Bernoullin laki

Bernoullin laki [1] (myös Bernoullin yhtälö [2] [3] , Bernoullin lause [4] [5] tai Bernoullin integraali [2] [6] [7] ) määrittää kiinteän nestevirtauksen nopeuden ja sen virtauksen välisen suhteen . painetta . Tämän lain mukaan, jos nestepaine kasvaa virtaviivaa pitkin , virtausnopeus pienenee ja päinvastoin. Lain kvantitatiivinen ilmaisu Bernoulli-integraalin muodossa on tulosta ihanteellisen nesteen hydrodynaamisten yhtälöiden integroinnista [2] (eli ilman viskositeettia ja lämmönjohtavuutta ).

Historia

Kokoonpuristumattoman nesteen tapauksessa nykyaikaista Bernoulli-yhtälöä vastaava tulos julkaisi vuonna 1738 Daniil Bernoulli [K 1] . Modernissa muodossaan integraalin julkaisi Johann Bernoulli vuonna 1743 [11] kokoonpuristumattoman nesteen tapauksessa ja joidenkin kokoonpuristuvien nestevirtausten tapauksessa Euler vuonna 1757 [12] .

Bernoulli-integraali kokoonpuristumattomassa nesteessä

Täysi paine
Ulottuvuus	$L^{-1}MT^{-2}$
Yksiköt
SI	J / m 3 \u003d Pa
GHS	erg / cm3
Huomautuksia
Jatkuvasti kokoonpuristumattoman nesteen tasaisen virtauksen virtaviivaa pitkin .

Kokoonpuristumattoman nesteen tasaiselle virtaukselle Bernoullin yhtälö voidaan johtaa energian säilymisen lain seurauksena . Bernoullin laki sanoo, että määrä pysyy vakiona virtaviivalla: $\rho v^{2}/2+\rho gh+p$

{\frac {\rho v^{2}}{2}}+\rho gh+p={\text{const}}.

Tässä

\rho

on nesteen tiheys ;

v

- virtausnopeus ;

h

- korkeus;

s

- paine ;

g

on vapaan pudotuksen kiihtyvyys . Bernoullin yhtälön alkeisjohto energian säilymisen laista

Bernoullin yhtälön alkeisjohto energian säilymisen laista on annettu esimerkiksi D. V. Sivukhinin oppikirjassa [13] . Fluidin liikkumaton liike virtaviivaa pitkin, joka on esitetty kuvassa, otetaan huomioon. Vasemmalla nesteen tilavuuteen, joka on alun perin suljettu kahden osan ja väliin , vaikuttaa voima , ja oikealla vastakkaisen suunnan voima . Osien 1 ja 2 nopeus ja paine sekä niiden alueet on merkitty alaindeksillä 1 ja 2. Äärettömän pienessä ajassa tämän nestetilavuuden vasen raja on siirtynyt pienen matkan ja oikea etäisyys . Painevoimien tekemä työ on yhtä suuri kuin: $A_{1}$ $A_{2}$ $F_{1}=p_{1}A_{1}$ $F_{2}=-p_{2}A_{2}$ $v$ $s$ $\Delta t$ $s_{1}=v_{1}\Delta t$ $s_{2}=v_{2}\Delta t$

W=F_{1}s_{1}+F_{2}s_{2}=\Delta t\left(v_{1}A_{1}p_{1}-v_{2}A_{2} p_{2}\oikea).

Aikavälin alussa kahden pinnan välissä oleva nestetilavuus koostuu vasemmasta sinisestä elementistä ja keskimmäisestä sinisestä osasta; tämän jakson lopussa siirtynyt tilavuus koostuu keskimmäisestä sinisestä osasta ja oikeanpuoleisesta sinisestä elementti. Koska virtaus on paikallaan, sinisen palasen vaikutus käsiteltävän nestetilavuuden energiaan ja massaan ei muutu, ja massan säilymisen perusteella voidaan päätellä, että vasemman sinisen elementin massa on yhtä suuri kuin oikea sininen elementti: Siksi voimien työ, jonka lauseke voidaan muuntaa muotoon: on yhtä suuri kuin energian muutos , joka puolestaan on yhtä suuri kuin oikean sinisen elementin ja vasemman sinisen elementin välinen energiaero . $\Delta t$ $A_{1}$ $A_{2}$ $\Delta m=\Delta tv_{1}A_{1}\rho _{1}=\Delta tv_{2}A_{2}\rho _{2}.$ $\Delta W=\Delta m\left({\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}-{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}} \oikea),$ $\Delta E_{2}$ ${\displaystyle \Delta E_{1))$

