Todennäköisyystiheys

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. elokuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 7 muokkausta .

Todennäköisyystiheys on yksi tapa määrittää satunnaismuuttujan jakauma . Monissa käytännön sovelluksissa käsitteet "todennäköisyystiheys" ja " satunnaismuuttujan tiheys (jakauma) " tai " todennäköisyysjakaumafunktio " ovat itse asiassa synonyymejä . ja ne tarkoittavat todellista funktiota , joka luonnehtii satunnaismuuttujan (muuttujien) tiettyjen arvojen toteutumisen vertailevaa todennäköisyyttä.

Käsitteen sovellettu kuvaus

Yksiulotteisen jatkuvan satunnaismuuttujan jakautumistiheys on numeerinen funktio , jonka arvojen suhde pisteissä ja asettaa todennäköisyyksien suhteen suurelle , joka putoaa kapeisiin, yhtä leveisiin väleihin ja näiden pisteiden lähelle. $\xi$ $f(x)$ $f(x_{1})/f(x_{2})$ $x_{1}$ $x_{2}$ $\xi$ $[x_{1},x_{1}+\Delta x]$ $[x_{2},x_{2}+\Delta x]$

Jakauman tiheys ei ole negatiivinen millekään ja normalisoituu, eli $x$

\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,{\mbox{d}}x=1

Kun pyrkii , funktio pyrkii nollaan. Jakauman tiheyden mitta on aina käänteinen satunnaismuuttujan dimensiolle - jos se lasketaan metreinä, niin mitta on m -1 . $x$ $\,\pm \infty$ $f(x)$ $\xi$ $f$

Jos lauseke for tunnetaan tietyssä tilanteessa , voidaan sen avulla laskea todennäköisyys, että arvo osuu väliin $f(x)$ $\xi$ $[a,b]$

P(\xi \in [a,b])=\int _{a}^{b}f(x)\,{\mbox{d}}x

Tietäen todennäköisyystiheyden, voidaan myös määrittää satunnaismuuttujan todennäköisin arvo ( moodi ) maksimiarvoksi . Todennäköisyystiheyttä käyttämällä saadaan myös satunnaismuuttujan keskiarvo : $f(x)$

E\xi =\int _{-\infty }^{+\infty }xf(x)\,{\mbox{d}}x

ja satunnaismuuttujan mitattavissa olevan funktion keskiarvo: $g(\xi )$

\langle g(\xi )\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)\,{\mbox{d}}x

Siirtyäksemme toisen satunnaismuuttujan jakautumistiheyteen meidän on otettava ${f}_{\chi }(y)$ ${\näyttötyyli \chi =z(\xi )}$

{f}_{\chi }(y)=f(z^{-1}(y))\cdot \left|{\frac {{\mbox{d}}z^{-1}( y)}{{\mbox{d}}y}}\right|

missä on käänteisfunktio suhteessa (oletetaan, että z on yksi-yhteen-kuvaus ). $z^{-1}(y)$ ${\näyttötyyli y=z(x)}$

Jakauman tiheyden arvo ei ole todennäköisyys ottaa arvo satunnaismuuttujaksi . Joten todennäköisyys ottaa arvo jatkuvalla satunnaismuuttujalla on nolla. Jatkuvalla satunnaismuuttujan jakaumalla voidaan esittää kysymys todennäköisyydestä, että se putoaa tietylle alueelle, ei todennäköisyydestä realisoida sen tietty arvo. $f(x_{1})$ $x_{1}$ $\xi$ $x_{1}$ $\xi$

Integraali

\int _{-\infty }^{x}f(t)\,{\mbox{d}}t=F(x)

kutsutaan jakaumafunktioksi (vastaavasti todennäköisyysjakauman tiheys on jakaumafunktion derivaatta ). Toiminto ei ole laskeva ja muuttuu 0: sta 1:ksi . $F$ $x\to -\infty$ $x\to +\infty$

Yksinkertaisin jakauma on tasainen jakauma välillä . Hänelle todennäköisyystiheys on: $[a,b]$

f(x)=\left\{{\begin{matrix}{1 \over ba},&x\in [a,b]\\0,&x\not \in [a,b]\end{ matriisi}}\oikea..

