G₂

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 22. marraskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

G 2 matematiikassa  on kolmen yksinkertaisen Lie-ryhmän (kompleksi, todellinen kompakti ja reaalijaettu ), niihin liittyvän Lie-algebran sekä useiden algebrallisten ryhmien nimi . Ne ovat pienimmät viidestä poikkeuksellisesta yksinkertaisesta Lie-ryhmästä , jotka ovat arvolla 2 ja ulottuvuudella 14, ja niissä on uskolliset ei-triviaaliset äärellisulotteiset lineaariset esitykset . Yhteensä G 2 :lla on kaksi perusesitystä dimensioista 7 ja 14, joista ensimmäinen vastaa G2 : n juurijärjestelmän lyhyttä juurta .

Kompakti muoto G 2 on oktonion (oktaavin) algebran automorfismiryhmä tai SO(7) :n alaryhmä, joka jättää kiinteän 8-ulotteisen spinorin (spinoriesityksensä) paikalleen.

Toteutukset

Tiettyyn juurijärjestelmään liittyy kolme yksinkertaista todellista Lie-algebraa :

• Kompleksisen Lie-algebran G 2 taustalla oleva puhtaasti todellinen Lie-algebra on 28-ulotteinen ja yksinkertaisesti yhdistetty. Monimutkainen konjugaatio on sen ulompi automorfismi. Tähän algebraan liittyvän ryhmän maksimikompakti alaryhmä on G2 : n kompakti muoto .
• Lie-algebralla kompaktissa muodossa on ulottuvuus 14. Liittyvällä Lie-ryhmällä ei ole ulkoisia automorfismeja , ei keskustaa ja se on yksinkertaisesti yhdistetty ja kompakti.
• Lie-algebra ei-tiiviissä (erotetussa) muodossaan sisältää 14 ulottuvuutta. Siihen liittyvällä yksinkertaisella Lie-ryhmällä on perusryhmä , jonka luokka on 2, ja sen ulompi automorfismiryhmä on triviaaliryhmä. Sen suurin kompakti alaryhmä on SU(2)×SU(2)/(−1×−1). Tälle ryhmälle on olemassa ei-algebrallinen kaksinkertainen yleismaailmallinen peittoryhmä (yksinkertaisesti yhdistetty).

Algebralliset ominaisuudet

Dynkinin kaava

Juurijärjestelmä G 2

Huolimatta siitä, että juurivektorit voidaan sijoittaa 2-ulotteiseen avaruuteen, niiden ilmaisu kolmessa koordinaatissa, joiden summa on nolla, näyttää symmetriseltä:

(1,−1,0), (−1,1,0) (1,0,−1), (−1,0,1), (0,1,−1), (0,−1,1), (2,−1,−1), (−2,1,1), (1,−2,1), (−1,2,−1), (1,1,−2), (−1,−1,2),

ja yksinkertaiset positiiviset juurivektorit

(0,1,−1), (1,−2,1).

Weyl / Coxeter ryhmä

Algebralle G 2 tämä on dihedraaliryhmä D 12 , kertaluokkaa 12.

Cartan matriisi

Erityinen holonomia

G 2 on yksi niistä erikoisryhmistä, jotka voivat olla Riemannin metriikan holonomiaryhmiä . G 2 - holonomia sisältäviä lajikkeita kutsutaan G 2 - lajikkeiksi .

Linkit

• John Baez , Octonions , osa 4.1 : G2 , tiedote. amer. Matematiikka. soc. 39 (2002), 145-205 . HTML-versio verkossa .

Poikkeukselliset yksinkertaiset valheryhmät
G₂ F4 E₆ E₇ E₈

Ryhmäteoria
Peruskonseptit	Alaryhmä Normaali alaryhmä Tekijäryhmä Työ suoraan puolisuorat vapaa
Algebralliset ominaisuudet	kommutatiivista ryhmää Syklinen ryhmä tilattu ryhmä Muuta ryhmää Ratkaistava ryhmä Schreierin Lemma Lagrangen lause Sylowin lauseet Yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelu
rajalliset ryhmät	Äärillinen syklinen ryhmä C n Symmetrinen ryhmä S n Dihedral ryhmä D n Vaihteleva ryhmä A n Kleinin neljän hengen ryhmä Mathieun ryhmät M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway-ryhmät Yhteistyö 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankon ryhmät J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Kalastajaryhmät F22 _ F 23 F24 _ Hirviö (M)
Topologiset ryhmät	Valheryhmät Ortogonaalinen ryhmä O(n) Erityinen ortogonaalinen ryhmä SO(n) Yhtenäinen ryhmä U(n) Erityinen yhtenäinen ryhmä SU(n) Symplektinen ryhmä Sp(n) Poikkeuksellisen yksinkertainen Lorentzin ryhmä Poincarén ryhmä
Algoritmit ryhmissä	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier-muunnos