Yksinkertainen

Yksipuolinen tai n - ulotteinen tetraedri ( latinan sanasta simplex 'yksinkertainen') on geometrinen kuvio , joka on kolmion n - ulotteinen yleistys .

Määritelmä

Simpleksi (tarkemmin sanottuna n -simplex , jossa lukua n kutsutaan simplexin dimensioksi ) on konveksi runko n  + 1 pisteestä affiinissa avaruudessa (jossa on mitat n tai suurempi), joiden oletetaan olevan affiinisesti riippumattomia . (eli älä ole aliavaruudessa, jonka ulottuvuus on n  − 1). Näitä pisteitä kutsutaan [1] [2] simpleksin pisteiksi .

Simpleksiä voidaan luonnehtia sen kärkien kaikkien mahdollisten konveksien yhdistelmien joukkona : $A_{i}$

\Delta =\left\{\sum _{i=0}^{n}t_{i}A_{i}:\left(\sum _{i=0}^{n}t_{i} =1\oikea)\kiila (\forall i\;t_{i}\geqslant 0)\right\}.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Avoin simpleksi on joukko sen pisteiden kaikkia mahdollisia barysentrisiä yhdistelmiä positiivisilla kertoimilla (tässä tapauksessa edellisen osan määritelmän mukaista simpleksiä, jolla on samat kärjet, kutsutaan myös suljetuksi simpleksiksi ; yleisen terminologian mukaisesti topologia , suljettu simpleksi on vastaavan avoimen simplexin sulkeminen , ja tämä avoin simpleksi on suljetun simpleksin avoin ydin ) [1] [3] .
Simplexin luuranko on kaikkien sen kärkien joukko [4] .
Simplexin reunat ovat sen kärjet yhdistäviä segmenttejä [5] .
Simpleksin dimensioiden s kasvoja kutsutaan s -ulotteisiksi yksinkertaisiksi, joiden luurankot ovat alkuperäisen simpleksin rungon osajoukkoja [6] .
Simplexin sanotaan olevan orientoitunut , jos sen ydin on hyvin järjestetty joukko ; oletetaan, että järjestykset, jotka eroavat toisistaan tasaisella kärkien permutaatiolla , määrittävät saman suunnan (orientoitu 0-simplex on piste, johon on liitetty etumerkki: "plus" tai "miinus") [6] [7 ] .
Euklidisessa avaruudessa olevaa simpleksiä kutsutaan säännölliseksi , jos sen kaikki reunat ovat yhtä pitkiä [8] .

Standard simplex

Standardi n - simplex on aritmeettisen avaruuden osajoukko , joka määritellään [9] $\mathbb {R} ^{n+1}$

\Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\dots ,t_{n}):\left(\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1 \right)\wedge (\forall i\;t_{i}\geqslant 0)\right\}.

Sen kärjet ovat pisteitä [9]

e 0 = (1, 0, …, 0), e 1 = (0, 1, …, 0), … e n = (0, 0, …, 1).

On olemassa kanoninen yksi-yhteen-mappaus standardista n - simplexistä mihin tahansa muuhun n - simplexiin Δ , jossa on kärkikoordinaatit : $(v_{0},v_{1},\dots ,v_{n})$

(t_{0},\dots ,t_{n})\mapsto \sum _{i}t_{i}v_{i}.

Yksipuolisen Δ tietyn pisteen arvoja kutsutaan sen barysentrisiksi koordinaateiksi [3] . $t_{i}$

