ikosidodekaedri |
Vertex-luku , edustaa 3.5.3.5 tai (3.5) 2 |
Vertex-konfiguraatio [1] [2] [3] on lyhenne monitahoisen tai laatoituksen esittämiseen kärjen ympärillä olevien pintojen sarjana. Homogeeniselle polyhedrille on vain yksi kärkityyppi, ja siksi kärkikonfiguraatio määrittelee monitahoisen kokonaan. ( Kiraaliset polyhedrat ovat peilipareina, joilla on sama kärkikonfiguraatio.)
Vertex-konfiguraatio määritetään numerosarjana, joka edustaa kärkeä ympäröivien pintojen sivujen lukumäärää. Merkintä " abc " tarkoittaa kärkeä, jonka ympärillä on kolme pintaa ja näillä pinnoilla on a- , b- ja c - puolet (reunat).
Esimerkiksi "3.5.3.5" tarkoittaa kärkeä, joka kuuluu neljään pintaan, vuorotteleviin kolmioihin ja viisikulmioihin . Tämä kärkikonfiguraatio määrittelee kärkitransitiivisen ikosidodekaedrin . Merkintä on syklinen, joten aloituspisteellä ei ole väliä. Joten 3.5.3.5 on sama kuin 5.3.5.3. Järjestys on tärkeä, joten 3.3.5.5 ei ole sama kuin 3.5.3.5. (Ensimmäisessä tapauksessa kahta vierekkäistä kolmiota seuraa kaksi viisikulmiota.) Toistuvia elementtejä voidaan pienentää yläindeksillä, jolloin esimerkkimme voidaan kirjoittaa muodossa (3.5) 2 .
Termin vertex configuration ohella eri lähteet käyttävät myös termejä vertex description (vertex description) [4] [5] [6] , vertex type (vertex type) [7] [8] , vertex symbol (vertex symbol) [9 ] [10] , vertex-järjestely (vertex-layout) [11] , vertex-kuvio (vertex-kuvio) [7] , pinta-vektori (pintavektori) [12] . Vertex-konfiguraatiossa käytetään myös termiä Candy ja Rollett symboli , koska he käyttivät vertex-konfiguraatiota kuvaamaan Arkhimedoksen kiinteitä 1952 kirjassaan Mathematical Models [ 13 ] [ 14] [15] [16] .
Huippupistekonfiguraatio voidaan esittää monikulmiopistekuviona , joka näyttää kärjen ympärillä olevat reunat. Tällä kärkikuviolla on kolmiulotteinen rakenne, koska pinnat eivät ole samassa tasossa, mutta kärkiyhtenäisten monitahojen kohdalla kaikki vierekkäiset kärjet ovat samassa tasossa, joten voit käyttää ortogonaalista projektiota esitelläksesi visuaalisesti kärkikonfiguraatiota .
{3,3} = 3 3 Vika 180° |
{3,4} = 3 4 Vika 120° |
{3,5} = 3 5 Vika 60° |
{3,6} = 3 6 |
{4,3} Vika 90° |
{4,4} = 4 4 |
{5,3} = 5 3 Vika 36° |
{6,3} = 6 3 |
| Huipulla on oltava vähintään 3 pintaa ja kärjessä on kulmavirhe . 0°:n kulmavirhe mahdollistaa tason peittämisen tavallisella mosaiikilla. Descartesin lauseen mukaan kärkien lukumäärä on 720°/ vika (4 π radiaania/ vika ). | |||
Käytetään erilaista merkintää, joskus pilkulla (,) erotettuna, joskus pisteellä (.) erotettuna. Myös yläindeksiä voidaan käyttää. Esimerkiksi 3.5.3.5 kirjoitetaan joskus muodossa (3.5) 2 .
Merkintätapaa voidaan pitää säännöllisen monitahoisen Schläfli-symbolin laajennettuna muotona . Schläflin merkintä {p, q} tarkoittaa q p -kulmia kunkin kärjen ympärillä. Joten {p, q} voidaan kirjoittaa muodossa ppp… ( q kertaa) tai p q . Esimerkiksi ikosaedrin {3,5} = 3.3.3.3.3 tai 3 5 .
Tämä merkintä koskee sekä monikulmion laatoitusta että polyhedraa. Tasainen kärkikonfiguraatio tarkoittaa tasaista laatoitusta, aivan kuten ei-tasoinen kärkikonfiguraatio tarkoittaa yhtenäistä monitahoista.
Nimitys ei ole ainutlaatuinen kiraalisille lajeille. Esimerkiksi snub-kuutiolla on muodot, jotka ovat identtisiä peilikuvana. Molemmilla muodoilla on kärkikonfiguraatio 3.3.3.3.4.
Nimitys soveltuu myös ei-kuperille säännöllisille pinnoille, tähtipolygoneille . Esimerkiksi pentagrammissa on symboli {5/2}, mikä tarkoittaa, että polygonissa on 5 sivua, jotka kiertävät keskustan kahdesti.
