Sarja käänteisiä neliöitä

Käänteisten neliöiden sarja on ääretön sarja :

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\pisteet

Tämän sarjan summan löytämisen ongelma jäi ratkaisematta pitkään. Koska eurooppalaisten matemaatikoiden huomion tähän ongelmaan kiinnitti Baselin matematiikan professori Jacob Bernoulli (1689), sitä kutsutaan historiassa usein " Baselin ongelmaksi " (tai " Baselin ongelmaksi "). Ensimmäinen, joka löysi sarjan summan vuonna 1735, oli 28-vuotias Leonhard Euler , se osoittautui yhtä suureksi kuin

{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}\noin 1{,}6449340668482264364724151666460251892189499012067984377355582293\sdot

(Katso OEIS - sekvenssi A013661 ).

Tämä summa esiintyy monissa muissa lukuteorian ongelmissa .

Tämän ongelman (ja siihen liittyvien) ratkaisu ei vain tuonut nuorelle Eulerille maailmankuulua [1] , vaan sillä oli myös merkittävä vaikutus analyysin , lukuteorian ja myöhemmin monimutkaisen analyysin jatkokehitykseen . Jälleen kerran ( Leibniz-sarjan löytämisen jälkeen ) luku ylitti geometrian ja vahvisti sen universaalisuuden. Lopulta käänteinen neliösarja osoittautui ensimmäiseksi askeleeksi kohti Riemannin zeta-funktion käyttöönottoa [2] . Euler itse aloitti tämän polun harkittuaan käänteisen neliön sarjan yleistystä - sarjaa mielivaltaiselle parilliselle potenssille s , ja johtanut myös Euler-perusidentiteetin : $\pi$

{\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\ frac {1}{4^{s}}}+\dots ={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s} }}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1 -11^{-s}}}\cdot \dots

Oikealla puolella oleva tulo on otettu kaikkien alkulukujen päälle .

Historia

Historioitsijat löysivät ensimmäisen kerran päättelyn sarjasta käänteisiä neliöitä italialaisen matemaatikon Pietro Mengolin väitöskirjassa ( Novae quadraturae arithmeticae seu de additence fractionum , 1644, julkaistu vuonna 1650), mutta sitten ongelma ei herättänyt yleistä kiinnostusta. Mengoli päätti, että sarja konvergoi ja löysi 10 ensimmäisen termin summan [3] :

{\frac {1968329}{1270080}}\noin 1{,}54977.

Myöhemmin monet merkittävät matemaatikot yrittivät löytää sarjan summan, mukaan lukien Leibniz , Stirling , de Moivre , Christian Goldbach , veljekset Jacob ja Johann Bernoulli , tuloksetta . He myös laskivat useita merkitseviä numeroita sarjan summasta. Goldbach osoitti, että summa sisältyy väliin (41/25; 5/3), Stirling onnistui tutkielmassa Methodus Differentialis (1730) laskemaan melko tarkan summan arvon: 1,644934066, mutta kukaan ei voinut määrittää tarkalleen mitä tämä arvo voi olla yhteydessä [3] [4] [5] .

Jacob Bernoulli kehotti Arithmetic Propositions on Infinite Series (1689) -kirjassaan: "Jos joku onnistuu löytämään jotain, mikä ei ole tähän mennessä antanut periksi ponnisteluillemme, ja jos hän ilmoittaa sen meille, olemme hänelle erittäin velkaa" [2 ] [6] . Mutta Jacob Bernoullin elämän aikana ratkaisua ei ilmestynyt.

