Jatkuva katalaani

Katalaanivakio on luku, joka löytyy matematiikan eri sovelluksista - erityisesti kombinatoriikasta . Useimmiten merkitty kirjaimella G , harvemmin - K tai C. Se voidaan määritellä äärettömän merkin vuorottelevan sarjan summana :

G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1} {1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2 }}}+\pisteet

Sen numeerinen arvo on noin [1] :

G = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … (sekvenssi A006752 OEIS : ssä )

Ei tiedetä, onko G rationaalinen vai irrationaalinen luku.

Catalana-vakio on nimetty belgialaisen matemaatikon Eugène Charles Catalanin ( ranska: Eugène Charles Catalan ) mukaan.

Suhde muihin toimintoihin

Katalaanivakio on Dirichlet-beetafunktion erikoistapaus :

G=\beta (2).

Se vastaa myös Clausen-funktion tiettyä arvoa , joka liittyy dilogaritmin imaginaariseen osaan

G=\operaattorinimi {Cl} _{2}(\pi /2)=\operaattorinimi {Im} \left(\operaattorinimi {Li} _{2}(e^{i\pi /2})\ right)=\operaattorinimi {Im} {\iso (}\operaattorinimi {Li} _{2}(i){\iso )}.

Lisäksi se liittyy murto-argumenttien trigammafunktion ( polygamma-funktion erikoistapaus) arvoihin

\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G,

\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G,

niin

G={\tfrac {1}{16}}\left[\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\psi _{1}\left( {\tfrac {3}{4}}\right)\right].

Simon Pluff löysi äärettömän määrän identiteettiä trigammafunktionjakatalaanivakion G välillä . $\psi_{1}$ $\pi ^{2}$

Katalaanivakio voidaan ilmaista myös Barnes G -funktion ja gammafunktion osaarvoina :

G=4\pi \ln \left({\frac {G({\tfrac {3}{8)))G({\tfrac {7}{8)))}{G({\tfrac {1}{8)))G({\tfrac {5}{8))))}\oikea)+4\pi \ln \left({\frac {\Gamma ({\tfrac {3}{8 ))}{\Gamma ({\tfrac {1}{8))))}\oikea)+{\frac {\pi }{2))\ln \left({\frac {1+{\sqrt { 2}}}{2(2-{\sqrt {2}})))}\oikea).

Integraaliesitykset

Alla on joitain integraaliesituksia katalaanivakiosta G alkeisfunktioiden integraaleina :

G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2))}\,dt,

G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\ ,dy,

G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\,dt,

G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}\,dx,

G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\cosh x}}\,dx.

Se voidaan esittää myös ensimmäisen tyypin täydellisen elliptisen integraalin K( x ) integraalin kautta:

G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (x)\,dx.

Nopea konvergenttisarja

Seuraavat kaavat sisältävät nopeasti konvergoituvia sarjoja ja ovat hyödyllisiä numeerisissa laskelmissa:

G={\frac {\pi }{8}}\ln({\sqrt {3}}+2)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{ \infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}

$G=$	$3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n))}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{ 2))}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2))}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2} }}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}} +{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\oikea)-{}$
	${}-2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}( 8n+2)^{2))}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2))}-{\frac {1}{2^{9}(8n+ 5 )^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7) ^ {2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\oikea).$

Teoreettisen perustelun tämän tyyppisten sarjojen käytölle antoi Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar ensimmäiselle kaavalle [2] ja David J. Broadhurst toiselle kaavalle [3] . Algoritmit Katalonian vakion nopeaan laskemiseen rakensi E. A. Karatsuba [4] [5] .

Jatkuvia murtolukuja

Katalonian vakion (sekvenssi A014538 OEIS : ssä) jatkuva murto -osa on seuraava:

G=[0;1,10,1,8,1,88,4,1,1,7,22,1,2,3,26,1,11,1,10,1,9, 3,1,1,1,1,1,1,\pisteet ]=

=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+\ldots )))))) }}\;

Seuraavat katalaanivakion yleistetyt jatkuvat murtoluvut tunnetaan:

2G=2-{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{3+{\cfrac {4^{2 }}{1+{\cfrac {4^{2}}{3+{\cfrac {6^{2}}{1+{\cfrac {6^{2}}{3+{\cfrac {\pisteet }{\pisteet +{\cfrac {4n^{2}}{1+{\cfrac {4n^{2}}{3+\pisteet )))))))))))))))))) ))))} }}}

2G=1+{\cfrac {1}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1\cdot 2}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2\cdot 3}{ {\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {3^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^ {2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {n\cpiste (n+1)}{{\cfrac {1}{2}}+\pisteet }}}}}}} }}}}}}}}}}}

[6]

Desimaalilukujen laskeminen

Katalonian vakion G tunnettujen merkitsevien numeroiden määrä on kasvanut merkittävästi viime vuosikymmeninä sekä lisääntyneen tietokoneen tehon että parantuneiden algoritmien ansiosta [7] .