Kokoonpuristumattomalle nesteelle voidaan ensinnäkin työlausekkeessa laittaa ja toiseksi nesteelementin energian lausekkeessa rajoittua liike- ja potentiaalienergiaan : Sen jälkeen yhtälö antaa: , tai . $\rho _{1}=\rho _{2}=\rho$ $\Delta E_{1}=\Delta m\left({\frac {v_{1}^{2}}{2}}+gh_{1}\right),$ $\Delta E_{2}=\Delta m\left({\frac {v_{2}^{2}}{2}}+gh_{2}\oikea).$ ${\displaystyle \Delta W=\Delta E_{2}-\Delta E_{1))$ $p_{1}+\rho gh_{1}+{\frac {\rho v_{1}^{2}}{2}}=p_{2}+\rho gh_{2}+{\frac {\rho v_{2}^{2}}{2}}$ $p+\rho gh+{\frac {\rho v^{2}}{2}}={\rm {const}}$

Oikean puolen vakiota (voi vaihdella eri virtauslinjoilla) kutsutaan joskus kokonaispaineeksi [2] . Termejä "painopaine" , "staattinen paine" ja "dynaaminen paine" voidaan myös käyttää . DV Sivukhinin mukaan [13] monet fyysikot panivat merkille näiden käsitteiden järjettömyyden. $\rho gh$ $s$ $\rho v^{2}/2$

Kaikkien termien mitta on energiayksikkö tilavuusyksikköä kohti. Bernoullin integraalin ensimmäinen ja toinen termi tarkoittavat kineettistä ja potentiaalista energiaa nesteen tilavuusyksikköä kohti. Kolmas termi alkuperässään on painevoimien työ (katso yllä oleva Bernoullin yhtälön johtaminen), mutta hydrauliikassa sitä voidaan kutsua "paineenergiaksi" ja osaksi potentiaalienergiaa [14] ).

Torricellin kaavan johtaminen Bernoullin laista

Kun Bernoullin lakia sovelletaan ihanteellisen kokoonpuristumattoman nesteen ulosvirtaukseen leveän astian sivuseinämässä tai pohjassa olevan pienen reiän kautta, se antaa nesteen vapaalla pinnalla ja reiän ulostulossa olevien kokonaispaineiden yhtäläisyyden:

\rho gh+p_{0}={\frac {\rho v^{2}}{2}}+p_{0},

missä

h

on nestepatsaan korkeus astiassa mitattuna reiän tasolta,

v

on nesteen virtausnopeus,

p_{0}

-ilmanpaine . _

Täältä: . Tämä on Torricellin kaava . Se osoittaa, että ulos virtaaessaan neste saavuttaa nopeuden, jonka keho saisi, jos se putoaisi vapaasti korkealta . Tai jos aluksen pienestä reiästä virtaava suihku on suunnattu ylöspäin, huippupisteessä (häviöt huomioimatta) suihku saavuttaa aluksen vapaan pinnan tason [15] . $v={\sqrt {2gh}}$ $h$

Muita Bernoullin lain ilmenemismuotoja ja sovelluksia

Kokoonpuristumattoman nesteen approksimaatio ja sen mukana Bernoullin laki pätevät myös laminaarisille kaasuvirroille, jos vain virtausnopeudet ovat pieniä verrattuna äänen nopeuteen [16] .

Vaakaputkea pitkin koordinaatti on vakio ja Bernoullin yhtälö saa muotoa . Tästä seuraa, että kun virtauksen poikkileikkaus pienenee nopeuden lisääntymisen vuoksi, paine laskee. Venturi-virtausmittarin [17] ja suihkupumpun [1] toiminnan taustalla on paineen alenemisen vaikutus virtausnopeuden kasvaessa . $z$ ${\frac {\rho v^{2}}{2}}+p={\text{const}}$

Bernoullin laki selittää, miksi rinnakkain kulkevat alukset voivat vetää toisiaan puoleensa (esimerkiksi olympialaivan kanssa tapahtui tällainen tapaus ) [18] .

