Cibrario normaali muoto

Cibrarion normaalimuoto on differentiaaliyhtälön normaalimuoto, jota ei ratkaista derivaatan suhteen yksinkertaisimman singulaaripisteen läheisyydessä. Nimen ehdotti V. I. Arnold italialaisen matemaatikon Maria Cibrarion kunniaksi , joka loi tämän normaalimuodon yhdelle yhtälöluokalle [1] [2] [3] .

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Yksittäiset pisteet

Olkoon differentiaaliyhtälöllä muoto

$F(x,y,p)=0,\$ missä $p={\frac {dy}{dx}}.$

Funktio oletetaan olevan todellinen, sileä luokka (tai analyyttinen ) kaikkien kolmen muuttujan kokonaismäärässä. Tällaisen yhtälön singulaaripisteet ovat kolmiulotteisen avaruuden pisteitä, joiden koordinaatit ovat yhtälön antamalla pinnalla ja joissa derivaatta katoaa, eli pinnan projektio muuttujien tasolle akselin suunnassa on epäsäännöllinen. Yleisessä tapauksessa singulaaripisteiden joukko muodostaa pinnalle käyrän, jota kutsutaan kriminantiksi . Kriminantin projektiota tasolle kutsutaan diskriminanttikäyräksi , sen pisteitä kutsutaan usein myös yhtälön singulaaripisteiksi , vaikka epätarkkuus on mahdollista: projisoitaessa pinnan eri pisteitä , muuttujien tason sama piste voi vastata [ 1] [4] [5] . $F$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ ${\näyttötyyli (x,y,p)}$ $F = 0$ $F_{p}$ $\pi$ $\{F=0\}$ $x,y$ $s$ $\{F=0\}$ $(x,y)$ $\pi$ $\{F=0\}$ $(x,y)$

Yhtälön nostaminen

Differentiaalirelaatio määrittää kosketustasojen kentän avaruudessa . Kosketustasojen leikkaus pintaa tangenttien tasojen kanssa määrittää viimeksi mainitulle suuntakentän (määritelty kaikissa pisteissä, joissa kosketus- ja tangenttitasot eivät ole toistensa kanssa samat). Tällä tavalla muodostetut kentän integraalikäyrät ovat 1-kaavioita alkuperäisen yhtälön ratkaisuista ja niiden projektiot tasolle ovat ratkaisujen kuvaajia [4] [5] $p=dy/dx$ ${\näyttötyyli (x,y,p)}$ $pdx-dy=0$ $\{F=0\}$ $(x,y)$

Kuvattu rakenne yhtälöistä, joita ei ratkaista derivaatan suhteen, juontaa juurensa A. Poincarén kolmanteen muistelmaan "On Curves Defined by Differential Equations" (1885); modernissa matemaattisessa kirjallisuudessa sitä kutsutaan usein yhtälön nostamiseksi pintaan [3] .

Normaalimuotolause

Yhtälön yksinkertaisimmat singulaaripisteet ovat ns. säännölliset singulaariset pisteet, joissa projektiolla on singulaarisuus, jota kutsutaan Whitney-taiteeksi ja kosketustaso ei kosketa pintaa. Tämä vastaa seuraavien ehtojen täyttymistä annettu kohta: $F(x,y,p)=0$ $\pi$ $F=0.$

F=0,\quad F_{p}=0,\quad F_{pp}\neq 0,\quad F_{x}+pF_{y}\neq 0.

Lause . Säännöllisen singulaaripisteen läheisyydessä yhtälö , jossa on sileä (tai analyyttinen) funktio , on tasaisesti (vastaavasti analyyttinen) yhtälöä vastaava. $F(x,y,p)=0$ $F$

p^{2}-x=0,

kutsutaan Cibrario-normaalimuodoksi [1] [4] [5] .

Vuonna 1932 Cibrario sai tämän normaalimuodon tutkimalla sekatyyppisen toisen asteen osittaisen differentiaaliyhtälön ominaisuuksia [2] .

