Additiivinen kombinatoriikka

Additiivinen kombinatoriikka ( englannin kielestä additio - additio) on monitieteinen [1] matematiikan alue, joka tutkii myös ryhmän osajoukon (yleensä äärellisen) rakenteellisuuden käsitteen eri kvantitatiivisten tulkintojen keskinäistä riippuvuutta. näissä tulkinnoissa käytetyn rakennejoukon johdannaisten samanlaisina ominaisuuksina. Lisäksi additiivinen kombinatoriikka tutkii joidenkin tiettyjen joukkojen tai joukkoluokkien (esimerkiksi alkulukujen tai multiplikatiivisten aliryhmien ) rakenteellisuutta eri merkityksissä.

Siten pääasiallisena tutkimuksen kohteena ovat äärelliset joukot , mahdollisimman abstrakteja, joskus vain kooltaan rajoitettuja, mikä tekee tästä tieteestä samanlaisen kuin kombinatoriikka . Toisin kuin kombinatoriikassa sinänsä, jossa joukkojen alkiot tunnistetaan vain niiden eron perusteella ja kuulumisen yhteen tai toiseen tarkasteltavaan joukkoon, additiivisessa kombinatoriikassa jokaisella joukon elementillä on selkeä merkitys ja niiden välille syntyy lisäsuhteita. , jotka johtuvat heidän arvoistaan ja ryhmän toiminnan ominaisuuksista (ja mahdollisesti tietylle ryhmälle ominaisista erityisistä laeista).

Additiivinen kombinatoriikka liittyy läheisesti aritmeettiseen kombinatoriikkaan , jossa tutkimuksen kohteena on kentän osajoukon (eikä vain ryhmän, kuten tässä) suhde kahdella operaatiolla kerralla - yhteen- ja kertolaskulla.

Edellytykset

Additiivinen lukuteoria

Matemaatikko on pohtinut muinaisista ajoista lähtien lukujen esittämistä pienten joukkojen elementtien summien kautta. Klassisia esimerkkejä ovat ongelmat minkä tahansa luvun edustatavuudesta neljän neliön summalla ( Lagrangen neljän neliön summan lause ) tai minkä tahansa parillisen luvun, joka on suurempi kuin kolme kahden alkuluvun summalla ( Goldbachin ongelma ). Jos merkitsemme ei-negatiivisten lukujen kaikkien neliöiden joukolla, niin additiivisen kombinatoriikan kannalta (katso alla oleva merkintäosa) Lagrangen lause voidaan kirjoittaa seuraavasti $Q=\left\lhakasulku {0}\oikea\rhakasulke \cup \left\lhakasulke {n^{2}:n\in {\mathbb {N} }}\oikea\rhakasulke$

Q+Q+Q+Q={\mathbb {N} }

Samankaltaisten ongelmien ratkaisemisen aikana syntyi muita samankaltaisia, erilaisilla sarjoilla, mutta samanlaisilla muotoiluilla. Kaikki tämä muodosti matematiikan alan nimeltä additiivinen lukuteoria .

Additiivista kombinatoriikkaa ei kuitenkaan pidä ottaa additiivisen lukuteorian yleistyksenä tai kehittämisenä - vaikka jälkimmäisen ongelmat voidaan kirjoittaa kätevästi additiivisella kombinatoriialla, sen yleiset menetelmät eivät pääsääntöisesti sovellu niihin. Lukuteoria ottaa aina huomioon erikoislajit - alkuluvut, neliöt, muut potenssit, pienet jakajamäärät sisältävät luvut jne. Additiivinen kombinatoriikka yrittää ymmärtää summauksen rakennetta sellaisenaan, saada mahdollisimman yleisiä tuloksia.