Sovellukset hydrauliikassa

Bernoullin lain johdonmukainen soveltaminen johti teknisen hydromekaanisen tieteenalan - hydrauliikan - syntymiseen . Teknisissä sovelluksissa Bernoullin yhtälö kirjoitetaan usein siten, että kaikki termit jaettuna " ominaispainolla " : ${\näyttötyyli \rho g}$

H=h+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}={\text{const}}),

jossa tämän yhtälön pituustermeillä voi olla seuraavat nimet:

Paine [19]
Ulottuvuus	$L$
Yksiköt
SI	mittari
Huomautuksia
Kokonaispaine jaettuna ominaispainolla .

H

— hydraulinen korkeus [4] tai korkeus [19] ,

h

— tasoituskorkeus [ 4] ,

{\frac {p}{\rho g))

- pietsometrinen korkeus [4] tai (yhdessä tasoituskorkeuden kanssa) hydrostaattinen pää [19] ,

{\frac {v^{2}}{2g}}

— nopeuskorkeus [4] tai nopeuskorkeus [19] .

Bernoullin laki pätee vain ihanteellisille nesteille, joissa ei ole viskoosia kitkahäviötä . Kuvaamaan todellisten nesteiden virtauksia teknisessä hydromekaniikassa (hydrauliikassa) käytetään Bernoulli-integraalia lisättynä termeillä, jotka ottavat suunnilleen huomioon erilaiset " hydrauliset painehäviöt " [19] .

Bernoulli-integraali barotrooppisissa virtauksissa

Bernoullin yhtälö voidaan johtaa myös nesteen liikeyhtälöstä [K 2] [K 3] . Tässä tapauksessa virtauksen oletetaan olevan kiinteä ja barotrooppinen . Jälkimmäinen tarkoittaa, että nesteen tai kaasun tiheys ei välttämättä ole vakio (kuten aiemmin oletetun kokoonpuristumattoman nesteen tapauksessa), vaan se on vain paineen funktio: , mikä mahdollistaa painefunktion käyttöönoton [22] Näillä oletuksilla määrä ${\näyttötyyli \rho =\rho (p)}$ ${\mathcal {P}}=\int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho (p))).$

{\frac {v^{2}}{2}}+gh+{\mathcal {P}}={\text{const}}

on vakio mitä tahansa virtaviivaa ja mitä tahansa pyörreviivaa pitkin . Suhde pätee virtaukselle missä tahansa potentiaalikentässä ja korvataan kehon voimapotentiaalilla . $gh$ $\varphi$

Bernoulli-integraalin johtaminen barotrooppiselle virtaukselle

Gromeka-Lamb yhtälö [23] [24] (hakasulkeet tarkoittavat vektorituloa ) on muotoa:

{\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+\operaattorinimi {grad} \left({\frac {v^{2)){2))\right)+ \left[\mathrm {rot} \,{\vec {v)),{\vec {v}}\right]=-{\frac {1}{\rho }}\operaattorin nimi {grad} p+{\vec {F}}

Tehtyjen oletusten ja (homogeenisen painovoiman erityistapauksessa sen potentiaali on ) perusteella Gromeka-Lamb-yhtälö saa muodon: ${\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))=0,$ ${\frac {\operaattorinnimi {grad} p}{\rho }}=\operaattorinnimi {grad} {\cal {P}}$ ${\vec {F}}=-\operaattorinimi {grad} \varphi$ $\varphi =g\,h$

\operaattorin nimi {grad} \left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}\right)+\left[\mathrm {rot} \, {\vec {v)],{\vec {v}}\right]=0

Tämän yhtälön skalaaritulo ja virtaviivan yksikkövektorin tangentti antaa: ${\vec {l}}={\frac {\vec {v}}{v)),$

