K-teoria

K-teoria on matemaattinen teoria, joka tutkii vektorinipujen tuottamia renkaita topologisten avaruuksien tai kaavioiden yli . Algebrallisessa topologiassa tätä yleistettyä kohemologiateoriaa kutsutaan topologiseksi K-teoriaksi . Algebrassa ja algebrallisessa geometriassa vastaavaa haaraa kutsutaan algebralliseksi K-teoriaksi. Sillä on myös tärkeä rooli operaattorialgebroissa , ja sitä voidaan pitää suurten matriisien tietyntyyppisten invarianttien teoriana [1] .

K-teoriaan kuuluu K-funktioiden perheiden rakentaminen, jotka kuvaavat topologisia avaruksia tai kaavioita vastaaviin renkaisiin; nämä renkaat kuvastavat joitain alkuperäisten tilojen tai suunnitelmien rakenteen piirteitä. Kuten algebrallisessa topologiassa käytettyjen ryhmien funktioiden kohdalla, tämä funktionaalinen kartoitus helpottaa joidenkin topologisten ominaisuuksien laskemista kartoitetuista renkaista kuin alkuperäisistä avaruuksista tai kaavioista. Esimerkkejä K-teorian lähestymistavasta johdetuista tuloksista ovat Grothendieck-Riemann-Roch-lause, Bott-jaksollisuus, Atiyah-Singer-indeksilause ja Adamsin operaatiot.

Korkean energian fysiikassa K - teoriaa ja erityisesti K-teoriaa vääntöteorialla käytetään tyypin II kieleteoriassa, jossa on ehdotettu, että ne luokittelevat D-braaneja , Ramond-Ramond-kenttävoimakkuuksia ja joitain spinoreita yleistetyillä. monimutkaiset jakoputket.

Kondensoituneen aineen fysiikassa K-teoriaa on käytetty topologisten eristeiden , suprajohteiden ja stabiilien Fermi-pintojen luokittelussa .

Grothendieckin rakennus

Grothendieckin konstruktio on välttämätön komponentti K-teorian rakentamisessa. Olkoon monoidi. Merkitään seuraavalla ekvivalenssirelaatiolla on ${\näyttötyyli (A,+')}$ $\sim$ $A\times A:$

(a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2})

jos on olemassa sellainen, että joukolla on ryhmärakenne , jossa: $c\in A,$ $a_{1}+'b_{2}+'c=a_{2}+'b_{1}+'c.$ $G(A)=A\times A/\sim$ ${\näyttötyyli (G(A),+)}$

[(a_{1},a_{2})]+[(b_{1},b_{2})]=[(a_{1}+'b_{1},a_{2}+' b_{2})]

Tämän ryhmän ekvivalenssiluokkia tulee pitää Abelin monoidin elementtien muodollisina eroina.

Ymmärtääksesi tätä ryhmää paremmin, harkitse joitain Abelin monoidin ekvivalenssiluokkia . Merkitsemme monoidin yksikköä muodossa . Ensinnäkin mille tahansa , koska voimme laittaa ja soveltaa tasa-arvoa ekvivalenssisuhteesta saada . Se tarkoittaa ${\näyttötyyli (A,+)}$ $0$ ${\näyttötyyli (0,0)\sim (n,n)}$ ${\näyttötyyli n\in A}$ $c = 0$ ${\näyttötyyli n=n}$

[(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=0

siksi meillä on additiivinen käänteisarvo jokaiselle elementille . Siksi ekvivalenssiluokkia voidaan pitää muodollisina eroina . Toinen hyödyllinen havainto on skaalauksen alaisten ekvivalenssiluokkien invarianssi: $G(A)$ $[(a,b)]\in G(A)$ $ab$