Katalonian vakion G tunnettujen merkitsevien numeroiden lukumäärä

päivämäärä	Merkitsevien numeroiden lukumäärä	Laskentatekijät
1865	neljätoista	Eugene Charles Catalan
1877	kaksikymmentä	James Whitbread Lee Glaisher
1913	32	James Whitbread Lee Glaisher
1990	20 000	Greg J Fee
1996	50 000	Greg J Fee
1996, 14. elokuuta	100 000	Greg J. Fee ja Simon Plouff
1996, 29. syyskuuta	300 000	Thomas Papanikolaou
1996	1 500 000	Thomas Papanikolaou
1997	3 379 957	Patrick Demichel
1998, tammikuun 4	12 500 000	Xavier Gourdon
2001	100 000 500	Xavier Gourdon ja Pascal Sebah
2002	201 000 000	Xavier Gourdon ja Pascal Sebah
2006 lokakuuta	5 000 000 000	Shigeru Kondo ja Steve Pagliarulo [8]
2008 elokuuta	10 000 000 000	Shigeru Kondo ja Steve Pagliarulo [9]
31. tammikuuta 2009	15 510 000 000	Alexander J. Yee ja Raymond Chan [10]
16. huhtikuuta 2009	31 026 000 000	Alexander J. Yee ja Raymond Chan [10]

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Katalaani 1 500 000 paikkaan (HTML). gutenberg.org. Haettu 5. helmikuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 24. syyskuuta 2009. (määrätön)
↑ B. C. Berndt, Ramanujan's Notebook, osa I, Springer Verlag (1985).
↑ DJ Broadhurst, " Polylogaritmiset tikkaat, hypergeometriset sarjat ja ζ(3) ja ζ(5) kymmenen miljoonasnumerot Arkistoitu 13. heinäkuuta 2019 Wayback Machinessa ", (1998) arXiv math.CA/9803067.
↑ EA Karatsuba. Transsendenttisten funktioiden nopea laskenta // Tiedonsiirron ongelmat. - 1991. - T. 27 , nro 4 . - S. 87-110 .
↑ E. A. Karatsuba, Joidenkin matemaattisen fysiikan erikoisintegraalien nopea laskenta. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, W. Krämer, J. W. von Gudenberg, toim.; s. 29-41 (2001).
↑ Steven R. Finch Matemaattiset vakiot 1.6.6
↑ X. Gourdon, P. Sebah, Constants and Records of Computation Arkistoitu 15. tammikuuta 2011 Wayback Machinessa
↑ Shigeru Kondon verkkosivut Arkistoitu 11. helmikuuta 2008.
↑ Laskennan vakiot ja tietueet . Haettu 6. helmikuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 15. tammikuuta 2011. (määrätön)
↑ 12 suurta laskutoimitusta . Haettu 6. helmikuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 9. joulukuuta 2009. (määrätön)

Linkit

Victor Adamchik, 33 esitystä katalaanien vakiosta
Viktor Adamchik. Tietty sarja, joka liittyy Katalonian vakioon // Zeitschr . f. Analysis und ihre Anwendungen (ZAA): aikakauslehti. - 2002. - Voi. 21 , ei. 3 . - s. 1-10 .
Simon Plouffe, Muutama identiteetti (III) katalaanikielellä Arkistoitu 20. huhtikuuta 2009 Wayback Machinessa (1993)
Simon Plouffe, Muutama identiteetti katalaanivakion ja Pi²:n kanssa Arkistoitu 21. huhtikuuta 2009 Wayback Machinessa (1999)
Weisstein, Eric W. Catalanin Constant (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Katalaani vakio: Yleistetty tehosarja Wolfram Functionissa
Greg Fee, Catalan's Constant (Ramanujan's Formula) (1996)
David M. Bradley. Sarjan kiihtyvyyskaavojen luokka Katalonian vakiolle // The Ramanujan Journal : Journal. - 1999. - Voi. 3 , ei. 2 . - s. 159-173 . - doi : 10.1023/A:1006945407723 .
David M. Bradley (2007), Katalonian vakion sarjakiihtyvyyskaavojen luokka, arΧiv : 0706.0356 .

Numerot oikeilla nimillä

Matemaattiset vakiot

Algebrallinen

Transsendenttinen ,
luultavasti transsendenttinen

Tuhannen astetta

Vanhat venäläiset numerot

Muut kymmenen tehot

Kahdentoista voimat

Muu kokonaisuus

Muut numerot

kuvitteellinen yksikkö