{\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}\right)=0

koska gradientin tulo yksikkövektorilla antaa derivaatan suuntaan , ja vektoritulo on kohtisuorassa nopeuden suuntaan. Näin ollen virtaviivaa pitkin Tämä suhde pätee myös pyörreviivalle, jonka tangenttivektori jokaisessa pisteessä on suunnattu pitkin ${\frac {\partial }{\partial l))$ ${\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}=\mathrm {const} .$ $\mathrm {rot} \,{\vec {v}}.$

Irrotatiivisilla barotrooppisilla virtauksilla, joiden nopeus voidaan ilmaista nopeuspotentiaalin gradienttina , Bernoulli-integraali muodossa [K 4] säilyy myös epätasaisissa virtauksissa, ja oikean puolen vakiolla on sama arvo koko virtaus [25] . ${\vec {v}}=\operaattorinimi {grad} \psi$ ${\frac {\partial \psi }{\partial t))+{\frac {\left(\operaattorinimi {grad} \psi \right)^{2}}{2}}+gh+{\cal {P}}=\mathrm {const}$

Saint-Venant-Wanzel-kaava

Jos adiabaattinen laki täyttyy täydellisen kaasun virtauksessa [26]

p={\frac {p_{0}}{\rho _{0}^{\gamma }}}\rho ^{\gamma },\qquad \rho ={\frac {\rho _{0 }}{p_{0}^{1/\gamma }}}p^{1/\gamma },\qquad {\cal {P}}=-{\frac {\gamma }{\gamma -1}} {\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\vasen[1-\vasen({\frac {p}{p_{0}}}\oikea)^{(\gamma -1) /\gamma }\oikea],

silloin Bernoullin yhtälö ilmaistaan seuraavasti [27] (painovoiman vaikutus voidaan yleensä jättää huomiotta):

{\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}} \left[1-\left({\frac {p}{p_{0))}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right]=\mathrm {const}

virtaviivaa tai pyörreviivaa pitkin. Tässä

\gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}

on kaasun adiabaattinen indeksi ilmaistuna lämpökapasiteetina vakiopaineessa ja vakiotilavuudessa,

p,\ \rho

ovat kaasun paine ja tiheys,

p_{0},\ \rho _{0}

valitaan ehdollisesti vakio- (sama koko virtaukselle) paineen ja tiheyden arvot.

Tätä kaavaa käytetään korkeapainesäiliöstä pienen aukon kautta ulos virtaavan kaasun nopeuden selvittämiseen. On kätevää ottaa kaasun paine ja tiheys astiassa, jossa kaasun nopeus on nolla, niin että ulosvirtausnopeus ilmaistaan ulkoisena paineena Saint-Venant-Wanzelin mukaan . kaava [ 28] : $p_{0},\ \rho _{0},$ $s$

v^{2}={\frac {2\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left( {\frac {p}{p_{0}}}\oikea)^{(\gamma -1)/\gamma }\oikea].

Bernoullin lain termodynamiikka

Termodynamiikasta seuraa , että ihanteellisen nesteen minkä tahansa kiinteän virtauksen virtaviivaa pitkin

{\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi ={\text{const)),\quad s={\text{const)),

missä on massayksikön entalpia , on gravitaatiopotentiaali (yhtä tasaiselle painovoimalle), on massayksikön entropia . $w$ $\varphi$ $gz$ $s$

Bernoullin lain johtaminen Eulerin yhtälöstä ja termodynaamisista suhteista

1. Eulerin yhtälö ideaalisen nesteen kiinteälle ( ) liikkeelle painovoimakentässä [29] on muotoa $\partial {\vec {v}}/\partial t=0$

({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\vec {g)),

missä painovoiman kiihtyvyys voidaan ilmaista gravitaatiopotentiaalina (tasaiselle kentällä ), suluissa olevien vektorien välissä oleva piste tarkoittaa niiden skalaarituloa . ${\vec {g}}=-\nabla \varphi$ $\varphi =gh$

2. Tämän yhtälön skalaaritulo ja virtaviivan tangentin yksikkövektori antaa ${\vec {l}}={\frac {\vec {v}}{v)),$

{\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi \right)=-{\frac {1}{\rho )){\frac {\partial p}{\partial l)),

koska gradientin ja yksikkövektorin tulo antaa derivaatan suunnassa ${\frac {\partial }{\partial l)).$

3. Termodynaaminen differentiaalisuhde

\mathrm {d} w={\frac {1}{\rho }}\mathrm {d} p+T\mathrm {d} s,

missä on massayksikön entalpia , on lämpötila ja on massayksikön entropia , antaa $w$ $T$ $s$

{\frac {\partial w}{\partial l))={\frac {1}{\rho )){\frac {\partial p}{\partial l))+T{\frac {\ osittainen s}{\osittais l)),\quad

niin

{\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi \right)=T{\frac {\partial s} {\osittainen l)).