{\näyttötyyli (a,b)\sim (a+k,b+k)}

kaikille

k\in A

Grothendieckin rakennetta voidaan pitää funktionaalisena . Se jätetään konjugaatiksi suhteessa vastaavaan unohdusfunktioon eli jos on Abelin monoidi, on Abelin ryhmä, niin jokainen Abelin monoidien homomorfismi voidaan liittää ainutlaatuiseen ryhmähomomorfismiin . $G:\mathbf {AbMa} \to \mathbf {AbGrp}$ $U:\mathbf {AbGrp} \to \mathbf {AbMa} .$ $A$ $B$ $\phi :A\to U(B)$ $G(A)\to B$

Hyvä esimerkki on Abelin monoidi , luonnollisten lukujen joukko. Voimme nähdä sen . Jokaiselle parille voimme löytää vähimmäisedustajan käyttämällä skaalausinvarianssia. Esimerkiksi, $\mathbb {N}$ $G((\mathbb {N} ,+))=(\mathbb {Z} ,+)$ $(a, b)$ $(a',b')$

(4,6)\sim (3,5)\sim (2,4)\sim (1,3)\sim (0,2)

Yleensä, jos asetamme , niin löydämme sen $k=\min\{a,b\}$

{\näyttötyyli (a,b)\sim (ak,bk)}

, jonka muoto on tai

{\näyttötyyli (c,0)}

{\näyttötyyli (0,d).}

Tämä osoittaa, mitä voimme ajatella positiivisina kokonaislukuina ja - negatiivisina kokonaislukuina. ${\näyttötyyli(a,0)}$ ${\näyttötyyli (0,b)}$

Määritelmät

K-teorialla on useita perusmääritelmiä: kaksi topologiasta ja kaksi algebrallisesta geometriasta.

Olkoon kompakti Hausdorffin topologinen avaruus . Merkitään äärellisulotteisten vektorinippujen joukkona isomorfismiin asti, ja merkitään vektorinipun isomorfismiluokkaa . Koska vektorinipujen isomorfismiluokat käyttäytyvät hyvin suorien summien suhteen, voimme määritellä kahden elementin suoran summan $X$ ${\text{Vect}}(X)$ $X$ $\pi :E\to X$ ${\näyttötyyli [E]}$ ${\text{Vect}}(X)$

[E]\oplus [E']=[E\oplus E']

On selvää, että kyseessä on Abelin monoidi, jossa identiteetin antaa triviaalivektorinippu . Sitten voimme soveltaa Grothendieckin konstruktia saadakseen Abelin ryhmän tästä Abelin monoidista. Tätä ryhmää kutsutaan K-teoriaksi ja se on merkitty . $({\text{Vect}}(X),\oplus )$ $\mathbb {R} ^{0}\times X\to X$ $X$ $K^{0}(X)$

Serre–Swan-lause mahdollistaa vektorinipujen vaihtoehtoisen kuvauksen projektiivisina moduuleina jatkuvien kompleksiarvoisten funktioidenrenkaanSitten ne voidaan tunnistaa idempotenteilla matriiseilla jossakin matriisirenkaassa. Voimme määritellä idempotenttien matriisien ekvivalenssiluokat ja muodostaa Abelin monoidin. Hänen Grothendieck-suunnitteluaan kutsutaan myös nimellä. $C^{0}(X;\mathbb {C} )$ $x.$ $M_{n\times n}(C^{0}(X;\mathbb {C} ))$ ${\textbf {Idem}}(X)$ $K^{0}(X)$

Algebrallisessa geometriassa samaa rakennetta voidaan soveltaa algebrallisiin vektorinippuihin tasaisten kaavioiden kautta. Kaikille noetterilaisille järjestelyille on myös vaihtoehtoinen rakenne . Nimittäin koherenttien pyöreiden isomorfismiluokkien joukkoon voidaan ottaa käyttöön ekvivalenssirelaatio: jos on lyhyt tarkka sekvenssi $X$ $\operaattorin nimi {Coh} (X)$ $X$ $[{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']$

0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0.

Tämä antaa ryhmän , joka on isomorfinen, jos skeema on sileä. Ryhmällä on myös rengasrakenne, joka määritellään nimellä $K_{0}(X)$ $K^{0}(X)$ $X$ $K_{0}(X)$

[{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\sum (-1)^{k}\left[\operaattorinimi {Tor} _{k}^{{ \mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\oikea].

