Diagonaalinen matriisi

Diagonaalimatriisi on neliömatriisi , jonka kaikki elementit päädiagonaalin ulkopuolella ovat nolla:

D={\begin{bmatrix}d_{11}&0&\cdots &0\\0&d_{22}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &d_{nn }\end{bmatrix}}

Diagonaalimatriisi, jonka merkinnät ovat päädiagonaalissa, on merkitty . $D$ $(d_{{1}},d_{{2}},\dots ,d_{{n}})$ ${\displaystyle \mathrm {diag} \,\{d_{1},d_{2},\dots ,d_{n}\))$

Se on sekä ylempi että alempi kolmion muotoinen . Diagonaalimatriisi on symmetrinen: . Diagonaalimatriisin arvo on yhtä suuri kuin nollasta poikkeavien elementtien lukumäärä päädiagonaalissa. $D^{\intercal }=D$

Diagonaalimatriiseja voidaan lisätä ja kertoa termillä:

$\mathrm {diag} \,\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}+\mathrm {diag} \,\{b_{1},b_{2} ,\dots ,b_{n}\}=\mathrm {diag} \,\{a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots ,a_{n}+b_{ n}\}$ ,

$\mathrm {diag} \,\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}\mathrm {diag} \,\{b_{1},b_{2}, \dots ,b_{n}\}=\mathrm {diag} \,\{a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots ,a_{n}b_{n}\}$ .

Diagonaalimatriisin determinantti on yhtä suuri kuin diagonaalielementtien tulo: . ${\mathrm {det}}\,D=d_{{11}}d_{{22}}\dots d_{{nn}}$

Diagonaalimatriisin diagonaalista poikkeavan elementin algebrallinen komplementti on nolla, eli:

D_{ij}={\begin{cases}0,&i\neq j\\\prod \limits _{i=1}^{n-1}d_{ii},&i=j\end{cases }}

Diagonaalimatriisin käänteismatriisi on:

D^{-1}={\begin{bmatrix}d_{11}^{-1}&0&\cdots &0\\0&d_{22}^{-1}&\cdots &0\\\cdots &\ cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &d_{nn}^{-1}\end{bmatrix}}=\mathrm {diag} \,\{d_{11}^{-1},d_{22 }^{-1},\dots ,d_{nn}^{-1}\}

Diagonaalit ovat nollamatriisi , identiteettimatriisi , skalaarimatriisi (kaikki päädiagonaalin elementit ovat yhtä suuret).

Joissakin tapauksissa diagonaalista poikkeava matriisi voidaan pienentää diagonaaliseen muotoon muuttamalla kantaa ; riittävä ehto on matriisin kaikkien ominaisarvojen ero (yleisessä tapauksessa matriisi on pelkistävissä vain Jordan-muotoon ).

Vektorit ja matriisit

Vektorit

Peruskonseptit	Vektori geometriassa Perusta Ortogonaalinen perusta Vektorikoordinaatit Kollineaarisuus Ortogonaalisuus Lineaarinen riippuvuus Saraketila
Vektorityypit	Yksikkövektori Aksiaalinen vektori isotrooppinen vektori Normaali Kollineaarisuus Nolla vektori Sädevektori Omavektori
Operaatiot vektoreille	Skalaarituote vektorituote sekoitettu tuote Pseudoskalaarinen tuote Kaksinkertainen ristituote
Tilatyypit	vektoriavaruus affinista tilaa Euklidinen avaruus Pseudoeuklidinen avaruus Normaali tila Minkowskin tila

matriiseja

Peruskonseptit	Matriisin kertolasku Transponoitu matriisi Hermitian konjugaattimatriisi Symmetrinen matriisi käänteinen matriisi Ominaisarvo Matriisin karakteristinen polynomi
Erikoismatriisit	Identiteettimatriisi Nolla matriisi Diagonaalinen matriisi lambda matriisi
Matriisihajotukset	LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen QR-hajotus LUP-hajoaminen singulaariarvon hajottelu Matriisin spektrihajotus

muu