Tunnettu jakauma on " normaali " jakauma, joka on myös Gaussin jakauma, jonka tiheys kirjoitetaan

f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left[-{\frac {(x-\mu )^{2}}{ 2\sigma ^{2}}}\oikea]

missä ja ovat parametrit: matemaattinen odotusarvo ja keskihajonta . Muita esimerkkejä jakautumistiheydistä ovat yksipuolinen laplalainen ( ): $\mu$ $\sigma$ $\lambda>0$

f(x)=A\exp \left[-\lambda \,x\right]\,\,(x\geq 0)

ja ,

f(x)=0\,\,(x<0)

ja Maxwellian ( ): $\alpha >0$

f(x)=Ax^{2}\exp \left[-\alpha x^{2}\right]\,\,(x\geq 0)

ja .

f(x)=0\,\,(x<0)

Kahdessa viimeisessä esimerkissä tekijä valitaan parametrin mukaan tai siten, että varmistetaan todennäköisyystiheyden integraalin normalisointi. Laplace-jakauman tapauksessa käy ilmi, että . $A$ $\lambda$ $\alpha$ $A=\lambda$

Sekä näitä että muita jakaumia käytetään laajalti fysiikassa. Esimerkiksi Maxwell-jakauman tapauksessa satunnaismuuttujan rooli on yleensä molekyylin nopeuden itseisarvo ideaalisessa kaasussa . Samanaikaisesti funktion argumenttina käytetään usein samaa symbolia kuin fyysisessä tehtävässä tarkasteltavalle satunnaismuuttujalle (ikään kuin se olisi kaikkialla edellä ). Joten Maxwellin jakautumistiheyden lausekkeessa he eivät kirjoita muodollista muuttujaa , vaan nopeussymbolia . Yksinkertaisimmissa tilanteissa sellaiset merkintävapaudet eivät johda väärinkäsityksiin. $f$ $\xi$ $x$ $x$ $v$

Pienentää argumentin mukaan tai osa todennäköisyystiheyskaaviosta alueilla, joissa , kutsutaan häntäksi . Mainituista jakaumista normaalilla ja laplaisella on kaksi häntää (vasemmalla ja oikealla) ja Maxwellin kirjoitetussa muodossa yksi (oikealla). $+\infty$ $-\infty$ $f(x)$ ${\displaystyle f\ll f_{max))$

"Todennäköisyystiheyden" käsitteen olemus mainittiin edellä. Tällainen esitys ei kuitenkaan ole tiukka - tiheys on usein useiden suureiden funktio, implisiittisesti oletettu päättely ei aina takaa funktioiden jatkuvuutta ja erilaisuutta ja niin edelleen. $f$

Todennäköisyystiheyden määritelmä mittateoriassa

Todennäköisyystiheyttä voidaan pitää yhtenä tapana määrittää todennäköisyysmitta euklidisessa avaruudessa . Antaa olla todennäköisyysmitta , eli todennäköisyysavaruus on määritelty , jossa tarkoittaa Borelin σ-algebraa päällä . Antaa tarkoittaa Lebesgue toimenpide . Todennäköisyyttä kutsutaan ehdottoman jatkuvaksi (suhteessa Lebesguen suureen) ( ), jos minkä tahansa Borelin nollajoukon Lebesgue-suureen todennäköisyys on nolla: $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}\oikea)$ $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $m$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P}$ $\mathbb{P} \ll m$

\forall B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\; ( m(B) = 0 ) \nuoli oikealle ( \mathbb{P}(B) = 0 ) .

Jos todennäköisyys on ehdottoman jatkuva, niin Radon-Nikodym-lauseen mukaan on olemassa ei-negatiivinen Borel-funktio , joka $\mathbb {P}$ $f\colon\mathbb{R}^n \to [0,\infty)$

\mathbb{P}(B) = \int\limits_{B} f(x)\, dx

jossa käytetään tavanomaista lyhennettä ja integraali ymmärretään Lebesguen merkityksessä . $m(dx) \equiv dx$

Yleisemmin anna olla mielivaltainen mitattavissa oleva tila , ja olkoon ja kaksi mittaa tässä avaruudessa. Jos on ei-negatiivinen , joka mahdollistaa suuren ilmaisemisen suuren muodossa muodossa $(X, \mathcal F)$ $\mu$ $\nu$ $f$ $\nu$ $\mu$

\nu(A) = \int_A fd\mu,

silloin tällaista funktiota kutsutaan mittatiheydeksi suuren suhteen $\nu$ $\mu$ tai suuren Radon-Nikodym-johdannaiseksi mittaan nähden $\nu$ $\mu$ , ja sitä merkitään

f=\frac{d\nu}{d\mu}

Satunnaismuuttujan tiheys

Määritellään mielivaltainen todennäköisyysavaruus ja satunnaismuuttuja (tai satunnaisvektori). indusoi todennäköisyysmitan , jota kutsutaan satunnaismuuttujan jakaumaksi . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ $X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $X$ $\mathbb {P} ^{X}$ $\left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\oikea)$ $X$

