D'Alembertin merkki

D'Alembertin merkki (tai D'Alembertin merkki ) on merkki numeeristen sarjojen lähentymisestä , jonka Jean d'Alembert perusti vuonna 1768 .

Jos kyseessä on numerosarja

\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}

on olemassa luku , Sellainen, että, alkaen jostain numerosta, epätasa-arvo $q$ $0<q<1$

\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|\leqslant q,

sitten tämä sarja on ehdottoman konvergentti ; jos jostain numerosta alkaen

\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geqslant 1

sitten sarja eroaa.

Jos, alkaen jostain luvusta, , ja ei ole olemassa sellaista , että kaikille , alkaen jostain luvusta, niin tässä tapauksessa sarja voi sekä lähentyä että hajota. $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$ $q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $n$

d'Alembertin konvergenssikriteeri raja-muodossa

Jos on raja

\rho =\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|,

sitten sarja tarkasteltavana konvergoi ehdottomasti jos , ja jos , se eroaa. $\rho<1$ $\rho >1$

Huomautus 1. Jos , niin d'Alembertin testi ei vastaa kysymykseen sarjan konvergenssista. $\rho=1$

Huomautus 2. Jos , ja sekvenssi pyrkii ylhäältä äärirajoihinsa, voimme silti sanoa sarjasta, että se hajoaa. $\rho=1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ $\rho$

Todiste

Olkoon, alkaen jostain numerosta , Epäyhtälö on totta , Jossa . Sitten voit kirjoittaa , , …, , ja niin edelleen. Kertomalla ensimmäiset n epäyhtälöt saadaan , mistä . Tämä tarkoittaa, että sarja on pienempi kuin pienenevän geometrisen progression ääretön summa, ja siksi se vertauksena suppenee. Myös koko moduulisarja konvergoi, koska ensimmäisillä termeillä (sekvenssit ) ei ole merkitystä (niitä on äärellinen määrä). Koska moduulisarja konvergoi, sarja itse konvergoi absoluuttisen konvergenssin perusteella. Hän on täysin samaa mieltä. $N$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\right|\leq q$ $\left|{\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}\right|\leq q$ $\left|{\frac {a_{N+n}}{a_{N+n-1}}}\right|\leq q$ $\left|{\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\right|\times \left|{\frac {a_{N+2}}{a_{N+1} }}\right|\times ...\times \left|{\frac {a_{N+n}}{a_{N+n-1}}}\right|=\left|{\frac {a_{ N+n}}{a_{N}}}\right|\leq {q^{n}}$ $\left|{a_{N+n}}\right|\leq |{a_{N}}|{q^{n}}$ $\left|{a_{N+1}}\right|+\left|{a_{N+2}}\right|+\left|{a_{N+3}}\right|+.. .$ $N-1$ ${\näyttötyyli \{a\))$
Olkoon (alkaen jostain N:stä): silloin voimme kirjoittaa . Tämä tarkoittaa, että sekvenssin jäsenten moduulilla ei ole taipumusta nollata äärettömässä, eikä sekvenssi itse pyri nollaan. Tällöin minkään sarjan konvergenssin välttämätön ehto ei täyty, ja sarja siksi hajoaa. $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1$ $\left|{a_{n+1}}\right|\geq \left|{a_{n}}\right|$ ${\näyttötyyli \{a\))$ ${\näyttötyyli \{a\))$
Anna , alkaen joistakin . Lisäksi ei ole olemassa , joten kaikille , alkaen jostain numerosta . Tässä tapauksessa sarja voi joko lähentyä tai hajota. Esimerkiksi molemmat sarjat ja täyttävät tämän ehdon, ja ensimmäinen sarja (harmoninen) hajoaa ja toinen konvergoi. Itse asiassa sarja on totta kaikille luonnollisille . Samalla, koska , tämä tarkoittaa, että mille tahansa : lle on mahdollista valita luku siten, että ja samalla jostain luvusta alkaen kaikki sekvenssin jäsenet , jossa , ovat välissä , eli , . Ja tämä tarkoittaa , ettei sellaista ole olemassa kaikille . Tämä päättely voidaan toistaa toiselle riville. $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$ $n=N$ $q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $n$ $N$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|={\frac {n}{n+1}}=1-{\frac {1}{ n+1}}<1$ $n$ $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1$ $q$ $0<q<1$ $\varepsilon$ $1-\varepsilon >q$ $\{b\}$ ${b_{n}}=\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ $(1-\varepsilon ;1)$ ${b_{n}}>q$ $q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $n>N$

Esimerkkejä

Sarja konvergoi ehdottomasti kaikille monimutkaisille , koska $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!)}}$ $z$ $\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {{z^{{n+1}}}/{(n+1)!}}{{z^{n}}/{ n!}}}\right|=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {|z|}{n+1}}=0.$

Sarja eroaa kaikille , koska $\sum _{{n=0}}^{\infty }n!\;z^{n}$ $z\neq 0$ $\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {(n+1)!\;z^{{n+1}}}{n!\;z^{n}}}\ right|=\lim _{{n\to \infty }}|(n+1)z|=\infty .$

Jos , sarja voi sekä konvergoida että hajota: molemmat sarjat ja täyttävät tämän ehdon, ja ensimmäinen sarja ( harmoninen ) hajoaa ja toinen konvergoi. Toinen esimerkki, joka tarvitsee Raabe-ominaisuuden : $\rho=1$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ $\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\ln n}{n}}\oikea)^{2n}$

Linkit

d'Alembert, J. (1768), Opuscules , voi. V, s. 171–183 , < http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62424s.image.f192 > .
Apostol, Tom M. (1974), Matemaattinen analyysi (2. painos), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-00288-1
Knopp, Konrad (1956), Infinite Sequences and Series , New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-60153-3 : § 3.3, 5.4.
Rudin, Walter (1976), Principles of Mathematical Analysis (3. painos), New York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 978-0-07-054235-8
Hazewinkel, Michiel, toim. (2001), Bertrand-kriteeri , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Hazewinkel, Michiel, toim. (2001), Gauss-kriteeri , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Hazewinkel, Michiel, toim. (2001), Kummerin kriteeri , matematiikan tietosanakirja , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Watson, GN & Whittaker, ET (1963), A Course in Modern Analysis (4. painos), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani Britannica (verkossa)

Sarjojen lähentymisen merkkejä
Kaikille riveille	Tarpeellinen kunto Cauchyn kriteeri	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Merkkipositiivisille sarjoille	Pääkriteeri Vertailumerkki Kummerin merkki Gaussin merkki Cauchyn radikaali merkki Integroitu ominaisuus D'Alembertin merkki voiman merkki logaritminen merkki Raaben merkki Bertrandin merkki Jametin merkki Schlömilchin merkki Ermakovin merkki Lobatševskin merkki teleskooppinen merkki Sapogovin merkki
Vuorotteleville sarjoille	Leibnizin merkki
Lomakkeen riveille $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelin merkki Dedekindin merkki Dubois-Reymond merkki Dirichlet-merkki
Toiminnallisiin sarjoihin	Weierstrass-kyltti
Fourier -sarjaan	Dini merkki Vallée Poussinin merkki Jordanin merkki Jung merkki Salem merkki Lebesguen merkki Lebesgue-Gergen merkki Martsinkevitšin merkki