Valinnan aksiooma

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 9. elokuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 6 muokkausta .

Valinnan aksiooma , eng. lyhenne AC ( valinnan aksioomasta ) on seuraava lause joukkoteoriasta :

Jokaiselle ei-tyhjien joukkojen perheelle [1] on olemassa funktio , joka liittää jokaiseen perheen joukkoon yhden tämän joukon alkioista [2] . Funktiota kutsutaan tietyn perheen valintafunktioksi . $X$ $f$ $f$

Virallisella kielellä :

\forall X\left[\varnothing \notin X\Rightarrow \exists f\colon X\rightarrow \bigcup X\quad \forall A\in X\,(f(A)\in A)\right]\ ,.

Jos rajoitamme tarkastelemaan vain äärellisiä joukkoperheitä, niin valintaaksiooman väite voidaan todistaa muiden joukkoteorian aksioomien [ 2] perusteella, eikä sitä tarvitse olettaa erillisenä aksioomana. Se voidaan myös todistaa joillekin äärettömille perheille, mutta pääsääntöisesti äärettömille perheille valinnan aksiooma ei seuraa muista aksioomeista ja on itsenäinen väite.

Historia ja arvosanat

Valintaaksiooman muotoili ja julkaisi Ernst Zermelo vuonna 1904 (vaikka Beppo Levi totesi sen ensimmäisen kerran 2 vuotta aiemmin). Uusi aksiooma aiheutti kiivasta kiistaa, eivätkä kaikki matemaatikot silti hyväksy sitä ehdoitta [3] . Esitettiin mielipiteitä siitä, että sen osallisuudesta saadulla todisteella on "erilainen kognitiivinen arvo" kuin todisteilla, jotka eivät riipu siitä [3] [4] . Valinnan aksiooman ilmaantuminen aiheutti myös keskustelua siitä, mitä "olemassaolon" käsite tarkoittaa matematiikassa - erityisesti siitä, voidaanko joukkoa pitää olemassa, jos mitään sen elementtejä ei tunneta [5] .

Valinnan aksiooman hylkääminen joidenkin matemaatikoiden toimesta on perusteltua ennen kaikkea sillä, että se vain väittää joukon olemassaolon , mutta ei anna mitään tapaa määritellä sitä; tällaisen mielipiteen esittivät esimerkiksi Borel ja Lebesgue [4] . Päinvastaista mieltä olivat esimerkiksi Hilbert , Hausdorff ja Frenkel , jotka hyväksyivät valinnan aksiooman varauksetta ja tunnustivat sen saman "ilmeisyyden" asteen kuin muille joukkoteorian aksioomille : tilavuuden aksioomille , tyhjän joukon olemassaolon aksiooma , parin aksiooma , aksiooman summat , asteen aksiooma , äärettömyyden aksiooma . $d$

Lisäksi valinnan aksiooman seurausten joukossa on monia melko paradoksaalisia, jotka herättävät matemaatikoissa intuitiivisen vastalauseen. Esimerkiksi on mahdollista todistaa pallon tuplaamisen paradoksi , jota tuskin kaikki tutkijat voivat pitää "ilmeisenä" (katso myös Tarskin ympyrän neliöinti ). Václav Sierpinski on analysoinut yksityiskohtaisesti lukuisia todisteita valintaaksiooman avulla . Epäilemättä monia tärkeitä matemaattisia löytöjä ei kuitenkaan olisi voitu tehdä ilman valinnan aksioomaa [6] .

Bertrand Russell kommentoi valinnan aksioomaa: ”Aluksi se näyttää itsestään selvältä; mutta mitä enemmän ajattelet sitä, sitä kummallisemmilta tämän aksiooman johtopäätökset näyttävät; loppujen lopuksi et yleensä ymmärrä, mitä se tarkoittaa” [7] .

Valitun aksiooman riippumattomuuden muista Zermelo-Fraenkel-aksioomeista osoitti Paul Cohen [8] [9] .

Vastaavat formulaatiot

Valinnan aksioomalla on monia muita vastaavia formulaatioita.

