Kummerin merkki

Kummer-kriteeri on Ernst Kummerin asettama yleinen kriteeri positiivisten termien numeeristen sarjojen konvergenssille .

Sanamuoto

Olkoon sarja ja mielivaltainen numeerinen sekvenssi annettu siten, että sarja hajoaa. Sitten sarja konvergoi, jos seuraava epäyhtälö pätee kaikkiin: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}\,(a_{n}\geqslant 0)$ $\{c_{n}\}\,(c_{n}\geqslant 0)$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n>N$

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-c_{{n+1}}\geqslant \delta

missä . $\delta>0$

Jos , niin sarja eroaa. $K_{n}\leqslant 0$ $n>N$

Todiste [1]

Annettu rivi . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

1. Todiste lähentymisestä. Pätee epätasa-arvo kaikille: $n$

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-c_{{n+1}}\geqslant \delta >0

Kun tämän epäyhtälön molemmat osat kerrotaan luvulla , saadaan: $a_{{n+1}}$

$c_{n}\cdot a_{n}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}\geqslant \delta \cdot a_{{n+1}}$ ,

(*)

ja siitä lähtien: $\delta>0$

c_{n}\cdot a_{n}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}>0

c_{n}\cdot a_{n}>c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}

Tämä tarkoittaa, että sekvenssi pienenee monotonisesti ja pyrkii siksi äärelliseen rajaan (koska sitä rajoittaa alhaalta nolla). Vastaavasti sekvenssi ) konvergoi, mikä on sarjan ensimmäisten termien summa $c_{n}\cdot a_{n}$ $(c_{1}\cdot a_{1}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}$ $n$

\sum _{{n=1}}^{\infty }(c_{n}\cdot a_{n}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}})

joka siis myös konvergoi. Mutta sitten epäyhtälöstä (*) ensimmäisen vertailulauseen mukaan seuraa, että sarja konvergoi . Sitten, koska , tämän sarjan on myös lähennettävä . $\sum _{{n=1}}^{\infty }\delta a_{{n+1}}$ $a_{n}\leqslant \delta a_{{n+1}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Huom . Konvergenssin todistamisessa ei käytetä ehtoa, että sarja hajoaa. $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$

2. Todiste erosta. Pitäkää nyt seuraavat epätasa-arvot joidenkin kohdalla voimassa: $n>N$

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-c_{{n+1}}\leqslant 0

tai

c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}\leqslant c_{{n+1}}

Jakamalla tämän epätasa-arvon molemmat puolet saadaan: $c_{{n+1}}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}$

{\frac {a_{{n+1}}}{a_{{n}}}}\geqslant {\frac {{\frac {1}{c_{{n+1}}}}{{\frac {1}{c_{n}}}}}}

Koska lauseen ehtojen mukaan sarjan oletetaan olevan divergentti, niin vertailulauseen nojalla myös tämän sarjan täytyy hajota . ■ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Formulaatio rajamuodossa

Jos on raja:

K=\lim _{{n\to \infty }}K_{n}

sitten , sarja lähentyy, ja , se eroaa. $K>0$ $K<0$

Tärkeitä erikoistapauksia

Jotkut muut sarjan konvergenssitestit ovat Kummerin testin erikoistapauksia tietyntyyppisillä sekvenssillä : $c_n$

Kun - d'Alembertin merkki ; $c_{n}=1$
Kun - Raaben merkki ; $c_{n}=n$
Milloin on merkki Bertrandista . $c_{n}=n\,{\mathrm {ln))\,n$

Muistiinpanot

↑ Fikhtengolts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi . - M .: Nauka, 1970.

Kirjallisuus

Kummer-merkki - artikkeli Encyclopedia of Mathematicsista

Linkit

Weisstein, Eric W. Kummerin testi (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Sarjojen lähentymisen merkkejä
Kaikille riveille	Tarpeellinen kunto Cauchyn kriteeri	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Merkkipositiivisille sarjoille	Pääkriteeri Vertailumerkki Kummerin merkki Gaussin merkki Cauchyn radikaali merkki Integroitu ominaisuus D'Alembertin merkki voiman merkki logaritminen merkki Raaben merkki Bertrandin merkki Jametin merkki Schlömilchin merkki Ermakovin merkki Lobatševskin merkki teleskooppinen merkki Sapogovin merkki
Vuorotteleville sarjoille	Leibnizin merkki
Lomakkeen riveille $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelin merkki Dedekindin merkki Dubois-Reymond merkki Dirichlet-merkki
Toiminnallisiin sarjoihin	Weierstrass-kyltti
Fourier -sarjaan	Dini merkki Vallée Poussinin merkki Jordanin merkki Jung merkki Salem merkki Lebesguen merkki Lebesgue-Gergen merkki Martsinkevitšin merkki