Euler onnistui ensimmäisenä lähes puoli vuosisataa Bernoullin kääntymyksen jälkeen. Todennäköisesti Johann Bernoulli, Jacobin veli, kertoi Eulerille tästä ongelmasta. Euler raportoi löydöstä huomautuksessa "Käänteisten sarjojen summista" ( De summis serierum reciprocarum , 1735) [7] Pietarin tiedeakatemian Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae -lehdessä . Hänen löytämänsä summan arvon Euler ilmoitti myös kirjeessään ystävälleen Daniel Bernoullille , Johann Bernoullin pojalle [8] :

Löysin äskettäin ja aivan odottamatta tyylikkään lausekkeen ympyrän neliöintiin liittyvän sarjan summalle... Nimittäin tämän sarjan kuusinkertainen summa on yhtä suuri kuin ympyrän kehän neliö, jonka halkaisija on 1.

Daniel kertoi isälleen, joka epäili Eulerin sinin äärettömäksi tuloksi tekemän laajennuksen pätevyyttä (katso alla ). Siksi vuonna 1748 Euler perusteli tulosta ankarammin monografiassa Johdanto infinitesimaalien analyysiin ( Introductio in analysin infinitorum , osa I, luku X) [9] .

Kuten John Derbyshire huomauttaa , luvun toinen esiintyminen ( Leibniz-sarjan jälkeen) odottamattomassa, täysin ei-geometrisessa kontekstissa teki vahvan vaikutuksen 1700-luvun matemaatikoihin [10] . $\pi$

Kontrollina Euler laski manuaalisesti 20-numeroisen sarjan summan (ilmeisesti käyttämällä Euler-Maclaurin-kaavaa , koska käänteinen neliösarja konvergoi melko hitaasti). Sitten hän vertasi summaa arvoon käyttämällä jo tuolloin tiedossa olevan luvun likimääräistä arvoa ja varmisti, että molemmat arvot täsmäävät tilin tarkkuudella. Myöhemmin (1743) Euler julkaisi vielä kaksi erilaista tapaa summata käänteisneliöiden sarja [11] . ${\frac {\pi ^{2}}{6)),$ $\pi$

Sarjan konvergenssi

Sen varmistamiseksi, että käänteinen neliösarja konvergoi, riittää todistaa, että seuraavat sarjat konvergoivat [12] :

1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{4\cdot 5}}+\dots

Tämä sarja suurentaa käänteisen neliön sarjan, koska jokainen termi siinä (lukuun ottamatta ensimmäistä) on suurempi kuin käänteisessä neliösarjassa. Se voidaan esittää teleskooppisena summana :

1+\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right )+\vasen({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\oikea)+\pisteet

Tämän sarjan osasumma on siis sarja konvergoi, ja sen summa on yhtä suuri kuin 2. Siksi vertailukriteerillä , ja käänteisneliöiden sarja konvergoi johonkin numeroon välillä ( 1, 2) [12] . $S_{n}$ $2-{1 \over n},$

Osasummien konvergenssinopeuden arvioimiseksi voidaan käyttää kaavaa

{\frac {1}{m+1}}=\int \limits _{m+1}^{\infty }{{\frac {1}{t^{2}}}dt}<\ summa _{n=m+1}^{\mathcal {\infty }}{\frac {1}{n^{2}}}<\int \limits _{m}^{\infty }{{\frac {1}{t^{2}}}dt}={\frac {1}{m}}.

Kaavan keskellä oleva summa on sarjan ja sen :nnen osasumman erotus, eli osasumman absoluuttinen virhe . Kaavasta voidaan nähdä, että sarjan konvergenssi on melko hidasta - sarjan ( ) ensimmäiset tuhat termiä antavat järjestysvirheen eli kolmannella desimaalilla. Saadaksesi kuusi oikeaa merkkiä, sinun on lisättävä miljoona jäsentä sarjasta [13] . $m$ $m=1000$ $10^{-3}$

Vuonna 1988 Roy D. North Colorado Springsistä laski tietokoneella käänteisneliöiden sarjan miljoonan termin summan ja löysi oudon kuvion – kuudes desimaali, kuten voi odottaa, on virheellinen, mutta seuraavat 6 numeroa ovat oikein. Sitten yksi merkki on väärä, ja sen jälkeen viisi numeroa on taas oikein:

Rivien kokonaissumma ( ) $\pi ^{2}/6$	1,64493 4 066848 2 26436 472415166646025189218949901…
Miljoonan jäsenen osasumma	1,64493 3 066848 7 26436 305748499979391855885616544…
Virhe	0,00000099999950000016666666666633333333333357…

Tämä virhe voidaan esittää summana

10^{-6}-{\frac {1}{2}}10^{-12}+{\frac {1}{6}}10^{-18}-{\frac {1} {30}}10^{-30}+{\frac {1}{42}}10^{-42}+\pistettä \,,

jossa kertoimet potenssilla 10 ovat Bernoullin lukuja [13] . Todiste tästä tosiasiasta löytyy Borweinin, Borweinin ja Dilcherin vuoden 1989 artikkelista [14] .

Eulerin ensimmäinen menetelmä sarjan summan löytämiseksi

1600-luvun loppuun mennessä , Newtonin ja muiden matemaatikoiden työn ansiosta, sinifunktion sarjalaajennus tunnettiin :

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7} }{7!}}+\pisteet

Euler onnistui saamaan sinin toisen laajennuksen - ei summaksi, vaan äärettömäksi tuloksi [15] :

\sin x=x\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^ {2}}{4\pi ^{2}}}\oikea)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\oikea)\cdot \ vasen(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\oikea)\cdot \dots

Tasaamalla molemmat lausekkeet ja vähentämällä sillä saat: $x,$

\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{4\ pi ^{2}}}\oikea)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\right)\cdot \dots =1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{ 4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\pisteet

(yksi)

Koska tämä identiteetti pätee kaikille , kertoimien molemmissa osissa on oltava yhtä suuret: $x,$ $x^{2}$

-{\frac {1}{\pi ^{2}}}-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}-{\frac {1}{9\pi ^{2 ))}-{\frac {1}{16\pi ^{2}}}-\dots =-{\frac {1}{6}}.

Kertomalla tasa-arvon molemmat puolet saadaan lopulta [16] : $-\pi ^{2},$

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\pisteet ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.

Esitetty menetelmä perustuu sinin laajentamiseen äärettömäksi tuloksi, mutta Euler ei antanut tälle laajennukselle kunnollista perustetta, vaan rajoittui viittaamaan siihen, että sekä vasemmalla että oikealla polynomeina pidetyllä osalla on sama. juuret: Johann ja Daniil Bernoulli huomauttivat tällaisen johtamisen virheellisyydestä, koska se koskee vain äärellisen asteen polynomeja, ei äärettömiä sarjoja. Tältä osin Euler julkaisi useita muita summausmenetelmiä, jotka perustettiin tiukemmin ja johtivat samaan tulokseen [11] . Siitä huolimatta määritetty laajennus osoittautui todeksi ja todistettiin myöhemmin [17] . $0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\pm 3\pi ,\pm 4\pi \dots$

Eulerin toinen menetelmä

Vuonna 1741 Euler otti huomioon yllä olevan kritiikin alkuperäisestä menetelmästään ja julkaisi toisen sarjaintegraatioon perustuvan summausmenetelmän [18] . Tätä varten pidämme muodon integraalia

E=\int \limits _{0}^{1}{{\frac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2))))\ dx}=\int \limits _{ 0}^{1}{\arcsin x\ d\arcsin x}={\frac {\pi ^{2}}{8}}.

Integraalin laskemiseksi voit käyttää arsinin laajennusta sarjassa välillä : $[0,1]$

\arcsin x=x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!))\cdot {\frac {x^{ 2n+1}}{2n+1}}.

Tämä sarja konvergoi tasaisesti , ja se voidaan integroida termi kerrallaan:

E=\int \limits _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2))))\ dx+\sum _{n=1}^{\ infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2n+1} }{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx.

Ensimmäinen integraali on , ja toinen substituution jälkeen osoittautuu yhtä suureksi tästä: $yksi$ $x=\sin t$ ${\textstyle {\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!)),}$

E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2))}=\sum _{n=1}^{\ infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}.