Siitä huolimatta ensimmäiset hengeltään additiivis-kombinatorisiksi luokiteltavat tulokset syntyivät 1900-luvun alussa juuri osana lukuteoriaa (kutsutaan myös kombinatoriseksi lukuteoriaksi). [1] Tällainen on esimerkiksi Shnirelmanin menetelmä Goldbachin ongelman ratkaisemiseksi (jota Linnik sovelsi myös Waring-ongelmaan ) - se perustuu Shnirelmanin lauseeseen kahdesta mielivaltaisesta joukosta , joiden tiheys on tiedossa [2] (seuraa, että Shnirelmanin mukainen tiheyden täsmällinen määritelmä, jota käytettiin tässä lauseessa, ei juurtunut additiiviseen kombinatoriikkaan tutkimuskohteena).

Ramseyn teoria

Ramseyn teoria, joka syntyi 1900-luvun ensimmäisellä puoliskolla , analysoi myös erilaisia ajatuksia rakenteellisuudesta. Ramseyn teorian väitteet koskevat ainakin pienen rakenteen "saaren" läsnäoloa melko monimutkaisissa (alkeisosien lukumäärän suhteen) objekteissa. [3]

Ramseyn teoria ei kuitenkaan ota huomioon osajoukkoja, vaan tietyn joukon osioita (esim. graafin reunojen joukko, luonnolliset luvut tai osa äärellisen joukon Boolen arvosta), ja tulos rakenteessa tarkoittaa, että yhdellä osion elementeistä on rakenne, ja yleensä ei ole selvää mikä. Siksi mistään tietystä osajoukosta ei voida sanoa mitään.

Hyvä esimerkki on van der Waerdenin lause - se sanoo, että missä tahansa luonnollisten lukujen jaossa äärelliseen määrään luokkia, ainakin yhdellä luokista on aritmeettinen progressio (millä tahansa tietyllä pituudella). Samalla on selvää, että missä tahansa osiossa on luokka , jossa lukutiheys on suurempi kuin muissa, ja intuitiivisesti näyttää siltä, että etenemisen pitäisi olla tässä joukossa - täällähän on eniten elementtejä eli eniten mahdollisuuksia. On myös selvää, että suurimmalla joukolla on positiivinen (ei-nolla) tiheys. Todistusta, että absoluuttisesti mikä tahansa positiivisen tiheyden luonnollisten lukujen joukko sisältää aritmeettisen progression, ei kuitenkaan saada pelkällä van der Waerdenin lauseella - sen mukaan eteneminen voi olla missä tahansa luokassa, jopa pienimmässä. Progression olemassaolon todistamiseksi missä tahansa tiheässä joukossa on käytettävä paljon monimutkaisempia keinoja - tämän ongelman ratkaisua kutsutaan Szemedin lauseeksi , jota pidetään vain klassisena additiivinen-kombinatorisena tuloksena.

Trigonometriset summat

Joustava työkalu joukon järjestyksen arvioimiseen, jolla oli myös merkittävä rooli additiivisessa lukuteoriassa, ovat trigonometriset summat ( joukon lukuja vastaavat yksikköjuurten summat). Niistä on tullut työkalu ja tutkimuskohde myös additiivisessa kombinatoriikassa, koska ne mahdollistavat melko yleisen käytön.

Jopa Gauss, joka tutki ensimmäisenä trigonometrisiä summia, löysi niiden kautta yhteyden kaikkien mahdollisten lukujen erojen jakautumisen ja joukon välillä. Tutkiessaan kvadraattisia jäämiä Gauss harkitsi summaa

S(a)=\sum \limits _{x=0}^{p-1}{e^{2\pi {\frac {ax^{2}}{p}}i}}

ja tulosta sen moduulin neliön arvio:

|S(a)|^{2}=\sum \limits _{x,y}{e^{2\pi {\frac {a(x^{2}-y^{2})} {p}}i}}

Arvio tälle summalle saatiin puhtaasti kombinatorisesti muuttujan muutoksen alaisen lausekkeen ominaisuuksista . [4] Siten erojen monijoukko antoi tietoa itse neliötähteiden joukon rakenteesta. Additiivisessa kombinatoriikassa konseptiltaan samankaltainen lähestymistapa toimii, kun jo joukko, eikä tietyn joukon elementtien erojen (tai summien, tulojen jne.) joukko, antaa tietoa tämän joukon rakenteesta. Tällainen siirtyminen - monijoukosta joukkoon - liittyy siirtymiseen tietyn yhtälön ratkaisujen lukumäärästä (esimerkiksi ) numeroiden esittämiseen muodossa tai toisessa (esimerkiksi muodossa ), joka on periaatteessa ominaista trigonometristen summien menetelmälle. $x^{2}-y^{2}$ $x=y+h$ $a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2},a_{i}\in A,b_{i}\in B$ ${\näyttötyyli a+b,a\in A,b\in B}$

