K3 pinta

K3-pinta on yhdistetty , yksinkertaisesti yhdistetty , kompakti kompleksipinta (eli monimutkainen monimutkainen monimutkainen ulottuvuus kaksi), joka sallii missään degeneroituneen toisen asteen holomorfisen differentiaalimuodon . Algebrallisessa geometriassa , jossa lajikkeita tarkastellaan muiden kenttien kuin kompleksilukujen yli , K3-pinta on algebrallinen pinta , jossa on triviaali kanoninen nippu , joka ei hyväksy algebrallisia 1-muotoja. [yksi]

Quartic in ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3))$

Yksi yksinkertaisimmista esimerkeistä K3-pinnoista on neljännen asteen sileät pinnat kompleksisessa projektiotilassa . Jotta voidaan osoittaa, että nämä pinnat täyttävät K3-pinnan määritelmän, vaaditaan kuitenkin jonkin verran tuntemusta linjakimppujen teoriasta.

Nimittäin viivakimppujen näkökulmasta homogeeniset astefunktiot projektitiivisessa avaruudessa ovat viivakimpun osia, tautologisen nipun -. astetta . Jos on jokin viivanippu, ja on sen osa, lisäksi sen nollataso on tasainen osamonisto, niin sen differentiaali määrittää jokaisessa pisteessä kuvauksen , jonka ydin on täsmälleen . Näin ollen, kun otetaan huomioon arvon tasaisuus , meillä on nippujen isomorfismi . Tätä tekijää kutsutaan normaaliksi nipuksi ; Erityisesti näemme, että normaali nippu sileäksi kvartikseksi on isomorfinen . $n$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}$ ${\mathfrak {O}}(n)$ $n$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $L\to X$ $s\in \Gamma (L)$ $Y=\{x\in X\colon s(x)=0\}$ $ds$ $y\in Y$ $T_{y}X\to L_{y}$ $T_{y}Y$ $Y$ $TX|_{Y}/TY{\xrightarrow {ds}}L|_{Y}$ $TX|_{Y}/TY=\nu _{Y/X}$ ${\displaystyle Y=Y_{4}\subset \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3))$ ${\mathfrak {O}}(4)|_{Y}$

Toisaalta normaali nippu sopii täsmälliseen järjestykseen . Dualisoimalla saamme tarkan sekvenssin , ja laskemalla suurimman ulkoisen tehon ja käyttämällä sen funktionaalisia ominaisuuksia, meillä on linjanipujen isomorfismi tai duaalisuuden perusteella (tätä kaavaa kutsutaan adjunktiokavallaksi ). Sovellettaessa adjunktiokavaa tapaukseen, jossa (jonka kanoninen nippu on isomorfinen tarkan Euler-sekvenssin mukaan ), meillä on . Erityisesti, kun on tasainen asteen hyperpinta , sen kanoninen nippu on triviaali. Tästä seuraa, että tasainen kuutiokäyrä tasossa on elliptinen käyrä , sillä tämä merkitsee holomorfisen 2-muodon olemassaoloa, joka ei katoa minnekään neljännen asteen pinnalle projektitiivisessa avaruudessa (yleensä tämä seuraa tästä että c - asteen tasainen hyperpinta on Calabi-Yaun monisto ). $0\to TY\to TX|_{Y}\to \nu _{Y/X}$ $0\to \nu _{Y/X}^{*}\to T^{*}X|_{Y}\to T^{*}Y\to 0$ $K_{X}|_{Y}\cong K_{Y}\otimes \nu _{Y/X}^{*}$ $K_{Y}\cong K_{X}|_{Y}\otimes \nu _{Y/X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m))$ ${\mathfrak {O}}(-m-1)$ ${\mathfrak {O}}(-m-1)=K_{Y}\otimes \nu _{Y/\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}}^{*}$ $Y$ $m+1$ $m = 2$ $m = 3$ $m+1$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}$