Tämä summa sisältää parittomien lukujen käänteiset neliöt. Käänteisneliöiden sarjan vaadittava summa koostuu kahdesta osasta, joista ensimmäinen on yhtä suuri ja toinen sisältää parillisten lukujen käänteiset neliöt: $S$ $E,$

S={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+ {\frac {1}{4^{2}}}+\dots =E+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{ \frac {1}{6^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}+{1 \over 4}S.

Siellä _ ${3 \over 4}S={\frac {\pi ^{2}}{8)),$ $S={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$

Vaihtoehtoisia tapoja löytää summa

Fourier-sarja

Yksi yksinkertaisimmista tavoista saada tämä summa on käyttää funktion Fourier-sarjan laajennusta . Tasaista funktiota varten tämä laajennus on muotoa [19] $f(x)=x^{2}$

f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx.

Kertoimet lasketaan vakiokaavojen mukaan: $a_n$

a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}dx={\pi ^{2} \ yli 3};\quad a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}\cos(nx)dx=( -1)^{n}{\frac {4}{n^{2}}}.

Tämän seurauksena hajoaminen saa muodon [19]

x^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4\cos( nx)}{n^{2}}}.

Arvon korvaaminen tähän kaavaan antaa tuloksen $x=\pi$

\pi ^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4(- 1)^{n}}{n^{2}}},

tai

{2 \over 3}\pi ^{2}=4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2))}.

Lopputulos saadaan [19] jakamalla molemmat puolet neljällä.

Jos korvaamisen sijaan saat vuorottelevan summan: $x=\pi$ $x=0,$

{\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-\dots ={\pi ^{2} \over 12}.

Toinen tapa ratkaista ongelma Fourier-analyysin avulla on käyttää funktiolle Parsevalin yhtälöä $f(x)=x.$

Hajotusmenetelmä hyperboliselle kotangentille

Tämän menetelmän avulla voit löytää summat kaikille käänteisparillisten potenssien sarjoille:

S_{2n}=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2n))}.

Se perustuu kahteen hyperbolisen kotangentin laajennuskaavaan . Ensimmäinen [20] on voimassa : $|x|<1$

\pi x\cdot \operaattorin nimi {cth} (\pi x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}S_{2n}x ^{2n}.

Toinen kaava [21] liittää hyperbolisen kotangentin Bernoullin lukuihin : $B_{n}$

\pi x\cdot \operaattorinnimi {cth} (\pi x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2\pi )^{2n}B_{n }}{(2n)!}}x^{2n}

Kertoimien tasaaminen samoilla potenssilla antaa kaavan sarjan summien yhdistämiseksi Bernoullin lukuihin: $x$

B_{n}=(-1)^{n-1}{\frac {2(2n)!}{(2\pi )^{2n))}S_{2n}.

Erityisesti alkutulos saadaan, kun otetaan huomioon $n = 1$ ${\textstyle B_{1}={1 \over 6}.}$

Muut lähestymistavat

K. P. Kokhasin artikkelissa [16] esitetään useita erilaisia tapoja summata sarja: integraalien , kompleksisten jäänteiden , gammafunktion , arsinin tai kotangentin laajennuksen avulla Leibniz-sarjan neliöinti . Toinen summausmenetelmien kokoelma on esitetty Chapmanin artikkelissa [22] .

Mielenkiintoinen fysikaalis-geometrinen esitys käänteisten neliöiden summasta on esitetty Johan Westlundin artikkelissa [23] ja videoluennossa YouTube-kanavalla 3Blue1Brown [24] .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Kaavan ( 1 ) perusteella Euler ei laskenut summat vain käänteisneliöiden sarjalle, vaan myös muiden parillisten potenssien sarjoille, esimerkiksi 26. päivään [2] :

{\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\ frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+\dots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}),

{\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\ frac {1}{4^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+\pisteet ={\frac {\pi ^{6}}{945}}

jne. Euler havaitsi myös, että tällaisten sarjojen summat liittyvät Bernoullin lukuihin seuraavasti [9] : $B_{{n}}$

S_{2k}=(-1)^{k-1}{\frac {(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}B_{2k}.