Ei-tyhjien joukkojen karteesinen tulo on ei-tyhjä [10] .
Jokaisella surjektiivisella funktiolla on oikea käänteisfunktio , eli niiden koostumus on identtinen funktio funktiolla tai toisin sanoen kaikille funktion elementeille . $f\colon A\to B$ $f^{-1}\colon B\to A$ $f\circ f^{{-1}}=\operaattorinimi {id}_{B}$ $B$ $f(f^{{-1}}(z))=z$ $z\in B$
Zornin lemma (katso alla)
Jokainen joukko voidaan järjestää hyvin (katso alla, Zermelon lause ).
Hausdorffin maksimiperiaate
Tarskin lause . Jokaisellaäärettömällä joukolla onbijektio. $A$ $A\to A\times A$

Valintafunktio on joukon joukossa oleva funktio, jossa jokaisessa joukossa on elementti kohteesta . Käyttämällä valintafunktion käsitettä aksiooma toteaa: $X$ $s$ $X$ $f(s)$ $s$

Kaikille ei-tyhjien joukkojen perheelle on määritetty valintafunktio $X$ $f$ $X$ .

Tai ytimekkäästi:

Jokaisella ei-tyhjien sarjojen joukolla on valintatoiminto .

Valinnan aksiooman toinen versio sanoo:

Tietylle mielivaltaiselle joukolle pareittain hajallaan olevia ei-tyhjiä joukkoja on vähintään yksi joukko, joka sisältää täsmälleen yhden elementin, joka on yhteinen kullekin ei-tyhjälle joukolle .

Jotkut kirjoittajat käyttävät eri versiota, joka käytännössä sanoo:

Jokaiselle joukolle sen Boolen arvolla miinus tyhjä osajoukko on valintafunktio

A

{\mathcal P}(A)\setminus \{\varnothing \}

Tätä muotoilua käyttävät kirjoittajat puhuvat usein myös "valintafunktiosta ", mutta väittävät, että he tarkoittavat hieman erilaista valintafunktion käsitettä. Sen laajuus on looginen (miinus tyhjä osajoukko), kun taas muualla tässä artikkelissa valintafunktion laajuus on "joukkojen joukko". Tällä lisäkäsitteellä valintafunktiosta valinnan aksiooma voidaan ilmaista ytimekkäästi seuraavasti: $A$

Jokaisessa sarjassa on valintatoiminto .

Sovellus

1800-luvun loppuun asti valinnan aksioomia käytettiin ehdoitta. Esimerkiksi määritettyään joukon , joka sisältää ei- tyhjän joukon , matemaatikko voisi sanoa: " Määritetään jokaiselle " . Ilman valinnan aksioomaa on yleensä mahdotonta todistaa sen olemassaoloa, mutta tämä näyttää jääneen käsittelemättä Zermeloon asti . $X$ $F(s)$ $s$ $X$ $F$

Kaikki tapaukset eivät vaadi valinnan aksioomaa. Äärilliselle joukolle valinnan aksiooma seuraa muista joukkoteorian aksioomeista. Tässä tapauksessa se on sama kuin sanoisi, että jos meillä on useita (äärellisen määrän) laatikoita, joista jokainen sisältää yhden identtisen asian, voimme valita tarkalleen yhden asian jokaisesta laatikosta. On selvää, että voimme tehdä tämän: aloitamme ensimmäisestä laatikosta, valitsemme asian; mennään toiseen laatikkoon, valitaan asia; ja niin edelleen. Koska laatikoita on rajallinen määrä, niin valintamenettelymme mukaisesti tulemme loppuun. Tuloksena on eksplisiittinen valintafunktio: funktio, joka kuvaa ensimmäisen laatikon valitsemamme ensimmäiseen elementtiin, toisen laatikon toiseen elementtiin ja niin edelleen. (Kaikkien äärellisten joukkojen muodolliseen todistukseen käytetään matemaattisen periaatteen induktio .) $X$