Ominaisuudet

N - ulotteisella simplexillä on pisteitä, joista mikä tahansa muodostaa k - ulotteisen pinnan. $n+1$ $k+1$
- Erityisesti k -ulotteisten pintojen lukumäärä n - simplexissä on yhtä suuri kuin binomikerroin ${\tbinom {n+1}{k+1)).$
- Erityisesti korkeimman ulottuvuuden kasvojen määrä on sama kuin kärkien lukumäärä ja on yhtä suuri kuin . $n+1$
n - simplexin orientoitu tilavuus n - ulotteisessa euklidisessa avaruudessa voidaan määrittää kaavalla $V={\frac {1}{n!}}\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\dots ,v_{n}-v_{0 }).$
- Cayley-Menger-determinantin avulla voit laskea simpleksin tilavuuden, kun tiedät sen reunojen pituudet: $V^{2}={\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}(n!)^{2}}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&\pisteet &1 \\1&0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\pisteet &d_{0n}^{2}\\1&d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&\pisteet &d_{1n}^{2}\\1&d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&\pisteet &d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&d_{n0}^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&\pisteet &0\\\end{vmatrix}},$

missä on i : nnen ja j :nnen kärjen välinen etäisyys, n on avaruuden ulottuvuus . Tämä kaava on yleistys Heronin kolmioiden kaavasta.

d_{ij}=|v_{i}-v_{j}|

Yksikköpuolen säännöllisen n -simplexin tilavuus on . ${\frac {\sqrt {n+1}}{n!\cdot 2^{n/2}}}$

Kuvatun n -ulotteisen pallon säde tyydyttää suhteen $R$ $(R\cdot V)^{2}=T,$

missä on simpleksin tilavuus ja

V

T={\frac {(-1)^{n}}{2^{n+1}{(n!)}^{2}}}{\begin{vmatrix}0&d_{01}^{ 2}&d_{02}^{2}&\pisteet &d_{0n}^{2}\\d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&\pisteet &d_{1n}^{2} \\d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&\pisteet &d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\d_{n0 }^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&\dots &0\\\end{vmatrix}}.

Rakennus

Jos avaruuden mitta on n , niin hypertaso voidaan piirtää minkä tahansa n pisteensä läpi ja on n + 1 pisteen joukkoja,  joiden läpi hypertasoa ei voida piirtää. Siten n  + 1 on pienin määrä sellaisia pisteitä n - ulotteisessa avaruudessa , jotka eivät ole samassa hypertasossa; nämä pisteet voivat toimia n - ulotteisen monitahoisen pisteinä [10] .

Yksinkertaisinta n - ulotteista monitahoa , jossa on n  + 1 kärkeä , kutsutaan simpleksiksi (myös nimi " n - ulotteinen tetraedri " hyväksytään). Pieniulotteisissa tiloissa tämä määritelmä vastaa seuraavia kuvia [11] :

0-simplex ( piste ) — 1 kärki;
1-simplex ( segmentti ) — 2 kärkeä;
2-simplex ( kolmio ) - 3 kärkeä;
3-simplex ( tetraedri ) - 4 kärkeä.

Kaikilla näillä luvuilla on kolme yhteistä ominaisuutta.

Määritelmän mukaan kullekin kuviolle on yksi pistemäärä enemmän kuin avaruusulottuvuus.
On olemassa yleinen sääntö alemman ulottuvuuden yksinkertaisten muuntamiseksi korkeampiulotteisiksi yksinkertaisiksi. Se koostuu siitä, että jostakin simpleksin pisteestä piirretään säde , joka ei ole tämän simpleksin affinisessa kuoressa , ja tälle säteelle valitaan uusi kärki, joka on yhdistetty reunoilla alkuperäisen kaikkiin pisteisiin. yksinkertainen.
Kuten kappaleessa 2 kuvatusta menettelystä seuraa, mikä tahansa simpleksin kärki on yhdistetty reunoilla kaikkiin muihin kärkipisteisiin.

Kuvattu pallo

N - pallo voidaan kuvata minkä tahansa n - simplexin ympärillä euklidisessa avaruudessa .

Todiste

1-simplexille tämä väite on ilmeinen. Kuvattu 1-pallo tulee olemaan kaksi pistettä yhtä kaukana janan keskipisteestä, jotka osuvat yhteen janan päiden kanssa, ja sen säde on R = a /2. Lisätään vielä yksi piste 1-simplexiin ja yritetään kuvata 2-palloa niiden ympärillä.

