F4 (matematiikka)

Matematiikassa F 4 on yhden viidestä (kompakti tai monimutkainen) erityisestä yksinkertaisesta Lie -ryhmästä sekä sen Lie-algebran nimi . F 4 :llä on sijoitus 4 ja ulottuvuus 52. Ryhmä F 4 on yksinkertaisesti yhdistetty, ja sen ulompi automorfismiryhmä on triviaali. Yksinkertaisin tarkka lineaarinen esitys ryhmästä F 4 , samoin kuin sen Lie-algebra, on 26-ulotteinen ja redusoitumaton. ${\mathfrak {f}}_{4}$

(Kompleksisen) ryhmän F 4 kompakti todellinen muoto on 16-ulotteisen Riemannin moniston isometriaryhmä, joka tunnetaan nimellä "oktonioniprojektiotaso " , OP 2 . Tämä voidaan osoittaa yleisellä tekniikalla käyttämällä G. Freudenthalin ja J. Titsin kehittämää maagisen neliön rakennetta .

Algebralla on 3 todellista valeryhmää : kompakti, jaettu ja kolmas. ${\mathfrak {f}}_{4}$

Lie-algebra F 4 voidaan saada lisäämällä 36-ulotteiseen Lie-algebraan 16 generaattoria, jotka muuntuvat spinoreiksi , samalla tavalla kuin E 8 :n rakentamisessa . ${\mathfrak {niin}}(9)$

Algebra

Juurivektorit F 4

(\pm 1,\pm 1,0,0)

(\pm 1.0,\pm 1.0)

(\pm 1,0,0,\pm 1)

(0,\pm 1,\pm 1,0)

(0,\pm 1,0,\pm 1)

(0,0,\pm 1,\pm 1)

(\pm 1,0,0,0)

(0,\pm 1,0,0)

(0,0,\pm 1,0)

(0,0,0,\pm 1)

\left(\pm {\frac {1}{2)),\pm {\frac {1}{2)),\pm {\frac {1}{2)),\pm {\frac {1}{2}}\oikea)

ja yksinkertaiset positiiviset juurivektorit

(0,1,-1,0)

{\näyttötyyli (0,0,1,-1)}

{\näyttötyyli (0,0,0,1)}

\left({\frac {1}{2)),-{\frac {1}{2)),-{\frac {1}{2)),-{\frac {1}{2 }}\oikea)

Weyl / Coxeter ryhmä

Tälle ryhmälle tämä on hyperoktaedrin symmetriaryhmä .

Cartan matriisi

{\begin{pmatrix}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{pmatrix}}

Symmetry hila F 4

4-ulotteisessa kappalekeskeisessä kuutiohilassa F 4 on pistesymmetriaryhmä. Tämä kahden hyperkuutiohilan liitto, joista kummankin pisteet sijaitsevat toisen hyperkuutioiden keskuksissa, muodostaa renkaan , jota kutsutaan Hurwitzin kvaternionirenkaaksi . 24 Hurwitzin kvaternionia normin 1 kanssa muodostavat hyperoktaedrin .

Lähteet

John Baez , Octonions , osa 4.2: F 4 , tiedote. amer. Matematiikka. soc. 39 (2002), 145-205 . On-line HTML-versio (eng.) (Käyttöpäivämäärä: 26. joulukuuta 2009)

Poikkeukselliset yksinkertaiset valheryhmät
G₂ F4 E₆ E₇ E₈

Ryhmäteoria
Peruskonseptit	Alaryhmä Normaali alaryhmä Tekijäryhmä Työ suoraan puolisuorat vapaa
Algebralliset ominaisuudet	kommutatiivista ryhmää Syklinen ryhmä tilattu ryhmä Muuta ryhmää Ratkaistava ryhmä Schreierin Lemma Lagrangen lause Sylowin lauseet Yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelu
rajalliset ryhmät	Äärillinen syklinen ryhmä C n Symmetrinen ryhmä S n Dihedral ryhmä D n Vaihteleva ryhmä A n Kleinin neljän hengen ryhmä Mathieun ryhmät M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway-ryhmät Yhteistyö 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankon ryhmät J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Kalastajaryhmät F22 _ F 23 F24 _ Hirviö (M)
Topologiset ryhmät	Valheryhmät Ortogonaalinen ryhmä O(n) Erityinen ortogonaalinen ryhmä SO(n) Yhtenäinen ryhmä U(n) Erityinen yhtenäinen ryhmä SU(n) Symplektinen ryhmä Sp(n) Poikkeuksellisen yksinkertainen Lorentzin ryhmä Poincarén ryhmä
Algoritmit ryhmissä	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier-muunnos