Äärettömän joukon tapauksessa on myös joskus mahdollista kiertää valinnan aksiooma. Jos elementit ovat esimerkiksi luonnollisten lukujen joukkoja . Jokaisella ei-tyhjällä luonnollisten lukujen joukolla on pienin alkio, joten valintafunktiota määriteltäessä voimme yksinkertaisesti sanoa, että jokainen joukko liittyy joukon pienimpään alkioon. Tämän avulla voimme valita elementin jokaisesta joukosta, jotta voimme kirjoittaa eksplisiittisen lausekkeen, joka kertoo meille, minkä arvon valintafunktiomme saa. Jos valintafunktio on mahdollista määritellä tällä tavalla, valinnan aksiooma ei ole välttämätön. $X$ $X$

Vaikeuksia syntyy, jos on mahdotonta tehdä luonnollista elementtivalintaa jokaisesta sarjasta. Jos emme voi tehdä selkeää valintaa, niin miksi olemme varmoja, että tällainen valinta voidaan tehdä periaatteessa? Antaa esimerkiksi olla joukko ei-tyhjiä reaalilukujen osajoukkoja . Ensin voisimme yrittää toimia ikään kuin se olisi rajallinen. Jos yritämme valita elementin jokaisesta joukosta, koska se on ääretön, valintaprosessimme ei koskaan pääty, ja sen seurauksena emme koskaan saa valintafunktioita kaikille . Joten se ei toimi. Seuraavaksi voimme yrittää määrittää pienimmän elementin kustakin joukosta. Mutta jotkut reaalilukujen osajoukot eivät sisällä pienintä elementtiä. Esimerkiksi tällainen osajoukko on avoin väli . Jos kuuluu , niin kuuluu myös siihen, ja vähemmän kuin . Eli pienimmän elementin valinta ei myöskään toimi. $X$ $X$ $X$ $X$ $(0,\;1)$ $x$ $(0,\;1)$ $x/2$ $x$

Syy siihen, että voimme valita pienimmän elementin luonnollisten lukujen osajoukosta, on se, että luonnollisilla luvuilla on hyvin järjestetty ominaisuus. Jokaisella luonnollisten lukujen osajoukolla on yksilöllinen pienin elementti luonnollisen järjestyksen vuoksi. Ehkä, jos olisimme älykkäämpiä, voisimme sanoa: "Ehkä jos tavallinen reaalilukujen järjestys ei salli meidän löytää erityistä (pienintä) lukua jokaisesta osajoukosta, voisimme ottaa käyttöön toisen järjestyksen, joka antaisi hyvin tilaaminen. Silloin toimintomme pystyy valitsemaan jokaisesta sarjasta pienimmän elementin epätavallisen tilauksemme vuoksi. Ongelma syntyy sitten tässä hyvin järjestetyn rakenteessa, joka edellyttää valintaaksiooman läsnäoloa sen ratkaisemiseksi. Toisin sanoen jokainen sarja voidaan järjestää hyvin, jos ja vain, jos valinnan aksiooma on totta.

Todistukset, jotka vaativat valinnan aksiooman, ovat aina ei-konstruktiivisia: vaikka todistus luo objektin, on mahdotonta sanoa, mikä se tarkalleen on. Siksi, vaikka valinnan aksiooman avulla voimme järjestää reaalilukujoukon täysin, tämä ei anna meille mitään näkyvyyttä ja konstruktivismia yleensä. Tämä on yksi syy, miksi jotkut matemaatikot eivät pidä valinnan aksioomasta (katso myös matematiikan perusteiden kriisi ). Esimerkiksi konstruktivismi edellyttää, että kaikki olemassa oleva on mahdollista rakentaa. He hylkäävät valinnan aksiooman, koska se ilmaisee esineen olemassaolon ilman selkeää kuvausta siitä. Toisaalta, jos valinnan aksioomaa käytetään todistamaan olemassaolo, niin tämä ei tarkoita, etteikö konstruktiota voisi saattaa päätökseen toisella tavalla.