Ihanteellisen nesteen kiinteässä virtauksessa kaikilla tiettyä virtaviivaa pitkin liikkuvilla hiukkasilla on sama entropia [30] ( ), joten virtaviivaa pitkin: $\partial s/\partial l=0$

s={\text{const)),\quad {\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi ={\text{const}}.

Bernoulli-integraalia käytetään teknisissä laskelmissa, mukaan lukien väliaineille, jotka ovat ominaisuuksiltaan hyvin kaukana ihanteellisesta kaasusta, esimerkiksi vesihöyrylle, jota käytetään jäähdytysaineena höyryturbiineissa. Tässä tapauksessa voidaan käyttää ns. Mollier-diagrammia , jotka edustavat ominaisentalpiaa ( y- akselia pitkin ) ominaisentropian funktiona ( abskissaa pitkin ) ja esimerkiksi painetta (tai lämpötilaa) muodossa isobaarien perhe ( isotermit ). Tässä tapauksessa virtaviivan tilojen sarja on jollain pystysuoralla viivalla ( ). Tämän viivan segmentin pituus, joka on leikattu kahdella isobaarilla, jotka vastaavat jäähdytysnesteen alku- ja loppupainetta, on yhtä suuri kuin puolet nopeuden neliön muutoksesta [31] . $s={\text{const))$

Bernoulli-integraalin yleistykset

Bernoulli-integraali säilyy myös, kun virtaus kulkee iskuaallon etuosan läpi vertailukehyksessä, jossa iskuaalto on levossa [32] . Tällaisen siirtymän aikana väliaineen entropia ei kuitenkaan pysy vakiona (kasvaa), joten Bernoulli-relaatio on vain yksi kolmesta Hugoniot-suhteesta yhdessä massan ja liikemäärän säilymislakien kanssa, jotka liittyvät massan tilaan. etun takana oleva väliaine etuosan edellä olevaan väliaineen tilaan ja iskuaallon nopeudella.

Bernoulli-integraalista on tunnettuja yleistyksiä joillekin viskoosien nestevirtausten luokille (esimerkiksi taso-rinnakkaisvirtauksille [33] ), magnetohydrodynamiikassa [34] ja ferrohydrodynamiikassa [35] . Relativistisessa hydrodynamiikassa, kun virtausnopeudet tulevat vertailukelpoisiksi valonnopeuden kanssa , integraali muotoillaan suhteellisesti invariantilla [36] ominaisentalpialla ja ominaisentropialla [37] . $c$

Kommentit

↑ D. Bernoullin tekstissä nesteen sisäinen paine ei ilmennyt selvästi [8] [9] [10] .
↑ "...[Bernoullin lauseen johtaminen energiayhtälöstä] köyhdyttää Bernoullin lauseen sisältöä... Bernoullin integraali ei yleisesti ottaen ole riippuvainen energiayhtälöstä, vaikka se yhtyy sen kanssa isentrooppisen ja täydellisen kaasun adiabaattinen liike" [20] .
↑ "Kaksi... tapaa saada Bernoullin yhtälö eivät ole samanarvoisia. Energian johtamisessa ei tarvitse olettaa, että virtaus on isentrooppinen. Liikeyhtälöä integroitaessa Bernoulli-integraalit saadaan ei vain virtaviivoja pitkin, vaan myös pyörreviivoja pitkin” [21] .
↑ Venäläisessä kirjallisuudessa kokoonpuristumattoman tai barotrooppisen nesteen mahdollisille virtauksille tarkoitettu Bernoulli-integraali tunnetaan Cauchy-Lagrange-integraalina [25]

