessä on positiivinen kokonaisluku x , olkoon M x joukon n joukosta {1, 2, …, x } , jotka eivät ole jaollisia millään p k :tä suuremmalla alkuluvulla (tai vastaavasti kaikilla potenssien tuloilla alkuluvut ). Voimme nyt tulostaa ylä- ja alarajan elementtien lukumäärälle . Suurelle x :lle nämä rajat johtavat ristiriitaan. $n\leqslant x$ ${\displaystyle p_{i}\leqslant p_{k))$ $|M_{x}|$ $M_{x}$

Parhaat pisteet:

Mikä tahansa M x : n n voidaan kirjoittaa m :nä ja r :nä positiivisilla kokonaisluvuilla , missä r on neliötön luku . Koska r:n alkulukujakossa voi olla vain k alkulukua ( eksponentti 1 ), on r :lle enintään 2k eri mahdollisuutta . Lisäksi m :lle on korkeintaan mahdollisia arvoja . Tämä antaa ylärajan

n=m^{2}r

{\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k))

\sqrt{x}

|M_{x}|\leq 2^{k}{\sqrt {x}}\qquad (2)

Alin tulos:

Muut luvut joukkojen {1, 2, …, x } \ M x erossa ovat kaikki jaollisia alkuluvuilla, jotka ovat suurempia kuin . Merkitään sellaisten n :n joukkoa joukosta {1, 2, …, x } , jotka ovat jaollisia i : nnellä alkuluvulla . Sitten

x-|M_{x}|

p_{k}

{\näyttötyyli N_{i,x))

p_{i}

{\displaystyle \{1,2,\ldots ,x\}\smallsetminus M_{x}=\bigcup _{i=k+1}^{\infty }N_{i,x))

Koska kokonaislukujen määrä ei ylitä (itse asiassa se on nolla ), saamme

{\näyttötyyli N_{i,x))

{\displaystyle {\tfrac {x}{p_{i))))

p_{i}>x

{\displaystyle x-|M_{x}|\leqslant \sum _{i=k+1}^{\infty }|N_{i,x}|<\sum _{i=k+1}^{\ infty }{\frac {x}{p_{i))))

Käyttämällä (1) saamme tästä

{\frac {x}{2}}<|M_{x}|\qquad (3)

Saamme ristiriidan — jos , estimaatteja (2) ja (3) ei voida suorittaa samanaikaisesti, koska . $x\geqslant 2^{2k+2}$ ${\tfrac {x}{2}}\geqslant 2^{k}{\sqrt {x}}$

Todiste siitä, että sarja kasvaa log-log nopeudella

On toinenkin todiste, joka antaa pienemmän arvion osasummista. Erityisesti tämä osoittaa, että nämä summat kasvavat vähintään yhtä paljon kuin ln n . Todiste on muunnelma ideasta Eulerin tuotelaajennuksesta . Alla p :n yläpuolella olevat summat tai tulot ovat aina summia tai tuloja tiettyjen alkulukujoukkojen yli.

Todistus perustuu seuraaviin neljään eriarvoisuuteen:

Mikä tahansa positiivinen kokonaisluku i voidaan esittää yksiselitteisesti neliöttömien lukujen ja neliön tulona. Tästä syntyy eriarvoisuutta

{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\leqslant \prod _{p\leq n}{\left(1+{\frac {1}{p }}\right)}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2))))

, missä minkä tahansa i :n välillä 1 - n (hajotettu) tulo vastaa i :n neliötöntä osaa ja summa vastaa i : n neliöosaa (katso artikkeli " Aritmeettisen peruslause ").

Luonnollisen logaritmin yläraja

{\begin{aligned}\ln(n+1)&=\int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}\\&=\sum _{i= 1}^{n}\aliviiva {\int _{i}^{i+1}{\frac {dx}{x}}} _{{}\,<\,{\frac {1}{i} }}\\&<\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\end{aligned}}

Eksponentiaalisen funktion alaraja 1 + x < exp( x ) pätee kaikille x > 0 .
Anna . Yläraja ( teleskooppisarjaa käyttäen ) osittaisille summille $n \geqslant 2$

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}&<1+\sum _{k=2}^{n }\frac {\left({\frac {1}{k-{\frac {1}{2))))-{\frac {1}{k+{\frac {1}{2))))\ oikea)} _{=\,{\frac {1}{k^{2}-{\frac {1}{4))))\,>\,{\frac {1}{k^{2} ))}\\&=1+{\frac {2}{3}}-{\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}<{\frac {5}{3} }\end{aligned}}

Yhdistämällä kaikki nämä epätasa-arvot saadaan

{\begin{aligned}\ln(n+1)&<\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\\&\leq \prod _{p \leq n}{\left(1+{\frac {1}{p}}\right)}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}} \\&<{\frac {5}{3}}\prod _{p\leq n}{\exp \left({\frac {1}{p}}\right)}\\&={\frac {5}{3}}\exp \left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}\right)\end{aligned}}

Kun on jaettu molempien osien luonnollinen logaritmi, saadaan ${\tfrac {5}{3}}$

\ln \ln(n+1)-\ln {\frac {5}{3}}<\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}