Grothendieck -Riemann-Roch-lauseen avulla meillä on se

\operaattorin nimi {ch} :K_{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to A(X)\otimes \mathbb {Q}

on renkaiden isomorfismi. Siksi voimme käyttää leikkausteoriaa. $K_{0}(X)$

Varhainen historia

Voidaan sanoa, että tämä aihe alkaa Alexander Grothendieckistä (1957), joka käytti sitä muotoillessaan Grothendieck-Riemann-Roch -lauseensa. Nimi "K-teoria" tulee saksan sanasta "Klasse" ("luokka"). Grothendieck tutki koherentteja pyöriä algebrallisella variaatiolla " X". Sen sijaan, että olisi työskennellyt suoraan pyöreiden kanssa, hän määritteli ryhmän käyttämällä pyörän isomorfismiluokkia generaattoreina suhteella, joka tunnistaa minkä tahansa kahden pyörän laajennuksen niiden summalla. Tuloksena olevaa ryhmää kutsutaan "K(X)", kun otetaan huomioon vain paikallisesti vapaat pyörät , tai "G(X)", kun kaikki pyörät ovat koherentteja. Kumpaakin näistä kahdesta konstruktiosta kutsutaan Grothendieck-ryhmäksi "K(X)" käyttäytyy kohemologisesti ja "G(X)" on homologinen .

Jos "X" on sileä lajike, nämä kaksi ryhmää ovat samat. Jos kyseessä on sileä affiininen lajike, niin kaikki paikallisesti vapaat pyörät jakautuvat, joten ryhmällä on vaihtoehtoinen määritelmä.

Topologiassa soveltaen samaa rakennetta vektorinippuihin Michael Atiyah ja Friedrich Hirzebruch määrittelivät "K(X)": n topologiselle avaruudelle "X" vuonna 1959 ja tekivät siitä Botin jaksollisuuslauseen pohjalta laajennetun kohomologiateorian. Tällä oli tärkeä rooli Atiyah-Singerin indeksilauseen toisessa todistuksessa (noin 1962). Lisäksi tämä lähestymistapa johti ei-kommutatiiviseen K-teoriaan C*-algebroille .

Jo vuonna 1955 Jean-Pierre Serre käytti vektorinippujen ja projektitiivisten moduulien välistä rinnakkaisuutta muotoillakseen Serren oletuksen , jonka mukaan jokainen polynomirenkaan yli muodostettu projektitiivismoduuli on vapaa ; tämä väite osoittautui todeksi, mutta se todistettiin vasta 20 vuotta myöhemmin. (Serra-Swan-lause on toinen puoli tässä analogiassa.)

Jatkokehitys

Toinen algebrallisen K-teorian historiallinen lähde oli J. G. C. Whiteheadin et al.:n työ siitä, mitä myöhemmin tunnettiin Whiteheadin vääntönä.

Tätä seurasi ajanjakso, jonka aikana annettiin erilaisia osittaisia määritelmiä "korkeammille K-teoriafunktioille". Lopuksi Daniel Quillen antoi kaksi hyödyllistä ja vastaavaa määritelmää käyttäen homotopiateoriaa vuosina 1969 ja 1972. Friedhelm Waldhausen antoi myös muunnelman tutkiakseen "avaruuksien algebrallista K-teoriaa", joka liittyy pseudoisotopioiden tutkimukseen. Monet nykyaikaiset korkeamman K-teorian tutkimukset liittyvät algebralliseen geometriaan ja motiivikohomologian tutkimukseen .

Vastaavia rakenteita, joissa on apuneliömuoto , kutsutaan L-teoriaksi . Se on Morse-kirurgian pääinstrumentti .

Kieliteoriassa stabiilien D-braanien Ramond-Ramond- jännityskenttien ja varausten K-teorialuokittelu ehdotettiin ensimmäisen kerran vuonna 1997 [2] .