Hyvin järjestettävä periaate (Zermelon lause)

Hyvin yleinen ja kätevä muotoilu käyttää käsitettä hyvin järjestynyt joukko . Tarvitsemme muutamia määritelmiä, ja aloitamme lineaarisen järjestyksen tiukasta määritelmästä, joka ilmaisee tutun idean joukkoteorian kielellä. Muista, että järjestetty elementipari on merkitty ja että joukkojen karteesinen tulo koostuu kaikista mahdollisista järjestetyistä pareista , missä . $(x,\;y)$ $X\kertaa Y$ $(x,\;y)$ $x\in X,\;y\in Y$

Lineaarinen järjestys joukossa on karteesisen tuotteen osajoukko, jolla on seuraavat ominaisuudet: $A$ $R\subseteq A\times A$

Täysi: . $\forall x,\;y\in A\;((x,\;y)\in R\lor (y,\;x)\in R)$
Antisymmetrinen: . $\forall x,\;y\in A\;((x,\;y)\in R\wedge (y,\;x)\in R\to y=x)$
Transitiivinen: . $\forall x,\;y,\;z\in A\;((x,\;y)\in R\wedge (y,\;z)\in R\to (x,\;z)\in R)$

Joukon täydellinen järjestys on lineaarinen järjestys siten, että jokaisessa ei-tyhjässä osajoukossa on pienin alkio. $A$ $X\subseteq A$

Kokonaistilauksen periaate on, että mikä tahansa sarja voidaan tilata hyvin .

Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukko voidaan järjestää hyvin tavallisella "pienempi tai yhtä suuri" -relaatiolla. Samalla suhteella kokonaislukujoukolla ei ole pienintä alkiota. Tässä tapauksessa voimme kerätä kokonaisluvut sarjaan ja sanoa, että pienemmät termit ovat pienempiä kuin korkeammat. Ilmeisesti tällainen relaatio on kokonaislukujen täydellinen järjestys. $(0,\;-1,\;1,\;-2,\;2,\;\ldots ,\;-n,\;n,\;\ldots )$

On paljon vähemmän ilmeistä, että todelliset luvut, jotka muodostavat lukemattoman joukon, voidaan järjestää hyvin.

Zornin lemma

Jos osittain järjestetyssä joukossa jollakin ketjulla (eli lineaarisesti järjestetyllä osajoukolla ) on yläraja, koko joukossa on vähintään yksi maksimialkio.

Muodollisemmin:

Olkoon se osittain järjestetty joukko , eli relaatio on refleksiivinen, antisymmetrinen ja transitiivinen: $(P,\;\leqslant )$ $\leqslant$

$\forall x\in P\quad x\leqslant x;$
$\forall x,\;y\in P\;x\leqslant y\land y\leqslant x\to x=y;$
$\forall x,\;y,\;z\in P\;x\leqslant y\land y\leqslant z\to x\leqslant z.$

Osajoukkoa kutsutaan lineaarisesti järjestetyksi, jos . Elementtiä kutsutaan ylärajaksi, jos . $S\alajoukko P$ $\forall x,\;y\in S\;x\leqslant y\lor y\leqslant x$ $u\in P$ $\forall x\in S\;x\leqslant u$

Oletetaan, että millä tahansa joukon lineaarisesti järjestetyllä osajoukolla on yläraja. Sitten , eli on suurin elementti . $P$ $\olemassa m\in P\;\nolemassa x\in P\;x>m$ $m$

Hausdorffin maksimiperiaate

Vaihtoehdot

Jos rajoitamme valinnan aksiooman soveltamisen vain äärellisiin ja laskettaviin joukkoperheisiin, saadaan " laskettavan valinnan aksiooma ". Se riittää perustelemaan suurimman osan analyysin teoreemoista eikä luo edellä mainittuja paradokseja. Se ei kuitenkaan riitä perustelemaan monia joukkoteorian säännöksiä. Toinen, hieman vahvempi vaihtoehto on riippuvaisen valinnan aksiooma , mutta se ei sovellu joukkoteorian tarpeisiin.

Vuonna 1962 puolalaiset matemaatikot Jan Mychelski ja Hugo Steinhaus ehdottivat niin sanottua " määrittelyaksioomaa " valinnan aksiooman sijaan [11] . Toisin kuin valinnan aksioomalla, jolla on intuitiivinen muotoilu ja vastakohtaiset seuraukset, determinismin aksioomalla on päinvastoin ei-ilmeinen muotoilu, mutta sen seuraukset ovat paljon paremmin yhdenmukaisia intuition kanssa . Determinismin aksioomasta seuraa laskettavan valinnan aksiooma, mutta ei täydellistä valinnan aksioomaa [9] .