Rakennamme 2-pallon s 0 säteellä a /2 siten, että jana AB on sen halkaisija . Jos piste C on ympyrän s 0 ulkopuolella , niin lisäämällä ympyrän sädettä ja siirtämällä sitä kohti pistettä C voidaan varmistaa, että kaikki kolme pistettä ovat ympyrällä. Jos piste C on ympyrän s 0 sisällä , voit sovittaa ympyrän tämän pisteen alle lisäämällä sen sädettä ja siirtämällä pistettä C vastakkaiseen suuntaan. Kuten kuvasta voidaan nähdä, tämä voidaan tehdä joka tapauksessa, kun piste C ei ole samalla viivalla kuin pisteet A ja B. Myöskään pisteen C epäsymmetrinen sijainti janan AB suhteen ei ole esteenä .

Kun otetaan huomioon yleinen tapaus, oletetaan, että jonkin ( n −1)-ulotteisen kuvion ympärille on rajattu ( n  − 1)-pallo S n −1 , jonka säde on r . Aseta pallon keskipiste koordinaattien alkupisteeseen. Palloyhtälö näyttää tältä

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\pisteet +x_{n-1}^{2}=r^{2}. \qquad(1)

Muodostetaan n -pallo , jonka keskipiste on pisteessä (0, 0, 0, ... 0, h S ) ja jonka säde on R , ja

R^{2}=r^{2}+h_{S}^{2}.

Tämän pallon yhtälö

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\pisteet +x_{n-1}^{2}+(x_{n}- h_{S})^{2}=r^{2}+h_{S}^{2},

tai

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\pisteet +x_{n-1}^{2}=r^{2}- x_{n}^{2}+2x_{n}h_{S}.\qquad (2)

Korvaamalla x n = 0 yhtälöön (2), saadaan yhtälö (1). Siten mille tahansa h S :lle pallo S n −1 on pallon S n osajoukko , nimittäin sen leikkaus tason x n = 0 mukaan.

Oletetaan, että pisteellä C on koordinaatit ( x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n ). Muunnetaan yhtälö (2) muotoon

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\pisteet +x_{n-1}^{2}+x_{n}^{ 2}=r^{2}+2x_{n}h_{S}

ja korvaa siihen pisteen C koordinaatit :

X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+\pisteet +X_{n-1}^{2}+X_{n}^{ 2}=r^{2}+2X_{n}h_{S}.

Vasemmalla puolella oleva lauseke on etäisyyden RC neliö origosta pisteeseen C , jonka avulla voimme tuoda viimeisen yhtälön muotoon

R_{C}^{2}=r^{2}+2X_{n}h_{S},

mistä voimme ilmaista parametrin h S :

h_{S}={\frac {R_{C}^{2}-r^{2}}{2X_{n}}}.

Ilmeisesti h S on olemassa mille tahansa R C :lle , X n :lle ja r :lle paitsi X n = 0. Tämä tarkoittaa, että jos piste С ei ole pallon S n −1 tasossa , voidaan aina löytää parametri h S siten, että pallolla S n , jonka keskipiste on (0, 0, 0, ..., h S ), sekä pallo S n −1 että piste C ovat . Siten n -pallo voidaan kuvata minkä tahansa n  + 1 pisteen ympärillä, jos n näistä pisteistä sijaitsee samalla ( n  − 1) -pallolla, ja viimeinen piste ei ole niiden kanssa samassa ( n  − 1) - kone.

Induktiolla argumentoimalla voidaan väittää, että n - pallo voidaan kuvata minkä tahansa n  + 1 pisteen ympärillä, kunhan ne eivät ole samassa ( n  − 1)-tasossa .