Muistiinpanot

↑ 1 2 Landsberg G. S. Bernoullin laki, 1985 .
↑ 1 2 3 4 Vishnevetsky S. L. Bernoulli yhtälö, 1988 .
↑ Titjens O., Prandtl L. Hydro- ja Aeromechanics, 1933 .
↑ 1 2 3 4 5 Loitsyansky L. G. Neste- ja kaasumekaniikka, 2003 , §24. Bernoullin lause.
↑ Milne-Thomson L. M. Teoreettinen hydrodynamiikka, 1964 .
↑ Sedov L.I. Continuum Mechanics, 1970 .
↑ Cherny G. G. Kaasudynamiikka, 1988 .
↑ Truesdell K. Essays in the History of Mechanics, 2002 .
↑ Mikhailov G.K. , 1999 , s. 17.
↑ Darrigol O. Hydrodynamiikan historia, 2005 , s. 9.
↑ Truesdell K. Essays in the History of mechanics, 2002 , s. 255, 257.
^ Euler L. Continuation des recherches, 1755 (1757) , s. 331.
↑ 1 2 Sivukhin D.V. Mechanics, 1989 , §94. Ihanteellisen nesteen paikallaan oleva liike. Bernoullin yhtälö.
↑ Chugaev R. R. Hydrauliikka. - L .: Energia , 1975. - 600 s.
↑ Sivukhin D.V. Mechanics, 1989 , §95. Esimerkkejä Bernoullin yhtälön soveltamisesta. Torricellin kaava.
↑ Sivukhin D.V. Mechanics, 1989 , §94, kaava (94.6).
↑ Molokanov Yu.K. Prosessit ja laitteet öljyn ja kaasun käsittelyyn . - M .: Chemistry, 1980. - S. 60. - 408 s.
↑ Ja. I. Perelman . Miksi laivat houkuttelevat? . Haettu 27. joulukuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 11. toukokuuta 2012. (Venäjän kieli)
↑ 1 2 3 4 5 Napor, 1992 .
↑ Batchelor J. Introduction to Fluid Dynamics, 1973 , muistiinpano G. Yu. Stepanov, s. 208.
↑ Goldstein R. V., Gorodtsov V. A. Jatkuva mediamekaniikka, 2000 , s. 104.
↑ Loitsyansky L.G. Neste- ja kaasumekaniikka, 2003 , §23, yhtälö (9).
↑ Loitsyansky L. G. Neste- ja kaasumekaniikka, 2003 , §23, yhtälö (7).
↑ Sedov L.I. Continuum Mechanics, 1970 , luku VIII. §2, yhtälö (2.1).
↑ 1 2 Loitsyansky L. G. Neste- ja kaasumekaniikka, 2003 , §42. Lagrange-Cauchyn integraali.
↑ Loitsyansky L. G. Neste- ja kaasumekaniikka, 2003 , §24, yhtälö (29).
↑ Loitsyansky L. G. Neste- ja kaasumekaniikka, 2003 , §24, yhtälö (30).
↑ Loitsyansky L.G. Neste- ja kaasumekaniikka, 2003 , §24, yhtälö (31).
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Hydrodynamics, 2001 , Yhtälö (2.4).
↑ Sedov L.I. Continuum Mechanics, 1970 , luku VII. §2. painetoiminto.
↑ Paul R.V. , Mekaniikka, akustiikka ja lämpöoppi, 2013 , s. 446.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Hydrodynamics, 2001 , §85.
↑ Golubkin V. N., Sizykh G. B. Joistakin viskoosin nesteen tasosuuntaisten virtausten yleisistä ominaisuuksista // Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR, sarja Fluid and gas mechanics: Journal. - 1987. - Nro 3 . — S. 176–178 . - doi : 10.1007/BF01051932 .
↑ Kulikovskiy A. G. , Lyubimov G. A. Magneettinen hydrodynamiikka . - M .: Fizmatlit , 1962. - S. 54 . — 248 s.
↑ Rosenzweig R. Ferrohydrodynamiikka / Per. englannista. toim. V. V. Gogosova. - M .: Mir , 1989. - S. 136. - 359 s. — ISBN 5-03-000997-3 .
↑ Zubarev D. N. , Relativistinen termodynamiikka, 1994 .
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Hydrodynamics, 2001 , Yhtälö (134.11).