On vielä todistettava, että kvartsi on yksinkertaisesti yhdistetty. Tätä varten harkitse upotusta lineaariseen järjestelmään , jonka suhteen hypertasoleikkaukset leikkaavat kuvaan täsmälleen nollatasoja neljän asteen homogeenisista polynomeista (siten kvartimme on sopiva kuvan hypertasoleikkaus tällaisen upotuksen alla). Lefschetzin hypertason leikkauslauseen mukaan se vahvistaa perusryhmien isomorfismin , ja kompleksisen projektiivisen avaruuden perusryhmän tiedetään olevan triviaali. Siten myös sileä kvartsi on yksinkertaisesti yhdistetty ja on siten K3-pinta. ${\mathfrak {O}}(4)$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{34))$ $Y$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3))$ $\pi _{1}(Y)\to \pi _{1}(\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3})$ $Y$

Edellä mainitussa ainoa perustavanlaatuinen ominaisuus on, että kanonisen nipun kanssa kaksoisnipussa on osa, jonka nollataso on sileä pinta. Esimerkiksi millä tahansa kolmiulotteisella Fano-kolmiolla on sama ominaisuus . Tässä tapauksessa antikanoninen nippu on rajoitettu kuhunkin tekijään omana antikanonisena nippunaan, ts . niin, että jokainen antikanoninen jakaja leikkaa jokaisen näistä "koordinaattiakselista" kahdessa pisteessä. Siten sellaisella K3-pinnalla on kolme involuutiota : leikkauspisteiden permutointi ensimmäisen, toisen ja kolmannen tekijän kanssa. Käyrällä on myös samanlainen involuutiopari , joka leikkaa molemmat tekijät kahdesti. Kuten tiedetään, on biholomorfinen neliön suhteen vuonna , ja tällainen käyrä on elliptinen käyrä, joka sijaitsee neliön päällä. Nämä kaksi involuutiota synnyttävät tässä tapauksessa ryhmän toiminnan , vapaan tuotteen , joka on isomorfinen dihedronin äärettömälle ryhmälle . Siten joko tämän liikkeen kiertoradat elliptisellä käyrällä ovat tiheitä, tai muuten tämä toiminta kulkee äärellisen tekijän (eli jonkin äärellisen järjestyksen dihedraalisen ryhmän) läpi ja kaikki sen radat ovat äärellisiä. Tämä lausunto on inkarnoitunut alkeisgeometriaan, joka tunnetaan nimellä Poncelet-porismi . K3-pinnan tapauksessa kolme involuutiota synnyttävät paljon monimutkaisemman kolmoisvapaan tuotteen , mikä on mielenkiintoista holomorfisen dynamiikan kannalta . ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3))$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1))$ ${\mathfrak {O}}_{\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}(2)$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1))$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1))$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3))$ $\mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2$ $\mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2$

Ricci-flat metriikka ja Kummer K3 pinnat

Kaikki K3-pinnat ovat Kähleriläisiä (tämän Sioux todisti ). Koska niillä on korkeimman asteen holomorfinen muoto, joka ei katoa mihinkään, niitä koskee Calabi-Yaun lause , eli jokaiselle Kähler-metriikan symplektisenä muotona esitettävälle luokalle on tässä luokassa nolla Ricci-kaarevuus . . Samanaikaisesti tätä metriikkaa ei voida kirjoittaa eksplisiittisesti: Calabi-Yau -lause on vain olemassaololause , mutta ei missään nimessä eksplisiittinen konstruktio. $[\omega _{g}]$ $g$