Simplexin pintojen lukumäärä

Yksipuolisessa pisteessä on n  + 1 kärkeä, joista jokainen on yhdistetty reunoilla kaikkiin muihin pisteisiin.

Koska kaikki simpleksin kärjet ovat yhteydessä toisiinsa, millä tahansa sen kärkien osajoukolla on sama ominaisuus. Tämä tarkoittaa, että mikä tahansa  simplexin L + 1 kärkien osajoukko määrittelee sen L -ulotteisen pinnan, ja tämä pinta on itse L -simplex. Tällöin simpleksille L - ulotteisten pintojen lukumäärä on yhtä suuri kuin kuinka monta tapaa valita L  + 1 kärki n  + 1 kärjen kokonaisjoukosta.

Merkitään symbolilla K ( L , n ) n - polytoopin L -ulotteisten pintojen lukumäärä ; sitten n - simplexille

K(L,n)=C_{n+1}^{L+1},

missä on n: n ja k : n yhdistelmien lukumäärä . ${\displaystyle C_{n}^{k))$

Erityisesti korkeimman ulottuvuuden pintojen lukumäärä on yhtä suuri kuin pisteiden lukumäärä ja on yhtä suuri kuin n  + 1:

K(0,n)=K(n-1,n)=n+1.

Relaatiot säännöllisessä simpleksissä

Normaalille n - ulotteiselle simplexille merkitsemme:

$a$ - sivun pituus;
$H n$ - korkeus;
$V_{n}$ - tilavuus;
$R_n$ on rajatun pallon säde;
$r_{n}$ on piirretyn pallon säde;
$\alpha_{n}$ - dihedraalinen kulma .

Sitten

$H_{n}=a{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}=R_{n}{\frac {n+1}{n}}$
$V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}={\frac {R_{n}^ {n}}{n!}}{\sqrt {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}}}$
$R_{n}=a{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)))}$
$r_{n}={\frac {a}{\sqrt {2n(n+1)}}}={\frac {R_{n}}{n}}$
$\cos \alpha ={\frac {1}{n}}$ [kahdeksan]
$R_{n}=H_{n}{\frac {n}{n-1}}$
$a^{2}=H_{n}^{2}+R_{n-1}^{2}$
$V_{n}={\frac {1}{n}}V_{n-1}H_{n}$
${\displaystyle r_{n}^{2}=R_{n}^{2}-R_{n-1}^{2))$

Kaavat tavalliselle simpleksille

L-ulotteisten pintojen lukumäärä	$K(L,n)={\tbinom {n+1}{L+1}}$
Korkeus	$H_{n}=a{\sqrt {\frac {n+1}{2n))}$	$H_{n}=R_{n}{\frac {n+1}{n}}$	$H_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$H_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{3}}$	$H_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{4}}$
Äänenvoimakkuus	$V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}$	$V_{n}={\frac {R_{n}^{n}}{n!)}}{\sqrt {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n} } }$	$V_{2}=a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}$	$V_{3}=a^{3}{\frac {\sqrt {2}}{12}}$	$V_{4}=a^{4}{\frac {\sqrt {5}}{96}}$
Rajatun pallon säde	$R_{n}=a{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)))}$	$a=R_{n}{\sqrt {\frac {2(n+1)}{n))}$	$R_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$R_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{4}}$	$R_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{5}}$
Piirretyn pallon säde	$r_{n}={\frac {a}{\sqrt {2n(n+1)))}$	$r_{n}={\frac {R_{n}}{n}}$	$r_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{6}}$	$r_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{12}}$	$r_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{20}}$
Dihedraalinen kulma	$\cos \alpha ={\frac {1}{n}}$