Q.E.D. ∎

Käyttämällä

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}

(katso "Baselin ongelma" ), yllä oleva vakio voidaan parantaa arvoon . Itse asiassa se käy ilmi $\ln {\tfrac {5}{3}}=0{,}51082\ldots$ $\ln {\tfrac {\pi ^{2}}{6}}=0{,}4977\ldots$

\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln n\right)=M

missä on Meissel-Mertensin vakio (jotain samanlaista kuin tunnetumpi Euler-Mascheronin vakio ). $M=0{,}261497\ldots$

Todiste Dusarin epätasa-arvosta

Meillä on Dusarin epätasa-arvo

p_{n}<n\ln n+n\ln \ln n\quad

varten

n\geqslant 6

Sitten

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n))}&\geqslant \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{p_{n))}\\&\geqslant \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{n\ln n+n\ln \ln n }}\\&\geqslant \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{2n\ln n}}=\infty \end{aligned}}

Cauchyn ja Maclaurinin integraalikonvergenssitestin mukaan . Tämä osoittaa, että vasemmalla oleva sarja eroaa.

Osittainen summa

Vaikka alkulukujen käänteislukujen osittaiset summat saavuttavat lopulta minkä tahansa kokonaisluvun, ne eivät voi koskaan olla yhtä suuria kuin kokonaisluku.

Yksi tämän todisteista [4] tehdään induktiolla - ensimmäinen osasumma on yhtä suuri ja sillä on muoto (eli pariton / parillinen). Jos n :nnen osasumman (for ) muoto on , niin th summa on yhtä suuri ${\tfrac {1}{2))$ ${\tfrac {odd}{even}}$ $n\geqslant 1$ ${\tfrac {odd}{even}}$ $(n+1)$

{\frac {\text{odd}}{\text{even}}}+{\frac {1}{p_{n+1}}}={\frac {{\text{odd}}\ cdot p_{n+1}+{\text{even}}}{{\text{even}}\cdot p_{n+1}}}={\frac {{\text{odd}}+{\text {even}}}{\text{even}}}={\frac {\text{odd}}{\text{even}}}

koska alkuluku on pariton. Koska summa on jälleen muotoa , osasumma ei voi olla kokonaisluku (2 jakaa nimittäjän, mutta ei jakaa osoittajaa), mikä todistaa väitteen. $(n+1)$ $p_{n+1}$ ${\tfrac {odd}{even}}$

Toinen todistus kirjoittaa uudelleen lausekkeen alkulukujen ensimmäisten n käänteislukujen summalle (tai minkä tahansa alkulukujoukon käänteislukujen summalle) yhteisellä nimittäjällä , joka on kaikkien näiden alkulukujen tulos. Sitten kukin näistä alkuluvuista jakaa kaikki osoittajan termit yhtä lukuun ottamatta, eikä siksi jaa osoittajaa kokonaisuutena. Mutta jokainen alkuluku jakaa nimittäjän. Näin ollen murto-osa on redusoitumaton eikä se ole kokonaisluku.

Katso myös

Eukleideen lause , jonka mukaan alkulukuja on äärettömän monta.
Brunin lause kaksoisalkulukujen käänteislukujen summan konvergenssista Brunin vakioon .

Muistiinpanot

↑ Euler, 1737 , s. 160-188.
↑ Euler, 1748 , s. 228, esim. yksi.
↑ Mertens, 1874 , s. 46–62.
↑ Herra, 2015 , s. 128-130.

Kirjallisuus

William Dunham. Euler meidän kaikkien mestari. - MAA , 1999. - S. 61–79. — ISBN 0-88385-328-0 .
Leonhard Euler . Erilaisia äärettömiä sarjoja koskevia havaintoja = Variae vaatlusi circa series infinitas // Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. - 1737. - T. 9 .
Leonhard Euler . Introductio in analysin infinitorum . Tomus Primus. - Lausanne: Bousquet, 1748.
Mertens F. Ein Beitrag zur analytischer Zahlentheorie // J. Reine Angew. Matematiikka.. - 1874. - T. 78 .
Nick Lord. Nopeat todisteet siitä, että tietyt murtolukujen summat eivät ole kokonaislukuja // The Mathematical Gazette. - 2015. - T. 99 . - doi : 10.1017/mag.2014.16 .

Linkit

Caldwell, Chris K. Alkulukuja on äärettömän monta, mutta kuinka suuri ääretön? . (määrätön)

Jaksot ja rivit
Jaksot	Numerosarja Perusjärjestys Lineaarinen toistuva sekvenssi Fibonaccin numerot kiharat numerot Factorial Barker-sekvenssi de bruijn sekvenssi
Rivit, perus	Rivin summa Loput rivistä Ehdollinen konvergenssi Vaihteleva sarja Rivien moniosa
Numerosarja ( operaatiot numerosarjoilla )	harmoninen sarja Leibniz-sarja Sarja käänteisiä neliöitä Käänteisten alkulukujen sarja Dirichlet rivi Mercator-sarja Rivi Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
toiminnallisia rivejä	Taylor-sarja Laurent-sarja Fourier-sarja Trigonometrinen Fourier-sarja trigonometrinen sarja Wiener-sarja
Muut rivityypit	Neumann-sarja Puiseux'n rivi