Ainoa tapaus, jossa on ainakin jonkin verran approksimaatiota, on niin kutsuttujen Kummer-pintojen tapaus. Antaa olla monimutkainen torus, eli tekijä , Jossa on neljän sijan hila. Harkitse osamäärän lajiketta . Standardi holomorfinen 2-muoto on (laskeva ) on invariantti kertomalla luvulla , joten se laskeutuu ei-singulaariseen lokukseen tekijässä. Singulariteeteilla on muoto ; puhallus tällaisessa singulaarissa on paikallisesti kotangenttinippu kohtaan , ja standardi holomorfinen 2-muoto voidaan laajentaa tällaiseen puhallukseen. Singulariteetit ovat täsmälleen 2-vääntöpisteitä neliulotteisessa toruksessa, niitä on muutamia. Joten räjäyttämällä nämä neliölliset singulariteetit, voidaan saada pinta, jolla on triviaali kanoninen luokka. On helppo nähdä, että se on yksinkertaisesti yhdistetty. Tällaista K3-pintaa kutsutaan Kummer K3 -pinnaksi , joka liittyy kompleksiseen torukseen . Toisin kuin aikaisemmissa esimerkeissä, tällaista pintaa ei saa enää upottaa projektiiviseen tilaan, jos alkuperäinen torus ei ollut projektiivinen . $A$ $\mathbb {C} ^{2}/\Lambda$ $\lambda$ $A/\{x\sim -x\}$ $dz\wedge dw$ $A$ $\mathbb {C} ^{2}$ $-yksi$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\))$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ ${\displaystyle A/\{\pm 1\))$ $2^{4}=16$ $16$ $A$ $A$

Ricci-tasainen metriikka holomorfisen kotangenttikimpun k kokonaisavaruudesta on melko tunnettu: se on Calabi-Eguchi-Hanson-metriikka. Vaikea analyyttinen kysymys on, kuinka se liimataan litteällä metriikalla torustekijän sileään osaan, kun uusia rationaalisia käyriä puhalletaan sisään. Tätä varten molempia mittareita on muutettava maailmanlaajuisesti. Donaldson tutki tätä kysymystä . [2] Optiikassaan häntä kiinnostavat kysymykset erikoisholonomisten monitukkien rakenteista (kuten G2-jakoputket ), joilla, toisin kuin K3-pinnoilla, ei ole algebrallis-geometristä kuvausta. $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$

K3-pintojen topologia

Kummer K3 -pintojen topologia on erityisen selkeä. Joten hänen toinen Betty-lukunsa on yhtä suuri : peräisin alkuperäisestä neliulotteisesta toruksesta ja - kuudestatoista puhalletusta käyrästä. Siksi niiden Euler-ominaisuus on yhtä suuri kuin . $b_{2}$ $6+16=22$ $6$ $16$ ${\näyttötyyli 1+22+1=24}$

Osoittautuu, että sama pätee kaikkiin muihin K3-pintoihin: kaikki K3-pinnat ovat diffeomorfisia. Lisäksi niitä kutsutaan deformaatioekvivalentteiksi : mitkä tahansa kaksi K3-pinnan monimutkaista rakennetta voidaan yhdistää jatkuvalla polulla kaikkien monimutkaisten rakenteiden tilassa. Hila alkuperäisellä leikkausmuodollaan on isomorfinen , jossa on E8-hila ja standardi hyperbolinen hila. Erityisesti toisen kohemologiahilan allekirjoitus on . $H_{2}(K3,\mathbb {Z} )$ ${\displaystyle E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3))$ $E_8$ $U$ $(3,19)$

Koska kaikki K3-pinnat ovat Kähleriläisiä, on järkevää puhua niiden Hodge-luvuista : kaikille K3-pinnoille ne ovat yhtä suuria kuin , . Tästä on helppo päätellä allekirjoitusta koskeva väite Hodge-indeksilauseen avulla. $h^{2,0}=h^{0,2}=1$ $h^{1,1}=20$