Simplexit topologiassa

Topologinen simpleksi on topologisen avaruuden osajoukko , joka on homeomorfinen jonkin affiinisen avaruuden simpleksille (tai vastaavasti vastaavan ulottuvuuden standardi simplexille). Topologisen simpleksin käsite on yksinkertaistettujen kompleksien teorian taustalla ( yksinkertainen kompleksi on topologinen avaruus, joka esitetään topologisten yksinkertaisten liittona , joka muodostaa tietyn avaruuden kolmion ) [12] .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 Aleksandrov ja Pasynkov, 1973 , s. 197-198.
↑ Zalgaller V. A. . Simplex // Matemaattinen tietosanakirja. T. 4 / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. Arkistokopio päivätty 21. tammikuuta 2022 Wayback Machinessa - 1216 jne. - Stb. 1151.
↑ 1 2 Aleksandrov, 1968 , s. 355.
↑ Aleksandrov ja Pasynkov, 1973 , s. 198.
↑ Boltyansky, 1973 , s. 211.
↑ 1 2 Baladze D. O. . Monimutkainen // Matemaattinen tietosanakirja. Vol. 2 / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. Arkistokopio päivätty 20. marraskuuta 2012 Wayback Machinessa - 1104 jne. - Stb. 995-1101.
↑ Rudin U. . Matemaattisen analyysin perusteet. 2. painos — M .: Mir , 1976. — 319 s. - S. 257-258.
↑ 1 2 Parks H. R., Wills D. C. . Säännöllisen n - Simplexin dihedral-kulman peruslaskenta // The American Mathematical Monthly , 2002, 109 (8). - s. 756-758. - doi : 10.2307/3072403 .
↑ 1 2 Kostrikin ja Manin, 1986 , s. 200-201.
↑ Aleksandrov, 1968 , s. 353-355.
↑ Kostrikin ja Manin, 1986 , s. 201.
↑ Khokhlov A. V. . Yksinkertainen avaruus // Matemaattinen tietosanakirja. T. 4 / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. Arkistokopio päivätty 21. tammikuuta 2022 Wayback Machinessa - 1216 jne. - Stb. 1168.

Kirjallisuus

P.S. Aleksandrov . kombinatorinen topologia. - M. - L .: GITTL , 1947. - 660 s.
P.S. Aleksandrov . Luennot analyyttisestä geometriasta. — M .: Nauka , 1968. — 912 s.
P. S. Aleksandrov , B. A. Pasynkov. Johdatus ulottuvuusteoriaan. Johdatus topologisten avaruuksien teoriaan ja yleiseen ulottuvuusteoriaan. — M .: Nauka , 1973. — 576 s.
V. G. Boltyansky . Erillisten järjestelmien optimaalinen ohjaus. — M .: Nauka , 1973. — 448 s.
A. I. Kostrikin , Yu. I. Manin . Lineaarinen algebra ja geometria. 2. painos — M .: Nauka , 1986. — 304 s.
L. S. Pontryagin . Kombinatorisen topologian perusteet. - M. - L .: GITTL , 1947. - 142 s. - S. 23-31.

Linkit

Simplex - artikkeli Suuresta Neuvostoliitosta Encyclopediasta .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen

Tilan mitat
Tilat mittojen mukaan	Nollaulotteinen yksiulotteinen 2D 3D neliulotteinen viisiulotteinen Kuusiulotteinen Seitsemänulotteinen oktaali Yhdeksänulotteinen n-ulotteinen Negatiivinen ulottuvuus
Polytoopit ja hahmot	Yksinkertainen hyperkuutio tesserakti Hypersuorakulmio (ortotooppi) Puolihyperkuutio Cross-polytooppi hypersfääri
Tilojen tyypit	äärellisulotteinen avaruus Euklidinen avaruus affinista tilaa projektiivinen tila Ilmainen moduuli Jakotukki Algebrallisen muuttujan ulottuvuus aika-avaruus
Muut ulottuvuuskäsitteet	Krullin ulottuvuus Lebesguen ulottuvuus Induktiivinen ulottuvuus Murtoluku ( Minkowskin ulottuvuus , Hausdorffin ulottuvuus ) fraktaali ulottuvuus Vapauden asteet
Matematiikka