Freimanin lause

Erillinen perusta uuden tieteen alkuainekohtaisista joukkojen summista (summien joukoista ) kehittämiselle oli Grigory Freimanin todistama lause pienten tuplausjoukon rakenteesta (eli joukoista, joiden kahden alkion summajoukolla on pieni koko tai yksinkertaisemmin, joiden elementtien summat ovat usein samat) . [5] $A+B=\left\lhakasulke {a+b:a\in A,b\in B}\oikea\rsulku$

Erdős ja Szemedi käsittelivät myös tietyn joukon elementtien summia koskevia kysymyksiä ottamatta käyttöön erityistä symboliikkaa kuvaamaan joukkojen summausta. [6]

Aihe

Paljon summia

Tärkeä käsite additiivisessa kombinatoriikassa on summajoukko

A+B=\left\lhakasulke {a+b:a\in A,b\in B}\oikea\rsulku

äärellisille joukoille , missä on ryhmä. Tällaisen joukon koko määräytyy rakenteen ja toiminnan mukaan . Jos ja ovat aritmeettisia progressioita, se ei riitä. Ja jos esimerkiksi valitaan satunnaisesti Bernoulli-kaavion mukaan, se on erittäin suuri. Välitapaukset näiden kahden tapauksen välillä ovat nimenomaan additiivis-kombinatorisia kiinnostavia. $A,B\in \mathrm {G}$ $(\mathrm {G} ,+)$ $A$ $B$ $+$ $A$ $B$ $|A+B|$ ${\displaystyle A,B\in {\mathbb {Z} }_{n))$ $|A+B|$

Lisäksi joukkojen rakenne on sinänsä mielenkiintoinen . Erityisesti vuodesta 2018 lähtien ei ole olemassa yleisiä kriteerejä (muita kuin suoraa luettelointia) sen määrittämiseksi, onko tietty joukko esitetty muodossa . $A+B$ ${\näyttötyyli A+A}$

Sarjojen liittyvät ominaisuudet

Alla olevassa taulukossa on lueteltu additiivisen kombinatoriikan lauseet ja epäyhtälöt, jotka liittyvät ryhmien osajoukkojen eri ominaisuuksiin. Solussa määritetty lauseke liittyy sen riville ja sarakkeelle määritettyihin ominaisuuksiin. Vain osa tunnetuimmista näistä teoreemoista on annettu.

Otsikoissa käytetään lyhenteitä lyhennyksen vuoksi:

Joukon tiheys äärelliselle ryhmälle on sen asymptoottisen kasvun arvo tai laki koon kasvaessa , ja äärettömille se on asymptoottinen tiheys (tai jakautumislaki ) , $A\subset {\mathbb {G} }$ ${\mathbb {G} }$ ${\frac {|A|}{|{\mathbb {G} }|}}$ ${\mathbb {G} }$ ${\mathbb {G} }$ $A$ ${\mathbb {G} }$
GAP (sanasta "yleistetty aritmeettinen progressio") - suurten aritmeettisten progressien , ei-triviaalien yleistettyjen aritmeettisten progressioiden tai niiden suurten osien läsnäolo joukossa ja päinvastoin kyky peittää joukko (tai suurin osa siitä) liian suuri aritmeettinen progressio;
$A_{1}+\dots +A_{k}$ - summajoukon koko ja rakenne (sekä erot ja summien ja erojen yhdistelmät) - erityisesti kyky esittää mikä tahansa ryhmän elementti tämän joukon tietyn määrän elementtien summana;
${\displaystyle X=A_{1}+\pisteet +A_{k))$ - joukon tai sen suuren osan esitettävyys pienestä määrästä joukkoja olevien lukujen summien (sekä erojen ja summien ja erojen yhdistelmien) joukkona , eli joukkoyhtälön ratkaistavuus annettu , ehkä jopa tietyissä olosuhteissa (esimerkiksi ), missä tarkoittaa Minkowskin summaa ${\displaystyle X=A_{1}+\pisteet +A_{k))$ $X$ ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k))$ ${\displaystyle A_{1}=\dots =A_{k))$ $+$
Fourier-kertoimet on tarkoitettu joukon tunnusomaiselle funktiolle ja sen kautta määritellyille funktioille sekä niiden tilastoille - erilaisille normeille , suuriarvoisten alkioiden lukumäärälle ja niiden joukon rakenteelle;
CRU ("yhtälön ratkaisujen lukumäärästä") - ratkaisujen lukumäärä erilaisiin lineaarisiin yhtälöihin (erityisesti additiivinen energia ) tai yhtälöjärjestelmiin , joissa muuttujat ottavat arvoja annetuista joukoista, sekä niiden ratkaisujen lukumäärän suhde

Soluissa käytetään myös useita erityisiä merkintöjä:

$\widehat {A}$ on joukon ominaisfunktion Fourier-kerroin ; $A$
$E(A,B)$ - lisäenergia
$\rho _{A}(x)=\mathbf {1} _{A}(x)-{\frac {|A|}{|{\mathbb {G} }|}}$ — tällaista funktiota kutsutaan joukon tasapainofunktioksi , koska . $A\in {\mathbb {G} }$ $\sum \limits _{x\in {\mathbb {G} }}{\rho _{A}(x)}=0$

	Tiheys	OAP	$A_{1}+\dots +A_{k}$	${\displaystyle X=A_{1}+\pisteet +A_{k))$	Fourier-kertoimet	CRU
Tiheys
OAP	Szemedin lause
$A_{1}+\dots +A_{k}$	Shnirelmanin epäyhtälö , Furstenberg-Sharkozyn lause	Freimanin lause
${\displaystyle X=A_{1}+\pisteet +A_{k))$		$A+B$ suuria ja sisältävät pitkiä a. n. [7] [8] $\|A\|$ $\|B\|$	Plünnecke-Rougen epätasa-arvo
Fourier-kertoimet	Epävarmuusperiaate [9]	Jos , on pieni, sisältää a. n. pituus 3 [10] ${\displaystyle A\subset {\mathbb {Z} }_{N))$ $\|\|{\widehat {\rho _{A}}}\|\|_{\infty }$ $A$	Jos pieni, niin suuri $\|\|{\widehat {A}}\|\|_{\infty }$ $\|\|{\widehat {B}}\|\|_{\infty }$ $\|A+B\|$
CRU	Rothin lause	Jos - a. p., sitten $A$ $E(A,A)\geq \Omega (\|A\|^{3})$	$\|A\|^{2}\|B\|^{2}\geq \|A+B\|E(A,B)$ [yksitoista]	Additiivisten energioiden suhteista voidaan tehdä johtopäätöksiä joukon rakenteesta [12]	Jos , niin ${\näyttötyyli A,B\in {\mathbb {Z} }_{N))$ $E(A,B)=\sum \limits _{r=0}^{N-1}{\|{\widehat {A}}(r)\|^{2}\|{\widehat {B} }(r)\|^{2}}$

Jotkut käytetyt käsitteet

Gowersin normi on yleistys Fourier-kertoimien käsitteestä, jonkaWilliam Gowerstodistaessaan Szémeredyn lausetta.

Freiman-isomorfismi on yhden ryhmän osajoukosta toisen ryhmän osajoukon kartoitus, joka säilyttää joukon tietyn määrän alkioiden summien yhtäläisyyden suhteen.