Euler myös summasi muunnelman käänteisneliöiden sarjasta, joka sisälsi (nimittäjissä) parittomien lukujen neliöt tai muut parilliset potenssit [25] ; sarjan summat osoittautuivat myös numeroon liittyväksi $\pi.$

Parittomien potenssien sarjoille teoreettinen lauseke niiden summalle ei ole vielä tiedossa. On vain todistettu, että käänteiskuutioiden sarjan summa ( Aperin vakio ) on irrationaalinen luku [2] .

Jos tarkastellaan käänteisten potenssien yleisen sarjan eksponenttia muuttujana (ei välttämättä kokonaislukuna), niin saadaan Riemannin zeta-funktio , jolla on valtava rooli analyysissä ja lukuteoriassa:

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s))}.

Joten käänteisen neliösarjan summa on $\zeta (2).$

Ensimmäiset zeta-funktion ominaisuuksia koskevat tutkimukset suoritti Euler. Vuonna 1748 hän julkaisi monografian "Johdatus infinitesimaalien analyysiin", jossa hän todisti " Euler-identiteetin " [26] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{- s}}},

jossa tulo on otettu kaikkiin alkulukuihin.Tällä yhtälöllä oli suuri rooli analyyttisen lukuteorian kehityksessä , se perustui Chebyshevin ja Riemannin tutkimuksiin alkulukujen jakautumisesta luonnollisissa sarjoissa. Vuonna 1859 ilmestyi Riemannin syvällinen työ, joka laajensi Zeta-funktion määritelmän monimutkaiseen verkkotunnukseen . Riemann pohti yksityiskohtaisesti zeta-funktion yhteyttä alkulukujakaumaan [26] . $s.$

Vuonna 1768 Euler ehdotti toista käänteisen neliön sarjan yleistystä, Eulerin dilogaritmia [27] :

\operaattorin nimi {Li} _{2}(x)=-\int _{0}^{x}{\frac {\ln(1-t)}{t))\,\mathrm {d} t={\frac {x^{1}}{1^{2}}}+{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {x^{3}} {3^{2}}}+\pisteet

Jotkut sovellukset

Käänteisten neliöiden sarjan summa, se näkyy myös monissa lukuteorian ongelmissa. $\zeta (2),$

Luonnollisen luvun jakajien summa kasvaa keskimäärin [28] lineaarifunktiona . $N$ $\zeta (2)\cdot N$

Todennäköisyys, että kaksi satunnaisesti valittua luonnollista lukua väliltä 1 osoittautuu koprimeiksi . Toisin sanoen, lukusarjan [29] koalsilukujen keskimääräinen tiheys on yhtä suuri kuin $N$ $N$ ${\textstyle 1/\zeta(2).}$ ${\textstyle 1/\zeta(2).}$

Olkoon neliövapaiden luonnollisten lukujen lukumäärä välillä 1 - Se täyttää likimääräisen kaavan [30] [31] [32] $Q(x)$ $x.$

Q(x)\approx {\frac {x}{\zeta (2)))

Kumulatiivinen Euler-funktio

\Phi (n):=\sum _{k=1}^{n}\varphi (k),\quad n\in \mathbf {N} ,

missä on Euler-funktio , jolla on seuraavat asymptotiikka [33] : $\varphi (n)$

\Phi (n)\sim {\frac {1}{2\zeta (2)}}\cdot n^{2}+O\left(n\log n\right).