Esimerkkejä

Cibrario-normaalimuoto on Tricomi- yhtälön ominaisyhtälö

$u_{xx}-xu_{yy}=0$ ,

kuuluu elliptiseen tyyppiin puolitasossa ja hyperboliseen tyyppiin puolitasossa . $x<0$ $x>0$

Yhtälö on helppo integroida: sen ratkaisujen kuvaajat muodostavat puolikuutioisten paraabelien perheen [4] [5] $p^{2}-x=0$

$y=\pm {\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+{\rm {const,}}$

puolitason täyttäminen , jonka kärkipisteet sijaitsevat erottelukäyrällä - akselilla . $x>0$ $y$

Kaksiulotteisen pinnan asymptoottiset viivat euklidisessa avaruudessa näyttävät samanlaisilta tyypillisen parabolisen pisteen läheisyydessä . Cibrario-normaalimuoto vastaa myös hidastetun kentän yksinkertaisimpia piirteitä nopea- hidasteisissa dynaamisissa järjestelmissä [6] .

Kirjallisuus

Arnold V. I. Tavallisten differentiaaliyhtälöiden teorian lisäluvut, - Mikä tahansa painos.
Arnold V. I. Geometriset menetelmät tavallisten differentiaaliyhtälöiden teoriassa, - Mikä tahansa painos.
Arnol'd V. I., Iljashenko Yu. S. Tavalliset differentiaaliyhtälöt, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderni prob. matto. Fundam. suunta, 1985, osa 1.
Arnold V. I., Afraimovich V. S., Ilyashenko Yu. S., Shilnikov L. P. Bifurkaatioiden teoria, - Itogi Nauki ja Tekhniki. Ser. Moderni prob. matto. Fundam. suunta, 1986, osa 5.
Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle johdannainen parzialy di secondo ordine di tipo misto, - Rend. Lombardo 65 (1932), s. 889–906.

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Arnold V. I., Ilyashenko Yu. S. Tavalliset differentiaaliyhtälöt, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderni prob. matto. Fundam. suunta, 1985, osa 1. - ch. 1, par. 7.
↑ 1 2 Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle johdannainen parzialy di secondo ordine di tipo misto, - Rend. Lombardo 65 (1932), s. 889-906.
↑ 1 2 Remizov A.O. Moniulotteinen Poincarén konstruktio ja implisiittisten differentiaaliyhtälöiden nostettujen kenttien singulariteetti, CMFD, 19 (2006), 131–170.
↑ 1 2 3 4 Arnold V.I. Tavallisten differentiaaliyhtälöiden teorian lisäluvut. - ch. 1, par. neljä.
↑ 1 2 3 4 Arnold V. I. Geometriset menetelmät tavallisten differentiaaliyhtälöiden teoriassa. - ch. 1, par. neljä.
↑ Arnold V. I., Afraimovich V. S., Ilyashenko Yu. S., Shilnikov L. P. Bifurkaatioteoria, - Itogi Nauki ja Tekhniki. Ser. Moderni prob. matto. Fundam. suunta, 1986, osa 5

Matematiikan alat

Portaali "Tiede"

Matematiikan perusteet joukko teoria matemaattinen logiikka logiikan algebra

Lukuteoria ( aritmetiikka )

Algebra
Algebra	Yhtälön ratkaisu
Lineaarialgebra	Vektorilaskenta matriiseja Tensorilaskenta Multilineaarinen algebra
Yleisalgebra	Kommutatiivinen algebra Edustusteoria Differentiaalialgebra Homologinen algebra Yleisalgebra Luokkateoria

Analyysi
Klassinen analyysi	Differentiaalilaskenta Integraalilaskenta
Funktion teoria	Harmoninen analyysi Quaternion Analysis Monimutkainen analyysi mittateoria Reaalimuuttujan funktioiden teoria toiminnallinen analyysi Variaatiolaskelma
Differentiaali- ja integraaliyhtälöt	Dynaamiset järjestelmät ja ergodinen teoria Differentiaaliyhtälöt tavallinen osittaisissa johdannaisissa Integraaliyhtälöt
Vektorianalyysi Globaali analyysi Katastrofi teoria Mukautettu analyysi Sujuva äärettömän pieni analyysi

Geometria ja topologia
Geometria	Algebrallinen geometria Analyyttinen geometria Euklidinen geometria Ei-euklidinen geometria Planimetria Stereometria
Topologia	Yleinen topologia Algebrallinen topologia Differentiaaligeometria ja topologia

Diskreetti matematiikka
Kombinatoriikka graafiteoria

Sovellettu matematiikka
Matemaattinen fysiikka Matemaattinen kemia matemaattinen biologia Matemaattiset tilastot Matemaattinen mallinnus Algoritmien teoria Numeeriset menetelmät matemaattinen taloustiede talousmatematiikka Todennäköisyysteoria Toimintatutkimus Peliteoria

Portaali "Matematiikka"
Luokka "Matematiikka"