Reaalilukujen äärellistä joukkoa kutsutaan kuperaksi sekvenssiksi (tai konveksiksi joukoksi), jos , eli jos se on jonkin tiukasti konveksin funktion segmentin kuva . [13] Tällaisten joukkojen ominaisuuksia tutkitaan laajasti additiivisessa kombinatoriikassa. [14] [15] [16] [17] Tätä käsitettä ei pidä sekoittaa konveksiin joukkoon tavallisessa merkityksessä . $A=\left\lhakasulku {a_{1}\leq \dots \leq a_{n}}\oikea\rhakasulke$ $a_{i+1}-a_{i}<a_{i+2}-a_{i+1}$ $i=1,\pisteet ,n-2$ $A$ $\left\lsulku {1,\pisteet ,n}\oikea\rhaulu$

Bohrin joukko on pieni tuplausrakenne, jota joskus käytetään todisteissa heikentyneenä analogina aliavaruuden käsityksestä. [18] . Se määritellään joukoksi kenttäelementtejä, joissa kaikilla tietyn perheen lisämerkeillä on pieni arvo. Bohrin joukot sisältävät suuria yleistettyjä aritmeettisia progressioita, joten progressioiden esiintyminen joukossa todistetaan joskus välttämättömän Bohrin joukon läsnäololla siinä.

Melkein jaksollinen funktio on sellainen funktio, että normion riittävän pieni joillekinja kaikille, jossa on jokin joukko (esimerkiksi Bohrin joukko). YksiRothin lauseen. [19] $f$ ${\displaystyle ||f(x+t)-f(x)||_{p))$ $s$ $t\in T$ $T$

Joukon suurten trigonometristen summien joukko (jota joskus kutsutaan myös spektriksi ) on joukko jäännöksiä, joiden summalla(Fourier-kerroin) on suuri moduuli . [kaksikymmentä] ${\displaystyle A\subset {\mathbb {Z} }_{p))$ $r$ $\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ar)}$

Dissosiatiivinen joukko on joukko, jonka lineaariset yhdistelmät ovat yhtä suuria kuin nolla, missä, vain silloin, kun kaikkiovat yhtä suuria kuin nolla. Tämä tarkoittaa erityisesti sitä, että kahden eri osajoukon elementtien summat ovat aina erilaisia [20] . Dissosiaatiota voidaan pitää lineaarisen riippumattomuuden analogina. $A$ $\sum \limits _{a\in A}{\varepsilon _{a}a}=0$ $\forall a\in A:\varepsilon _{a}\in \left\lbrace {-1,0,1}\right\rbrace$ $\varepsilon _{a}$ $\left\lhakasulku {-1,0,1}\oikea\rhaulu$

Tutkimusmenetelmät

Elementary Methods

Tietysti huolimatta tehokkaiden ja monimutkaisten menetelmien olemassaolosta additiivisen kombinatoriikan lauseiden tutkimiseen, jotkut tekniikat ja tehtävät sopivat peruskuvaukseen. Cauchyn epäyhtälöstä johdetaan additiivisen energian ominaisuuksia , jotka pätevät lähes kaikkialla. Yleensä elementaarinen lähestymistapa analysoi usein tiettyjen yhtälöiden ratkaisujen lukumäärää. Keskiarvoargumenttia käytetään myös usein - esimerkiksi hajotettaessa yhtälön ratkaisujen lukumäärä yksittäisen muuttujan tietyn arvon ratkaisujen lukumäärän summalla. [21] $\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{a_{i))}\right)^{2}\leq n\sum \limits _{i=1}^{ n}{{a_{i}}^{2}}$

Elementaarisilla menetelmillä voidaan todistaa Rothin lause [22] ja Cauchy-Davenportin lause [23] .

Monilla muilla menetelmillä saaduilla todisteilla ei kuitenkaan ole alkeellisia analogeja.