Muistiinpanot

↑ Stewart, Ian . Professori Stewartin uskomattomat numerot = Professori Stewartin uskomattomat numerot. - M . : Alpina tietokirjallisuus, 2016. - S. 222-223. — 422 s. - ISBN 978-5-91671-530-9 .
↑ 1 2 3 4 Derbyshire, 2010 , s. 90-92, 103-109.
↑ 1 2 Sofo, Anthony. Baselin ongelma laajennuksen kanssa . Haettu: 3.8.2020. (määrätön)
↑ Leonhard Eulerin elämäkerta (pääsemätön linkki) . Haettu 16. huhtikuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 17. maaliskuuta 2008. (määrätön)
↑ Euler et le problemème de Bale . Haettu 5. elokuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 23. tammikuuta 2021. (määrätön)
↑ Poya D. Matematiikka ja uskottava päättely. - Toim. 2, korjattu. - M . : Nauka, 1975. - S. 40.
↑ Leonhard Euler. Desummis serierum reciprocarum . Käyttöönottopäivä: 17.4.2016. (määrätön)
↑ Navarro, Joaquin. Lukumäärärajaan asti . Haettu 10. elokuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 15. syyskuuta 2016. (määrätön)
↑ 1 2 Matematiikan historia, osa III, 1972 , s. 337.
↑ Derbyshire, 2010 , s. 92.
↑ 1 2 Vileitner G. Matematiikan historiaa Descartesista 1800-luvun puoliväliin. - M .: GIFML, 1960. - S. 143-144. — 468 s.
↑ 1 2 Vorobjov N. N. Sarjateoria . - 4. painos - M .: Nauka, 1979. - S. 52 . — 408 s. - (Valitut korkeamman matematiikan luvut insinööreille ja korkeakoulujen opiskelijoille).
↑ 1 2 Aigner, Ziegler, 2006 , s. 49.
↑ Borwein, Borwein, Dilcher, 1989
↑ Antonio Duran, 2014 , s. 109-114.
↑ 1 2 Kokhas K.P., 2004 .
↑ Fikhtengolts G. M., 1966 , s. 374-376.
↑ Fikhtengolts G. M., 1966 , s. 671.
↑ 1 2 3 Fikhtengolts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. - Toim. 3. - M . : Nauka, 1963. - T. III. - S. 443, 451. - 656 s.
↑ Fikhtengolts G. M., 1966 , s. 484.
↑ Fikhtengolts G. M., 1966 , s. 495-496.
↑ Robin Chapman .
↑ Wästlund, Johan. Käänteisten neliöiden summaus euklidisen geometrian avulla . Haettu 6. elokuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 24. helmikuuta 2020. (määrätön)
↑ Miksi pi on täällä? Ja miksi se on neliö? Geometrinen vastaus Baselin ongelmaan YouTubessa
↑ Zhukov A. V. Kaikkialla oleva numero "pi". - 2. painos - M . : Kustantaja LKI, 2007. - S. 145. - 216 s. - ISBN 978-5-382-00174-6 .
↑ 1 2 Otradnykh F.P. 1700-luvun matematiikka ja akateemikko Leonhard Euler. - M . : Neuvostoliiton tiede, 1954. - S. 33. - 39 s.
↑ Leonhard Euler , Institutiones calculi integraalit
↑ Arnold V. I. Galois'n kenttien dynamiikka, tilastot ja projektiiivinen geometria. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 70. - 72 s.
↑ Cohen E. Aritmeettiset funktiot, jotka liittyvät mielivaltaisiin kokonaislukujoukkoon // Acta Arithmetica . - 1959. - Voi. 5 . - s. 407-415 . Arkistoitu 2. toukokuuta 2019. (Katso myös artikkelihuomautus: Errata arkistoitu 14. elokuuta 2020 Wayback Machinessa . Huomautus viittaa "Seuraus 3.3" sivulla 413).
↑ Jia C.-H. Neliöttömien lukujen jakautuminen (englanniksi) // Tiede Kiinassa. A-sarja - Matematiikka, fysiikka, tähtitiede ja teknologiatiede. - 1993. - Voi. 36 , iss. 2 . - s. 154-169 . doi : 10.1360 /ya1993-36-2-154 .
↑ Pappalardi F. Tutkimus k -freenessistä // Numeroteoria. Prof. Prof. Subbarao (englanti) / Voi. Toim.: SD Adhikari, R. Balasubramanian, K. Srinivas. - Mysore: Ramanujan Mathematical Society, 2002. - P. 77-88. — 161 s. - (Luentomuistiinpanojen sarja: numero 1). — ISBN 9788190254510 .
↑ Sinha K. Tiettyjen aritmeettisten funktioiden keskimääräiset järjestykset // Journal of the Ramanujan Mathematical Society. - 2006. - Voi. 21 , iss. 3 . - s. 267-277 . Arkistoitu alkuperäisestä 14. helmikuuta 2012.
↑ Weisstein, Eric W. Totient Summatory Function (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Kirjallisuus