Esimerkkejä

Yksinkertaisin esimerkki Grothendieck-ryhmästä on Grothendieck-ryhmä kentän pisteestä . Koska tämän avaruuden yläpuolella oleva vektorinippu on yksinkertaisesti äärellisulotteinen vektoriavaruus, joka on vapaa kohde koherenttien pyöreiden luokassa (siis myös projektiivinen), isomorfismiluokan monoidi on vektoriavaruuden ulottuvuuden mukaan. Vastaava Grothendieck-ryhmä on . ${\text{Spec))(\mathbb {F} )$ $\mathbb {F}$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$
Yksi Noether-järjestelmän Grothendieck-ryhmän tärkeistä ominaisuuksista on, että [3] . Siksi minkä tahansa Artinian -algebran Grothendieck-ryhmä on yhtä suuri kuin . $X$ $K(X)=K(X_{\text{red)))$ $\mathbb {F}$ $\mathbb {Z}$
Toinen tärkeä kaava Grothendieck-ryhmälle on projektiivinen nippukaava: [4] jos on vektorijoukko, jonka arvo on "r" Noetherin mallin yläpuolella , niin projektiivisen nipun Grothendieck-ryhmä on vapaa -moduuli, jonka arvo on "r" perusteella . Tämän kaavan avulla voit laskea Grothendieck-ryhmän . ${\mathcal {E}}$ $X$ $\mathbb {P} ({\mathcal {E}})=\operaattorinimi {Proj} (\operaattorinimi {Sym} ^{\bullet }({\mathcal {E}}^{\vee }))$ $K(X)$ ${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{n-1))$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{n))$

Sovellukset

Virtuaaliset paketit

Yksi hyödyllinen Grothendieck-ryhmän sovellus on virtuaalisten vektorinippujen määrittely. Jos esimerkiksi upotamme sileitä välilyöntejä , on lyhyt tarkka sekvenssi $Y\hookrightarrow X$

0\to \Omega _{Y}\to \Omega _{X}|_{Y}\to C_{Y/X}\to 0

missä on normaali nippu . Jos meillä on erityinen tila upotettuna sileään tilaan , määrittelemme virtuaalisen normaalin lyhteen $C_{Y/X}$ $Y$ $X$ $Y$ $X$

[\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]

Toinen hyödyllinen virtuaalinippujen sovellus liittyy virtuaalisen tangenttikipun määrittelyyn välilyöntien leikkauspisteeseen: olkoon tasaisen projektiivisen muunnelman projektiivisia alalajeja. Sitten voimme määritellä niiden leikkauspisteen virtuaalisen tangenttinipun muodossa $Y_{1},Y_{2}\subset X$ $Z=Y_{1}\cap Y_{2}$

[T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}] |_{Z}.

Kontsevich käyttää tätä rakennetta yhdessä teoksessaan. [5]

Zhenin hahmot

Chern-luokkien avulla voidaan rakentaa rengashomomorfismi avaruuden topologisesta K-teoriasta sen rationaalisten kohomologiarenkaiden (täydentämiseksi). Linjanipun "L" Chern-symboli "ch" määritellään kaavalla

\operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^ {m}}{m!}}.

Yleisemmin, jos on rivinippujen suora summa, ensimmäisillä Chern-luokilla Chern- merkki määritellään additiivisesti ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \dots \oplus L_{n))$ $x_{i}=c_{1}(L_{i}),$

\operaattorin nimi {ch} (V)=e^{x_{1}}+\pisteet +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\pisteet +x_{n}^{m}).

Chern-symboli on hyödyllinen osittain, koska se helpottaa tensoritulon Chern-luokan laskemista. Chern-symbolia käytetään Hirzebruch-Riemann-Roch-lauseen muotoilussa.