Kombinatoriset menetelmät

Yksi ikonisimmista additiivisen kombinatoriikan kombinatorisista todisteista on ensimmäinen todistus Szemedyn lauseesta [24] - siinä Szemedy muotoili ja käytti ns. säännönmukaisuuslemmaa , joka koskee puhdasta graafiteoriaa . Graafianalogioita käytetään myös Plünnecke-Rougen epäyhtälön erikoisversioiden tai Balogh-Semeredi-Gowers-tyypin arvioiden todistamiseen [25] .

Algebralliset menetelmät

Algebralliset menetelmät additiivisessa kombinatoriikassa käyttävät polynomien ominaisuuksia, jotka rakennetaan tiettyjen joukkojen perusteella. Tällaisten polynomien asteet riippuvat pääsääntöisesti tutkittavien joukkojen koosta, ja polynomien juurijoukko voi antaa yhtä tai toista tietoa alkuperäisten joukkojen summista, leikkauspisteistä jne.

Esimerkki työkalusta sellaisen menetelmän soveltamiseen on kombinatorinen nollalause . Sillä voidaan todistaa Cauchy-Davenportin lause ja jotkin sen yleistykset . [23]

Muita algebrallisen menetelmän sovelluksia löytyy Rothin lauseen todisteista tietyille erikoismuotoisille ryhmille [26] [27] [28] tai kenttien multiplikatiivisten aliryhmien ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$ siirtymien leikkauspisteiden koon arvioinnissa ja Waringin ongelman todistamisessa. prime-kenttä (tähän käytetään erityisesti Stepanovin menetelmää ). [29]

Analyyttiset menetelmät

Pääasiallinen analyyttinen työkalu additiivisessa kombinatoriikassa ovat Fourier - kertoimet . Tämä johtuu läheisestä yhteydestä Fourier - kertoimen ottamisen ja funktioiden konvoluutiooperaation välillä . Fourier-kertoimia on käytetty Rothin lauseen ensimmäisestä todistuksesta lähtien. [30] Niiden yleistys on Gowersin normi, jonka tiedettä kutsutaan myös korkeamman asteen Fourier-analyysiksi. [kaksikymmentä]

Käyttämällä esimerkkiä Fourier-kertoimista (erityisesti niiden soveltamisesta Rothin lauseen todistukseen) ns. iteratiivinen argumentti havainnollistetaan parhaiten, kun mielivaltaisen joukon tarkastelu jaetaan kahteen tapaukseen - jolloin joukolla ei ole suuria (suhteessa joukon kokoon) Fourier-kertoimet ja milloin se tekee. Ensimmäisessä tapauksessa voidaan käyttää suoraan Fourier-kertoimien ominaisuuksia, ja toisessa voidaan löytää joukon alirakenne, jolla on suurempi tiheys äärettömässä aritmeettisessa progressiossa ja niin suurella tiheydellä, että joukon alirakenne on suurempi. mahdollisia vaiheita, kunnes rajatiheys saavutetaan, rajoittaa arvo, joka riippuu alkuperäisen joukon kokonaistiheydestä. Tämä paljastaa ajatuksen jakamisesta näennäissatunnaiseen joukkoon ja joukkoon, jolla on jokin globaali rakenne. Tämä ajatus näkyy myös muissa menetelmissä. [1] [10]

Toinen analyyttinen lähestymistapa on tutkia tutkittavien joukkojen ominaisfunktioihin liittyvien funktioiden lähes jaksoittaisuutta. [31]

Ergodic menetelmät

Ergodinen lähestymistapa sisältää dynaamisten järjestelmien teorian tulosten soveltamisen additiivisen kombinatoriikan ongelmiin . Hillel Furstenberg sovelsi tätä lähestymistapaa ensimmäisenä Szemedyn lauseeseen [32] , mutta pian kävi ilmi, että se voidaan yleistää paljon laajempaan joukkoon ongelmia.