Aigner M. , Ziegler G. Todisteita kirjasta . Paras todiste Eukleideen ajoista nykypäivään. - M . : Mir, 2006. - S. 49 . — 256 s. — ISBN 5-03-003690-3 .
Derbyshire, John. Yksinkertainen pakkomielle. Bernhard Riemann ja matematiikan suurin ratkaisematon ongelma. - Astrel, 2010. - S. 90-92, 103-109. — 464 s. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
Duran, Antonio. Numeroiden runous. Hieno ja matematiikka. — M .: De Agostini, 2014. — 160 s. — (Matematiikan maailma: 45 nidettä, nide 27). — ISBN 978-5-9774-0722-9 .
1700-luvun matematiikka // Matematiikan historia / Toimittanut A. P. Yushkevich , kolmessa osassa. - M .: Nauka, 1972. - T. III.
Fikhtengol'ts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. - toim. 6. - M . : Nauka, 1966. - T. II. - S. 461-462, 490, 496, 671. - 800 s. - ISBN 5-9221-0155-2 .
Borwein J. M., Borwein P. B., Dilcher K. Pi, Euler-luvut ja asymptoottiset laajennukset // Amer. Matematiikka. Kuukausittain. - 1989. - nro 96. - s. 681-687.

Linkit

Kokhas K. P. Käänteisten neliöiden summa // Matemaattinen koulutus. - 2004. - Numero. 8 . — S. 142–163 .
Sobolevsky A., fysiikan ja matematiikan tohtori. Tieteet (IPPI RAS). Baselin ongelman ympärillä: Bernoulli, Euler, Riemann (2014). - videoluento. Haettu: 24.5.2016. (määrätön)
Chapman, Robin. Evaluating ζ(2) (englanti) (1999). Käyttöönottopäivä: 17.4.2016.
Pengelley DJ Tanssii jatkuvan ja diskreetin välillä: Eulerin summakaava (englanniksi) (linkki ei saatavilla) . Euler 2K+2 -konferenssi, Rumford, Maine (2002). Haettu 17. huhtikuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 9. elokuuta 2017.
Weisstein EW Riemann Zeta Funktio zeta(2 ) . MathWorld - Wolfram-verkkoresurssi. Käyttöönottopäivä: 17.4.2016.

Jaksot ja rivit
Jaksot	Numerosarja Perusjärjestys Lineaarinen toistuva sekvenssi Fibonaccin numerot kiharat numerot Factorial Barker-sekvenssi de bruijn sekvenssi
Rivit, perus	Rivin summa Loput rivistä Ehdollinen konvergenssi Vaihteleva sarja Rivien moniosa
Numerosarja ( operaatiot numerosarjoilla )	harmoninen sarja Leibniz-sarja Sarja käänteisiä neliöitä Käänteisten alkulukujen sarja Dirichlet rivi Mercator-sarja Rivi Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
toiminnallisia rivejä	Taylor-sarja Laurent-sarja Fourier-sarja Trigonometrinen Fourier-sarja trigonometrinen sarja Wiener-sarja
Muut rivityypit	Neumann-sarja Puiseux'n rivi