Pallomainen monitahoinen

Pallomainen monitahoinen tai pallomainen laatoitus  on laatoitus pallolle , jonka pinta on jaettu suurilla kaarilla rajatuiksi alueiksi, joita kutsutaan pallomaisiksi monikulmioiksi. Suuri osa symmetristen polyhedrien teoriasta käyttää pallomaisia ​​polyhedraja.

Kuuluisin esimerkki pallomaisesta monitahoisesta on jalkapallo , joka voidaan ymmärtää katkaistuna ikosaedrina .

Jotkut "sopimattomat" polyhedrat, kuten osohedrat ja niiden kaksoisdihedrat , ovat olemassa vain pallomaisina monitahoina, eikä niillä ole tasapinnaisia ​​vastineita . Alla olevassa esimerkkejä sisältävässä taulukossa {2, 6} on osoedri ja {6, 2} on sen kaksoisdihedroni.

Historia

Ensimmäiset tunnetut ihmisen tekemät polyhedrat ovat kiveen kaiverrettuja pallomaisia ​​polyhedraja. Monet niistä on löydetty Skotlannista ja ovat peräisin neoliittikaudelta .

Eurooppalaisen " pimeän keskiajan " aikana islamilainen tutkija Abul-Wafa al-Buzjani kirjoitti ensimmäisen vakavan teoksen pallomaisista monitahoista.

Kaksisataa vuotta sitten, 1800-luvun alussa, Poinsot käytti pallomaisia ​​monitahoja löytääkseen neljän säännöllisen tähden polyhedraa .

1900-luvun puolivälissä Coxeter käytti niitä luetteloimaan kaikki (paitsi yhtä) yhtenäiset polyhedrat kaleidoskooppisen rakenteen avulla ( Withoff-rakenne ).

Esimerkkejä

Kaikki säännölliset , puolisäännölliset polyhedrat ja niiden kaksoiskappaleet voidaan projisoida palloon laatoituksena. Alla olevassa taulukossa on Schläfli-symbolit {p, q} ja kärkipisteen abc... kaavio:

Epäsäännölliset tapaukset

Pallomaiset laatoitukset mahdollistavat tapaukset, jotka ovat mahdottomia monitahoisille kuvioille, nimittäin osohedra , säännölliset hahmot {2,n} ja dihedra , säännölliset hahmot {n,2}.

Kuva
Schläfli	{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}	{2,7}	{2,8}…
kokseteri
Kasvot ja reunat	2	3	neljä	5	6	7	kahdeksan
Huiput	2

Kuva
Schläfli	{2,2}	{3,2}	{4,2}	{5,2}	{6,2}…
kokseteri
Fasetit	2 {2}	2 {3}	2 {4}	2 {5}	2 {6}
Reunat ja kärjet	2	3	neljä	5	6

Yhteys laatoitusten kanssa projektiivitasolla

Koska pallo on projektiivitason kaksiarkkipeite , projektiopolytoopit vastaavat pallomaisten polytooppien kaksoispeittoa, joilla on keskussymmetria .

Tunnetuimpia esimerkkejä projektiivisistä monitahoista ovat säännölliset projektiiviset polyhedrat, jotka on muodostettu keskeisesti symmetrisistä säännöllisistä monitahoista sekä äärettömistä parillisten dihedrien ja osohedrien perheistä : [1]

• Semicube , {4,3}/2
• Puolioktaedri , {3,4}/2
• Semidodekaedrikuutio , {5,3}/2
• Hemiikosaedri , {3,5}/2
• Puoliedri, {2p,2}/2, p>=1
• Puolihooseedri, {2,2p}/2, p>=1

Katso myös

• Mosaiikki
• pallomainen geometria
• Pallomainen trigonometria
• Polyhedron
• Projektiivinen polyhedron
• Toroidinen monitahoinen
• Conway-merkintä polyhedralle

Muistiinpanot

1. ↑ Coxeter, 1966 , s. 547-552 §3 Oikeat kortit.

Kirjallisuus

• Peter McMullen, Egon Schulte. 6C. Projektiiviset säännölliset polytoopit // Abstract Regular Polytoopes. – 1. - Cambridge University Press, 2002. - ISBN 0-521-81496-0 .

• L. Poinsot . Memoire sur les polygones et polyèdres // J. de l'École Polytechnique. - 1810. - Numero. 9 . - S. 16-48 .
• HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins, JCP Miller. Uniform polyhedra // Lontoon kuninkaallisen seuran filosofiset tapahtumat. Sarja A. Matemaattiset ja fysiikan tieteet. - The Royal Society, 1954. - T. 246 , no. 916 . — S. 401–450 . — ISSN 0080-4614 . doi : 10.1098 / rsta.1954.0003 . — .

• HSM Coxeter . Tavalliset polytoopit . – 3. painos. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
• G.S.M. Coxeter. Johdatus geometriaan. - M . : "Nauka", 1966.