Ekvivariantti K-teoria

Ekvivarianttialgebrallinen K-teoria on algebrallinen K-teoria, joka liittyy ekvivarianttien koherenttien pyöreiden luokkaan algebrallisella mallilla, jossa on lineaarinen algebrallinen ryhmätoiminta , Quillenin Q-konstruktion kautta; siis määritelmän mukaan ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {Coh} ^{G}(X)}$ $X$ $G$

K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operaattorinimi {Coh} ^{G}(X)).

Erityisesti tämä on Grothendieck-ryhmä . Tämän teorian kehitti R. W. Thomason 1980-luvulla. [6] Erityisesti hän osoittautui peruslauseiden, kuten lokalisointilauseen, ekvivalentteiksi analogeiksi. $K_{0}^{G}(C)$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {Coh} ^{G}(X)}$

Katso myös

Bott Periodicity
QC teoria
CR teoria
Luettelo kohemologisista teorioista
Algebrallinen K-teoria
Topologinen K-teoria
Operaattori K-teoria
Grothendieck-Riemann-Roch lause

Muistiinpanot

↑ [[ Michael Atiyah |Atiyah, Michael]] (2000), K-Theory Past and Present, arΧiv : math/0012213 .
↑ Ruben Minasian ( http://string.lpthe.jussieu.fr/members.pl?key=7 Arkistoitu 22. syyskuuta 2020 Wayback Machinessa ) ja Gregory Moore K-teoriassa ja Ramondin vastuussa - Ramonda Arkistoitu 21. huhtikuuta 2020 Wayback Machinessa
↑ Grothendieck-ryhmä kaksoislukujen projektitiiviselle avaruudelle . mathoverflow.net . Haettu 16. huhtikuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 17. huhtikuuta 2017. (määrätön)
↑ Manin, Juri Ivanovitš . Luennot algebrallisen geometrian K- funktiosta (englanniksi) // Uspekhi matematicheskikh nauk : Journal. - Venäjän tiedeakatemia , 1969. - 1. tammikuuta ( nide 24 , nro 5 ). - s. 1-89 . — ISSN 0036-0279 . - doi : 10.1070/rm1969v024n05abeh001357 . - .
↑ [[ Maxim Kontsevich |Kontsevich, Maxim]] (1995), Rationaalisten käyrien laskeminen toruksen toimien kautta, Käyrien moduuliavaruus (Texel Island, 1994) , voi. 129, Progress in Mathematics, Boston, MA: Birkhauser Boston, s. 335–368
↑ Charles A. Weibel, Robert W. Thomason (1952–1995) Arkistoitu 7. helmikuuta 2020 Wayback Machinessa .

Kirjallisuus

Atiyah M. Luentoja K - teoriasta . - M . : Ulkomainen kirjallisuus, 1967. - 261 s.

Linkit

Michael Atiyah . K-teoria. – 2. - Addison-Wesley , 1989. - (Advanced Book Classics). - ISBN 978-0-201-09394-0 .
K-teorian käsikirja / Friedlander, Eric; Grayson, Daniel. - Berliini, New York: Springer-Verlag , 2005. - ISBN 978-3-540-30436-4 . - doi : 10.1007/978-3-540-27855-9 .
Park, Efton. Monimutkainen topologinen K-teoria. - Cambridge University Press , 2008. - V. 111. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 978-0-521-85634-8 .
Swan, RGAlgebrallinen K-teoria. - Springer , 1968. - T. 76. - (Matematiikan luentomuistiinpanot). — ISBN 3-540-04245-8 .
Karoubi MaxK-teoria: johdanto. - Springer-Verlag , 1978. - (Matematiikan klassikot). — ISBN 0-387-08090-2 . - doi : 10.1007/978-3-540-79890-3 .
Karoubi, Max (2006), K-teoria. Perusjohdanto , arΧiv : math/0602082 .
Hatcher, Allen Vector Bundles & K-Theory (2003). (määrätön)
Weibel, CharlesK-kirja: johdatus algebralliseen K- teoriaan . - American Math Society, 2013. - Voi. 145.-(Matematiikan grad. Studies). - ISBN 978-0-8218-9132-2 .