Kirjallisuus

Batchelor J. Johdatus virtausdynamiikkaan / Per. englannista. toim. G. Yu Stepanova . — M .: Mir , 1973. — 760 s.
Vishnevetsky S. L. Bernoulli yhtälö // Fysikaalinen tietosanakirja / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1988. - T. 1: Aharonov-Bohm-efekti - Pitkät rivit. - S. 187. - 704 s.
Gol'dshtein R. V. , Gorodtsov V. A. Continuum Mechanics. Osa 1. - M .: Fizmatlit , 2000. - 256 s. — ISBN 5-02-015555-1 .
Zubarev, D.N. Relativistinen termodynamiikka // Fysikaalinen tietosanakirja / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1994. - V. 4: Poynting-Robertson-efekti - Streamers. - S. 333-334. - 704 s. - ISBN 5-85270-087-8 .
Landau L.D. , Lifshits E.M. Hydrodynamics. - 5. painos, stereotyyppinen. - M .: Fizmatlit, 2001. - 736 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa VI). — ISBN 5-9221-0121-8 .
Loytsyansky L.G. Nesteen ja kaasun mekaniikka. - M . : Bustard, 2003. - 842 s. — ISBN 5-7107-6327-6 .
Milne-Thomson L. M. Teoreettinen hydrodynamiikka. — M .: Mir , 1964. — 656 s.
Mikhailov G.K. Hydrauliikan ja hydrodynamiikan muodostuminen Pietarin akateemikkojen töissä (XVIII) // Proceedings of the Science Academy, sarja Fluid and gas mechanics: Journal. - 1999. - Numero. 6 . - S. 7-25 .
Paine // Physical Encyclopedia / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M .: Great Russian Encyclopedia , 1992. - T. 3: Magnetoplasmakompressori - Poyntingin lause. - S. 242. - 672 s. — ISBN 5-85270-019-3 .
Paul R. V. Mekaniikka, akustiikka ja lämpöoppi . - Ripol Classic, 2013. - 490 s. — ISBN 5458431251 , 9785458431255.
Sedov LI Continuum Mechanics . - M . : Nauka , 1970. - T. 2. - 568 s.
Sivukhin DV Yleinen fysiikan kurssi . - 3. painos, tarkistettu ja laajennettu. - M . : Nauka , 1989. - T. I. Mekaniikka. — 576 s. — ISBN 5-02-014054-6 .
Titjens O., Prandtl L. Hydro- ja aeromekaniikka. - M. - L. : GTTI , 1933. - T. 1. - 224 s.
Truesdell K. Essays in the History of Mechanics . - M. - Izhevsk: Computer Research Institute, 2002. - 316 s. — ISBN 5-93972-192-3 .
Faber T. E. Hydroaerodynamiikka / Per. englannista. toim. A. A. Paveleva. - M . : Postmarket, 2001. - 560 s. - ISBN 5-901095-04-9 .
Cherny G. G. Kaasun dynamiikka. — M .: Nauka , 1988. — 424 s. — ISBN 5-02-013814-2 .
§182. Bernoullin laki // Fysiikan alkeisoppikirja / Toim. G.S. Landsberg . - M .: Tiede , 1985. - T. 1. Mekaniikka. Lämpö. Molekyylifysiikka.
Darrigol O. Flow- maailmat. Hydrodynamiikan historia Bernoullisista Prandtliin . - Oxford: Oxford University Press, 2005. - 356 s. — ISBN 978-0-19-856843-8 .
Euler L. Continuation des recherches sur la théorie du mouvement des fluides // Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres. - Berliini, 1755 (1757). - T. 11 . - S. 316-361 .
Truesdell, Clifford Ambrose. Rational nestemekaniikka, 1687-1765. Toimittajan esittely Euleri Opera omnia II 12 // Leonardi Euleri. Ooppera Omnia. - Lausanne: Auctoritate et Impensis, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, 1954. - V. 12. - C. I-CXXV. — (II).

Linkit

Venäläinen käännös Daniel Bernoullin tutkielmasta, jossa Bernoullin integraali (laki) esiintyy ensimmäisen kerran

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani iso kiinalainen Britannica (verkossa)