Dynaamisten järjestelmien teoria mahdollistaa usein sellaisten tulosten todistamisen, joita ei voida muotoilla uudelleen muilla menetelmillä, mutta se ei pysty antamaan kvantitatiivisia arvioita (esim. joukon tiheyden estimaatteja Szemedyn lauseessa). [33]

Muut menetelmät

Joillakin muilla aloilla on sovelluksia kyseiseen tieteeseen:

Kombinatorisen geometrian Szemeredi-Trotter-lause ( erityisesti konveksia joukkoja koskevissa kysymyksissä) [16] [13] [17] ;
numeroiden geometria [34] ;
symmetristen ryhmien esitysteoria [35] .
ominaisarvoteoria ( voidaan käyttää johtamaan epäyhtälö joidenkin lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisujen lukumäärän välillä; [36] );

Jotkut tutkijat

Katso myös

Kirjallisuus

Graham, Ronald. Ramseyn teorian alku. - M . : Mir, 1984. - ISBN 5-09-002630-0 .

M. Z. Garaev. Joukkojen summat ja tulot sekä rationaalisten trigonometristen summien estimaatit alkujärjestyksen kentissä // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 2010. - Ongelma. 4 . - S. 5-66 . (Venäjän kieli)

I. D. Shkredov. Szemedin lause ja aritmeettisen progression tehtävät // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 2006. - Ongelma. 6 . - S. 111-179 . (Venäjän kieli)

I. D. Shkredov. Fourier-analyysi kombinatorisessa lukuteoriassa // Advances in Mathematical Sciences. - 2010. - Ongelma. 3 . - S. 127-184 . (Venäjän kieli)

Terence Tao , Van H. Vu. Additiiviset kombinatoriaalit . - Cambridge University Press. - 2006. - ISBN 0-511-24530-0 .

Imre Ruzsa. Summit ja rakenne .

Freiman, Grigori Abelevitš . Rakennejoukkoteorian alku . - painotalo "Tatpoligraf". – 1966. (Venäjän kieli)