Determiniteettiaksiooman seuraukset useissa tilanteissa ovat ristiriidassa valinnan aksiooman seurausten kanssa - esimerkiksi determinatiivisuuden aksioomasta seuraa, että kaikki reaalilukujoukot ovat Lebesguen mitattavissa , kun taas valinnan aksiooma merkitsee reaalilukujen joukko, joka ei ole Lebesgue-mittattavissa. Determinismin aksiooman avulla voidaan tiukasti todistaa, että laskettavan potenssin ja jatkumon potenssin välillä ei ole välipotenssia , kun taas tämä väite on riippumaton valinnan aksioomasta [12] .

Katso myös

Joukkoteorian aksiomatiikka

Muistiinpanot

↑ Perhe matematiikassa on joukko joukkoja.
↑ 1 2 Valinta-aksiooma // Mathematical Encyclopedia (5 osassa) . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1977. - T. 1.
↑ 1 2 Kuratovsky K. , Mostovsky A. Joukkoteoria / Englannista kääntänyt M. I. Lyhyesti toimittanut A. D. Taimanov. - M .: Mir, 1970. - S. 61 . — 416 s.
↑ 12 John L. Bell . Valinnan aksiooma . Stanford Encyclopedia of Philosophy . Haettu 17. maaliskuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 14. maaliskuuta 2020. (määrätön)
↑ Joukko, Bryan. Matemaattisia virheitä ja paradokseja. Luku "Valinnan aksiooma" . - Dover Publications, 1997. - 240 s. — (Dover Books on Mathematics). — ISBN 978-0486296647 .
↑ Elementit: Todistettavuuden rajat . Haettu 12. syyskuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 11. tammikuuta 2012. (määrätön)
↑ Vilenkin N. Ya. Tarinoita lavasteista. - 3. painos - M. : MTSNMO, 2005. - S. 95. - 150 s. — ISBN 5-94057-036-4 .
↑ P. J. Cohen. Joukkoteoria ja jatkumohypoteesi. - Moskova: Mir, 1969.
↑ 1 2 Kazimirov N. I. Johdatus aksiomaattiseen joukkoteoriaan. Opastus. - Petroskoi, 2000. - 104 s. — § 2.4.
↑ Jevgeni Vectomov. Matematiikka: Matemaattiset perusrakenteet, 2. painos. Opinto-opas akateemiseen perustutkintoon . - Litraa, 2018. - S. 26. - 297 s. Arkistoitu 18. elokuuta 2018 Wayback Machineen
↑ Mycielski, Jan; Steinhaus, H. (1962). Matemaattinen aksiooma, joka on ristiriidassa valinnan aksiooman kanssa. Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences. Serie des Sciences Mathematiques, Astronomiques et Physiques 10:1–3. ISSN 0001-4117. MR 0140430.
↑ Kanovey V.G., 1984 , s. 4, 37.

Kirjallisuus

Aleksandrov PS Johdanto joukkoteoriaan ja yleiseen topologiaan . - M .: Nauka, 1977. - 368 s. (pääsemätön linkki) - Luku 3, § 4.
Kanovey VG Valinnan aksiooma ja determinismin aksiooma. - M .: Nauka, 1984. - 64 s. — (Tieteen ja teknisen kehityksen ongelmat).
Medvedev F. A. Valinnan aksiooman varhainen historia . - M .: Nauka, 1982. - 304 s. Arkistoitu 28. lokakuuta 2015 Wayback Machinessa
Medvedev F. A. Valinnan aksiooma ja matemaattinen analyysi // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . - M . : Nauka , 1980. - Nro 25 . - S. 167-188 .
Matemaattisen logiikan hakuteos. Osa II. Joukkoteoria = Matemaattisen logiikan käsikirja / J. Barweiss - M .: Nauka , 1983. - 392 s.