Esimerkiksi on 4 säännöllistä tähtipolyhedraa, joissa on säännöllisiä monikulmio- tai tähtipistekuvioita. Pienellä tähtikuvioisella dodekaedrilla on Schläfli-symboli {5/2,5}, joka avautuu eksplisiittiseksi kärkikonfiguraatioksi 5/2.5/2.5/2.5/2.5/2, joka voidaan esittää muodossa (5/2) 5 . Suurella tähtikuvioisella dodekaedrilla , jonka symboli on {5/2,3}, on kolmion muotoinen kärkikuvio ja konfiguraatio (5/2.5/2.5/2) tai (5/2) 3 . Suurella dodekaedrilla , jonka symboli on {5,5/2}, on pentagrammin kärkikuvio, jonka kärkikonfiguraatio on ( 5.5.5.5.5 )/2 tai (5 5 )/2. Suurella ikosaedrilla , jonka symboli on {3,5/2}, on myös pentagrammipistekuvio, jonka kärkikonfiguraatio (3.3.3.3.3)/2 tai (3 5 )/2.
| {5/2,5} = (5/2) 5 | {5/2,3} = (5/2) 3 | 3 4 .5/ | 3 4 .5/ | (3 4 .5/2)/2 |
|---|---|---|---|---|
| {5,5/2} = (5 5 )/2 | {3,5/2} = (3 5 )/2 | V.3 4.5/2 [ | V3 4.5/3 [ | V(3 4 .5/2)/2 |
Puolisäännöllisillä polytoopeilla on kärkikonfiguraatio, jossa on positiivinen kulmavika .
Huomautus : Huippukuvio voi edustaa säännöllistä tai puolisäännöllistä laatoitusta tasossa, jos sen vika on nolla. Huippukuvio voi edustaa laatoitusta hyperbolisella tasolla, jos sen vika on negatiivinen.
Tasaisten polyhedrien kohdalla kulmavirheen avulla voidaan laskea kärkien lukumäärä. Descartesin lauseen mukaan topologisen pallon kaikkien kulmavirheiden summan on oltava 4 π radiaania eli 720°.
Koska tasaisen monitahoisen kaikki kärjet ovat identtisiä, tämän suhteen avulla voimme laskea pisteiden lukumäärän, joka on yhtä suuri kuin osamäärä 4 π / vika tai 720° / vika .
Esimerkki: Katkaisessa kuutiossa 3.8.8 on 30°:n kulmavika. Joten monitahoisella on 720/30 = 24 kärkeä .
Tästä seuraa erityisesti, että { a , b }:lla on 4 / (2 - b (1 - 2/ a )) kärkeä.
Mikä tahansa kärjen numeerinen konfiguraatio määrittää yksiselitteisesti puolisäännöllisen monitahoisen. Kaikki kokoonpanot eivät kuitenkaan ole mahdollisia.
Topologiset vaatimukset rajoittavat polyhedronin olemassaoloa. Erityisesti pqr tarkoittaa, että p -gonia ympäröivät vuorotellen q -gonit ja r - gonit, joten joko p on parillinen tai q on yhtä suuri kuin r . Vastaavasti q on parillinen tai p on yhtä kuin r , r on parillinen tai p on yhtä suuri kuin q . Joten potentiaaliset kolmiot ovat 3.3.3, 3.4.4, 3.6.6, 3.8.8, 3.10.10, 3.12.12, 4.4. n (mikä tahansa n > 2), 4.6.6, 4.6.8, 4.6.10, 4.6.12, 4.8.8, 5.5.5, 5.6.6, 6.6.6. Itse asiassa kaikki nämä konfiguraatiot, joissa kolme kasvoa kohtaavat yhdessä kärjessä, ovat olemassa.
Vastaavasti, kun neljä kasvoa kohtaavat samassa kärjessä, pqrs , jos yksi luku on pariton, muiden on oltava yhtä suuria.
Suluissa oleva luku on kulmavirheestä laskettu kärkien lukumäärä.
Kolmet
neloset
Fives
Kuutiset
Katalonialaiset kiinteät aineet , mukaan lukien kaksipyramidit ja puolisuunnikkaan , ovat pystysuorassa säännöllisiä ( kasvotransitiivisia ), ja ne voidaan tunnistaa samanlaisella merkinnällä, jota joskus kutsutaan kasvokonfiguraatioksi [2] . Cundy ja Rollett lisäävät nämä kaksoismerkinnät symbolilla V. Kirjassa Tilings and Patterns [17] sitä vastoin käytetään hakasulkeita isohedrisissä laatoissa.
Tämä merkintä edustaa pintojen peräkkäistä lukumäärää jokaisen pinnan ympärillä olevan kärjen lähellä [18] . Esimerkiksi V3.4.3.4 tai V(3.4) 2 edustaa rombista dodekaedria , joka on kasvojen transitiivinen – mikä tahansa kasvo on rombi , ja rombin vuorottelevat kärjet ympäröivät 3 tai 4 pintaa.