I. M. Gelfand , Yu. V. Linnik . Analyyttisen lukuteorian perusmenetelmät. - M.: Fizmatgiz. – 1962. (Venäjän kieli)

I. M. Vinogradov . Trigonometristen summien menetelmä lukuteoriassa. - Kustantaja "Science". – 1971. (Venäjän kieli)

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Postnauka, I. D. Shkredov, "Additiivinen kombinatoriikka" . Haettu 11. kesäkuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 18. elokuuta 2021. (määrätön)
↑ Gelfand, 1962 , s. 9-43.
↑ Graham, 1984 .
↑ Vinogradov, 1971 , s. 5-6.
↑ Freiman, 1966 .
↑ Erdős, Paul & Szemerédi, Endre (1983), Kokonaislukujen summista ja tuloista , Puhtaan matematiikan tutkimukset. Paul Turánin muistolle , Basel: Birkhäuser Verlag, s. 213–218 , ISBN 978-3-7643-1288-6 , doi : 10.1007/978-3-0348-5438-2_19 Arkistoitu 24. toukokuuta 2013 Wayback Machinessa .
↑ Ernie Croot, Izabella Laba, Olof Sisask, "Arithmetic Progressions in Sumsets and L^p-Almost-Periodicity" . Haettu 11. kesäkuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 12. kesäkuuta 2018. (määrätön)
↑ Tom Sanders, "Additiiviset rakenteet summasarjoissa" . Haettu 11. kesäkuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 12. kesäkuuta 2018. (määrätön)
↑ Terence Tao, "Epävarmuusperiaate alkujärjestyksen syklisille ryhmille" . Haettu 11. kesäkuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 12. kesäkuuta 2018. (määrätön)
↑ 1 2 http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?presentid=3055 Moskovan matematiikan seuran kokoukset, 1. maaliskuuta 2011, I. D. Shkredov, Methods of Additive Combinatorics
↑ Garaev, 2010 , s. 25.
↑ Matematiikan instituutin kaikkien laitosten seminaari "Matematiikka ja sen sovellukset". V. A. Steklova RAS, 18.09.14, I. D. Shkredov, "Rakennelauseet additiivisessa kombinatoriikassa"
↑ 1 2 A. Iosevich, S. Konyagin, M. Rudnev ja V. Ten, "On kombinatorinen monimutkaisuus konveksien sekvenssien suhteen", 19. heinäkuuta 2004 . Haettu 11. kesäkuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 12. kesäkuuta 2018. (määrätön)
↑ MZ Garaev, "Eksponentiaalisten summien L1-normin alarajoista", Mathematical Notes, marraskuu 2000, osa 68, numero 5-6, s. 713-720 . Haettu 11. kesäkuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 12. kesäkuuta 2018. (määrätön)
↑ Imre Z. Ruzsa, Dmitrii Zhelezov, "Kuperoissa sekvensseissä voi olla ohuita lisäaineemäksiä", preprint . Haettu 11. kesäkuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 12. kesäkuuta 2018. (määrätön)
↑ 1 2 Tomasz Schoen, Ilja Shkredov, "Kuperien joukkojen summista" . Haettu 11. kesäkuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 12. kesäkuuta 2018. (määrätön)
↑ 1 2 Elekes, Nathanson, Ruzsa, "Kuperuus ja summajoukot" (linkki ei ole käytettävissä) . Haettu 11. kesäkuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 12. kesäkuuta 2018. (määrätön)
↑ Ben Green, "Erällisen kentän mallit additiivisessa kombinatoriikassa" . Haettu 11. kesäkuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 12. kesäkuuta 2018. (määrätön)
↑ Tom Sanders, "Rothin lauseesta progressioista", preprint . Haettu 11. kesäkuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 12. kesäkuuta 2018. (määrätön)
↑ 1 2 3 Shkredov, 2010 .
↑ Garaev, 2010 .
↑ Graham, 1984 , s. kaksikymmentä.
↑ 1 2 P. L. Chebyshev Matemaattinen laboratorio, Luentokurssi "Additiivinen kombinatoriikka", Luento 1
↑ Szemerédi, Endre (1975), Kokonaislukujoukoista, joissa ei ole k alkiota aritmeettisessa progressiossa , Acta Arithmetica T. 27: 199–245, Zbl 0303.10056, MR : 0369312 , < http://matwedun.pl . ksiazki/aa/aa27/aa27132.pdf > Arkistoitu 10. joulukuuta 2020 Wayback Machinessa .
↑ Garaev, 2010 , s. 18-25.
↑ E. Croot, V. Lev ja P.P. Pach, Progression-free-sarjat ovat eksponentiaalisesti pieniä (2016). arXiv preprint 1605.01506. ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{n}^{4))$ . Haettu 11. kesäkuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 12. kesäkuuta 2018. (määrätön)
↑ Todistus Rothin lauseesta ryhmille, joilla on pieni vääntö osoitteessa arxiv.org . Haettu 11. kesäkuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 12. kesäkuuta 2018. (määrätön)
↑ Lausunto Rothin lauseen todisteesta venäjäksi ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{4}^{n))$
↑ I. V. Vyugin, I. D. Shkredov, "Kerranomaisten alaryhmien additiivisista siirtymistä", Mat. Sb., 2012, osa 203, numero 6, sivut 81-100 . Haettu 11. kesäkuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 12. kesäkuuta 2018. (määrätön)
↑ Shkredov, 2006 , s. 119-124.
↑ I. D. Shkredova, katsausluento "Analytical Methods in Additive Combinatoriics", Mathematical Laboratoryn luentosali. Chebyshev
↑ Yufei Zhao, "Szemer'edin lause ergodisen teorian kautta" . Haettu 11. kesäkuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 27. helmikuuta 2021. (määrätön)
↑ Jälkitiede, I. D. Shkredov, "Kombinatorinen ergodinen teoria"
↑ Imre Ruzsa, "Additiivinen kombinatoriikka ja lukugeometria" . Haettu 11. kesäkuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 11. elokuuta 2017. (määrätön)
↑ JA Dias da Silva, YO Hamidoune, Grassmannin johdannaisten sykliset tilat ja additiiviteoria, Bull. Lontoon matematiikka. soc. 26 (1994) 140-146
↑ I. D. Shkredov, "Uusia tuloksia korkeammista energioista" . Haettu 3. tammikuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 3. tammikuuta 2019. (määrätön)