Quadric

Neliö eli neliulotteinen on n - ulotteinen hyperpinta n + 1 -ulotteisessa avaruudessa, joka määritellään toisen asteen polynomin nollien joukkona . Jos syötät koordinaatit { x 1 , x 2 , ..., x n +1 } ( euklidisessa tai affinisessa avaruudessa) , yleinen neliöyhtälö on muotoa [1]

\sum _{{i,j=1}}^{{n+1}}x_{i}Q_{{ij}}x_{j}+\sum _{{i=1}}^{{n+ 1 }}P_{i}x_{i}+R=0.

Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen kompaktimmin matriisimerkinnällä :

xQx^{T}+Px^{T}+R=0

missä x = { x 1 , x 2 , ..., x n +1 } on rivivektori , x T on transponoitu vektori, Q on matriisi, jonka koko on ( n +1) × ( n +1) (se oletetaan, että vaikka yksi sen alkioista ei ole nolla), P on rivivektori ja R on vakio. Useimmiten nelilukuja pidetään reaali- tai kompleksilukujen yläpuolella . Määritelmä voidaan laajentaa neliöihin projektitiivisessa avaruudessa , katso alla .

Yleisemmin polynomiyhtälöjärjestelmän nollien joukko tunnetaan algebrallisena muunnelmana . Siten neliö on ( affiini tai projektiivinen ) algebrallinen muunnelma toisen asteen ja koodimension 1.

Neliarvot euklidisessa avaruudessa

Euklidisen tason nelikulmaiset vastaavat tapausta n = 1, eli ne ovat käyriä . Niitä ei yleensä kutsuta neliöiksi, vaan kartioiksi tai kartioleikkauksiksi .

(Kolmiulotteisen todellisen) euklidisen avaruuden neliöillä on ulottuvuus n = 2 ja niitä kutsutaan toisen asteen pinnoiksi . Tekemällä ortogonaalinen kantamuutos, mikä tahansa neliö euklidisessa avaruudessa voidaan pelkistää normaalimuotoon. Kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa on 17 tällaista muotoa. [2] Näistä 5 on ei-singulaarisia (eli matriisi on ei- singulaarinen [3] ). Degeneroituneita muotoja ovat tasot, suorat, pisteet ja jopa nelikulmat ilman todellisia pisteitä. [neljä] ${\begin{pmatrix}Q&{\dfrac {P^{T}}{2}}\\{\dfrac {P}{2}}&R\end{pmatrix}}$

Ei-degeneroituneet todelliset nelikulmat euklidisessa avaruudessa
Ellipsoidi	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1$
Elliptinen paraboloidi	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0$
Hyperbolinen paraboloidi	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0$
Yksiarkkinen hyperboloidi	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$
Kaksiarkkinen hyperboloidi	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1$

Affine ja projektiiivinen avaruus

Neliöiden luokittelu kolmiulotteisessa affiinisessa avaruudessa on sama kuin euklidisen avaruuden nelilukujen luokittelu. [5] Erona on, että mitkä tahansa kaksi saman luokan neliötä voidaan kääntää toisilleen affiinilla muunnolla , kun taas vastaavaa ortogonaalista muunnosta ei aina ole olemassa (esimerkiksi ellipsoidia ei voida kääntää liikkeellä ellipsoidiksi ). $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ $2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}=1$

Affiinista avaruutta olevasta neliöstä voidaan siirtyä projektiivisen avaruuden neliöön ottamalla käyttöön homogeeniset koordinaatit . Esitetään koordinaatit affiiniseen avaruuteen, niin neliön yhtälössä riittää kertoa lineaariset termit ja vapaa termi. Projektiivisen neliön yhtälö homogeenisissa koordinaateissa on muotoa $(x_{1},x_{2},\ldots x_{{n+1}}),$ $x_0,$ $x_{0}^{2}.$

Q(x)=\summa _{{ij}}a_{{ij}}x_{i}x_{j}=0.