Elliptiset K3 pinnat

K3-pintojen geometria, jolla on elliptinen käyrä , on varsin merkittävä . Olkoon siis K3-pinta ja olkoon elliptinen käyrä. Lisäyskaavasta (katso yllä) tiedämme, että . Mutta kanoninen nippu sekä K3-pinnalle että elliptiselle käyrälle on triviaali. Siksi elliptisen käyrän normaali nippu on myös triviaali. Tämä tarkoittaa, että elliptinen käyrä K3-pinnalla sallii muodonmuutosten perheen, jotka eivät leikkaa tätä käyrää (ja toisiaan). Nämä muodonmuutokset (mukaan lukien rappeutuneet) parametroidaan rationaalisella käyrällä , eli yksi elliptinen käyrä K3-pinnalla määrittelee kartoituksen , jonka kuidut ovat ja sen muodonmuutokset. Tätä perhettä kutsutaan Lefschetzin nipuksi tai elliptiseksi nipuksi . Tällaista K3-pintaa itsessään kutsutaan elliptiseksi K3-pinnaksi . $X$ $E\alajoukko X$ $K_{E}\cong K_{X}|_{E}\otimes \nu _{E/X}$ $E\alajoukko X$ $X\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ $E$

K3-pinnan elliptisessä nipussa on aina yksittäisiä kuituja (koska K3-pinnan Euler-ominaisuus on , kun taas elliptisen käyrän on nolla). Jos kaikki kerrokset ovat mahdollisimman yksinkertaisia - eli vain karteesisia arkkeja , joilla on Euler-ominaisuus , silloin pitäisi olla erityisiä kerroksia (yleensä niitä tulee olemaan vähemmän). Pohjassa pisteiden ulkopuolella, joiden lehdet ovat yksittäisiä, on tasainen yhteys , jota kutsutaan Liouville-Arnold-yhteydeksi . Tällaisen yhteyden monodromia on ryhmässä . Tarkastellaan saatua ryhmää esikuvana universaalissa peitteessä . Tämä on keskuslaajennus , jossa on . Merkitse tämän syklisen alaryhmän generaattoria . Osoittautuu, että on olemassa sellainen homomorfismi , että . Gauss-Bonnet-lauseen analogi , jonka Kontsevich ja Soibelman ovat todistaneet , väittää, että jos pinnalla, jossa on pistoskohtia , on tasainen yhteys monodromian kanssa , yhtäläisyys pätee , missä on monodromia puhkaisun ympärillä . Erityisesti, jos kaikki ovat yhtä kuin yksi, saamme kaikki samat kaksikymmentäneljä puhkaisua. [3] $24$ $yksi$ $24$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ ${\widetilde {\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}}$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ $\pi _{1}(\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )\cong \mathbb {Z}$ $u$ $i\colon {\widetilde {\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )))\to \mathbb {Z}$ $i(u)=12$ $S$ $n$ $x_{1},\pisteet ,x_{n}$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ $\sum _{k=1}^{n}i(\gamma _{k})=12\chi (S)$ $\gamma _{k}$ $x_k$ $i(\gamma _{k})$

Torellin lause

Jos yksikkölevyn päällä on K3-pintojen holomorfinen perhe, niin niiden toisen kohemologian nippu trivialisoidaan Gauss-Manin-yhteydellä . Hodge-rakenteiden muunnelmana se ei kuitenkaan ole enää triviaali (jos itse perhe ei ollut triviaali).

Toisen kohomologian K3 tyyppinen Hodge-rakenne määräytyy yksiselitteisesti holomorfisen 2-muodon luokan luoman linjan avulla . Koska Ricci-tasaisella metriikalla on tilavuusmuoto, a kerrotaan itsellään nollalla, tämä viiva on isotrooppinen suhteessa leikkausmuotoon. Siten se voi olla vain jollain tasaisella neliöllä . Ehto erottaa tämän neliön avoimen osajoukon. Sitä voidaan kuvata homogeeniseksi tilaksi seuraavasti . $H^{2,0}\subset H^{2}(K3,\mathbb {C} )$ $\Omega$ $\Omega \wedge {\bar {\Omega ))$ $\Omega \wedge \Omega =0$ $\mathrm {P} (H^{2}(K3,\mathbb {C} ))$ $\Omega \wedge {\bar {\Omega }}>0$