Jos jakauma on ehdottoman jatkuva Lebesguen mittaan nähden, niin sen tiheyttä kutsutaan satunnaismuuttujan tiheydeksi . Itse satunnaismuuttujan sanotaan olevan ehdottoman jatkuva. $\mathbb {P} ^{X}$ $f_X = \frac{d\mathbb{P}^X}{dx}$ $X$ $X$

Näin ollen ehdottoman jatkuvalle satunnaismuuttujalle meillä on:

\mathbb{P}(X \in B) = \int\limits_{B} f_X(x)\, dx

. Muistiinpanot

Jokainen satunnaismuuttuja ei ole ehdottoman jatkuva. Esimerkiksi mikä tahansa diskreetti jakauma ei ole ehdottoman jatkuva Lebesguen mittaan nähden, ja siksi diskreeteillä satunnaismuuttujilla ei ole tiheyttä.

Absoluuttisen jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumafunktio on jatkuva ja se voidaan ilmaista tiheydellä seuraavasti: $X$

F_X(x_1,\ldots, x_n) = \mathbb{P}\left(X \in \prod\limits_{i=1}^n (-\infty,x_i]\right) = \int\limits_{-\ infty}^{x_n} \!\!\ldots \!\!\int\limits_{-\infty}^{x_1} f_X(x'_1,\ldots, x'_n)\, dx'_1\ldots dx '_n

Yksiulotteisessa tapauksessa:

F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x f_X(x')\, dx'

Jos , niin , ja $f_X \in C(\mathbb{R}^n)$ $F_X \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$

\frac{\partial^n}{\partial x_1 \ldots \partial x_n} F_X(x_1,\ldots, x_n) = f_X(x_1,\ldots, x_n)

Yksiulotteisessa tapauksessa:

\frac{d}{dx} F_X(x) = f_X(x)

Absoluuttisen jatkuvan satunnaismuuttujan funktion matemaattinen odotus voidaan kirjoittaa seuraavasti:

\mathbb{E}[g(X)] = \int\limits_{\mathbb{R}^n} g(x) \, \mathbb{P}^X(dx) = \int\limits_{\mathbb{ R}^n} g(x)\, f_X(x)\, dx

missä on Borel-funktio, joten se on määritelty ja äärellinen. $g\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ $\mathbb{E}[g(X)]$

Satunnaismuuttujan tiheysmuunnos

Antaa olla ehdottoman jatkuva satunnaismuuttuja, ja olla injektiivinen jatkuvasti differentioituva funktio siten, että , Missä on funktion Jacobian pisteessä . Silloin satunnaismuuttuja on myös ehdottoman jatkuva ja sen tiheys on muotoa: $X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $g\colon\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ $J_g(x) \not=0,\; \forall x\in \mathbb{R}^n$ $J_g(x)$ $g$ $x$ $Y = g(X)$

f_Y(y) = f_X\left(g^{-1}(y)\right) \vert J_{g^{-1}}(y) \vert

Yksiulotteisessa tapauksessa:

f_Y(y) = f_X\left(g^{-1}(y)\right) \left\vert \frac{dg^{-1}}{dy}(y)\right\vert

Todennäköisyystiheyden ominaisuudet

Todennäköisyystiheys määritellään lähes kaikkialla . Jos on todennäköisyystiheys ja lähes kaikkialla Lebesguen mittaan nähden, niin funktio on myös todennäköisyystiheys ./ $f$ $\mathbb {P}$ $f(x)=g(x)$ $g$ $\mathbb {P}$

Tiheyden integraali koko avaruudessa on yhtä suuri kuin yksikkö:

\mathbb{P}\left(\mathbb{R}^n\oikea) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x)\, dx = 1

Päinvastoin, jos on ei-negatiivinen lähes kaikkialla funktio sellainen, että , Sitten on olemassa ehdottoman jatkuva todennäköisyysmitta sellaisella , joka on sen tiheys. $f(x)$ $\int\limits_{\mathbb{R}^n}f(x)\, dx = 1$ $\mathbb {P}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f(x)$

Mittamuutos Lebesguen integraalissa:

\int\limits_{\mathbb{R}^n} \varphi(x)\, \mathbb{P}(dx) = \int\limits_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)\, f (x)\, dx

missä mikä tahansa Borel-funktio on integroitavissa suhteessa todennäköisyysmittaukseen . $\varphi ::\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${}\mathbb {P}$

Esimerkkejä täysin jatkuvista jakaumista

Katso myös

Kirjallisuus

Todennäköisyystiheys // Suuri venäläinen tietosanakirja : [35 nidettä] / ch. toim. Yu. S. Osipov . - M . : Suuri venäläinen tietosanakirja, 2004-2017.