Yleisyyden menettämättä voidaan olettaa, että matriisi on symmetrinen, eli projektiivistä neliötä kutsutaan ei-degeneroituneeksi, jos vastaava neliömuoto on ei- degeneroitunut . $K$ $a_{{ij}}=a_{{ji}}.$

Todellisessa projektitiivisessa avaruudessa neliömuotojen hitauslain mukaan mikä tahansa ei-degeneroitunut neliömuoto voidaan pelkistää ( projektiivisen muunnoksen avulla ) muotoon

Q(x)=\pm x_{0}^{2}\pm x_{1}^{2}\pm \cdots \pm x_{{n+1}}^{2}

Koska toisen asteen muodon allekirjoitus on sen invariantti , dimensiossa n = 2 on täsmälleen kolme ekvivalenssiluokkaa :

Q(x)={\begin{cases}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\\x_{ 0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\\x_{0}^{2}+x_{1}^{ 2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\end{cases}}

Ellipsoidi, elliptinen paraboloidi ja kaksiarkkinen hyperboloidi kuuluvat toiseen luokkaan, ja hyperbolinen paraboloidi ja yksiarkkinen hyperboloidi kuuluvat kolmanteen (kaksi viimeistä nelikulmaa ovat esimerkkejä hallituista pinnoista ). Mikään neliö todellisessa projektioavaruudessa ei kuulu ensimmäiseen luokkaan, koska vastaava yhtälö määrittelee tyhjän joukon . Kompleksisessa projektioavaruudessa kaikki ei-degeneroituneet nelikulmat ovat ekvivalentteja.

Termin ääntäminen

Sanakirjat antavat erilaisia painotuksia: quadric [6] [7] ("venäläinen" ääntäminen) ja quadric [8] [9] ("vieraan" ääntäminen).
Puhutussa kielessä käytetään sekä quadric (Kaliningradin geometrinen koulu) että quadric [10] [11] [12] ääntämistä . Esimerkkejä muista ääntämisistä ei tunneta.

Kirjallisuus

Matemaattinen tietosanakirja . Viidessä osassa. Osa 2, s. 795 (artikkeli "Quadric"). Moskova: Neuvostoliiton tietosanakirja, 1979-1985.

Muistiinpanot

↑ Silvio Levy. geom.uiuc.edu Quadrics . Geometry Formulas and Facts, ote CRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press) -julkaisun 30. painoksesta . Haettu 30. heinäkuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 18. heinäkuuta 2018.
↑ Sameen Ahmed Khan. Neliöpinnat tieteessä ja tekniikassa . Bulletin of the IAPT, 2(11), 327-330 (marraskuu 2010). (Intian fysiikan opettajien yhdistyksen julkaisu). Haettu 30. heinäkuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 13. elokuuta 2013.
↑ Kostrikin A. I. Johdatus algebraan. Osa 2. Lineaarinen algebra. - M. : FIZMATLIT, 2000. - S. 230. - 368 s.
↑ Stewart Venit, Wayne Bishop , Elementary Linear Algebra (neljäs painos), International Thompson Publishing, 1996.
↑ P. S. Aleksandrov. Analyyttisen geometrian ja lineaarisen algebran kurssi. P.275.
↑ Matemaattinen tietosanakirja, Moskova, Neuvostoliiton Encyclopedia , 1988, s. 265.
↑ O. E. Ivanova ja muut; resp. toim. V. V. Lopatin. Venäjän oikeinkirjoitussanakirja: - 2. painos, 2005, 943 s., s. 285
↑ Lohwaterin AJ venäjä-englanti matemaattisten tieteiden sanakirja. Toimittaja R.P.Boas. 1990. sivu 155
↑ Venäjä-portugali ja portugali-venäläinen fysiikan ja matematiikan sanakirja / V.V. Logvinov. M.: Rus.yaz., 1989, s. 114
↑ "asteen 2 pintoja kutsutaan neliöiksi" 21 min 55 s - 22 min 05 s Arkistoitu 4. huhtikuuta 2016 Wayback Machinessa (Summer School "Modern Mathematics", 2015. Kurssi "Twenty-seven lines".)
↑ "neliö projektitiivisessa avaruudessa", 1 min - 1 min 05 s Arkistokopio 4.4.2016 Wayback Machinessa (Tieteellinen ja koulutuskeskus MIAN . Kurssi "Klassinen algebrallinen geometria", 2015/2016.)
↑ "Olkoon X neliö, oletetaan, että tässä neliössä on piste", 6 min 36 s - 6 min 56 s Arkistokopio päivätty 4. huhtikuuta 2016 Wayback Machinessa (Pietarin All-Institute Mathematical Seminar MIANin sivuliike , 23. syyskuuta 2010.)