Tarkastellaan kaksiulotteista avaruutta . Se on invariantti kompleksisen konjugaation alaisena, ja siksi se on jonkin kaksiulotteisen todellisen aliavaruuden kompleksi . Määrittelemme sille todellisen operaattorin kertoimeksi pitkin ja pitkin . Todellisessa tasossa tämä operaattori toimii kiertona ja määrittää siten suunnan. Suhteesta seuraa , että leikkauspisteen muoto tällä tasolla on positiivinen määrätty. Päinvastoin, jos sellainen taso on, kompleksimuodostuksessa on täsmälleen kaksi isotrooppista viivaa, joista vain yhden valitseminen antaa vaaditun orientaation. Siten vaadittu avoin osajoukko neliössä on sama kuin joukko suuntautuneita kaksiulotteisia tasoja, joiden skalaaritulo on positiivinen ja määrätty allekirjoitustilassa . Tällaisen tilan isometriaryhmä toimii transitiivisesti sellaisissa tasoissa stabilisaattorin avulla . Joten tätä tekijää kutsutaan jaksoavaruudeksi . Tämä, kuten kuvauksesta voidaan nähdä avoimena osajoukkona neliössä, on monimutkainen monisto (sama näkyy todellisesta kuvauksesta, joka tunnistaa orientoidun kaksiulotteisen tason Argandin tason kanssa, eli yksinkertaisesti kompleksilla numerot - näiden kuvausten vastaavuus on helppo tehtävä). Jokaiseen levyn K3-pintojen perheeseen liittyy holomorfinen kartta levyltä tähän ajanjaksoavaruuteen, jota kutsutaan jaksokartaksi . Torellin paikallinen lause sanoo, että pienen levyn K3-pintojen perhe voidaan yksilöllisesti palauttaa sen jaksokartalta. $\mathrm {span} \{[\Omega ],[{\bar {\Omega }}]\}\subset H^{2}(K3,\mathbb {C} )$ $U_{\Omega }\subset H^{2}(K3,\mathbb {R} )$ ${\sqrt {-1}}$ $[\Omega ]$ $-{\sqrt {-1))$ $[{\bar {\Omega }}]$ ${\displaystyle U_{\Omega ))$ $90^{\circ }$ $\Omega \wedge {\bar {\Omega }}>0$ $(3,19)$ $\mathrm {SO} (3,19)$ $\mathrm {SO} (2)\times \mathrm {SO} (1,19)$ ${\frac {\mathrm {SO} (3.19)}{\mathrm {SO} (2)\times \mathrm {SO} (1.19)))$

Jos halutaan tarkastella vain algebrallisia K3-pintoja, on järkevää korjata hypertason leikkausluokka , joka on myös Kähler-muodon luokka (K3-pintoja, joissa on kiinteä hypertasoleikkausluokka, kutsutaan polarisoiduiksi ). Koska , meillä on lisärajoitus: . Koska , tämä tarkoittaa, että tässä tapauksessa se voi ottaa arvoja vain jaksojen avaruuden osajoukossa, joka on järjestetty muotoon . Se on maksimaalisen kompaktin aliryhmän ryhmän tekijä, ja Cartanin lauseen mukaan se on biholomorfinen jollekin rajoitetulle alueelle kompleksisessa avaruudessa (tässä tapauksessa ). Tämä alue on samanlainen kuin Siegel-domeeni , ja suvulle kaksi liittyy läheisesti siihen: Abelin pinnan kartoittaminen sen Kummer K3 -pintaan tuottaa toisen suvun Siegel-domeenin kartoituksen periodialueelle. Tämän alueen modulaariset muodot tarjoavat mielenkiintoisen yhteyden klassisen lukuteorian ja algebrallisen geometrian välillä. $[\omega ]\in H^{1,1}$ $\Omega \wedge \omega =0$ ${\displaystyle [\Omega ]\in [\omega ]^{\perp ))$ $\omega \wedge \omega >0$ $[\Omega ]$ ${\frac {\mathrm {SO} (2,19)}{\mathrm {SO} (2)\times \mathrm {SO} (19)))$ $\mathbb {C} ^{1}9$

Samanaikaisesti hilan säilyttävän ortogonaaliryhmän vaikutus jaksoavaruuteen on hyvin kaukana siitä, että tämän toiminnan tekijällä on ainakin jokin geometrinen merkitys. Siegel-alueen kuva yllä olevassa vertailussa on siis suuren koodimension analyyttinen osajoukko, mutta tässä tapauksessa mikä tahansa algebrallinen K3-pinta voidaan muuttaa Kummerin K3-pinnaksi mielivaltaisen pienellä muodonmuutoksella - eli siirtymillä. tästä kuvasta hilan vaikutuksesta muodostuu kaikkialla tiheä joukko. Siksi globaalin väitteen muodostamiseksi on järkevämpää puhua ei tekijöiden isomorfismista, vaan holomorfisesta kartoituksesta, joka kommuteroituu kokonaislukuortogonaalisen ryhmän toiminnan kanssa. $H^{2}(K3,\mathbb {Z} )$

Tarkastellaan nimittäin kaikkien Kähler-tyyppisten monimutkaisten rakenteiden joukkoa K3-pinnalla. Sen tekijä diffeomorfismiryhmän liitetyn komponentin vaikutuksesta on tasainen kompleksinen monisto, vaikka se ei ole Hausdorff (käyrien kohdalla analoginen tekijä osoittautuu Hausdorffiksi ja tunnetaan hyvin nimellä Teichmüller-avaruus ). Silloin kartta, joka identifioi pisteitä, jotka eivät ole erotettu toisistaan ei-leikkautuvilla naapurustoilla, on hyvin määritelty, ja sen osamäärä on tasainen kompleksinen monisto, joka on kartoitettu jaksokartalla jaksojen avaruuteen, ja lisäksi se on biholomorfinen. Tämä väite on globaali Torelli-lause.

K3-pintojen degeneraatiot

Tarkastellaan tapausta holomorfisesta perheestä kiekon päällä, jonka kaikki kuidut, paitsi keskimmäinen, ovat K3-pintoja ja keskimmäinen on jokin erityinen jakaja, jolla on normaaleja leikkauspisteitä, joiden komponentit ovat monikertaisuuden sileitä pintoja, ja koko tila on tasainen. Tällaista perhettä kutsutaan hyväksi degeneraatioksi . Kodaira tutki samankaltaista kysymystä elliptisistä käyristä (katso edellä) : hän osoitti, että elliptisten käyrien minimaalisilla (eli ei -puhkaisu- ) degeneraatioilla on triviaali kanoninen nippu, ja antoi tällaisten rappeutumisten luokittelun (enemmän tai vähemmän termein) Dynkin-kaavioista ). Pintadegeneraatioissa on keskuskerroksen räjäyttämisen lisäksi myös ns. modifikaatioita - ei-triviaaleja kokonaistilan birationaalisia muunnoksia, jotka säilyttävät kerroksia ja ovat kaksinkertaisia jokaisessa sileässä kerroksessa. Vic. Kulikov osoitti, että K3-pintojen minimaalisen hyvän rappeutumisen kokonaisavaruudessa on jonkin verran muokkauksen jälkeen triviaali kanoninen nippu, ja että rappeutuminen voidaan vähentää järjestämällä uudelleen yhteen kolmesta tapauksesta:

Keskikerros on sileä K3-pinta,
Keskikerros on sileiden pintojen liitto , lisäksi pinta leikkaa vain pintojen kanssa , kaikki leikkauspisteet ovat elliptisiä käyriä, pintoja ja ovat rationaalisia, ja pinnat ovat hallittuja elliptisiä pintoja, ${\displaystyle V_{1}\cup V_{2}\cup \dots \cup V_{n-1}\cup V_{n))$ $V_i$ $V_{i\pm 1}$ $V_{1}$ $V_{n}$ $V_{2},\dots V_{n-1}$
keskuskuitu on rationaalisia käyriä pitkin leikkaavien rationaalisten pintojen liitto; kompleksi, jonka kärjet ovat keskikerroksen pelkistymättömiä komponentteja, reunat ovat käyriä, joita pitkin ne leikkaavat, ja pinnat ovat pisteitä, joissa nämä käyrät yhtyvät, on kaksiulotteisen pallon kolmio.

Esimerkki tyypin II rappeutumisesta Kulikovin mukaan on tasaisen kvartiksin rappeutuminen kahden nelikulman liitoksi (niiden leikkauspiste on elliptinen käyrä), ja tyypin III degeneraatiot ovat sileän kvartiikan degeneraatiota neljän tason liitoksi. eli tetraedrin pinta - jos tämän tetraedrin kärjet ovat todellisia, mainittu kolmio on dual tämän tetraedrin antamaan nähden).

Ricci-flat-metriikan degeneraatiot K3-pinnoilla

K3-pintojen degeneraatioita voidaan käsitellä eri tavoin. Edellä kuvatun algebra-geometrisen perspektiivin lisäksi niitä voidaan tarkastella differentiaaligeometrian näkökulmasta. Nimittäin kiinnitämme K3-pinnalle monimutkaisen rakenteen ja tarkastelemme Kähler -kartiota eli luokkakartiota siten, että jollekin Kähler-metriikalle . Tämä on avoin kartio, joka makaa luokkien kartiossa minkä tahansa käyrän kanssa . Calabi-Yaun teoreeman ansiosta tämän kartion jokainen piste vastaa yhtä Ricci-tasometriikkaa. Ja mitä tälle mittarille tapahtuu, jos suuntaamme kartion pisteen sen rajalle? $minä$ $X$ ${\mathfrak {C}}_{X}\subset H^{1,1}(X)$ $[\omega ]$ $\omega (x,y)=\omega _{g}(x,y)=g(Ix,y)$ $g$ $\alpha \wedge \alpha >0$ $\int _{C}\alpha >0$ $C\subset X$

Vastaus riippuu tietysti rajan pisteestä, johon suuntaamme sen. Esimerkiksi, jos on Kummerin K3-pinta ja on -muoto, joka nousee Abelin pinnan muodosta, johon se liittyy, niin luokka on numeerisesti tehokas (eli kätkeytyy Kähler-kartion sulkeutumiseen), ja (tällaisia luokkia kutsutaan volyymiluokiksi ). Samalla se ei ole Kählerilainen, koska meillä on , missä on mikä tahansa kuudestatoista poikkeuksellisesta käyrästä. Tässä tapauksessa metriikan raja on hyvin määritelty ( Gromov-Hausdorffin rajan merkityksessä , ei riipu Kähler-kartion polusta ja konvergoi jonkin epätäydellisen Ricci-litteän Kähler-metriikan metriikkaan, joka on määritelty kuudentoista ulkopuolella. poikkeukselliset käyrät.Tällaisen yleisen tuloksen (mielivaltaisille jakoputkille Calabi-Yau) osoittivat Tosatti , Zhang et ai., mutta Kummer K3 -pinnoille saatiin Lebrun [ 4] $X$ $\alpha$ $(1.1)$ $[\alpha]$ $\int _{X}\alpha \wedge \alpha >0$ $\alpha |_{C}=0$ $C$

Samaan aikaan, jos luokka ei ole suuri, rappeutuminen tapahtuu eri tavalla, ja ns. romahtaa - rajoittavalla avaruudella on tietyssä mielessä pienempi ulottuvuus. Esimerkiksi jos on elliptinen K3-pinta ja on Fubini-Study-luokan käänteiskuva elliptisen kynän pohjasta, niin . Gross ja Wilson tutkivat Ricci-flat-metriikan rajoittavaa käyttäytymistä tällaisessa tilanteessa . $\alpha$ $X$ $\alpha$ $\alpha \wedge \alpha =0$

K3-pintojen dynaamiset ominaisuudet

K3-pinnat hyväksyvät usein automorfismeja, joiden dynamiikka on kaoottista (esimerkiksi siinä mielessä, että niiden topologinen entropia on positiivinen ja in on ominaisluokka, jonka ominaisarvo on suurempi kuin ). Esimerkiksi torukseen liittyvällä Kummerin pinnalla saadulla automorfismilla on tämä ominaisuus nostamalla matriisin määrittelemää Arnoldin automorfismia " okroshka kissasta " . Maksimientropian mitta on tässä tapauksessa ehdottoman jatkuva Lebesguen mittaan nähden; Kanta ja DuPont osoittivat, että algebrallisessa tapauksessa kaikki K3-pinnat, joilla on tämän ominaisuuden automorfismi, ovat Kummereita (myöhemmin Tosatti ja Philip laajensivat tämän väitteen ei-algebrallisiin K3-pintoihin; he käyttivät tätä tulosta luokkien rakentamiseen Kählerin rajalle kartio, Ricci-flat-metriikan konvergenssi pyrittäessä, johon sillä on patologisia ominaisuuksia). $H^{1,1}$ $yksi$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\{\mathbb {Z} \oplus {\sqrt {-1))\mathbb {Z} \}^{2))$ ${\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}$

Edellä kuvatun kolmen involuutiopinnan holomorfista dynamiikkaa tutki Barry Mazur .

Käyttämällä Torellin lausetta McMullen rakensi K3-pintojen automorfismeja, jotka sallivat Siegel-kiekkoja – eli automorfismin säilyttämiä ja biholomorfisia avoimia alueita kahden levyn tuloon, joissa automorfismi toimii konjugoituneena kiertoon , missä ovat luvut, jotka eivät ole yhtenäisyys . $(z,w)\mapsto (az,bw)$ $|a|=|b|=1$

Historia

Euler tutki ensimmäisiä K3-pintojen esimerkkejä ratkaistakseen joitain diofantiiniyhtälöitä (hänen ideansa kehitti myöhemmin Ramanujan ). Geometrinen lähestymistapa K3-pintoihin otettiin käyttöön paljon myöhemmin, Cayleyn , Kummerin ja Henriquezin teoksissa .

Nimen "K3-surface" ehdotti vuonna 1958 André Weil (Kummerin, Köhlerin ja Kodairan mukaan ). Hän yritti myös todistaa Torellin lauseen algebrallisille K3-pinnoille. Hieman myöhemmin Kodaira osoitti, että kaikki K3-pinnat, myös ei-algebralliset, ovat muodonmuutoksia ekvivalentteja (erityisesti diffeomorfisia). Hän luokitteli myös elliptisten K3-pintojen yksittäiskuidut.

Paikallisen Torelli-lauseen algebrallisille K3-pinnoille osoitti vuonna 1965 Tyurina ja globaalin Pyatetski-Shapiro ja Shafarevich vuonna 1971. Burns ja Rapoport laajensivat Torellin globaalin lauseen ei-algebrallisiin K3-pintoihin vuonna 1975. Vuonna 1977 Viktor Kulikov [5] luokitteli K3-pintojen degeneraatiot ja kuvasi K3-pinnat äärellisillä automorfismiryhmillä Nikulin [6] .

Muistiinpanot

↑ Jokainen algebrallinen kompleksi K3-pinta on K3-pinta differentiaaligeometrisen määritelmän merkityksessä; päinvastoin ei yleensä pidä paikkaansa.
↑ S. K. Donaldson. Calabi-Yau-metriikka Kummerin pinnoilla mallin liimausongelmana , 27. heinäkuuta 2010
↑ Maxim Kontsevich, Yan Soibelman. Affine rakenteet ja ei-arkimedelaiset analyyttiset tilat , Lähetetty 28. kesäkuuta 2004
↑ Valentino Tosati. Calabi-Yau jakoputket , 2020
↑ Vic. S. Kulikov, K3-pintojen ja Enriques-pintojen degeneraatiot , Izv. Neuvostoliiton tiedeakatemia. Ser. Mat., 41:5 (1977), 1008–1042
↑ V. V. Nikulin, K3-tyypin Kähler-pintojen äärelliset automorfismiryhmät , Tr. MMO, 38, Moscow Publishing House. un-ta, M., 1979, 75–137